[r]
(1)đề thi chọn đội tuyển học sinh gii lp 9
năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng )
Bài ( điểm ): Cho ®a thøc: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x
1/ Phân tích f(x) thành nhân tử
2/ Chứng minh với giá trị nguyên x f(x) + có giá trị số phơng
Bài ( 1,5 điểm ): Cho phơng trình ẩn x:
2
2
7
x b x
a x
x x
; víi x 1; x 2
Tìm a b để phơng trình có nghiệm số thực khác v
Bài ( điểm ): Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thøc B = x + y + z; biÕt r»ng x; y; z số thực thoả mÃn điều kiÖn y2 + yz + z2 = -
2 3x2
Bài ( 3,5 điểm ): Cho hình vng ABCD ( AB = a ), M điểm cạnh BC Tia Ax vng góc với AM cắt đờng thẳng CD K Gọi I trung điểm đoạn thẳng MK Tia AI cắt đờng thẳng CD E Đờng thẳng qua M song song với AB cắt AI N
1/ Tứ giác MNKE hình ? Chøng minh 2/ Chøng minh: AK2 = KC KE.
3/ Chứng minh điểm M di chuyển cạnh BC tam giác CME ln có chu vi không đổi
4/ Tia AM cắt đờng thẳng CD G Chứng minh 2 12 AG
AM không phụ thuộc vào vị trí ®iĨm M
Bµi ( ®iĨm ): Cho a; b; c số thực thoả mÃn điều kiÖn: abc = 2008 Chøng minh r»ng:
1 2008
2008 2008
2008
ca c
c b
bc b a
ab
a
- Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:
- Họ tên, chữ ký ngời coi thi: ………
Chú ý: Ngời coi thi không đợc giải thích thêm.
đáp án, biểu điểm mơn tốn
kỳ thi chọn đội tuyển học sinh gii lp 9
năm học 2008 - 2009 ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng )
Bài 1: 2 điểm; Mỗi câu điểm.
Câu 1: Lần lợt phân tích để có kết f(x) = x ( x + )( x + )( x + )
C©u 2: Từ kết câu ta có:
+ A = f(x) + = x( x + )( x + )( x + ) + = ( x2 + 3x )( x2 + 3x + ) +
( 0,25 ®iĨm ) + Đặt x2 + 3x = t; ta có A = t( t + ) = t2 + 2t + = ( t + )2
(2)+ Do x Z nên t = x2 + 3x x Z; ( t + )2 Z ( t + )2 số
ph-¬ng
( 0,25 ®iĨm ) + KL:
( 0,25 ®iĨm )
Bài 2: 1,5 điểm.
+ Với x 1; x 2 ta cã:
) )( ( ) ( ) ( ) )( ( 2
1
x x
b a x b a x x b bx a ax x b x a
( 0,25 điểm ) + Do
2 x b x a x x x
víi mäi x 1; x 2
) )( ( ) ( ) ( ) )( ( x x b a x b a x x x
víi mäi x 1; x 2
4x – = ( a + b )x – ( 2a + b ) víi mäi x 1; x 2
7 2 4 b a b a
( 0,75 điểm ) + Từ tính đợc a = 3; b =
( 0,25 ®iĨm ) + KL:
( 0,25 ®iĨm )
Bài 3: điểm
+ Ta có y2 + yz + z2 = -
2 3x2
2y2 + 2yz + 2z2 = – 3x2
3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = ( )
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = 2
( x + y + z )2 + ( x – y )2 + ( x – z )2 = 2
( 1,0 ®iĨm ) + Do ( x – y )2
0; ( x – z )2 nªn tõ ( * ) suy ( x + y + z )2
Hay - 2xyz
( 0,5 điểm ) + Dấu = xảy x – y = vµ x – z = hay x = y = z
Thay vào ( ) đợc 9x2 = 2; x =
3
2 ; x = -
2
( 0,25 ®iĨm ) + KL: Víi x = y = z = -
3
2 th× B = -
Víi x = y = z =
3
2 th× max B =
( 0,25 ®iĨm )
(3)N
E I
G K
B A
D C
M
C©u 1: 0, 75 ®iÓm.
+ Từ MN // AB // CD MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE
( 0,25 điểm ) + Chỉ tam giác AMK vuông cân A để có AE KM ( 0,25 điểm )
+ Tứ giác MNKE hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với nên MNKE hình thoi ( 0,25 điểm )
C©u 2: 0, 75 điểm.
+ Từ tính chất hình vu«ng cã ACK = 45 0 ( 0,25
®iĨm )
+ Chứng minh hai tam giác AKE CKA đồng dạng, suy ĐPCM ( 0,5 điểm )
Câu 3: 1, điểm.
+ Từ hai tam giác ABM ADK ta có MB = DK nªn EK = MB + ED ( 0,25 ®iĨm )
+ Tam giác AMK vng cân A có MI = IK nên AI trung trực MK ME = EK ( 0,25 điểm ) + Từ ME = MB + ED, suy ME + CM + CE = 2a ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Câu 4: 1, điểm.
+ Tam giác AMK vuông cân A nên AM = AK;
2
1
AG
AM = 2
1
AG
AK ( 0,25 điểm ) + Tam giác AKG vuông A nên AK AG = KG AD = dt AKG, AK2
AG2 = KG2 AD2 ( 0,25 điểm )
+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 AD = a nªn ta cã
AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay
2 2
2
2 1
.AG a AK
AG AK
, suy
2
1
AG
AK =
a
( 0,25 ®iĨm ) + KL: ( 0,25 ®iĨm )
Bµi 5: ®iĨm.
+ Đặt vế trái đẳng thức cần chứng minh A + Từ abc = 2008 suy a; b; c khác
( 0,25 ®iĨm )
+ ë ph©n thøc thø nhÊt ta thay 2008 bëi tÝch abc; giữ nguyên phân thức thứ hai; nhân tử mÉu cđa ph©n thøc thø ba víi b ta cã:
A =
2008 2008 2008
2008 2008
2008
bc b
b bc b
bc bc b
bc b b
bc
(4)