Đề thi HSG môn Toán 12 năm học 2019 - 2020 có đáp án Sở GD & ĐT Hải Phòng

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12

Năm học 2019 – 2020

ĐỀ THI MƠN:TỐN – BẢNG KHƠNG CHUYÊN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài (2,0 điểm)

Cho hàm số  2 2019

y x x  m xm  Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng 0;

Cho hàm số 2

mx m

y

x

  

 có đồ thị  C Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng d y:  x cắt  C hai điểm phân biệt A B, cho góc hai đường thẳng

OA OB

45 Bài (2,0 điểm)

Giải phương trình lượng giác sau  

  

1 2sin cos

3 2sin sin

x x

x x





 

Giải hệ phương trình sau tập số thực

2

2

3 2

4 1

x y x y y

x x y x

     

 

     



Bài (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có ABa AC; 2 ;a AA'2a góc BAC 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC'

Chứng minh MB vng góc với A M'

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BM'  theo a

Bài (1,0 điểm) Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác 0 , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác

Bài (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính

BD Gọi H K, hình chiếu vng góc A đường thẳng BD CD Biết  4;6 ;

A đường thẳng HK có phương trình 3x4y 4 0; điểm C thuộc đường thẳng d1:x  y điểm B thuộc đường thẳng d2:x2y 2 0; điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm

B C

Bài (1,0 điểm) Cho dãy số  un xác định

1

2

, ,

2

n n

u

u

u  n n

  



 

   

 

Hai dãy số    vn , wn xác định sau: 1n ; 1 ,2 3 ,

n n n n

v  u w u u u u  n n Tìm giới hạn limvn; limwn

Bài (1,0 điểm) Cho số thực dương a b c, , Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

3 3

3

4a 3b 2c 3b c P

a b c

  



 

………HẾT……… (Cán coi thi khơng giải thích thêm)

BÀI Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM

Bài

(2,0 điểm) a

Cho hàm số Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng

(1,0đ) TXĐ: D ; y'x22x m 2

Hàm số đồng biến khoảng 0;  y'  0, x 0; 0,25

   

2

2 0, 0; 2, 0;

x x m x m x x x

                0,25

Xét hàm số      

2 2; ' 2; '

g x   x x g x   x g x   x

x   

'

g x + -

 

g x

0,25

Từ bảng biến thiên

       

0;

, 0;

x

m g x x m Max g x m

 

          0,25

Cho hàm số 2

mx m

y

x

  

 có đồ thị  C Tìm tất giá trị

 

 

3 2

1

2 2019

3

y x x  m xm 

Phương trình hoành độ giao điểm:

 

2

2, 2 mx m x x x         

2 ,

x mx m x

       x x m        0,25

d cắt  C hai điểm phân biệt

1 1

1 2

2 m m m m             

  0,25

Gọi A1; ;  B 2m1; 2m3 OA1; ;  OB2m1; 2m3

0

.cos 45

OA OB OA OB  2 8m216m108m216m 6 2 m m         0,25

Kết hợp điều kiện, ta

m

m 0,25

Bài

(2,0 điểm) a Giải phương trình lượng giác sau

 

  

1 2sin cos

3 2sin sin

x x

x x





  (1,0đ)

ĐK:

2

2 , , ,

2

x k

x m k m n

x n                       0,25

 

cos sin sin 2sin cos sin sin cos

Pt x x x x

x x x x

    

    0,25

2 18

sin sin ,

6

2

x k

x x k

x k                                0,25

Kết hợp điều kiện Pt có nghiệm ,

18

x  k  k 0,25

b

Giải hệ phương trình sau tập số thực

2

2

3 2 (1) 1 (2)

x y x y y

x x y x

ĐK:

0;

y x  x  y

Từ phương trình  1 ta có

 

2

2

3

2 2

2

y y

x y y x

x x

      

 

Suy 2 2

y

y x

x     

0,5

Thay vào phương trình  2 ta có

4x 1 2x 1

Đặt  

3

4

0

u x

u

v x

  

 



 



Hệ phương trình cho trở thành

2

1

0

u v u

v

u v

  

 

  

  



0,25

Ta có:

3

1

4 1 2

9

4 x x

x y

  

  

 

 

 

 

 



(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm 9;

 

 

 

0,25

Bài

(2,0 điểm) a

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có ABa AC; 2 ;a AA'2a 5 và góc BAC

120 Gọi M trung điểm cạnh CC' a) Chứng minh MB vng góc với A M'

(1,0đ)

Áp dụng định lí cosin tam giác ABC

2 2

2 cos 7

BC AB AC AB AC BAC a BC a

      

Trong tam giác 2 2

' ' : ' ' ' '

A C M A M A C C M  a

Trong tam giác BAA A B' : '  AB2A A' 21a2 Trong tam giác BCM BM: BC2 CM2 12a2

0,5

Ta có: A M' 2MB2 A B' 2 tam giác A BM' vuông M

N M

C'

B'

A

B

C A'

Gọi A M' AC N d A A BM , ' d A A BN , '  Kẻ AKBN ,KBN

Kẻ AH A K H' , A K'

 

 , ' 

d A A BN AH

 

0,5

Chứng minh CM đường trung bình tam giác A AN' '

A M MN

  có BM A N'  tam giác A BN' cân B

' 21

BN A B a

  

Diện tích tam giác ABN là:

1

.sin

2

ABN

a

S  AB AN BAN  AK BNAK 

0,25

Ta có: 2 12 2 362

' 20

a AH

AH  AK  A A  a  

Vậy:  , ' 

a

d A A BM 

0,25

Bài (1,0 điểm)

Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác 0 , lẫy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy ra có mặt ba chữ số khác

(1,0đ) Ta có: Số phần tử khơng gian mẫu  là: n  95 0,25 Gọi A biến cố: “Trong số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số

khác nhau”

Số cách chọn chữ số phân biệt a b c, , từ chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 

3

C

Xét số thỏa mãn yêu cầu toán tạo thành từ chữ số a b c; ; Có hai trường hợp sau xảy

TH1: Một chữ số có mặt lần; chữ số cịn lại có mặt lần:

Có tất cả: 3.5! 60 3! số

0,25

TH2: Hai chữ số có mặt hai lần, chữ số cịn lại có mặt lần: Có tất cả: 5! 90

2!.2! số

0,25 Số kết thuận lợi biến cố A là: n A   60 90  C93 12600

Xác suất biến cố A là:    

  14006561 0, 2134

n A p A

n

  



0,25

Bài (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Gọi H K, hình chiếu vng góc A đường thẳng BD CD. Biết A 4;6 ; đường thẳng HK có phương trình 3x4y 4 0; điểm C thuộc đường thẳng d1:x  y và điểm B thuộc đường thẳng

2: 2 0;

d x y  điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm B C.

Gọi EACHK

Tứ giác AHKDnội tiếp HADHKC Tứ giác ABCD nội tiếpABD ACD Tam giác ABD vuông AABDHAD Vậy HKC ACD hay tam giácECK cân tạiE

Vì tam giácACK vng K nênE trung điểm củaAC

0,25

Ta có C d1 C c ;2c 8;

2

c c

E   

  

Vì EHK nên tìm c 4 C4;  

0,25

: 4

KHK x y  nên gọi K4 ;3t t1 4 4;3 7

AK t t

   ;CK(4t4;3t1)

Ta có: AKCKAK CK 0

25t 50t

   

1 t t

    

  

Vì hồnh độ điểm K nhỏ ( ;4 2) 5

K 



0,25

BCcó phương trình: 2x y 100

2

BBCd B(6;2) Kết luận: B  6; ;C 4; 2 

0,25

Bài (1,0 điểm)

Cho dãy số  un xác định

1

2

, ,

2

n n

u

u

u  n n

  



 

   

 

Hai dãy số    vn , wn xác định sau:

 

4 1n ; , ,

n n n n

v  u w u u u u  n n Tìm giới hạn

(1,0đ) E

K

H D

B

A

Chọn 0;   

 sao chocos  1

Khi ta có

1 cos

cos cos

2

u   u    

( Do 0;   

  nên cos2 

)

Tương tự ta có

1 cos cos u     

Bằng quy nạp ta chứng minh 1 cos cos 2 n n n u        0,25

Suy

1

4 (1 ) os 2sin

2

n n n

n n n n

v  u   c   

 

Vậy

2

2 2

sin

lim lim 2sin lim 2

2 n n n n n v                        0,25

Ta có 1 2 cos 1.cos 2 cos os

2 2

n n n n

w u u u      c 

1

1

2 sin os os os c os

sin

2 2

2 sin sin

2

n

n n n

n n

n n

c c c

               0,25 Suy 1

sin sin sin

lim lim lim

2

2 sin sin

2 2 n n n n n

w    

                              0,25 Bài (1,0 điểm)

Cho số thực dương a b c, , Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

 

3 3

3

4a 3b 2c 3b c P

a b c

  



 

(1,0đ) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 3

3b c2b c , dấu “=” xảy  b c Ta chứng minh:  

3 3

(1) , 0,

b c

b  c   b c

Thật vậy:

   3 3 3 2 2 3   2

1 4 b c b 3b c3bc  c b c b c  0,b0,c0 Dấu “=” xảy  b c

Áp dụng BĐT ta được:

 

   

3

3

3

4

1

4 4 1 ,

4

b c a

P t t

a b c

 

   

  với ,  0;1

a

t t

a b c

 

 

0,25

Xét hàm số   3 1 3

4

4

f t  t  t với t 0;1

Có:    2  

1

3

' 12 ; '

1

3

t

f t t t f t

t

  

     

   

Bảng biến thiên:

t

5  

'

f t - +  

f t

25

0,25

Từ bảng biến thiên suy ra:   25

P f t 

Dấu “=” xảy 1

5

b c

a b c

a a b c

  

   

    

Vậy giá trị nhỏ P

25 2a b c

0,25

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II Khoá Học Nâng Cao HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

- - - - -