Đang tải... (xem toàn văn)
Gäi K lµ giao ®iÓm cña AN vµ CM.[r]
(1)§Ị thi chän häc sinh giái líp Môn: Toán
(Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (3 điểm)
a) Cho biểu thức A 2a b2 2b c2 2a c2 a4 b4 c4
Chứng minh a, b, clà cạnh tam giác A>0
b) Chứng minh r»ng a5 a 30 (a Z ) C©u 2:(2 điểm)
Giải phơng trình x2 2xy y 3x 2y 2x x 3x Câu 3(1,5 điểm)
Cho a3 b3 2
Chøng minh r»ng a b 2
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đờng chéo AC BD cắt O Một đờng thẳng d qua O song song với đáy cắt cạnh bên AD, BC lần lợt E F Chứng minh 1
ABCD EF
Câu 5 (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN=CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác AKC
-Hết -Giám thị coi thi không giải thích thêm
Họ tên thí sinh SBD:.
Hớng dẫn chấm
§Ị thi chän häc sinh giái líp năm học 2007-2008
Môn: Toán
(2)Câu Nội dung Điểm
1
a) A 2a b2 2b c2 2a c2 a4 b4 c4
= 4a b2 2- (2a b2 2 2b c2 2 2a c2 2a4b4c )4
=(2ab)2- (a2 b2 c )2
= (2ab 2
a b c )(2ab-a2 b2c2)
= (a b) 2 c2 c2 (a b) 2= (a b c)(a b c)(c a b)(c a b)
Do a, b,c cạnh tam giác nên
a b c 0; a b c 0; c a b 0; c a b 0 A 0
b) a5 a a(a4 1) a(a 1)(a2 1)= a(a 1)(a 1) (a 2 4) 5
=a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 5a(a 1)(a 1)
Do tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho năm số nguyên liên tiếp có ba số nguyên liên tiếp mà tích chúng chia hết cho vµ (6;5)=1 Suy a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 30 vµ 5a(a 1)(a 1) 30 VËy a5 a 30
0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25
2
3
x2 2xy y 23x 2y 2x x 3x 2
(x y 1) x (x 1)(x 2) 2x 4 (1)
Do (x y 1) x (x 1)(x 2) 0 x, y 2x 0 2(x 2) 0 x 2
Víi x 2 th× (x y 1) x (x y 1) x 2; (x 1)(x 2) x2 3x 2
Khi từ phơng trình (1) (x y 1) 2 x 2+(x 1)(x 2) =2(x 2) (x y 1) 2=
(x 2)(2 x 1) = (x 2)2
(x y 1) 2+(x 2) 2=0 x 0 vµ x y 0 x 2; y 3 ( thoả mÃn)
Vậy tập hợp nghiệm phơng trình S= 2;3
Giả sử a b 2 (a b)3 23 a3 b3 3ab(a b) 8
2 3ab(a b) 8 (do a b 23 )
3ab(a b) 6 ab(a b) 2 ab(a b) >a3 b3 (do a3 b3 2) ab(a b) >(ab)(a2 abb )2 ab a2 ab b2
a2 2ab b 2 0 (a b) 0
(v« lý ) VËy ab 2
0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25
0,5 0,5 0,5
4
(3)XÐt ABD cã OE//AB OE OD
AB DB
(Hệ định lý Ta lét) (1)
XÐt ABC cã OF//DC OF OB
CD BD
(Hệ định lý Ta lét) (2)
XÐt ABC cã OF//AB OF OC
AB AC
(Hệ định lý Ta lét) (3)
XÐt ABD cã OE//DC OE AO
DC AC
(Hệ định lý Ta lét) (4)
Tõ (1), (2), (3) vµ (4) suy : OE
AB
+OF
CD+ OF AB+ OE DC= OD DB+ OB BD+ OC AC+ AO AC OE AB+ OF AB+ OF CD+ OE DC= OD DB+ OB BD+ OC AC+ AO AC EF AB+ EF DC= BD BD+ AC AC EF AB+ EF
DC=2 AB+ DC= EF O A D B C E F 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5
KỴ DI, DJ lần lợt vuông góc với AK, CK Ta cã AND
1
S AN.DI
2
= ABCD
1 S
2 ( chung đáy AD, chiều cao hạ từ N) (1)
CDM
S CM.DJ
2
= ABCD
1 S
2 ( chung đáy CD, chiều cao hạ từ M) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1AN.DI
2 =
1
CM.DJ
2 DI=DJ (do AN=CM)
DIK DJK
(c¹nh hun-c¹nh góc vuông) IKDJKD KD tia phân giác AKC
0,25 0,5 0,5 0,25
(4)
l K A
B
D
C
N M
J