Đang tải... (xem toàn văn)
MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC Bài 1... §ã chÝnh lµ ®iÒu kiÖn cÇn.[r]
(1)DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương trình mũ có dạng: ax =m, a>0, a≠1 m sốđã cho.
● Nếu m≤0, phương trình ax =m vơ nghiệm
● Nếu m>0, phương trình ax =m có nghiệm x=log m.a
Bài Giải phương trình sau:
1) x x x
5 + +6.5 −3.5 − =52
2) 3x 1+ +3x 2+ +3x 3+ =9.5x +5x 1+ +5x 2+
3) x x
3 + =72
4) 4x2− +3x 2+4x2+ +6x 5=42x2+ +3x 7+1
5) 5.32x 1− −7.3x 1− + 6.3− x+9x 1+
Bài Giải phương trình sau:
1) log x x3 ( + =2)
2) log2(x2− −3) log2(6x 10− )+ =1
3) log x 15( + )+log 2x 5( − =)
4) ( x )
log + − =5 x
Bài Bài tập rèn luyện Giải phương trình sau:
1) x x
3+ −2.3 − =25 2) log2 x log2(x x)( 4) x+− +4 − + =
3) 3.2x 1+ +2.5x 2− =5x+2x 2− 4) log 16 logx2 − x7=2 5)
x 3x
4 16
0
7 49
−
− =
6) ( ) ( )
2
8
4 log 2x log x 2x
3
+ − + =
7) log x log x log x2
4 + −6 =2.3 + 8) x 1 x x x
2.5
5
+ − + − + = +
9) log 3(x−2 log x) 5 =2 log3(x−2) 10) x x
3 − −5 − =32
11) ( x x 2) x ( x x 1)
3 10 −6 + +4.10 + =5 10 − −6 −
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH
(2)DẠNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Phương pháp ñưa số
Sử dụng công thức:
● aα =aβ ⇔ =α β
● log ba log ca b ( c ) b c
>
= ⇔
=
hc >
Bài Giải phương trình sau:
1) 2x x x
5 + +7 + −175 −35=0 3) x x 2 x x
x + +2 − + =x − + +2 −
2) 3.4x 1.9x 6.4x 1.9x
3
+ + +
+ = − 4) x2 x x2 ( )x 12
4 + +2− =2 + +1
Bài Giải phương trình sau:
1) x x x
16 64
log 2.log 2=log
2)
5x
5
log log x
x+ =
3) log x2 +log x3 +log x4 =log x20
4) ( )
( ) ( )
2
x
1
log 3x log x
log +
− + = + +
5) 5) 5)
5) ( )2
9 3
1 x
log x 5x log log x
2
−
− + = + −
6) log2(x2+3x+ +2) log2(x2+7x 12+ )= +3 log 32
Bài 3. Giải phương trình sau: 1log 2(x 3) 1log4(x 1)8 log2( )4x
2 + +4 − =
Bài 4. Bài tập rèn luyện Giải phương trình sau:
1)
2 3x
3
x x x
9 27 81
3
−
+
=
6) ( ) ( )
2
5
log 4x− −x =2 log x+4
2) 3.13x+13x 1+ −2x 2+ =5.2x 1+ 7) log x 1( ) 1log x5 log x
− = −
3) log4(log x2 )+log2(log x4 )=2 8) log x92 =log x.log3 3( 2x 1+ − )
4) 5( ) 5
x log x 2x log
x
−
+ − =
+ 9) ( ) ( )
2
4 4
log x − −1 log x 1− =log x−2
(3)DẠNG ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B =
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2+x−4.2x2−x −22x + =4
HD: 2x2+x−4.2x2−x−22x+ = ⇔4 2( x2−x−1 2) ( 2x − =4)
Nhận xét: Mặc dù số biến đổi đểđặt ẩn phụ ta phải phân tích thành (2x2−x−1 2) ( 2x −4) ðây phương trình tích biết cách giải
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) x x x
8.3 + 3.2 =24 6+
2) 2x2+x−4.2x2−x−22x+ =4
3) 12.3x+3.15x−5x 1+ =20
Ví dụ 2: Giải phương trình: log x( 9 )2 =log x.log3 3( 2x 1+ − )
Nhận xét: Tương tự ta phải biến đổi phương trình thành tích
( )
3 3
log x log 2x 1 log x
− + − =
ðây phương trình tích biết cách giải
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp số khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ ta biến đổi thành tích
Bài 2. Giải phương trình: log x2 +2.log x7 = +2 log x.log x2
DẠNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Sử dụng cơng thức hàm số mũ lơgarit để biến đổi tốn, sau ñặt ẩn số
phụ, quy phương trình ñã cho phương trình đại số (phương trình chứa khơng chứa thức) Sau giải phương trình trung gian ta quy giải tiếp phương trình mũ lơgarit
A - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
● Phương trình αkakx αk 1a(k 1) x αk 2a( k 2) x α1ax α0
− −
− −
+ + + + + = , ta đặt t=ax, t>0
● Phương trình x x
1a 2b
α +α +α = , với a.b=1 Khi ñó ñặt t a , tx bx t
= > ⇒ = , ta phương trình: α1t2+α3t+α2 =0
● Phương trình α1a2x+α2(ab)x +α3b2x =0 Chia hai vế cho 2x
a b ta 2x ñược
2x x
1
a a
0
b b
α +α +α =
, ñặt
x
a
t , t
b
= >
(4)Bài Giải phương trình sau:
1) 4x+ x2−2−5.2x 1− + x2−2 − =6
2) 43 2cos x+ −7.41 cos x+ − =2
3) (26 15 3+ ) (x+2 7+4 3) (x−2 2− 3)x =1
Bài 2. Giải phương trình sau:
1) (2− 3) (x+ +2 3)x =14 3) 3x x
3x x
8
2
2 −
− − − =
2) 5.23 x 1− −3.25 3x− + =7 4) 27x+12x =2.8x
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
● Nếu đặt t=log x, xa ( >0)
k k
a x
1
log x t ; log a , x
t
= = < ≠
● Nếu ñặt t=alog xb t=xlog ab Vì alog cb =clog ab . Bài Giải phương trình sau:
1) log2(4x 1+ +4 log) 2(4x + =1) 4) log log xx 3 log x3 log3 x
+ = + +
2) log4(log x2 )+log2(log x4 )=2 5) log2(x 1+ =) logx 1+ 16
3) ( )
x 25
log 125x log x=1 6) ( 3 ) 9x
3
4
2 log x log
1 log x
− − =
− Bài 2. Giải phương trình sau:
1) log 6.5( x+25.20x)= +x log 25 3)
4 16
log 4x log x
log 2x =log 8x
2) 2
2 x
log x.log (4x ) 12= 4) 2 ( )
3
log x=log x +2
B - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng
PHƯƠNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Ý tưởng sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ só cịn chứa ẩn x Khi thường ta ñược một phương trình bậc theo ẩn phụ có biệt số ∆ số phương
Ví dụ : Giải phương trình: 9x +2 x( −2 3) x +2x 5− =0
HD:ðặt t= *x ( ), ta có: t2+2 x( −2 t) +2x 5− =0 ⇒ t= −1, t= −5 2x Thay vào (*) ta tìm x
(5)Bài Giải phương trình: 9x2+(x2−3 3) x2 −2x2+ =2
Bài 2. Giải phương trình: 42x +23x 1+ +2x 3+ − =16
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 2: Giải phương trình: log32(x 1+ + −) (x log) 3(x 1+ −) 2x+ =6 HD:ðặt t=log3(x 1+ ), ta có: ( )
2
t + −x t−2x+ =6 ⇒ t=2, t= −3 x Suy x= 8, x=2
Bài 1. Giải phương trình: lg2(x2+ +1) (x2−5 lg x) ( 2+ −1) 5x2 =0
Bài Giải phương trình sau:
1) lg x2 −lgxlog2( )4x +2log x2 =0 2) lg x4 +lg x3 −2lg x 9lgx 92 − − =0
C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp chuyển phương trình hệđơn giản. Bài Giải phương trình: 4x2+1+21 x− =2(x 1)+ +1
Bài 2. Giải phương trình: x2 3x x2 6x 2x2 3x
4 − + +4 + + =4 + + +1
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng ẩn phụ cho biểu thức logarit phương trình khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích
Bài 1. Giải phương trình: log x x 12 ( − )2+log xlog2 2(x2− − =x)
Bài 2. Giải phương trình: log x22 −log x2 +log x3 −log xlog x2 =0 Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )
log x log x
2
2+ +x 2− = +1 x
D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4. ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ví dụ : Giải phương trình:
x
x x x 1 x
8 18
2 − +1+2 +2=2 − +2− +2
HD: Viết phương trình dạng x 18 1 x1 x 1 181 x
2 − +1+2− +2=2 − +2− +2, ñặt
x 1 x
(6)Nhận xét: .u v= +u v Từđó ta có hệ:
8 18
u v u v u v u v
+ =
+
= +
Bài 1. Giải phương trình: 22x − 2x+ =6
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )
2
log x− x − +1 3log x+ x − =1
Bài Giải phương trình: 32 lgx− = −1 lgx 1−
Bài Giải phương trình: log+ 2(x2−4x+ +5) log− 2(x2−4x+5)=6 E - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ ẩn x Ta thực bước:
+ ðặt điều kiện có nghĩa cho phương trình + Biến đổi phương trình dạng: f(x; φ(x)) = + ðặt y = φ(x) ñưa hệ: ( )
( ; )
y x f x y
φ
=
=
Chú ý: ðối với phương trình logarít có dạng đặc biệt, phương trình dạng ax b ( )
s
s + =c log dx e+ +αx+β Với d =ac+α;e=bc+β
Cách giải:
- ðiều kiện có nghĩa phương trình:
s dx e
< ≠
+ ≠
- ðặt ay+ =b log dxs( +e) phương trình cho trở thành:
( ) ( ) (1)
( ) (2)
ax b ax b ax b
ay b ay b
s
s c ay b x s acy x bc s acy d ac x e
ay b log dx e s dx e s dx e
α β α β
+ + +
+ +
= + + + = + + + = + − +
⇔ ⇔
+ = + = + = +
- Lấy (1) trừ cho (2) ta ñược: sax b+ +acx=say b+ +acy (3) - Xét hàm số ( ) at b
f x =s + +act hàm số dơn điệu R Từ (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y, (2) ⇔sax b+ =dx e+ (4) dùng phương pháp hàm sốñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4)
Ví dụ: Giải phương trình: 7x 1− =6log7(6x 5− +)
(7)( )
( )
x x
x y
y
7 y 1 6y
6x 6y
y log 6x 6x
− −
− −
−
= − + = −
⇔ ⇒ + = +
− = − = −
Xét hàm số ( ) t
f t =7− +6t suy x=y, Khi 7x 1− −6x+ =5
Xét hàm số g x( )=7x 1− −6x 5+ Nhẩm nghiệm ta ñược nghiệm: x=1, x=2
Bài 2. Giải phương trình sau:
1) log x22 + log x 12 + =1 3)
2
2 2
3log x 1+ =4log x 13log x+ −5
2) lgx 1+ =lg x2 +4lgx+5 4) 3log x 12 + = −4log x 13log x 522 + − Bài Giải phương trình sau:
1) lgx 1+ =lg x2 +4lgx+5 3) 6x =3log6(5x 1− +) 2x 1+
2) 3
2
log x+ =2 3log x−2 4) 3
x + =1 2x 1−
Bài 4. Bài tập rèn luyện Giải phương trình sau:
1) 9x−10.3x + =9 16) ( ) ( )
cosx cosx
5
7
2
+ + − =
2) 4x2 −6.2x2 + =8 17) ( ) ( )
x x
x
2+ + 2− =2
3) x2 x2 x2
15.25 −34.15 +15.9 =0 18) ( ) ( )
x x
4− 15 + 4+ 15 =8
4) (2+ 3) (x+ −2 3)x =4 19) (7 5+ ) (x+ −7 5)x =14.2x
5) x x
5 − +5.0, − =26 20) logx 3x log x 13 + =0
6) x x x
25 −12.2 −6, 25.0,16 =0 21)
4 16
log 4x log x
log 2x =log 8x
7)
1
3
x x
64 −2+ +12=0 22) 1 log+ x 2+ 5=log5(x+2) 8) 4x −4 x 1+ =3.2x+ x 23) ( ) ( )
log log x +log log x − =2
9) 9x−8.3x+ =7 24) ( x ) ( x )
log −1 log + − =3
10) 1.42x 21 13.4x
− + = −
25) log2(9 2− x)= −3 x 11)
1 1
x x x
6.9 −13.6 +6.4 =0 26) log x3 log 3x
+ =
(8)14) 2sin x2 +5.2cos x2 =7 29) 7log225( )5x−1−xlog 75 =0 15) cos2x cos x2
4 +4 =3 30) log x log
25 = +5 4.x
F - Một số tốn (đặc biệt logarrit) ta thường phải đưa phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ sử dụng phương pháp
●Dạng Khác cơ số
Ví dụ: Giải phương trình: log x7 =log ( x3 +2)
ðặt t=log x 7 ⇒ x=7t
Phương trình trở thành ( )
t t
t t t
3
7
t log 7 2
3
= + ⇔ = + ⇔ = +
●Dạng Khác số biểu thức dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( )
2
6
log x −2x− =2 log x −2x 3−
ðặt t=x2−2x 3− , ta có log6( )t 1+ =log t5 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( log x6 )
2
log x+3 =log x
ðặt t=log x6 , phương trình tương ñương
t
t t t t
6 3
2
+ = ⇔ + =
●Dạng logb(x c)
a + =x (ðiều kiện: b= +a c)
Ví dụ 1. Giải phương trình: 4log7(x 3+ ) =x
ðặt ( ) t
7
t=log x+3 ⇒ = +x Phương trình trở thành:
t t
t t
4 3
7
= − ⇔ + =
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2log3(x 5+) = +x 4.
(9)DẠNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
Sử dụng công thức lấy logarit hai vế phương trình với số thích hợp
PHƯƠNG TRÌNH MUÕ
● Dạng 1: f ( x )
a
0 a 1, b
a b
f (x) log b
< ≠ >
= ⇔
=
● Dạng 2: af ( x ) =bg( x ) ⇔ log aa f ( x ) =log ba g( x ) ⇔ f (x)=g(x).log b.a
Bài Giải phương trình sau:
1) xlog x 24 − =23 log x 1( −) 2) xlg x lg x2 3
1
1 x 1 x
+ + =
−
+ − + +
Bài 2. Giải phương trình sau:
1)
4x 3x
2
5
+ +
=
2)
lg x
x =1000x
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
● Dạng 1: log f (x)a b a 1b f (x) a
< ≠
= ⇔
=
.
● Dạng 2: log f (x)a log g(x) a a f (x) g(x)
< ≠
= ⇔
= >
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) logx(x2+4x− =4) 3) logx(x+ =6) 2) log4{2log log 3log x3 2( 2 ) }
2
+ + =
Bài Giải phương trình sau:
1) 2x log
x
2
−
=
3)
2
log (x 1)− =2log (x + +x 1)
2) 2( ) 1( )
log x − =1 log x 1− 4) x+lg(1 )+ x =xlg5 lg6+
Bài 3. Bài tập rèn luyện Giải phương trình sau:
1) x 2x
4.9 − =3 + 2) 3x 2x
2 =3
3) 2x2−2x.3x =1, 5 4) 3x x2 =1
5)
2x x x 1
5 50
−
+ = 6)
x x x 2
3 + =6
7)
3x x x 2
(10)DẠNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HAØM SỐ
● Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng cơng cụđạo hàm)
● Ta thường sử dụng tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khoảng (a;b) ( tồn x0 ∈ (a;b)
cho f(x0) = C nghiệm nhat phương trình f(x) = C)
Tính chất : Nếu hàm f tăng khoảng (a;b) hàm g hàm hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a;b) ( ñó tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương
trình f(x) = g(x))
Tính chất : ðịnh lí Rơn: Nếu hàm số y=f x( ) lồi lõm khoảng ( )a; b phương trình f x( )=0 có khơng qua hai nghiệm thuộc khoảng ( )a; b
Ví dụ 1: Giải phương trình: x+2.3log x2 =3
HD: x+2.3log x2 = ⇔3 2.3lo g x2 = −3 x, vế trái hàm ñồng biến, vế phải hàm
nghịch biến nên phương trình có nghiệm x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x x
6 +2 =5 +3
HD: Phương trình tương đương 6x −5x = −3x 2x, giả sử phương trình có nghiệm α Khi đó: 6α −5α =3α −2α Xét hàm số f t( ) ( )= +t 1α −tα, với t>0 Ta nhận thấy
( ) ( )
f =f nên theo ñịnh lý lagrange tồn c∈( )2;5 cho:
( ) ( ) 1
f ' c = ⇔0 α c 1+ α− −cα− = ⇔0 α =0, α =1, thử lại ta thấy x=0, x=1 nghiệm phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình: −2x2−x+2x 1− =(x 1− )2
HD: Viết lại phương trình dạng 2x 1− + − =x 2x2−x+x2−x, xét hàm số ( ) t
f t = +2 t hàm ñồng biến R (???) Vậy phương trình viết dạng:
( ) ( )
f x 1− =f x −x ⇔ − = x x − ⇔ =x x
Ví dụ 4: Giải phương trình: x x
3 +2 =3x+2
(11)Xét hàm số f x( )= + −3x 2x 3x−2 ⇒ f '' x( )=3 ln ln 2x + x >0 ⇒ ðồ thị hàm số lõm, suy phương trình khơng có q hai nghiệm (ðịnh lí Rơn)
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
x
2 y
2
y 2007
y x 2007
x
e
e
= −
−
= −
−
có hai nghiệm thỏa mãn
x>0, y>0
HD: Dùng tính chất để x=y ñó xét hàm số ( ) x
x
f x 2007
x
e
= + −
−
● Nếu x< −1 f x( )<e−1−2007<0 suy hệ phương trình vơ nghiệm
● Nếu x >1 dùng định lý Rơn với x0=2 f 2( )<0 để suy điều phải chứng minh
Ví dụ 6: Cho a≥ >b Chứng minh rằng:
b a
a b
a b
1
2
2
+ ≤ +
HD: Bất ñẳng thức
a b
a b
a b
a b
1
ln ln
1 2
b ln a ln
2 a b
+ +
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
Xét hàm số ( )
x x
1 ln
2 f x
x
+
= với x>0,
Suy f’ x( )<0 với x>0 nên hàm số nghịch biến với a≥ >b ta có
( )
f(a)≤f b
Bài Giải phương trình sau:
1) 3x+4x =5x 7) 4x − =3x
2) log 12( + x)=log x3 8) ( log x6 )
2
log x+3 =log x
3) xlog 92 =x 32 log x2 −xlog 32 9) 3.25x 2− +(3x 10 5− ) x 2− + − =3 x 0 4) x 32 x+3 12 7xx( − )= − +x3 8x2−19x 12+
5) x( −2)log2(x 3− +) log3(x−2)=15 x 1( + )
6) 5x 4x 3x 2x 1x 1x 1x 2x3 5x2 7x 17
2
+ + + = + + − + − +
(12)1)
x
x 2
2 = +1 4) 25x−2 x 5( − ) x+2x− =7
2) x− = − +x2 8x 14− 5) x.2− x+23 x− − =x
3) log x2 = −3 x 6) ( )
2
2
l og x+ −x log x= −6 2x
Bài 3. Bài tập rèn luyện Giải phương trình sau:
1) 4x +9x =25x
2) (x+2 log) 32(x 1+ +) (4 x log+ ) 3(x 1+ − =) 16 3) 9x+2 x( −2 3) x+2x− =5
4) x+log x( 2− − = +x 6) log x( +2)
5) (x+3 log) 32(x+ +2) (4 x+2 log) 3(x+ =2) 16
DẠNG MỘT VÀI BÀI KHƠNG MẪU MỰC Bài Giải phương trình: 4x−2.2x +2 2( x −1 sin 2) ( x+ − + =y 1)
HD: phương trình x x ( x ) ( x )
4 −2.2 +2 −1 sin + − + =y
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
x x x x x
2
x x x
x x
x
2 2 sin y sin y cos y
2 sin y cos y
2 sin y cos y
⇔ − + − + − + + − + + − =
⇔ − + + − + + − =
− + + − =
⇔
+ − =
Bài Giải phương trình: sinx 1+sinx ( ) y
4 −2 cos xy +2 =0
HD: phương trình sinx 1+sinx ( ) y
4 −2 cos xy +2 =0
( ) y ( )
sinx
2 cos xy 2 cos xy
⇔ − + − =
Ta có sinx ( )
2 cos xy
− ≥
( ) ( )
y
y
2
2
cos xy cos xy
≥
⇒ − ≥
≤
Do 2sinx−cos xy( )2+2y −cos2( )xy ≥0 Vậy phương trình ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
sinx sinx
y y
2 cos xy cos xy
2 cos xy cos xy
− = =
⇔ ⇔
− = − =
(13)( )
( ) ( )
y
2
y
2
2 y
cos x.0 cos xy
= =
⇔ ⇔ ⇔ =
=
=
Thay vào (1) ta ñược x=kπ
Bài Giải phương trình:
( )
2x 2x
2
8
2
log 4x 4x
+ + − =
− + HD: Ta có ( )2
4x −4x+ =4 2x 1− + ≥3 nên ( )
log 4x −4x+ ≥4 Suy
( )
3
8
8
log 4x −4x+4 ≤ (1)
Mặt khác 22x 1+ +23 2x− ≥2 22x 1+.23 2x− =2 22x 2x+ + − =8 (2) Bài Giải phương trình: log3(x2+ + −x 1) log x3 =2x−x2
HD: ðiều kiện x>0 Phương trình log3(x2+ + −x 1) log x3 =2x−x2
( )2
1
log x 1 x
x
⇔ + + = − − +
Ta có
● x x 1 log3 x 1
x x x
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥
● − −(1 x)2+ ≤1 Vậy phương trình
( )
2
1
log x 1
x x 1
1 x 1
+ + =
⇔ ⇔ =
− − + =
Nhận xét: Bài tốn tương đương giải phương trình 2
2
1 x x x x
x
−
+ + =
Bài Giải phương trình: log2( x 4) log3 x
− + = +
−
HD: ðiều kiện x>2
● x− + ≥2 4 ⇒ log2( x− + ≥2 4)
● Với x>2 ta có x 1 1
x x
− ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤
− −
3
1
log
x
⇒ + ≤
−
(14)HD: ðiều kiện − 2≤ ≤x
Phương trình ⇔ x.2( − x)(x 2 x− + − 2)=0 *( ) Ta có
3
x 2
x≤ ⇒ x.2 ≤ 2.2 < 2.2 =4 Do ( )* ⇔ − + x 2 x− =0
Bài Giải phương trình: 2
2
5x+ 6x − −x x log x=(x −x) log x+ +5 6+ −x x
HD: ðiều kiện x 02 x
6 x x
>
⇔ < ≤
+ − ≥
Phương trình ( )( ) ( )
2
x log x x x x *
⇔ − + − + − =
Do x≤3 ⇒ x log x2 ≤3log 32 <log 322 =5 ⇒ x log x 5( 2 − <) Khi ( )* ⇔ ( 6+ −x x2 + −1 x)=0
Bài Giải phương trình: 3sin x2 +3cos x2 =2x+2−x+2
HD: Phương trình 2
x -x
2
sin x sin x 2 2
3− 2
⇔ + = + +
( )( )
2
2
2
2
x -x 2sin x
2
2
sin x
sin x sin x x -x
2
sin x
3
4 2
3
3 3
2
3
+
⇔ − = + −
− −
⇔ = −
Ta có sin x2
0≤sin x≤1 ⇒ 3≤ ≤3 Do VT≤ ≤0 VP
Bài Giải phương trình: log cot x3 =log cos x2
HD: ðặt log cot x3 =log cos x2 =t, ta có
2 t
t t
t
2 t t
t
cos x
cos x cos x
4
cot x cot x sin x
3 cos x 0, cot x cos x 0, cot x
cos x 0, cot x
=
= =
= ⇔ = ⇔ =
> > > >
> >
2 t
2 t
t t t
cos x
cos x 1
cos x
4 t
3
cos x 0, cot x cos x 0, cot x
cos x 0, cot x
=
=
=
⇔ + = ⇔ = − ⇔
> > > >
> >
π
x k2π
3
⇔ = +
(15)Bài 10 Giải phương trình: 3x2−2x3 =log2(x2+ −1) log x.2 HD: ðiều kiện x>0
ðặt f x( )=3x2−2x , g x3 ( )=log2(x2+ −1) log x2
● Ta có f x( )=3x2−2x ⇒ f ' x( )=6x 6x ; f ' x− ( )= ⇔ =0 x 0, x=1 Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến (0,1) nghịch biến (1,+∞) Suy
(0,+∞), maxf x( ) ( )=f =1 hay f x( )≤ ∀ >1, x
● Ta có ( ) ( )
2
2 2
x 1
g x log x log x log log x
x x
+
= + − = = +
Với x>0, ta có
( ) 2
1
x côsi log x log
x x
+ ≥ => + ≥ =
Suy g x( )≥ ∀ >1, x Vậy phương trình
( )
2
2
2
3x 2x
log x log x
− =
⇔
+ − =
Bài 11 Giải phương trình: 2x 1− −2x2−x =(x − )2
HD: phương trình ⇔ 2x 1− + − =(x 1) 2x2−x+(x2−x)
ðặt u= −x 1; v=x2−x.Khi phương trình có dạng 2u+ =u 2v +v Xét hàm số f t( )= +2t t, hàm ñồng biến liên tục ℝ
Vậy phương trình ( ) ( )
f u f v u v x x x x
⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ =
Bài 12 Giải phương trình: 2009x +2011x =2.2010x
HD: Gọi x m0 ột nghiệm phương trình cho Ta ñược
( )
0 0 0 0
x x x x x x x
2009 +2011 =2.2010 ⇔ 2009 −2010 =2010 −2011 * Xét hàm số F t ( ) =tx0 − +(t 1)x0 Khi đó (*)⇔ F 2009( ) (=F 2010)
Vì F(t) liên tục [2009, 2010 có ] đạo hàm khoảng (2009, 2010 , ) theo định lí Lagrange tồn c∈(2009, 2010) cho
( ) ( ) ( ) x0 ( )x0
0
0
x
F 2010 F 2009
F' c x c c
x
2010 2009
−
− =
−
= ⇔ − + = ⇔ =
−
Thử lại x0 =0, x0 =1 thấy Vậy nghiệm phương trình x0 =0, x0=1
Nhận xét: Bài toán tương tự
(16)2) 4log x3 +2log x3 =2x ðặt u
u=log x ⇒ x=3 Phương trình ⇔ 4u+2u =2.3u
Lưu ý: Bài tốn ta sử dụng định lí Lagrange: Nếu hàm số y= f x( ) liên tục ñoạn [ ]a b có ; ñạo hàm khoảng ( )a b t; ồn ñiểm c∈( )a b; cho
( ) ( ) ( )
' f b f a
f c
b a − =
−
Bài 13 Giải phương trình:
2
2
x x
log x 3x
2x 2x
+ + = − +
− +
HD:ðặt u=x2+ +x 1; v=2x2−2x+3 u( >0, v>0) Suy
v u− =x − +3x Phương trình cho trở thành log3u v u log u3 log v3 v u
v= − ⇔ − = −
3
log u u log v v
⇔ + = +
Xét hàm số f t( )=log t3 +t Ta có f (t)' 1 0, t t.ln
= + > ∀ > nên hàm sốñồng biến t>0 Do phương trình ⇔ f u( ) ( )=f v suy u=v hay v u− =0 tức
2
x − + = ⇔ =3x x 1, x=2 Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=2
Lưu ý: Với phương trình dạng loga , ( 0, 0, 1)
u
v u u v a
v = − > > > ta thường biến ñổi
logau−logav= − ⇔v u logau+ =u logav+v Vì hàm số f t( )=logat+t ñồng biến t>0 Suy u=v
Bài 14 Giải phương trình: cos x sinx
2 +2 =3
HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: tα + −( )1 t α ≤1 với t>0, α∈[ ]0,1 Từ phương trình suy ra: s inx, cos x∈[ ]0,1 Suy x k2π; π k2π
2
∈ +
Theo Becnuli: 2cos x+ −(1 cos x) ≤1
( )
sinx
2 + −1 sinx≤1 Suy 2cos x +2sinx ≤(s inx+cos x)+2
Suy 2cos x +2sinx ≤min(s inx+cos x)+2=min s inx( +cos x ) +2 Mà: s inx( +cos x)=1 với x k2π; π k2π
2
∈ +
Do cos x sinx
2 +2 ≤3 Dấu ''='' xảy chi sinx cosx
=
=
sinx cosx
=
=
(17)x k2π π
x k2π
2
=
⇔
= +
(18)
Ta dùng phương pháp biến ñổi như ñối với giải phương trình sử dụng các cơng thức sau
HÀM SỐ MŨ ● 0< <a
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
a a f x g x a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤ (nghịch biến) ● a>1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
a a f x g x a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥ (đồng biến) HÀM SỐ LOGARIT
● log f x có ngha ( ) ĩa
( )
0 a f x
< ≠
⇔
>
● log f xa ( )=b ⇔ f x( )=ab
● a ( ) a ( ) ( ) ( )
f x g x log f x log g x
0 a
=
= ⇔
< ≠
● 0< <a
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x f x g x log f x log g x f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤ (nghịch biến) ● a>1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x f x g x log f x log g x f x g x
> ⇔ < >
≥ ⇔ < ≥ (ñồng biến)
Tổng quát ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a
log f x log g x f x 0; g x a f x g x >
> ⇔ > >
− − >
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a
log f x log g x f x 0; g x a f x g x >
≥ ⇔ > >
− − ≥
(19)1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Ví dụ Giải bất phương trình:
x x x 2x
3
3
− − − ≥
Lời giải:
- ðiều kiện: x≤0 hc x≥2
- Khi bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với
2 x x 1
x 2x
3 − ≥3− − ⇔ x −2x ≥ − −x x 1 (1)
+ Nếu x≤0 x 1− = −1 x, bpt ( )
1 ⇔ x −2x ≥2x 1− (đúng x ≤ 0)
+ Nếu x≥2 x 1− = −x 1, bpt ( )1 ⇔ x2−2x ≥1
2 x
x 2x
x
≤ −
⇔ − − ≥ ⇔
≥ +
- Kết hợp với điều kiện ta đợc x≥ +1
Ví dụ Giải bất phương trình: logx(5x2−8x+ >3) Lời giải:
- Bất phơng trình tơng đơng với
2 2
2
2
2
0 x
0 x x 1 3
x 1
5x 8x x 4x 8x 2 2 x
2
5x 8x 3
x x
x x
5
x
x x
5x 8x x
1
4x 8x
x x
2
< <
< < < <
< <
− + < − + < <
− + >
⇔ ⇔ < ∨ > ⇔ < ∨ > ⇔
>
> >
− + >
− + >
< ∨ >
3 x
2
<
>
Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng logf x( )g x( )>a, ta xét hai trờng hợp số ( )
0< f x <1 và1< f x( )
Ví dụ Giải bất phương trình: 3(log x3 )2 +xlog x3 ≤6 Lời giải:
- ðiều kiện: x>0
- Ta sử dụng phép biến đổi ( ) ( )
2 3
3 3
log x
log x log x log x
3 = =x Khi bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng
víi xlog x3 +xlog x3 ≤ ⇔6 xlog x3 ≤3
- LÊy lôgarit số hai vế, ta đợc: ( log x3 )
3 3
log x ≤log ⇔ log x.log x≤1 log x( 3 )2 1 log x3 1 x
3
⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
- Vậy phơng trình có nghiệm x
(20)Ví dụ Giải bất phương trình:
1 2x
log log
1 x + > +
Lời giải:
- Bất phơng trình tơng đơng víi
2
2
1 2x 2x x
log
x x
1 x x x
x
1 2x 2x x
log
1 x x x
+ +
> > >
< − ∨ >
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
+ + − > −
< < <
+ + +
- Vậy x>0 nghiệm bất phơng trình
BÀI TẬP
Giải bất phương trình sau:
1)
2 0,7
x x
log log
x + < +
2) log3x x− 2(3 x− )>1
3) 2( ) ( ) ( ) ( )
1 5 5 25
5 25
log x 5− +3log x 5− +6 log x 5− −4 log x 50 2− + ≤0
2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ Giải bất phương trình:
x x x x 2.3 + − ≤ − Lời giải:
- ðiều kiện x≠0
- Chia tử mẫu cho x
2 , ta ñược:
x x x
x x x
3
2
2.3 2
1
3 3
1 + − − ≤ ⇔ ≤ − −
- Đặt ( )
x
3
t , t
= < ≠
Khi bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với
2t t 1−− − ≤
x
3
t 3
0 t 3 x log
t
−
⇔ − ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
- Vậy bất phơng trình có nghiệm
2
0< ≤x log
Ví dụ Giải bất phương trình: ( ) ( )
3
4 2
2 2
2
x 32
log x log log log x
8 x
− + <
Lời giải:
- iu kin x>0
- Bất phơng trình tơng đơng với
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ] [ ] ( )
1
3
4 2
2 2 2
2
4 2
2 2 2
2
4
2 2
x 32
log x log log log x
8 x
log x log x log log 32 log x log x log x 3log x log x log x
− −
⇔ − + <
⇔ − − + − <
(21)- Đặt t=log2( )x , bất phơng trình tơng đơng với
4 2
2
t 13t 36 t
1
3 log x
3 t x
2 log x
2 t
4 x
− + < ⇔ < <
− < < −
− < < − < <
⇔ ⇔ ⇔
< <
< < < <
- Vậy bất phơng trình có nghiệm 1, ( )4,8
8
∪
Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 2x 10 x x x
5 − − − −4.5 − <5+ −
Lời giải:
- Đặt x
X=5 − 0, Y> =5 x− >0
.Khi bất ph−ơng trình có dạng
2
X
4X 5Y
Y − < (1)
- Do Y>0 nªn
( ) 2 2 ( )( )
x x
1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y X Y X 5Y
X 5Y X 5Y 5 x x x x
− + −
⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − <
⇔ − < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < + − ⇔ − < −
- Bất phơng trình tơng đơng với hai hệ sau
( ) x
I x
x
− ≥
⇔ ≤ <
− <
( ) ( ) ( )2
x x 6 x 6
II x 18
x 21x 54 x 18
9 x x
− ≥
≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
− + < < <
− > −
- Vậy bất phơng trình cã nghiƯm lµ: 2≤ <x 18
BÀI TẬP
Giải bất phương trình sau:
1) ( ) ( )
x x
x
1
5
4
+ + − =
2) 22 ( )
2
log x+log x − >3 log x −3
3) 32x −8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ >0
3 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ Giải bất phương trình: log5(3+ x)>log x4
Lời giải:
- ðiều kin x>0
- Đặt t=log x x=4t, bất phơng trình trở thành ( )
t
log 2+ >t
t t t
t
3
3
5
⇔ + > ⇔ + >
- Hµm sè ( )
t t
3
t
5
f = +
nghịch biến f ( )1 =1
(22)- Vậy bất phơng trình cã nghiƯm lµ: 0< <x
Ví dụ Giải bất phương trình:
2
2
x x
log x 3x
2x 2x
+ + > − +
− +
Lời giải:
- §Ỉt u=x2+ +x 1; v=2x2−2x+3 u( >0, v>0) Suy v− =u x2−3x+2
- Bất ph−ơng trình cho t−ơng đ−ơng với
( )
3 3 3
u
log v u log u log v v u log u u log v v
v = − ⇔ − = − ⇔ + > +
- XÐt hµm sè ( ) '( )
1
t log t t, ta co: t 0, t t ln
f = + f = + > ∀ > nªn hàm số đång biÕn
t>0 Tõ (1) ta cã f u( ) ( )>f v ⇔ > u v
2
2
x x 2x 2x x 3x
x
⇔ + + > − +
⇔ − + < ⇔ < <
- Vậy bất phơng trình có nghiệm là: 1< <x
Lưu ý:
1. Víi bÊt phơng trình dạng logau<logbv, ta thờng giải nh sau:
Đặt t=logau (hoặc t=logbv) đa bất phơng trình mũ sử dụng chiều biến thiên
hàm số
2. Với bất phơng trình dạng logau v u logau u logav v
v < − ⇔ + < + Ta xÐt hµm sè ( ) loga
f t = t+t đồng biến t>0, suy f u( )< f v( ) ⇔ <u v
BÀI TẬP
Giải bất phương trình sau:
1) log6(3 x+x x)≥log x64 2) 2.2 3.3x+ x >6x −1
3) 16x− <3x 4x+9 x
4. PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐỒ THỊ
Ví dụ Giải bất phương trình: x x log
5 x 0
2 3x
+ − <
− +
Lời giải:
- Bất phơng trình tơng đơng với hai hÖ
( ) x
5 x
log
I x
2 3x
+
>
−
− + <
vµ ( )
x
5 x
log
II x 3x
+
<
−
− + >
- Gi¶i hƯ (I)
+ log5 x x 2x 0 x
5 x x x
+ > ⇔ + > ⇔ > ⇔ < <
− − −
+ 2x <3x 1− , ta vẽ đồ thị hai hàm số y=2x y=3x 1− hệ trục toạ độ
(23)- Gi¶i hƯ (II) +
5 x
5 x
5 x x
log 0 2x x
x x
5 x x
5 x
− < <
− < <
+ +
< ⇔ < < ⇔ ⇔ ⇔ − < <
< ∨ >
− − − <
+ x
2 >3x 1− ⇔ < x x>3 - Do hệ (II) có nghiệm − < <5 x
- VËy bÊt phơng trình có nghiệm ( 5, 0) (1, 3)
BÀI TẬP
Giải bất phương trình sau:
1 x x
2 2x
0
− −
+ ≤
−
5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 2( )
1
log x log
x
− + ≤ +
−
Lời giải:
- §iỊu kiƯn x≥2
- Ta cã nhËn xÐt sau:
+ x− + ≥ ⇔2 4 log2( x− + ≥ ⇔2 4) VT≥2
+ x x 1 x 1 1
x
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤
−
1
8 log VP
1
x x
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
− −
- Vậy bất phơng trình có nghiệm VT x x
VP x
= − =
⇔ ⇔ =
= =
- Vậy bất phơng trình có nghiệm nhÊt x =
Ví dụ Giải bất phương trình: logxlog9(3x−9)<1 Lời giải:
- §Ĩ log9(3x−9) cã nghÜa, ta cÇn cã
x x
3 > ⇔ >3 ⇔ > x
- Với điều kiện bất ph−ơng trình cho t−ơng đ−ơng với
( )
( )
9 x x
9
x
3x log 3x
3 9
log 3x x >
− >
− > ⇔
− <
− <
- Đặt 3x =t, t( >0), ta cã hÖ x
t 10
t 10 x log 10 t t
>
⇔ > ⇔ > ⇔ >
− + >
Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 5x+ 6x2− −x3 x log x4 2 >(x2−x log x) 2 + +5 6+ −x x2
Lời giải:
- ðiều kiện: x 02 x
6 x x
>
⇔ < ≤
+ − ≥
- Bất ph−ơng trình cho t−ơng đ−ơng với ( )( ) ( )
2
(24)( ) 2
0 x 0 x 3 5
* x
2x 3x
6 x x x
< ≤
< ≤
⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− − >
+ − + − <
- VËy nghiƯm x
2< ≤
Ví dụ Giải bất phương trình: 4x x+ − > +4 (x2−x 2) x +x.2x 1+ x−
Lời giải:
- ðiều kiện: − 2≤ ≤x (1)
- Bất phơng trình tơng đơng với (4 x.2 x)(x 2 x− + − 2)>0 (2)
- Tõ (1) ta cã
3
x 2
x≤ 2⇒x.2 ≤ 2.2 < 2.2 =4 Do (2) t−ơng đ−ơng với
2
2 x
2 x x x 2 x
− ≤ ≤
⇔ − > −
− + − >
(3)
- (3) tơng đơng với hai hệ sau
+ ( )
2
2 x
I : x
1 x − ≥
⇔ < ≤
− <
+ ( )
( 2) ( )2 2
x
1 x x 1
II : 7 x
5x 2x
4 x x x
5
≤
− ≥
≤
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− − <
− > − − < <
- VËy tËp nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng trình x 1;
Vớ d 5. Giải bất phương trình:
( ) ( )
2
1
log x 1+ >log 2x−
Lời giải:
- ðiều kiện:
1 x
0 x 1 x
2
0 2x 1 x
x 0;1
− < ≠
< + ≠ − < <
⇔ ⇔
< − ≠ ≠ <
≠
● log2(x + 1)> ⇔ + > ⇔ >0 x 1 x
● log2(3 2x− )> ⇔ −0 2x> ⇔ <1 x
- Ta cã b¶ng xÐt dÊu
- Từ ta có tr−ờng hợp sau
+ TH1: Víi − < <1 x VT<0, VP>0 suy bất phơng trình vô nghiệm
+ TH2: Vi 0< <x VT>0, VP>0 Khi bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với
( ) ( )
2
log x 1+ <log 2x − ⇔ − 2x> + ⇔x 0< <x log2(3-2x)
x
-1
- + +
+ + -
(25)+ TH3: Víi x
< < th× VT>0, VP<0, bÊt phơng trình có nghiệm với x
< <
- VËy tËp nghiƯm cđa bất phơng trình x \ 1{ }
2
< <
Lưu ý: Víi bÊt phơng trình dạng 1
logau logbv
> , ta th−êng gi¶i nh− sau:
+ Lập bảng xét dấu logau logbv tập xác định bất ph−ơng trình
+ Trong tập xác định logau và logbv cùng dấu bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng
víi logau<logbv
Ví dụ 6. Trong nghiệm (x; y ) bất phơng trình logx2+2 y2(2x+y)≥1, chØ c¸c
nghiƯm cã tỉng (2x + y) lín nhÊt
Lời giải:
- Bất phơng trình tơng đơng với hai hệ sau
( )
2
2
0 x 2y
I : 2x y x 2y 2x y < + <
+ ≤ +
+ >
vµ ( )
2
2
x 2y
II :
2x y x 2y + >
+ ≥ +
- Râ rµng nÕu (x; y ) nghiệm bất phơng trình tỉng (2x + y) lín nhÊt chØ x¶y
nã lµ nghiƯm cđa hƯ ( )II
( )
( )
2
2
x 2y
II 1 9
x 2y
8 2
+ >
⇔
− + − ≤
- Ta cã 2x y x 1( ) 2y
4
2 2
+ = − + − +
- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai số x 1; 2y
2
− −
vµ
1 2;
2
, ta đợc
( ) 1 ( )2 9 81
2 x 2y x 2y
2 16
2 2 2
− + − ≤ − + − + ≤ =
( )
9 1 9
2 x 2y 2x y
4 2
⇔ − ≤ − + − ≤ ⇔ < + ≤
- Dấu ''='' xảy
9 2x y
2
x
9
2x y 2y
x
2 2 y
2
2
2
+ =
=
+ = ⇔ − ⇔
− =
=
- Víi x 2, y
2
= = thoă mÃn bất phơng trình 2
(26)- VËy c¸c nghiƯm bất phơng trình nghiệm 2;
lµ nghiƯm cã tỉng (2x + y)
lín nhÊt b»ng
2
BÀI TẬP
Giải bất phương trình sau:
1) logx(log3(9x −72))≤1
2) ( )
( )
3 a
a
log 35 x log x
− >
− với 0< ≠a 1 3)
( )
2
1
3
1
log x log 2x −3x 1+ > +
4) Trong nghiệm (x; y ) bất phơng tr×nh logx2+y2(x+y)≥1 T×m nghiƯm cã tỉng
(x + 2y) lín nhÊt
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Giải bất phương trình sau:
1) ( ) ( )
x x
x x
10 10
+ −
+ −
− < + (Học viện GTVT năm 1998) 2)
( )
2
1
3
1
log x log 2x −3x 1+ > +
(ðH Quốc gia TPHCM 1999)
3) 1+ log4(2x2+3x+2)>log2(2x2+3x+2) (ðH Thuỷ lợi 1999) 4) log x2 +log x3 < +1 log x.log x2 (ðH NT 1998) 5) log3 2x
1 x
−
<
−
(ðH SP Vinh 1998)
6) logx x
− ≥
(ðH Huế 1998)
7)
x log x
5
−
< (ðH ngân hàng TPHCM 1998)
8) ( )
3 1
3
1
log x 5x log x log x
− + + − > − (ðH Bách khoa Hà Nội)
9) ( )
( )
2
2
log x 9x log x
− +
<
− (ðH Tổng hợp TPHCM 1964)
10) log x x
− ≥
(ðH Huế 1998)
11) ( x x)
2
(27)12) ( )
( )
3
log a 35 x log a x
− >
− (ðH Y DƯỢC TPHCM)
13) x x x
8 2+ + −4 +2+ >5
14) 15.2x 1+ + ≥1 2x − +1 2x 1+ 15)
2
1
x x
1
3 12
3
+
+ >
16) x x x
2.14 +3.49 −4 ≥0
17) ( ) ( )
x x
x
5
− −
+
+ ≥ −
18) 5( x+24)− 5x− ≥7 5x+7
19) ( ) ( )
x x
x x
10 10
− +
− +
+ < −
20) (2+ 3) (x+ +7 3)(2− 3) (x >4 2+ 3)
21) ( ) ( )
2x 2x
2 3+ 11 − + 3− 11 − ≤4
22) 5x+ −2x2 +3x > 3x.5 5x−x + −2x2 +9 5x2 −x
23) −3x2−5x+ +2 2x > 2x.x −3x2−5x+ +2 4x 32 x
24) 2 3
log log x− <3
25) logx(log9(3x−9))≤1
26) ( x ) ( x )
5 5
log +144 −4 log log< + − +1
27) ( ) x
x
2 3 2
log + +2 2.log + 3− >0 28) log 64 log 162x + x2 ≥3
29) ( )
2
2 x
1 1
log x log
2 + − < +12 64
30)
( ) ( )
3
1
log x log 2x 3x
>
+
− + 31) log(− −3x 5)4 log− (− −6x 2)16≥0
32) ( )
2
lg x 3x 2 lg x lg
− +
> +
33) ( ) ( )
2
2
2
log x log x x 3x
+ − +
>
− −
34) (2 x2 7x 12) ( 14x 2x2 24 log) x
x x
+ − + − ≤ − − +
35) ( )
( )
2
2
log x 9x log x
− +
< −
(28)37) 2x2+1+cos x.log2(x+ ≥6) cos x+2 logx2 2(x+6) 38)
1
x x
6
1
log 3.4 2.9 log
x
− −
+ + =
39) 22 1 ( 4 )
2
log x+log x − >3 log x −3 40)
2
1
4 x
log log
x
>
− −
41) log2( x2+ −3 x2− +1) log x2 ≤0
42) 25( ) 1( )
5
1
2 log x log log x
2x 1
− ≥ −
− −
43) ( ) ( )
4
log 2x +3x+ + >2 log 2x +3x+2
44)
( )
2 log2x
2 x
log log
1
1
−
+ +
≥
45) ( ) ( )
2
log x −5x+ + +5 log x −5x+ ≤7
46) x2
4x log
x 2
−
≥
−
47) ( x ) ( x )
5 5
log +144 −4 log log< + − +1
48) ( )
x
log 5x −18x 16+ >2
49) log4(2x2+3x+2)+ >1 log2(2x2+3x+2)
50) 2+ 1+ −3 x−4 x− +21+ −3 x >5
51) 2
3
2
x x x x
x 2x
log log
2x x
− − + −
+ +
>
+ +
52) log 12( + x)>log x3
53) x+ 2(2x 1− +22 x− )>3x2+22 x− +2x 1−
54) x ( ) x ( ( ) x)
2 + + 5x +11 2− −x <24 x 1− − x −9 2−
55) 2x x x x
3 −8.3 + + −9.9 + ≥0
56) log2(log x3 )≤log5(log x7 )
57) log9(3x2+4x+ + >2) log 3x3( 2+4x+2) 58)
1 2
2 2
log x log x log x
3 x+ >6x
(29)1 PHƯƠNG PHP BIN I TNG NG
- Đặt điều kiƯn cho c¸c biĨu thøc hƯ cã nghÜa
- Sử dụng phép để nhận đ−ợc từ hệ ph−ơng trình theo ẩn x y (đơi l theo
cả hai ẩn x y)
Ví dụ Giải hệ phương trình: 14( ) 2
1 log y x log
y
x y 25
− − =
+ =
Lời giải:
- ðiều kiện: y y x
>
>
- Với điều kiện hệ tơng đơng với log4(y2 x)2 log y4
x y 25
− − + =
+ =
( ) ( )
4
2
2 2
2
4x x
y
log y log y x y y x x
x y 25 x y 25 4x 4x
x 25 y
3 3
= =
= − = − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = + =
+ = =
+ Víi x=3 suy y=4 (tmđk)
+ Víi x= −3 suy y= −4 (kh«ng tmđk)
- VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) ( )= 3;
Ví dụ Giải hệ phương trình:
x y x y
2 12 18
=
=
Li gii:
- Lôgarit số hai vế hai phơng trình hƯ ta 2
2
x y.log log x.log y 2.log
+ = +
+ = +
đây hệ phơng trình bËc nhÊt hai Èn
- Ta cã 2
2
1 log
D log
log
= = − ≠
2 2
x
2
2 log log
D 2 log
1 log
+
= = −
+
2
y
2
1 log
D log
log log
+
= = −
+
(30)- Suy hÖ cã nghiÖm
x
y
D
x
D D
y
D
= =
= =
Ví dụ Giải hệ phương trình:
( )
3
2 2
2 log y log x log y log x log
= +
= −
Lời giải:
- ðiều kiện: x>0, y>0
- Hệ phơng trình tơng đơng với
3
2
2
2 log y log x log y
log x log
= +
= −
3 2
3
2 log y log x log x x
log y log x log y y
= + = =
⇔ ⇔ ⇔
= − = =
- Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) ( )= 9;
Ví dụ Giải hệ phương trình:
2 4
3 9
4 16 16
log x log y log z log y log x log z log z log x log y
+ + =
+ + =
+ + =
Lời giải:
- ðiều kiện: x>0, y>0, z>0
- Khi hệ phương trình cho tương ñương
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
4
4 4
2 2
9 9
2 2 2 4
16 16 16
16
log x yz x yz
log x log y log z
log y log x log z log xy z xy z
log z log x log y log xyz 2 xyz 4
= =
+ + =
+ + = ⇔ = ⇔ =
+ + = = =
- Từ suy ( )4 4 4
xyz =2 =24 xyz>0 nên xyz=24 Từ suy
2 27 32
x ; y ; z
3
= = =
Ví dụ Tìm k để hệ bất phương trình có nghiệm:
( )
3
3
2
x 3x k (1)
1
log x log x 1 (2)
2
− − − <
+ − ≤
Lời giải:
- Tõ bất phơng trình (2) hệ suy (x )3 > ⇔ >0 x
( )2 ⇔ log x2 +log2(x 1− ≤ ⇔) log2x x( − ≤ ⇔1) x x 1( − ≤ ⇔ < ≤) x
- Víi 1< ≤x th× ( )1 ⇔ x 1( − )3−3x<k - XÐt hµm sè f ( ) (x = x 1− )3−3x víi 1< ≤x
( ) ( )
' x 3x 6x, ' x x x
f = − f = ⇔ = ∨ =
(31)Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy k≥ −5
BÀI TẬP
Giải hệ phương trình sau:
1)
( )2
9
x y
3log 9x log y
− + − =
− =
2) ( ) ( )
x y y x
2
4 32
log x y log x y
+ = − = − + 3)
( )2
9
x y
3log 9x log y
− + − =
− =
4)
( )
( ) ( )
x y x y
2
1
3
log x y log x y
− − = − + − =
5) ( ) y
3
3 x x 1
x y log x
− + − = + = 6) 3x x x
x
2 5y 4y
4 y 2 + = − + = + 7) 8
log y log x
4
x y
log x log y
+ =
− =
8)
y x x x 2y 10
− = + + = 9)
x y
log x log y
− + =
− =
10)
( 2)
2
4
log x y
2 log x log y
+ = + = 11) x y
2 64
x y
=
+ =
12) ( )
x y
5
3 1152
log x y
− = + = 13)
x y 12 x y 12
x y y x + + = =
2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHUẽ
- Đặt điều kiện cho biểu thøc hÖ cã nghÜa
- Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu hệ đại số biết cách giải
- Ta thường ñặt biến:
(x ) ( y) u a v b f g = =
ðể ñưa hệ với biến x, y thành hệ với biến u, v thường gặp (ðối xứng loại 1, loại 2, ñẳng cấp )
Ví dụ Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2
5
9x 4y
log 3x 2y log 3x 2y
− =
+ − − =
Lời giải:
-3 x
-∞ +∞
y’ + - - + y
-5 -∞
(32)- ðiều kiện: 3x 2y 3x 2y > − >
- Hệ tơng đơng với ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
3x 2y 3x 2y log 3x 2y log 3x 2y
+ − = + = − - Đặt t=log5(3x+2y)=log33 3x( 2y), suy
t t
3x 2y 3x 2y 3−
+ =
− =
- Thay vào phơng trình (1) hệ ta đợc 3t t = ⇔5 15( )t =15 ⇔ = t
- Do ta có hệ 3x 2y x
3x 2y y
+ = =
⇔
− = =
(tmđk)
Lưu ý: Víi hệ phơng trình dạng ( ) ( )
[ ] [ ]
2
a a
x x k
log (x) (x) log (x) (x)
f g
f g f g
− =
+ = −
, thông thờng ta giải
theo hớng: Đặt t=logaf ( ) ( )x +g x =logaf ( ) ( )x −g x , suy f ( ) ( )x +g x =at vµ
( ) ( ) t
x x a
f −g = Thay vào phơng trình đầu hệ ta tìm ®−ỵc t Ví dụ Giải hệ phương trình:
( ) ( )
log x log y log log
5 7x 5y = =
Lời giải:
- ðiều kiện: x>0, y>0
- LÊy logarit theo số 10 hai vế ta đợc
(l og log x log 7log x.log 5) log y.log 7(log log y log 5) =
+ = +
- Đặt u=logx, v=logy Khi hệ có dạng u.log v.log 72 2
u.log v.log log log
− =
− = −
- Ta có D log log log log 52
log log
−
= = −
−
( 2 )
u 2
0 log
D log log log
log log log
−
= = −
− −
( 2 )
v 2
log
D log log log
log log log
= = −
−
- DƠ thÊy D≠0 nªn hƯ cã nghiƯm nhÊt
u
v
D
u log
D D
v log
D = = − = = −
, suy
1 x y = =
- VËy hÖ cã mét nghiÖm
1 x y = =
Ví dụ Giải hệ phương trình: ( )
3
3 log
log xy 2
4 xy (1) x y 3x 3y 12 (2)
= +
+ − − =
Lời giải:
(33)- NhËn xét alog cb =clog ab , phơng trình (1) tơng ®−¬ng víi ( ) 3 log xy log xy
2 = +2 - Đặt t=2log xy3 t( >0) ta cã t2 2 t t2 t 2 0 t loai( )
t = −
= + ⇔ − − = ⇔
=
- Víi t=2 th× log xy3 =1hay xy=3
- Biến đổi phương trỡnh(2) thành ( ) ( ) ( )
( )
2 x y
x y x y 18
x y
+ =
+ − + − = ⇔
+ = −
- Nh− vËy, ta cã hai hÖ x y
x.y
+ =
=
vµ
x y
x.y + = − =
- VËy hÖ cã hai nghiÖm (3− 6; 3+ 6) vµ (3+ 6; 3− 6)
BÀI TẬP
Giải hệ phương trình sau:
1) 2
2
5log x 3log y 10 log x log y
− =
− = −
2)
( )
27 27 27
3
3
log xy 3log x.log y 3log x
x log
y log y
= =
3) 2
3 3
x log log y y log x x log 12 log x y log y
+ = +
+ = +
4)
8
log y log x
4
x y
log x log y
+ = − = 5) x y
2
x y
+ = + = 6) 3
log x log y log x log y
+ − = − − = − 7)
y x
x y
3
4 6.3
+
− =
− + =
8)
x y
2
y
log y log x x 3x y 20 log x
+ = − − = + 9) 2 2x 2x y y y 2x y
4
2 3.2 16
− + + + − + = − = 10)
2cot x siny sin y 2cot x
9
9 81
+ = − =
11) logy xy log yx
2x 2y
=
+ =
12)
x lg y x 3lg y
+ =
− =
3 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ Giải hệ phương trình:
x y
2
x y (1) x
log log 4y 10 (2) e e − = − + =
Lời giải:
- ðiều kin: x, y>0
- Phơng trình ( ) x y ( )
1 ⇔ e − = −x e y
- XÐt hµm sè ( ) t
t e t
f = liên tục với t>0 Mặt khác f ' t( )= − >et víi mäi t>0,
do hàm số f( )t đồng biến t>0
- Phơng trình (3) viết dới dạng f ( )x = f( )y ⇔ = x y
- Thế x=y vào phơng trình (2) đợc log2 x log 24x3 10
(34)( )
2 2
log x 2 3log x 10 log x
⇔ − + + = ⇔ =
- VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt (x; y) (= 2; )
Ví dụ Giải hệ phương trình: ln x(2 ) ln y(2 ) x y (1) 2x 5xy y (2)
+ − + = −
− + =
Lời giải:
- ðiều kiện: x> −1, y> −1
- Phương trình (1) hệ đợc viết lại dới dạng: ln x( + − =) x ln y( + −) y 3( )
- XÐt hµm sè f ( )t = ln t( )+ −t, víi t∈ − +∞( 1; ) Ta cã ' t( ) 1 t
1 t t
f = − = −
+ + Ta thÊy
( )
' t t
f = ⇔ = Hàm số f( )t đồng biến (−1; 0) nghịch biến (0;+∞) - Ta có ( )3 ⇔ f ( )x = f ( )y Lúc x=y xy<0
+ NÕu xy<0 vế trái (2) dơng Phơng trình không thoả mÃn
+ Nếu x=y, thay vào phng trỡnh (2), ta đợc nghiệm hệ x= =y
Lu ý: Khi gặp hệ phơng trình dạng ( ) ( ) ( )
x y
x,y
f f
g
=
=
Ta cã thể tìm lời giải theo hai
hớng sau
Hướng 1: Phương trình ( )1 ⇔ f( ) ( )x f y =0 tìm cách ®−a vỊ phương trình tÝch
Hướng 2: Xét hàm số y= f ( )t ta th−ờng gặp tr−ờng hợp hàm số liên tục tập xác định
cña nã
+ Nếu hàm số y= f( )t đơn điệu, từ (1), suy x=y
+ Nếu hàm số y= f( )t có cực trị t=a thay đổi chiều biến thiên lần
qua a Tõ (1) suy x=y hc x, y n»m vỊ hai phÝa cđa a
Ví dụ Chøng minh r»ng víi mäi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm nhÊt
( ) ( )
x y
ln x ln y (1) y x a (2)
e e
− = + − +
− =
Lời giải:
- ðiều kiện: x> 1, y>
- Rút y từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta đợc phơng trình
( ) x a x ( ) ( )
x ln x ln a x
f =e + − +e + − + + =
( ) x ( a ) ( a )
' x
1 x a x
f =e e − + >
+ + + , khi a>0 vµ x> −1
- Vậy f ( )x hàm số liên tục, đồng biến (− + ∞1; ) Mặt khác ( )
xlim→−1f x = −∞; ( )
xlim+ f x = + nên phơng trình f( )x =0 cã mét nghiÖm (− + ∞1; ) VËy hƯ
ph−ơng trình cho có nghiệm với a>0
Lưu ý: Học sinh dễ mắc sai lầm thấy hàm số đồng biến kết luận ph−ơng trình f( )x =0
(35)Ví dụ Giải hệ phương trình: ( )
( )
2
2
log x log 3y log y log 3x
+ =
+ =
Lời giải:
- ðiều kin: x; y>0
- Hệ tơng đơng với ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
2
log x log y log 3y log 3x log x log 3y
+ − + = −
+ =
- Phơng trình (1) tơng ®−¬ng víi log2 x+ +3 log 3x3( )=log2 y 3+ +log 3y 33( ) ( )
- XÐt hµm sè f ( )t =log2 t+ +3 log 3t3( ) liên tục với t>0
Mặt khác ' t( ) ( )1 0, t
2 t t.ln
f = + > ∀ >
+ f ( )t đồng biến với t>0
Ph−ơng trình (3) viết d−ới dạng f( )x = f ( )y ⇔ = x y Khi hệ t−ơng đ−ơng với
( ) ( )
2
x y
log x log 3x
=
+ =
- Gi¶i (4): Đặt u=log2 x+ =3 log 3x3( )
Suy
u u
u
u u u
u
x x
x
x 3 3.4
3x
− −
+ = + = =
⇔ ⇔
= + =
=
Ph−¬ng tr×nh
u u
u u
3 3.4
4
+ = ⇔ + =
NhËn thÊy hµm sè ( )
u u
3
u
4
f = +
hàm liên tục, nghịch biến với u∈ℝ vµ
( )1
f = Víi u>1 th× f( )u <3 Víi u<1 th× f ( )u >3
- Vậy phơng trình có nghiệm nhÊt u=1, suy x=1vµ y=1
- VËy hƯ cã mét nghiÖm (x; y) ( )= 1;
Ví dụ Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
2
3
3
3
x 2x 6.log y x y 2y 6.log z y z 2z 6.log x z
− + − =
− + − =
− + − =
Lời giải:
- ðiều kiện: x, y, z<6
- Hệ phơng trình tơng đơng với
( )
( )
( )
3 2
3 2
3 2
x
log y (1)
x 2x y
log z (2)
y 2y z
log x (3)
z 2z
− =
− +
− =
− +
− =
− +
(36)- NhËn xÐt ( )
2
x x
x 2x
f =
− + hàm đồng biến (vì ( ) ( )
6 x
' x
x 2x x 2x
f = − >
− + − +
víi x<6) cßn g( )x =log3(6 x− ) hàm nghịch biến với x<6
- Nếu (x, y, z ) nghiệm hệ phơng trình ta chứng minh x= =y z Không tổng
quát giả sử x=max x, y, z( ) cã hai tr−êng hỵp:
+ x≥ ≥y z (1) suy f ( )x ≥ f ( )y ≥ f ( )z nªn log3(6− ≥y) log3(6 z− ≥) log3(6 x )
Mặt khác g( )x hàm giảm nên x z y. (2) Từ (1) (2) ta cã x= =y z
+ x≥ ≥z y Tơng tự ta lại có x= =y z
- Ph−ơng trình f( ) ( )x =g x có nghiệm x=3 Vậy hệ cho có nghiệm
(x, y, z) (= 3, 3, )
Lưu ý: Nếu hệ ph−ơng trình ba ẩn x, y, z khơng thay đổi hốn vị vịng quanh i vi x, y, z
thì không tính tổng quát giả thiết x=max(x y z, , )
Ví dụ Hãy xác định số nghiệm hệ phương trình ẩn ( )x, y sau ( )
( ) 3
3
x y 29 log x.log y
+ =
=
Lời giải:
- DƠ thÊy, nÕu ( )x, y lµ nghiƯm hệ x>1, y * > ( )
- Đặt log x3 =t, t>0 * ( ( )) Khi đó, x=3t từ ph−ơng trình (2) có t
y=2 V× thÕ, tõ
phơng trình (1) ta có phơng trình ẩn t sau:
1 t t
9 + =8 29 (3)
- DƠ thÊy sè nghiƯm cđa hệ số nghiệm dơng phơng trình (3)
- XÐt hµm sè ( )
1 t t
t 29
f = + − trªn (0;+∞) Ta cã ( )
1 t t
2
8 ln ' t ln
t
f = − Trªn (0;+∞),
hàm số t
y=8 ln y 12 t
= hàm nghịch biến nhận giá trị dơng Vì thế,
khoảng đó,
1 t
2
8 ln y
t
= − hàm đồng biến (0;+∞) Suy f ' t( ) l hm ng bin trờn
(0;+) Hơn nữa, ' ' 1( ) 18 ln ln 2( 256)(ln 27 ln16)
2
f f = − − <
nên tồn t0( )0;1
sao cho f ' t( )0 =0 Do đó, ta có bảng biến thiên sau hàm f ( )t khoảng (0;+∞)
- Từ đó, với l−u ý f( )1 = − ≤12 0, suy phương trỡnh (3) có nghiệm d−ơng Vì
vËy, hƯ cã tÊt c¶ nghiÖm
f(1)
t t0 1 +∞
f’(t) - +
f(t)
+∞
f(t0)
(37)BÀI TẬP
Giải hệ phương trình sau:
1) ( )
2 x y 2x y x y 2
1
x y
− − + − + + = + + = 2) ( ) ( ) 3
log sin x log 3cos y log cos y log 3sin x
+ =
+ =
3) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
log x log y log y log x
+ − = − + + − = − + 4) x y
2 2x y 2y x
+ = + + = + 5) x y 2
3 y x
x xy y 12
− = −
+ + =
4 PHƯƠNG PHÁP KHÁC
Ngồi cách giải nói trên, giống nh− ph−ơng trình, bất ph−ơng trình mũ lơgarit ta đánh giá hai vế, sử dụng bất đẳng thức, dùng đồ thị để giải bất ph−ơng trình, ph−ơng pháp sử dụng điều kiện cần đủ
Ví dụ Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )
( )
2
x y log y log x xy xy 3y
− = − +
− + =
Lời giải:
- ðiều kiện: x>0, y>0
- Xét phơng trình thứ hệ
+ Nếu x>y log y2 <log x2 suy VP<0, VT>0 Do hệ vơ nghiệm
+ Nếu x<y log y2 >log x2 suy VP>0, VT<0.Do hệ vơ nghiệm
+ VËy x=y lµ nghiệm phơng trình (1)
- Khi ú hệ t−ơng đ−ơng với
2
x y x y
x y x y
x
xy 3y x 3x x y
x = = = = = ⇔ ⇔ = ⇔ − + = = = − + = =
- VËy hÖ cã hai nghiÖm: ( ) ( )1;1 , 2;
Ví dụ Tìm m ñể hệ sau có nghiệm ( ) ( )
( ) 2
x y
log x y x 2y m
+ + ≥ + =
Lời giải:
- Tr−ớc hết ta biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M(x, y) tho (1) Ta thy (1)
tơng đơng với hai hÖ sau:
( )
2 2
2
2
x y
x y
I : 1 1 1
x y x y x y
2 2
+ >
+ >
⇔ + ≥ + − + − ≤
( ) 2 2
2 2
x y x y
II : x y x y
x y x y 1 1 1
x y
2 2
+ > + >
< + < ⇔ < + <
(38)- Từ suy chúng đ−ợc biểu diễn
miền gạch hình bên (trong đólấy
biªn đờng tròn tâm O1 bán kính
2
vàkhông lấy biên đờng tròn tâm O
bán kính 1) Điểm A giao điểm
đờng thẳng x+ =y với đờng tròn
2
x +y =1 vµ chó ý A giao điểm
phớa di nờn suy toạ độ
2
x , y
2
= = Đờng thẳng x+2y=m
đi qua điểm A m
2
= − Áp dụng điều kiện để đ−ờng thẳng tiếp xúc với đ−ờng tròn ta
ph¶i cã
2
5
m
2
= − +
Do tiÕp tuyÕn phÝa trªn, nªn ta lÊy
3 10 m
2
+
= Từ suy để
đờng thẳng x+2y=m cắt miền gạch ta phải có m 10
2
+
− < ≤
Ví dụ Tìm m ñể hệ có nghiệm nhất ( ) ( ) ( ) x y
2
2 y x m x y m
− = − +
+ =
Lời giải:
● ðiều kiện cần
- NÕu hƯ cã nghiƯm (x ; y0 0) th× (−x ; y0 0) nghiệm Cho nên hệ có nghiệm nhÊt
th× x0 = − x0 hay x0 =0
- Khi hệ t−ơng đ−ơng với ( )
( ) y
2
1 y y m − =
=
- Từ ph−ơng trình (4) suy y≥0 Do 2− y ≥0 ⇒ 2y ≤ =1 ⇒ y≤0
- Với y=0 m=0 Đó ®iỊu kiƯn cÇn
● ðiều kiện đủ
- Giả sử m=0, dó hệ có dạng: ( )
( )
x y
x y
2
2 x y
2 y x
x y
x y
− = − + = +
⇔
+ =
+ =
- Giải (5) xét hàm số ( ) t
t t
f = + đồng biến liên tục ℝ Do ph−ơng trình (5) viết
lµ f ( )x = f ( )y ⇔ x =y
- Khi hệ có dạng 2x y x y
x y
=
⇔ = =
+ =
lµ nghiƯm nhÊt cđa hƯ
- VËy víi m=0 th× hƯ cã nghiƯm nhÊt
x+2y=
2
−
x+y=0 x+2y=
2 10 3+
(39)BÀI TẬP
Giải hệ phương trình sau:
1) ( )( )
x y
2
2
log y log x xy
x y
e e − = − + + = 2)
( 2 )( )
3
x y log y log x xy
x y 16
− = − + + = 3) x y
2
x y
+ ≤
+ ≥ −
4) ( )
2
4
x 8x 12 log 2 y 1
4
y 3 y y 1
− + − − = − − − + ≥
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Giải hệ phương trình sau:
1) ( )
( )
x y
log 6x 4y log 6y 4x
+ =
+ =
2)
( )
( )
4
4
4 y x
4 x y
x y
8 x y
− − + = + − = 3)
( ) x
x log y
2y y 12 81y
+ =
− + =
4)
( ) ( ) x y
log x 2x 3x 5y log y 2y 3y 5x
+ − − = + − − = 5) ( ) y log y y.x x
log y.log y 3x
x
=
− =
6)
( ) ( ) 2 y
x 2
x y
2 y x
3
2 x y
2 + + + − = − + + = 7) ( ) ( )
x 2x log y
3
4 y y y
− − − − +
=
− − + + ≤
8) 9( )2 3
x y
3.log 9x log y
− + − = − = 9) y x y 2log x
log xy log x
y 4y
= = + 10) ( ) ( ) x y
log y
log 2x
− −
− >
− >
- HẾT -
GIA SƯ ðỨC KHÁNH
0975.120.189 0563.602.929