Van dung phuong phap day hoc kham pha trong day hocbat dang thuc o truong THPT

Các hoạt động khám phá được trình bày trong chương này chủ yếu được tiến hành thông qua các câu gợi mở, hướng dẫn của giáo viên. Qua đó học sinh không những có được lời [r]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

––––––––––––––––––––

ĐẶNG KHẮC QUANG

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC

BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT Chuyên ngành: Lí luận Phƣơng pháp dạy học Toán

Mã số: 60.14.10

CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI:

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

PGS.TS Bùi Văn Nghị

Ngƣời phản biện:

Phản biện 1: Nguyễn Anh Tuấn Phản biện 2: Cao Thị Hà

Luận văn đƣợc bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Họp trƣờng Đại học sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên

Vào hồi 15 giờ, ngày 25 tháng 10 năm 2009

Có thể tìm hiểu luận văn

THAI NGUYEN UNIVERSITY

THAI NGUYEN TEACHER TRAINING COLLEGE ––––––––––––––––––––––––––––

DANG KHAC QUANG

APPLYING TEACHING METHOD OF DISCOVERY WITH GUIDING IN TEACHING INEQUALITY

AT HIGH SCHOOL

Limited speciality: Argument and Teaching Method Code: 60.14.10

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

–––––––––––––––––––––––––

ĐẶNG KHẮC QUANG

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––

ĐẶNG KHẮC QUANG

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT

Chuyên ngành: LL&PP DẠY HỌC TOÁN Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU Trang

1 Lý chọn đề tài

2 Giả thuyết khoa học

3 Mục đích nghiên cứu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Cấu trúc luận văn

Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Dạy học hoạt động khám phá có hướng dẫn

1.1.1 Khái quát

1.1.2 Tổ chức hoạt động học tập khám phá

1.1.3 Điều kiện thực

1.2 Các hoạt động hoạt động thành phần

1.2.1 Khái quát

1.2.2 Phát hoạt động tương thích với nội dung 12

1.2.3 Phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần 13

1.2.4 Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích 14

1.3 Các quy trình giải toán theo bốn bước Polya 15

Kết luận chƣơng 1 22

Chƣơng VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT 23

2.1 Khám phá vận dụng bất đẳng thức biết 23

2.2 Khám phá hàm số chứng minh bất đẳng thức 34

2.3 Khám phá ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức 51

2.4 Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện 64

2.5 Khám phá sai lầm lời giải sửa chữa 75

Kết luận chƣơng 2 84

Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 86

3.1 Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sư phạm 86

3.2.Các giáo án thực nghiệm sư phạm 87

3.3 Kết thực nghiệm sư phạm 103

Kết luận chƣơng 3 105

KẾT LUẬN 106

Lời cảm ơn

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS - TS Bùi Văn Nghị,

tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

- Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên

- Các thầy giáo Viện Toán học Việt Nam, trường ĐHSP Hà Nội, trường ĐHSP Thái Nguyên, hướng dẫn học tập suốt trình học tập nghiên cứu

- Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp tổ toán trường THPT Lạng Giang số - Bắc Giang tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành đề tài

- Bạn bè gia đình động viên tơi suốt trình học tập làm luận văn

Thái nguyên, tháng 10 năm 2009

Học viên

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

[?] : Câu hỏi tập kiểm tra

[!] : Dự đoán câu trả lời cách xử lý học sinh

BĐT : Bất đẳng thức

GV : Giáo viên

HS : Học sinh

NXB : Nhà xuất

PPDH : Phương pháp dạy học

MỞ ĐẦU

1 Lý chọn đề tài

Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên" (chương I, điều 4)

"Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh" (chương I, điều 24)

Những quy định phản ánh nhu cầu đổi phương pháp giáo dục để giải mâu thuẫn yêu cầu đào tạo người với thực trạng lạc hậu nói chung phương pháp giáo dục nước ta Mâu thuẫn làm nảy sinh thúc đẩy vận động đổi phương pháp dạy học tất cấp ngành giáo dục với định hướng đổi PPDH là: PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo Định hướng gọi tắt học tập hoạt động hoạt động, hay ngắn gọn hoạt động hoá người học [6]

dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

Có thể kể số phương hướng đổi phương pháp dạy học môn tốn trường phổ thơng là:

- Phát triển tư rèn luyện hoạt động trí tuệ - Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn

- Sử dụng đa phương tiện để giải vấn đề, minh họa cho học sinh tìm tịi từ tình huống, nghiên cứu, phát vấn đề …

- Bồi dưỡng phương pháp tự học, phương pháp đọc sách

- Đổi phương pháp đánh giá, kết hợp đánh giá thầy, với tự đánh giá trò

- Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập tương tác: hoạt động theo nhóm…

- Tăng cường hoạt động hỗ trợ: tự học, chuyên đề, hội thảo, báo cáo thực hành

- Rèn luyện phong cách hòa nhập với cộng đồng

Nhìn chung tư tưởng chủ đạo phương pháp đổi là: tập trung vào hoạt động trị; trị tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cường giao lưu trao đổi trò trò

Các định hướng phù hợp với quan điểm tâm lý học cho hoạt

động có ảnh hưởng trực tiếp tới hình thành phát triển nhân cách, phù hợp với luận điểm giáo dục học Macxit: Con người phát triển hoạt động học tập diễn hoạt động

nghiên cứu Tuy nhiên việc khai thác ứng dụng lý luận vào thực tế giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng nước ta cịn nhiều hạn chế, hầu hết thầy cô giáo chưa thấy hết tác dụng to lớn phương pháp nên chưa coi trọng áp dụng vào thực tế giảng dạy Ngoài giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm thiếu sở lý luận để xây dựng hoạt động tương thích với nội dung, chưa huấn luyện cách có hệ thống, chưa có nhiều tài liệu tham khảo…

Mặt khác chương trình mơn tốn trường phổ thơng bất đẳng thức nội dung khó nhiều học sinh Nhiều giáo viên gặp trở ngại, khó khăn giảng dạy phần

Xuất phát từ lý chọn đề tài là: “Vận dụng

phƣơng pháp dạy học khám phá có hƣớng dẫn dạy học bất đẳng thức trƣờng THPT ”

2 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng hợp lý phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn dạy bất đẳng thức trường THPT, HS học tập cách chủ động, tích cực, sáng tạo hơn, qua phát triển trí tuệ nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thơng

3 Mục đích nghiên cứu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích làm sáng tỏ tính ưu việt phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

- Nghiên cứu lý luận đổi phương pháp dạy học, sách giáo khoa thực tế việc dạy học theo quan điểm để vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn vào số nội dung cụ thể

- Nghiên cứu thực tế vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trường THPT

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài

5 Phƣơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: đọc nghiên cứu tài liệu viết lí luận dạy học mơn tốn nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài để làm sáng tỏ phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

Phương pháp quan sát điều tra: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến số đồng nghiệp dạy giỏi tốn, có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn

giảng dạy bất đẳng thứcở số trường phổ thông

6 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chƣơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

Chƣơng II: Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn dạy học bất đẳng thức trường THPT

Chƣơng III: Thực nghiệm sư phạm

Chƣơng

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chương trình bày vấn đề lý luận phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, hoạt động hoạt động thành phần khám phá, quy trình giải toán theo bốn bước Polya Ứng với phần lý luận có ví dụ minh hoạ cụ thể

Chương viết dựa tài liệu [6], [15]

1.1 Dạy học hoạt động khám phá có hƣớng dẫn 1.1.1 Khái quát

động, tự lực khám phá Tới trình độ định học tập tích cực, khám phá mang tính nghiên cứu khoa học người học tạo tri thức

Khác với khám phá nghiên cứu khoa học, khám phá học tập khơng phải q trình tự phát mà q trình có hướng dẫn GV, Trong GV khéo léo đặt HS vào địa vị người phát lại, người khám phá lại tri thức loài người

1.1.2 Tổ chức hoạt động học tập khám phá

Hoạt động khám phá học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình độ thấp lên trình độ cao, tuỳ theo trình độ lực tư người học tổ chức hoạt động theo cá nhân, nhóm nhỏ nhóm lớn, tuỳ theo độ phức tạp vấn đề cần khám phá

Các hoạt động khám phá học học tập là: + Trả lời câu hỏi

+ Điền từ, điền bảng, tra bảng + Lập bảng, biểu đồ, đồ thị

+ Thử nghiệm, đề xuất giải quyết, phân tích ngun nhân, thơng báo kết

+ Thảo luận, tranh cãi vấn đề + Giải toán, tập

+ Điều tra thực trạng, đề xuất giải pháp cải thiện thực trạng, thực nghiệm giải pháp lớn

Quyết định hiệu học tập HS làm khơng phải GV làm Vì phải thay đổi quan niệm soạn giáo án, từ tập trung vào thiết kế hoạt động GV chuyển sang tập trung vào thiết kế hoạt động HS Tuy nhiên khơng nên cực đoan, có tham vọng biến toàn nội dung học thành chuỗi nội dung học khám phá Số lượng hoạt động mức độ tư đòi hỏi hoạt động tiết học phải phù hợp với trình độ HS để có đủ thời lượng cho thầy trị thực hoạt động khám phá

1.1.3 Điều kiện thực

Việc áp dụng dạy học khám phá đòi hỏi điều kiện sau:

HS phải có kiến thức kỹ cần thiết để thực hoạt động khám phá GV tổ chức

Sự hướng dẫn GV hoạt động phải mức cần thiết khơng q khơng q nhiều, đảm bảo cho HS phải hiểu xác phải làm hoạt động khám phá Muốn GV phải hiểu rõ khả HS

Hoạt động khám phá phải GV giám sát trình HS thực GV cần chuẩn bị số câu hỏi gợi mở bước để giúp HS tự tới mục tiêu hoạt động Nếu hoạt động tương đối dài, chặng yêu cầu vài nhóm HS cho biết kết tìm tịi

Ví dụ 1: Trong dạy học toán “Cho ba số dương a, b, c thoả mãn

1

abc Chứng minh 3

a     b c a b c”, ta thiết kế hoạt

động khám phá thông qua chuỗi câu đàm thoại phát sau: - Hãy nhìn vào ẩn, ẩn a chẳng hạn: vế trái

a , vế phải a, làm để “hạ bậc” từ

a xuống a (so sánh a3 a)?

(áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương:

a , 1, 1)

- Nếu áp dụng cho ba số dương

a , 2, có khơng, sao?

(cũng khơng đến kết quả)

- Đẳng thức xảy nào? Điều có ảnh hưởng đến việc chọn số thích hợp?

(đẳng thức xảy a  b c 1, nên chọn hai số phù hợp)

- Vận dụng tương tự với

b

c so sánh có với u cầu tốn

(áp dụng tương tự với

b

c suy 3

3( )

a b c  a  b c )

- Xem xét lại yêu cầu toán

(so sánh với yêu cầu toán ta cần chứng minh a b c  3)

- Bạn dùng hết giải thiết chưa? Tổng tích số a b c, , liên hệ với bất đẳng thức nào?

(bất đẳng thức Côsi cho số không âm:

3

a  b c abc) Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

1.2 Các hoạt động hoạt động thành phần 1.2.1 Khái quát

Hoạt động hoạt động thành phần thành tố sở quan trọng phương pháp dạy học Mỗi nội dung dạy học liên hệ mật thiết với hoạt động định Phát hoạt động tiềm tàng nội dung cụ thể hoá mục đích dạy học nội dung đó, cách kiểm tra việc thực mục đích này, đồng thời vạch đường để người học chiếm lĩnh nội dung đạt mục đích dạy học khác Cho nên điều phương pháp dạy học khai thác hoạt động tiềm tàng nội dung để đạt mục đích dạy học Quan điểm thể rõ nét mối liên hệ hữu nội dung, mục đích phương pháp dạy học Nó hồn tồn phù hợp với luận điểm cho người phát triển hoạt động học tập diễn hoạt động

Quá trình dạy học trình điều khiển hoạt động giao lưu HS nhằm đạt mục đích dạy học Đây q trình điều khiển người, khơng phải điều khiển máy móc, cần quan tâm đến yếu tố tâm lý, chẳng hạn HS có sẵn sàng, có hứng thú thực hoạt động này, hoạt động khác hay không

Xuất phát từ nội dung dạy học, ta cần phát hoạt động liên hệ với nó, vào mục đích dạy học mà chọn lựa để tập luyện cho học sinh số hoạt động phát Việc phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho HS tiến hành hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ

rõ thực hoạt động hay hoạt động khác Trong hoạt động kết hoạt động trước lại tiền đề cho hoạt động

Theo [15] tư tưởng chủ đạo quan điểm hoạt động phương pháp dạy học sau:

+ Cho học sinh thực tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tương thích với nội dung mục đích dạy học

+ Gợi động cho hoạt động học tập

+ Dẫn dắt HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt tri thức phương pháp phương tiện kết hoạt động

+ Phân bậc hoạt động làm điều khiển trình dạy học

Trên tư tưởng chủ đạo giúp người thầy giáo điều khiển trình học tập HS Những tư tưởng chủ đạo luận điểm phân biệt với quan điểm thực dụng phản diện, quan tâm đến hoạt động thụ động máy móc Khác với quan điểm đó, ý đến mục đích, động cơ, đến tri thức phương pháp, đến trải nghiệm thành cơng, nhờ đảm bảo tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo hoạt động học tập nói riêng

1.2.2 Phát hoạt động tƣơng thích với nội dung

Xuất phát từ nội dung dạy học, trước hết cần phát hoạt động tương thích với nội dung

Một hoạt động tương thích với nội dung góp phần đem lại kết giúp chủ thể chiếm lĩnh vận dụng nội dung Kết hiểu biến đổi, phát triển bên chủ thể, phân biệt với kết tạo mơi trường bên ngồi Chẳng hạn: người xây nhà kết bên ngồi ngơi nhà xây được, kết bên tri thức kiến tạo, kỹ rèn luyện, trưởng thành chủ thể trình xây dựng

Việc phát hoạt động tương thích với nội dung phần quan trọng vào hiểu biết hoạt động nhằm lĩnh hội nội dung khác nhau: khái niệm, định lý hay phương pháp đường khác để lĩnh hội dạng nội dung, chẳng hạn đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, đường tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý

Trong việc phát hoạt động tương thích với nội dung, ta cần ý xem xét dạng hoạt động khác nhau, bình diện khác Những hoạt động sau cần ý:

+ Nhận dạng thể hiện,

+ Những hoạt động toán học phức hợp,

+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học, + Những hoạt động trí tuệ chung,

Ví dụ 2: Trong dạy học toán “Cho a b c, ,  0;1 thoả mãn a b c  1

Chứng minh 2

1

a   b c ” ta khai thác số hoạt động hoạt

động thành phần sau:

- Khai thác giả thiết để so sánh

a a (ta có:

0  a a a)

- Vận dụng tương tự với ẩn b c, so sánh có u cầu

của tốn (suy 2 2 2

1

a      b c a b c a   b c )

- Hoạt động thành phần: dấu đẳng thức xảy nào? (dấu đẳng thức xảy ( , , )a b c (1, 0, 0), (0, 0,1), (0,1, 0))

- Nhìn bất đẳng thức phương diện khác: điều kiện a b c  1 gợi ta

nhớ đến phương trình mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxyz Cịn 2 a  b c

chính bình phương khoảng cách từ O đến điểm M a b c( ; ; ) , giả thiết

 

, , 0;1

a b c suy điểm M thuộc hình lập phương Từ ta có điểm M thuộc thiết diện mặt phẳng hình lập phương

Qua ví dụ ta thấy nội dung ẩn chứa hoạt động, giáo viên cần khai thác, hướng dẫn HS phát hoạt động tương thích với nội dung nhằm góp phần đem lại kết giúp HS chiếm lĩnh vận dụng nội dung

1.2.3 Phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần

Ví dụ 3: Tìm cạnh AB, BC, CA tam giác nhọn ABC, điểm M, N, P cho chu vi tam giác MNP nhỏ

Hoạt động giải tập tách thành hoạt động thành phần tương ứng với việc giải toán trường hợp riêng, từ dễ đến khó

- Cho tam giác ABC điểm M cố định AB, điểm N cố định BC Tìm điểm P AC cho chu vi tam giác MNP nhỏ

- Cho tam giác ABC điểm M cố định AB, tìm N, P thuộc BC, CA tương ứng cho tam giác MNP có chu vi nhỏ

- Bài toán tương tự: Cho điểm M thuộc xOy, tìm Ox, Oy điểm N, P tương ứng cho chu vi tam giác MNP nhỏ

Như phân tích hoạt động giải tốn thành hoạt động thành phần, đưa HS giải số toán đơn giản

1.2.4 Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên khuyến khích tất hoạt động xa vào tình trạng dàn trải, làm cho HS rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần phải sàng lọc hoạt động phát để tập trung vào số mục đích định Việc tập trung vào mục đích vào tầm quan trọng mục đích việc thực mục đích cịn lại

Ví dụ 4: Cho điểm A, B mặt phẳng (P) Tìm điểm M( )P cho

2

MA MB đạt giá trị nhỏ

- HS hiểu biết vận dụng công thức đường trung tuyến tam giác

- HS hiểu nắm vững tính chất hình chiếu điểm mặt phẳng

- Rèn luyện cho HS lực dự đốn, phân tích - Cho HS luyện tập hoạt động nhận dạng, thể

1.3 Quy trình giải tốn theo bốn bƣớc Polya

Một nhà khoa học nói: phát minh khoa học lớn cho phép giải vấn đề lớn, việc giải tốn có nhiều phát minh Bài tốn mà anh giải bình thường khêu gợi trí tị mị buộc anh phải sáng tạo, tự giải lấy tốn anh biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi

Những tình cảm đến độ tuổi đó, khuấy động ham thích cơng việc trí óc mãi để lại dấu vết cá tính người làm tốn

Khi HS có đam mê tốn học, lúc người thầy giáo cho HS cách học hợp lý Đứng trước tốn, có phải sau tìm lời giải đẹp, trình bày gấp sách lại hay khơng? Để HS tự tìm lời giải tốn người thầy cần hướng dẫn cho học sinh cách giải tập theo bước Polya sau:

I- Hiểu rõ toán

- Vẽ hình Sử dụng kí hiệu thích hợp

- Phân biệt thành phần khác điều kiện Có thể biểu diễn phần thành cơng thức khơng?

II- Xây dựng chương trình giải

- Bạn gặp toán lần chưa? Hay gặp toán dạng khác?

- Bạn có biết tốn có liên quan hay khơng? Một định lí dùng không?

- Xét kỹ chưa biết, thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự

- Đây tốn có liên quan mà bạn có lần giải sử dụng khơng? Có thể sử dụng kết khơng? Có cần phải đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng khơng?

- Có thể phát biểu tốn cách khác khơng?

- Nếu bạn chưa giải toán đề thử giải tốn có liên quan Bạn nghĩ tốn có liên quan mà dễ không?

- Bạn sử dụng kiện hay chưa? Đã sử dụng điều kiện hay chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa?

III- Thực chương trình giải

IV- Khảo sát lời giải tìm

- Bạn kiểm tra lại kết quả? Bạn kiểm tra lại tồn q trình giải tốn khơng? Có thể tìm kết cách khác khơng? Có thể thấy trực tiếp kết khơng?

- Bạn sử dụng kết hay phương pháp cho tốn khác khơng?

Ví dụ 5: Cho a b c, , độ dài cạnh tam giác Chứng minh abc  (a b c b c a c a b)(   )(   ) (1)

Bước (Tìm hiểu nội dung đề )

[?] Bài toán cho gì? yêu cầu gì?

[!] a b c, , độ dài cạnh tam giác

Cần chứng minh abc  (a b c b c a c a b)(   )(   )

Bước Xây dựng chương trình giải

[?] Vế phải bất đẳng thức cần chứng minh gợi cho ta nghĩ đến cơng

thức diện tích nào?

[!]

2 2

a b c a b c b c a c a b S              

    

2

8 (a b c b c)( a c)( a b) S

p

        Với

2

a b c p  

[?] Vế trái bất đẳng thức (1) tích cạnh tam giác gợi cho bạn cơng thức diện tích nào?

[!] 4

abc

S abc RS R

  

[!]

2

8

2

S S R

RS

p p

   

2

R

r  R r

[?] Hãy nhớ lại hệ thức liên hệ bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác khoảng cách hai tâm hai đường trịn đó?

[!] 2

2

OI R  Rr (O I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC

 )

[?] Xét dấu

OI từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

[!] 2

0 2

OI  R  Rr  R r

[?] Đẳng thức xảy nào?

[!] Đẳng thức xảy OI     0 O I ABC Bước Trình bày lời giải

Kí hiệu R r, bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp

ABC

 ; S p, diện tích nửa chu vi tam giác ABC Sử dụng cơng thức diện tích , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

2

8 4RS S

p

 Mặt khác S pr nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức R2r

Mặt khác gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam

giác ABC ta có 2

2

OI R  Rr Mà 2

0 2

OI  R  Rr  R r

Đẳng thức xảy    O I ABC Bước Khảo sát lời giải tìm Có thể tìm kết cách khác khơng?

[?] Với mối liên hệ biểu diễn đại lượng qua biến trung gian nào?

[!] Nếu đặt x  a b c y;   b c a z;   c a b,

2a x z b;2  x y c;2  y z

[?] Phát biểu toán theo ẩn

[!] Cho x y z, , số dương Chứng minh

(xy y)( z z)(  x) 8xyz

[?] Giả thiết x y z, , dương gợi cho bạn nghĩ đến điều kiện bất đẳng thức nào? Hãy áp dụng bất đẳng thức vào tốn?

[!] Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có

2 ; ;

x y xy y z yz z x zx

Nhân theo vế, suy bất đẳng thức cần chứng minh

[?] Tích hai số a b c  c a b  có đặc điểm gì?

[!] 2

(a b c c)(  a b)a  (b c) a (a b c c)(   a b) a2

[?] Áp dụng tương tự với (a b c b c a  )(   )và (b c a c a b  )(   )

[!]

(a b c b)(  c a)b ;

(b c a c)(   a b) c Nhân theo vế, suy bất đẳng thức cần chứng minh

[?] Tổng hai ba số hạng a b c b c a c a b  ,   ,   có đặc điểm đặc biệt?

[!](a b c     ) (b c a) 2b; (b c a     ) (c a b) 2c;

(a b c     ) (c a b) 2a

[!] x y xy hay

2

2

x y xy   

 

[?] Vận dụng vào toán nào?

[!]

(a b c b)(  c a)b ;

(b c a c)(   a b) c ;

(a b c c  )(   a b) a

Nhân theo vế, suy bất đẳng thức cần chứng minh

[?] Nghiên cứu sâu lời giải

Nếu a b c, , 0 tổng số hạng a b c b c a c a b  ,   ,   khơng âm nên có nhiều số âm số hạng

Nếu số hạng có số âm bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Vậy ví dụ bạn thấy cần điều kiện a b c, ,

không âm đủ

[?] Bạn sử dụng kết cho tốn khác khơng?

[!] Nếu a b c, , 0 viết (1) tương đương với bất đẳng thức

1 a b b c c a

c c a a b b

   

         

    (2) Đặt ; ; 1; , ,

a c b

x y z xyz x y z c b a

     

và (2) trở thành x 1 y 1 z 1

y z x

         

   

 

Ta có tốn “Cho a b c, , số dương có tích Chứng minh

rằng a 1 b 1 c 1

b c a

         

   

    ”

1.4 Thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thứcở trƣờng phổ thông

Đối tượng HS lớp 10A1, 10A2, 10A3, trường trung học phổ thông Lạng

giang số 2, tỉnh Bắc giang Mỗi lớp có 40 HS, em học theo chương trình nâng cao

Đề bài:

Câu Cho a, b, c số thực Chứng minh

2 2

a   b c ab bc ca 

Câu Cho a, b, c số dương Chứng minh 3

3( 2)

a b c  a  b c

Câu Cho a, b, c, d số thực Chứng minh

2 2 2

( ) ( )

a b  c d  a c  b d

Dụng ý sư phạm là:

- Đánh giá kiến thức

- Đánh giá kỹ vận dụng bất đẳng thức - Đánh giá khả sáng tạo

- Đánh giá khả khám phá

- Thống kê kết quả: tính theo số HS làm

Bài Bài Bài

1

10A 38 25 10

2

10A 35 24

3

10A 39 26

khám phá phương pháp hình học Nếu biết sử dụng phương pháp hình học lời giải tốn đơn giản nhiều Giả sử M a b N c d( ; ); ( ; ) bất đẳng

thức cần chứng minh có dạng OMONMN, bất đẳng thức Dấu

đẳng thức xảy  O, M, N thẳng hàng O nằm M, N

Kết luận chƣơng 1

Chương trình bày số vấn đề dạy học hoạt động khám phá có hướng dẫn Phân tích hoạt động, hoạt động thành phần nghiên cứu kỹ quy trình giải toán theo bốn bước Polya

Điều PPDH giáo viên tạo tình hướng dẫn HS khám phá tri thức mới, cách đưa số câu hỏi gợi mở bước giúp HS tự tới mục tiêu hoạt động Để làm điều giáo viên cần gợi cho HS phát hoạt động tương thích với nội dung, phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần, cần sàng lọc hoạt động phát để tập trung vào số mục đích định

Chƣơng

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƢỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT

2.1 Khám phá vận dụng bất đẳng thức biết (Côsi, Bunhiacopxki )

Vấn đề khám phá chung nhận dạng, định hướng vận dụng sau nghiên cứu loạt tốn

Ví dụ 6: Cho a0,b0 Chứng minh

3 3

1 a a

b b

a b    a b

Hoạt động khám phá:

- Có thể sử dụng bất đẳng thức để từ 13

a làm xuất

1

a?

Bất đẳng thức Côsi cho số 13

a hai số

- Đẳng thức xảy nào? chọn hai số số nào?

Đẳng thức xảy a b 1, nên chọn hai số Áp dụng bất

đẳng thức Cơsi ta có 13 1

a   a

- Vận dụng tương tự với

3 a b

3

b so sánh với BĐT cần chứng minh?

3 3

1

3( )

a a

b b

a b   a  b

- Để chứng minh bất đẳng thức ban đầu ta phải chứng minh bất đẳng thức nào?

1

3( a b) a b

a     b a b hay

1

3

a b

Bất đẳng thức theo bất đẳng thức Côsi, suy bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ cho thấy: sử dụng BĐT Côsi để "hạ bậc" (từ a3 xuống a)

Ví dụ 7: Cho a b c, , 0

4

a b c   Chứng minh

3 3

3 3

a b b c c a

Hoạt động khám phá:

- Căn bậc gợi cho ta nghĩ tới bất đẳng thức nào? Bất đẳng thức Côsi cho số dương x y z, ,

3

x y z xyz     

 

- Đẳng thức xảy nào? chọn hai số số nào?

Đẳng thức xảy

4

a  b c a3b1 Vậy số lại số

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 3

3 3

a b b c c a

3 1 1 1

3 3

a b  b c  c a 

   4( )

3

a b c  

 

Ví dụ 8: Cho x y z, , số thực dương có tích Chứng minh

3 3

3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

x y z

y z  z x  x y 

     

Hoạt động khám phá:

- Vai trị x y z, , bình đẳng nên cần áp dụng cho x y z, ,

- Có thể sử dụng bất đẳng thức để khử dạng mẫu số (1y)(1z)

Bất đẳng thức Côsi

3

(1 ) (1 )

(1 )(1 )

x

y z x

y z     

- Dấu đẳng thức xảy nào? ( x  y z ), sửa lại để phù hợp với nhận xét này?

3

1

3

(1 )(1 ) 8

x y z x

y z

 

  

 

- Vận dụng tương tự với

3

,

(1 )(1 ) (1 )(1 )

y z

z x x y

    so sánh với BĐT cần

chứng minh?

3 3

3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

x y z x y z

y z z x x y

 

   

     

- Khi cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

3

2 4

x y x

x y z

 

     

Bất đẳng thức theo bất đẳng thức Cơsi ( xyz1 ), suy bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ cho thấy: mẫu số biểu thức tổng mẫu số có mối liên quan, ta sử dụng BĐT Cơsi để khử mẫu số

Ví dụ 9: Cho a b, 0 ab1 Chứng minh

3

1

1

a b b a 

 

Hoạt động khám phá:

- Vai trị a b, bình đẳng nên cần áp dụng cho a b,

- Có thể sử dụng bất đẳng thức để khử dạng mẫu số 1b, để ý tử số chứa

lập phương

Bất đẳng thức Côsi cho số:

3

, 1

a

b b 

 số đó?

- Dấu đẳng thức xảy nào? ( a b ), sửa lại để phù hợp với

nhận xét

3 1 1 3

1 2

a b a

b



  

- Vận dụng tương tự với

3

1

b a

 so sánh với BĐT cần chứng minh?

3

5

( )

1

a b

a b b a   

 

- Khi ta cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

5

( )

4 a b  2 hay a b 2 ( Bất đẳng thức theo bất đẳng thức

Cơsi ab1)

Tổng quát: cho a b, 0 ab1 Chứng minh

a)

1

n n n m

a b b  a 

  ; b)

3

2

a b

kbka k

Ví dụ cho thấy: "khử" mẫu số cách "thêm, bớt" số hạng mẫu số

Ví dụ 10: Cho a, b hai số x, y hai số dương Chứng minh

2 2

( )

a b a b x y x y



 

 (*)

Hoạt động khám phá:

- Trước hết ta vận dụng phương pháp biến đổi tương đương

(*) 2

( ) ( ) ( )

a y x y b y x y xy a b

     

2 2

2

a y b x axby

  

(ay bx)

  

Bất đẳng thức sau hiển nhiên Đẳng thức xảy a b

x y

 

- Tiếp theo, khám phá cách chứng minh cách hướng

- Từ ta có cách chứng minh sau: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2

2

( ) ( )

a b

x y a b x y

 

   

 

 

2 2

( )

a b a b x y x y



  



Ví dụ 11: Cho a, b,c ba số x, y,z ba số dương

Chứng minh

z y x c b a z c y b x a      

 2

2

) (

Hoạt động khám phá:

- Tạm thời chứng minh toán tương tự đơn giản hơn, với hai số hạng, xem có phát cách chứng minh tốn cho hay khơng?

Bài tốn đơn giản ví dụ 10 trên: a2 b2 (a b)2

x y x y



 



- Từ ta có lời giải sau: Sử dụng bất đẳng thức

2 2

( )

a b a b x y x y



 

 ta có

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

a b c a b c a b c a b c a b c x y z x y z x y z x y z x y z

      

        

      

  (**)

Đẳng thức xảy a b c

x y z

  

- Hai ví dụ hai trường hợp cụ thể BĐT Côsi - Svac Tổng quát hóa hai bất bất đẳng thức trên, ta có toán:

Cho a a1, 2, ,an n số x x1, 2, ,xn n số dương Chứng minh

rằng

2

2

1 2

1 2

( )

n n

n n

a a a a

a a

x x x x x x

  

   

Ví dụ 12: Cho a, b,c, x y z1, 1, số dương

Chứng minh

2

1 1 1

( )

a b c a b c x y z ax by cz

 

  

 

Hoạt động khám phá:

- BĐT có tương tự BĐT gặp hay chưa?

Đó Ví dụ 11ở trên, từ có cách chứng minh sau:

Bất đẳng thức (**)

2

( )

a b c a b c x y z x y z

a b c a b c a b c

 

   

 

Đặt x1 x,y1 y,z1 z

a a a

   , ta bất đẳng thức

2

1 1 1

( )

a b c a b c x y z ax by cz

 

  

  (***) ax by cz1, 1, số dương

Đẳng thức xảy x1x2 x3

Ví dụ 13: (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ năm 2005) Cho số dương x y z, ,

thoả mãn 1

x  y z Chứng minh

1 1

1 2x y zx2yz x y 2z 

Hoạt động khám phá:

- Bất đẳng thức có tương tự với bất đẳng thức gặp chưa? (Chú ý hệ thức)

Đó bất đẳng thức a2 b2 (a b)2

x y x y



 

 hay

2 2

(a b) a b

x y x y

  



- Có thể sử dụng kết khơng? (Lưu ý vai trị x y z, , nhau)

2

1

  

 

2 2

1 1 1

         

2 2

1 1

4 4

x y x z

       

       

       

    1

16 x y z

 

    

 

- Vận dụng tương tự với hệ thức lại:

1 1

;

2 16

x y z x y z

 

    

   

1 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

- So sánh có với u cầu tốn:

cộng vế ba bất đẳng thức sử dụng 1

x  y z

1 1 1 1

1 2x y z x 2y z x y 2z x y z

 

       

       

Đẳng thức xảy

4

x y z

   

Qua ví dụ ta thấy: dạng "tổng nghịch đảo" hệ BĐT:

2 2

(a b) a b

x y x y

  

 hay )

1 ( b a b

a  

Ví dụ 14: (bài thi Olympic Tốn Quốc tế năm 1995) Cho số dương a, b, c

thoả mãn abc1 Chứng minh 3 3 3

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b 

Hoạt động khám phá:

- Có thể phát biểu tốn cách khác khơng? (lưu ý abc1)

2 2 2

3

( ) ( ) ( )

b c c a a b a b c b ca c a b 

- Bất đẳng thức có tương tự với bất đẳng thức gặp chưa? Đó bất đẳng thức

z y x c b a z c y b x a      

 2

2

- Có thể sử dụng kết khơng?

2 2 2

( ) ( ) ( )

b c c a a b a b c b ca c a b

2

( )

2( )

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

   

 

 

- So sánh có với yêu cầu toán:

Ta phải chứng minh

3

ab bc ca  

- Bạn sử dụng kiện chưa? số dương a, b, c số dương thoả mãn abc1, gợi cho bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào?

Bất đẳng thức Côsi:

3 2

3

3 2

ab bc ca   a b c 

Đẳng thức xảy    a b c

Ví dụ 15: Cho số dương a, b, c, p, q Chứng minh

a b c

pb qc  pc qa  pa qb  p q

Hoạt động khám phá:

- Bất đẳng thức có tương tự với bất đẳng thức gặp chưa?

Đó bất đẳng thức a b c (a b c)2

x y z ax by cz

    

 

- Có thể sử dụng kết khơng?

a b c

pb qc  pc qa  pa qb

2

( )

( ) ( ) ( )

a b c

a pb qc b pc qa c pa bq

  

    

2

( )

( )( )

a b c p q ab bc ca

  

  

Ta phải chứng minh

2

( )

3

a b c ab bc ca

  

 

- Chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

2

2

( )

3 ( ) 3( )

a b c

a b c ab bc ca ab bc ca

 

      

 

2 2

(a b) (b c) (c a)

      

Bất đẳng thức với a, b, c dương Đẳng thức xảy   a b c

Ví dụ 16: (bài thi Olympic Tốn Quốc tế năm 2001) Cho a, b, c số dương Chứng minh

2 2

8 8

a b c

a bc b ca c ab

  

  

Hoạt động khám phá:

- Bất đẳng thức có tương tự với bất đẳng thức gặp chưa?

Đó bất đẳng thức a b c (a b c)2

x y z ax by cz

    

 

- Có thể sử dụng kết khơng?

2 2

8 8

a b c

a bc b ca c ab

 

  

2

2 2

( )

8 8

a b c

a a bc b b ca c c ab

  

    

- So sánh có với yêu cầu toán: Ta phải chứng minh

2

2 2

( )

1

8 8

a b c

a a bc b b ca c c ab

  

     hay

2 2

8 8 ( )

a a  bcb b  cac c  ab  a b c

- Bất đẳng thức có gần gũi với bất đẳng thức quen thuộc không?

Bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 2

(ax+by+cz) (a b c )(x y z ) - Có thể sử dụng kết khơng?

2 2

2 2

( a a a( 8bc) b b b( 8ca) c c c( 8ab))

     

3 3

(a b c a)( b c 24abc)

     

- So sánh với bất đẳng thức cần chứng minh

Ta phải chứng minh: 3 3

24 ( )

a   b c abc a b c

- Chứng minh bất đẳng thức nào?

3 3

(a b c) a   b c 3(a b c ab bc)(  ca) 3 abc

3 3 2

3.3 3

a b c abc a b c abc

     3

24

a b c abc

    Vậy

bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy   a b c

Ví dụ 17: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a b c  1 Chứng minh

rằng Q 2 12 2 30

a b c ab bc ca

  

   

Hoạt động khám phá:

- Bất đẳng thức có tương tự với bất đẳng thức gặp chưa? Đó bất đẳng thức a2 b2 (a b)2

x y x y



 



- Có thể sử dụng kết khơng?

2 2

2 2 2

1 (1 3)

a b c ab bc ca a b c ab bc ca



 

        

- Dấu đẳng thức xảy nào?

Đẳng thức xảy

3

a  b c Vậy cách làm không sai

- Vai trị a, b, c bình đẳng nên cần áp dụng cho a, b, c Đẳng thức

1

a b c   số hạng 2

;

a b c ab bc ca gợi cho bạn nghĩ tới đẳng thức nào?

2 2

2( ) ( )

a b c  ab bc ca  a b c 

- Suy nghĩ xem vận dụng bất đẳng thức tương tự nào?

z y x

c b a z c y b x a

 

   

 2

2

) (

- Có thể sử dụng kết không?

2 2

2 2

1 1

a  b c ab bc ca  ab bc ca 

2 2

(1 1)

2 2

a b c ab bc ca

  

    

2

(a b c)

 

 

Mặt khác

2 2

1(a b c) a b c 2ab2bc2ca 3( )

ab bc ca ab bc ca

      

Suy Q 9 7.3 30 Đẳng thức xảy

3

a b c

   

Ví dụ 18: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993) Chứng minh với số

dương a, b, c, d ta có

2 3 3

a b c d

b c d c d ad a ba b c

- Bất đẳng thức có tương tự với bất đẳng thức gặp chưa? Nếu bạn chưa giải toán đề ra, thử giải toán liên quan dễ khơng?

Đó bất đẳng thức a b (a b)2

x y ax by

  



Vận dụng tương tự ta có

2

( )

a b c d a b c d x y z t ax by cz dt

      

  

Suy

2

( )

2 3 3 4( )

a b c d a b c d

b c d c d a d a b a b c ab bc cd da ac bd

  

   

            

- So sánh có với yêu cầu toán: Ta phải chứng minh

2

( )

4( )

a b c d

ab bc cd da ac bd

  



    

- Chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương với

2 2

3(a b c d )2(ab bc cddaac bd ) Bất đẳng thức

2 2

2(a b c d )2(ab bc cdda) 2 2

2

a   b c d  ac bd

Đẳng thức xảy    a b c d

2.2 Khám phá hàm số chứng minh bất đẳng thức

Điều quan trọng phương pháp phát cần sử dụng hàm số nào, kinh nghiệm là:

Dạng 1: Bất đẳng thức phụ thuộc biến số nhất, ta khảo sát hàm số (ẩn x) đƣợc

Ví dụ 19: (dựa theo thi tuyển sinh vào ĐH Bách Khoa năm 1998) Cho tam giác ABC có góc thoả mãn điều kiện A B C Chứng minh

sin sin sin sin

sin sin sin sin

x A x B A B

x C x C A C

    

  

Hoạt động khám phá:

Xét hàm số ( ) sin sin

sin sin

x A x B

f x

x C x C

 

 

 

- Tìm tập xác định hàm số? Ta có A    B C a b c

2 sinR A2 sinR B2 sinR CsinAsinBsinC

Vì tập xác định hàm số (;sin )C sin ;A 

Ta có

2

sin sin sin sin

sin sin

( sin ) ( sin )

sin sin

( )

sin sin sin sin

2 2

sin sin sin sin

A C B C

x A x B

x C x C

x C x C

f x

x A x B x A x B

x C x C x C x C

                                  

Vì sinAsinBsinC nên f x( )0 ta có lim ( ) 2; lim ( )

x f x  x f x 

- Lập bảng biến thiên f x( )và suy ( ) sin sin sin sin A B f x A C   

Ví dụ 20: Chứng minh với x 0; 

 

 

  ta ln có

2

4

sinx x x

 

 

Hoạt động khám phá:

- Khảo sát hàm số nào?

Xét hàm số

2

4

( ) s

f x inx x x

 

   0;

2 

 

 

 

- Xét dấu f x( ) nào? Tạm thời chưa xét dấu f x( ), bạn xét dấu f"( )x xem có phát dấu f x( ) hay khơng?

Ta có ( ) cos 82

4

f x x  x



    f ( )x sinx 82



   

Suy ( ) sin 82 (0; )

2

f x x arc b 



Vậy f x( ) hàm số liên tục đồng biến  0;b , nghịch biến ;

b 

 

 

 

Đồng thời, ta lại có f(0)0 ( )

f   nên f(0) ( )f b 0, tồn

nhất số thực c(0; )b để f c( )0

- Lập bảng biến thiên ta đến kết luận ( ) 0, 0;

2

f x    x  

 

Dấu đẳng thức xảy  x

2

x Từ ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 21: (dựa theo thi Olympic Toán THPT Việt Nam -2003) Cho hàm số f xác định tập hợp số thực R, lấy giá trị R thoả mãn điều kiện

(cot ) sin cos

f x  x x với x thuộc khoảng (0; ) Chứng minh

 1;1 x

   ta ln có 34 ( ) (1 )

25

f x f x

   

Hoạt động khám phá:

- Biểu thức sin , cos 2x x có mối liên hệ với cotx công thức nào?

2

2

2cot cot

sin , cos

cot cot

x x

x x

x x



 

 

- Với mối liên hệ trên, chuyển theo ẩn nào? Đặt cotxt

2

2 ( )

1

t t f t

t

  

 , x(0; )  t R

- Tính tích f x f( ) (1x) Dẫn tới

2 2

(1 ) (1 )

( ) ( ) (1 )

(1 ) (1 )

x x x x

g x f x f x

x x x x

   

  

    với xR

Đặt ux(1x) Dễ thấy x  1;1 2;1

u  

 

Vì từ g x( ) trở thành

2 ( ) 2 u u h u u u     

- Khảo sát hàm số

2 ( ) 2 u u h u u u   

 

1 2;

4

 

 

 , ta suy

1 34 ( ) (1 )

25

f x f x

   

Ví dụ 22: (bài thi Olympic Tốn THPT Việt Nam -1993) Tìm tất giá

trị a cho bất đẳng thức

ln(1x) x ax với x0

Hoạt động khám phá:

- Khảo sát hàm số nào?

( ) ln(1 )

f x ax  x x 0; - Xét dấu f x( ) nào?

Ta có ( ) (2 1),

1

x

f x ax a x

   

  x f x( ) dấu với

( ) 2

g x  ax a

- Hãy biện luận theo tham số dấu f x( )

* Nếu a = ( )

1 x f x x    

 với x > 0, suy f(x) nghịch biến

nên f x( ) f(0)0 f(0)  0 x

* Nếu a0 g x( ) có nghiệm

1 2 a x a 

 , cần xét ba trường hợp

sau với a

+) Với a < x0 0 g x( )0 với x 0 x0, từ (1) suy f(x) nghịch

+) Với (0; )1

a x0 0 g x( )0 với 0 x x0 , từ (1) suy f(x)

nghịch biến, f x( ) f(0)0 f x( )  0 x

+) Với

2

a x0 0 g x( )0 với x > 0, từ (1) suy f(x) đồng biến

nên f x( ) f(0)0 f x( )  0 x

Vậy f x( )0 với

2

x  a

Ví dụ 23: (bài thi Olympic Tốn 30/4 năm 1999 ) Cho

2

x 

  Chứng minh

rằng sin cos x x       

Hƣớng dẫn: Xét hàm số

3

( ) sin

3!

x

f x  x x 0;

2 

 



 , ta suy

3

sin , (0; )

3!

x

x x  x 

Từ với 0;

2

x  

  ta có

3

3 2

sin

1

6 12 216

x x x x x

x

 

       

 

 

    (1)

Mà 2 36 x

x    hay

4

24 216

x x

 Như

2 2

1

2 24 12 216

x x x x x

      (2)

Mặt khác

2

cos

2 24

x x

x   (3)

Từ (1), (2), (3) suy

3 sin cos x x x       

Ví dụ 19: (bài thi Olympic Tốn 30/4 năm 1998) Cho x >

, (0; ), 

    Chứng minh

x sin sin

x sin sin x sin sin

Hoạt động khám phá:

- Khảo sát hàm số nào?

Xét hàm số ( )

x sin x sin f x x sin           

  0;

Ta có f x( ) ln x sin sin sin ( )f x

x sin x sin

                         

- Xét dấu f x( ) nào?

Xét hàm số g x( ) ln x sin sin sin

x sin x sin

  

 

   

  

 

  0;

Có  

2

( )

( ) 0;

( ) ( )

sin sin

g x x

x sin x sin

              ( ) g x

 hàm nghịch biến 0;; mà lim ( )

x

g x

 

 

( ) 0, 0;

g x x

     '  

( ) 0, 0;

f x x

    

( )

f x

 hàm số đồng biến 0;

( ) (0)

f x f

 

x sin sin

x sin sin x sin sin

                    

Dạng 2: Bất đẳng thức phụ thuộc nhiều biến số a) Quy ẩn để sử dụng hàm số

Ví dụ 25: (bài thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2006) Cho x, y số

thực thay đổi Chứng minh 2 2

(x1) y  (x1) y    y 2

Hoạt động khám phá:

- Biểu thức xuất toán 2 2

Khoảng cách hai điểm độ dài véc tơ

- Chọn véc tơ có toạ độ để phù hợp với biểu thức trên?

( 1; ), ( 1; )

u x y v  x y , suy 2 2

(x1) y  (x1) y  u  v

- Bất đẳng thức thể mối liên quan hai véc tơ u v, ? Đẳng thức

xảy nào?

u   v u v (1) Đẳng thức xảy u v, hướng

- Vận dụng vào nào?

Áp dụng BĐT (1) ta có 2 2 2

(x1) y  (x1) y  4 y 2 1y Đẳng thức xảy  x

Khi 2 2

(x1) y  (x1) y   y 2 1y  y

- Ta chuyển chứng minh bất đẳng thức ẩn y: 1y2    y 2

Xét hàm số

( ) 2

f y  y  y

+) Với y2 ta có

( ) 2

f y  y  y hàm số đồng biến

( ) (2)

f y f

  

+) Với y2 ta có

2

2

( ) 2 , ( )

1

y

f y y y f y

y



     

 Giải phương trình

( )

f y  , ta

3

y Lập bảng biến thiên ta suy B 2

Ví dụ 26: (dựa theo thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006) Cho số

thực x, y khác thay đổi thoả mãn điều kiện 2

Hoạt động khám phá:

- Với suy nghĩ khám phá hàm số nào?

- Biểu thức 2

(xy xy) x y xy 13 13

x  y đối xứng với hai ẩn x y, Ta quy

về ẩn số nào?

Ta có A 13 13

x y

 

2

2

3

(x y x)( xy y ) x y 1

x y xy x y

   

   

     

   

Đặt xty, từ giả thiết (xy xy) x2y2xy suy 2

(t1)ty (t  t 1)y

Do 2 1,

1

t t t t

y x ty

t t t

   

  

  Từ

2 2

2

1

1

t t A

x y t t

 

   

     

 

   

Xét hàm số

2 2 ( ) t t f t t t   

  có

2 2 3 ( ) ( 1) t f t t t      

Giải phương trình f t ( ) ta t  1 Lại có

2

2

( )

1

t t

t t lim f x lim

t t

 

 

 

 

Lập bảng biến thiên ta suy

(1) 16

A f 

Ví dụ 27: (dựa theo thi Olympic Tốn THPT Việt Nam năm 2004) Cho

các số thực dương x y z, , thoả mãn hệ điều kiện sau

2

x y z xyz

   

 

 Chứng minh

rằng 4

383 165 5 x y z 18

Hoạt động khám phá:

- Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? (phải quy ẩn để khảo sát hàm số)

- Biểu thức 4

Px y z đối xứng với ba ẩn x y z, , Biến đổi P theo

, ,

Ta có 4 2 2 2 2 2

( ) 2( )

Px y z  x y z  x y y z z x

2

(4 2(xy yz zx)) 2((xy yz zx) 2xyz x( y z))

         

- Với mối quan hệ trên, chuyển P theo biến nào?

Đặt txyyzzx từ giả thiết x  y z 4;xyz2 ta có P2(t232t144) - Tìm điều kiện theo ẩn nào?

Từ điều kiện x, y, z ta y z x yz;

x

   

2 (4 )

t x x x

  

- Tìm điều kiện ẩn x chuyển điều kiện theo ẩn t

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z từ (2) ta

2

(4 x) x 8x 16x

x

      

(x 2)(x 6x 4)

      3 5 x

Xét hàm số t x( ) x(4 x)

x

   đoạn 3 5;2, có

2

2( 1)( 1)

( ) x x x

t x

x

   

 

Từ việc xét dấu t x( ) đoạn 3 5;2, ta 5

t 

 

- Khảo sát hàm số

( ) 2( 32 144)

f t  t  t 5;5

2

  

 

  suy

4 4

383 165 5 x y z 18

Ví dụ 28: Chứng minh a b c, , độ dài cạnh tam giác có chu vi

bằng 2

3(a b c )4abc13

Hoạt động khám phá:

Ta có T  3(3c)23c22ab c(2 3)

- Tích ab tổng a b  3 c gợi cho bạn nghĩ tới BĐT nào?

2

3

2

a b c

ab   ab  

   

Từ ta có lời giải sau: Đặt 2

3 3

T  a  b  c  abc

Do vai trị bình đẳng a b c, , nên ta giả sử 0  a b c

Chu vi tam giác nên a b c      3 a b c, mà

2

a b    c c

Ta biến đổi 2 2

3( ) ( )

T  a b  c  abc  a b  ab c  abc

2

3(3 c) 3c 2ab c(2 3)

    

Vì 3

2

c  c 

2 2

3

(2 3) (2 3)

2 2

a b c c

ab      ab c    c

     

Do

2

2

3(3 ) 2(2 3)

2

c T  c  c  c   

 

3 27

2

c c

  

Xét hàm số 3 27

( )

2

f c  c c  1;3

2

 

 

 , có

2

( ) 3 ; ( )

f c  c  c f c   c

Lập bảng biến thiên suy f x( ) 13  T 13 hay 2

3(a b c )4abc13

Ví dụ 29: (USA- 1980) Cho a b c, ,  0;1 Chứng minh

(1 )(1 )(1 )

1 1

a b c

a b c b c  c a  a b      

Hoạt động khám phá:

- Với suy nghĩ khám phá hàm số nào?

Ta xem biến đối số x hàm số f x( ), biến

Xét hàm số f x( ) (1 )(1 )(1 )

1 1

x b c

x b c

b c  c x  x b       0;1

Ta có ( ) 2 2 (1 )(1 )

1 ( 1) ( 1)

b c

f x b c

b c c x x b

      

     

- Xét dấu đạo hàm nào? Nếu chưa xét dấu '

( )

f x xét dấu

''

( )

f x xem có phát khơng?

( ) 2 2  0;1

( 1) ( 1)

b c

f x x

c x x b

     

     f x( ) đồng biến  0;1

Trong trường hợp y dương, y âm, đổi dấu đoạn  0;1 ta ln có f x( )Max f (0), (1)f 

- So sánh biết với yêu cầu toán, cần chứng minh f(0) 1; (1) 1 f 

1

(1)

1 1 1 1

b c b c

f

b c c b b c b c b c

      

           

2

1

(0) (1 )(1 )

1 1

b c b c b c

f b c

c b b c bc

  

      

    

Suy f x( )Max f (0), (1)f 1 Vậy  x  0;1 : f x( ) 1

Ví dụ 30: (bài thi Olympic Tốn 30/4 năm 2004) Cho số thực dương a, b, c

thoả mãn 21ab2bc8ca12 Chứng minh 15

2

S

a b c

   

Hoạt động khám phá:

- Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? (có thể chuyển theo ẩn không? )

Đặt x 1;y 2;z

a b c

   , toán trở thành

- Có thể chuyển tốn cho ẩn không?

Từ (1) suy (2 7) 4 (2 0)

2

x y

z xy x y z xy

xy          Do 14 14 4

2 (2 )

x y

x y x x

S x y x y

xy x y

x             14 14 2

2 2 7

2 2

x x

xy

x x

x y x

x xy x x x xy

  

        

 

11 72

x

x x

    (áp dụng bất đẳng thức Côsi )

Xét hàm số ( ) 11 72

2

f x x

x x

    (0;), có 2

3

2

11 14

( )

2 f x x x x     

- Xét dấu đạo hàm nào? Nếu chưa xét dấu '

( )

f x xét dấu

''

( )

f x xem có khám phá dấu '

( )

f x khơng?

Ta có f( )x 0  x (0;) suy f x( ) đồng biến (0;)

11 14

(3)

18 36

f     Lập bảng biến thiên ta đến kết luận 15

2

S 

b) Khảo sát lần lƣợt biến, nghĩa tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số với biến thứ biến cịn lại coi tham số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số với biến thứ hai ứng với giá trị xác định biến thứ mà biến cịn lại coi tham số

Ví dụ 31: (bài thi Olympic 30/4 năm 2002) Cho a b c, ,  1; Chứng minh (a b c)(1 1) 10

a b c

Hoạt động khám phá:

- Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? (Coi biến ẩn, biến lại tham số, xét hàm số với ẩn đó)

Ta có (1)   (a b c ab bc ca)(   ) 10 abc0

Xét hàm số f a( )  (a b c ab bc ca)(   ) 10 abc ẩn a  1; Có f a( )ab bc ca    (a b c b c)(  ) 10bc

- Xét dấu đạo hàm nào? Nếu chưa xét dấu '

( )

f a xét dấu

''

( )

f a xem có khám phá điều khơng?

 

( ) 2( ) , 1;

f a     b c b c b c  b c ( )

f a

 hàm số đồng biến  1;

Trong trường hợp y dương, y âm, đổi dấu đoạn  1;2 ta ln có f a( )Max f (1), (2)f 

Max(1 b c b c bc)(   ) 10 bc; (2 b c)(2b2c bc ) 20 bc

*) Xét hàm số g b( )  (1 b c b c bc)(   ) 10 bc, ẩn b  1; Có g b( )     b c bc (1 b c)(1c); g b( )2(1 c)  c  1;

( )

g b

 hàm số đồng biến  1;

Ta ln có g b( )Max g (1), (2)g Max(2c)(1 ) 10 ; (3 c  c c)(2 ) 20 c  c +) Xét hàm số h c( ) (2 c)(1 ) 10 c  c  1;

+) Xét hàm số h c( ) (3 c)(2 ) 20 c  c  1;

   

( ) (1), (2) 0; 0

h c Max h h Max

   

* Xét hàm số g b( )  (2 b c)(2b2c bc ) 20 bc, ẩn b  1; , tương tự suy BĐT cần chứng minh

Ví dụ 32: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1991) Cho số thực dương x y z, , với x y z Chứng minh

2 2

2 2

x y y z z x

x y z z  x  y   

Hoạt động khám phá:

- Bạn có nhận xét bậc hai vế? Có thể chuyển tốn cho ẩn khơng?

Chia vế cho

0

y  , bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

3 2

3 ( 2 1)

x z z x x z x z

y  y  y y  y y y  y  (1)

Đặt u x;v z

y y

  ta có u  1 v (1) đưa dạng

3 2 2

( 1)

u v u v uv u v  3 2

(1 ) (1 )

u v u v uv v v

       (2)

Nếu v1, (2) có dạng u22u 1 0, tức (2)

Nếu 0 v Xét hàm số sau (biến u) 3 2

( ) (1 ) (1 )

f u u  v u v uv v v với

1

u ,

( ) (1 ) (1 )

f u  u  v uv v v

- Xét dấu đạo hàm nào? Nếu chưa xét dấu '

( )

f u xét dấu

''

( )

f u xem có khám phá dấu '

( )

f u không?

3

( ) (1 )

f u  u  v v  (do 0 v u1) Vậy f u( ) hàm đồng

biến 1; nên  u1 ta có

( ) (1) ( 1)( 3)

(do 0 v 1)  f u( ) hàm đồng biến 1; nên  u1 ta có

2

( ) (1)

f u  f v  v  Vậy (2)    u v

Ví dụ 33: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1999) Xét số thực

dương a b c, , thoả mãn điều kiện abc a c  b Chứng minh

2 2

2 10

1 1

a  b  c  

Hoạt động khám phá:

- Từ giả thiết abc a c  b, chuyển tốn cho ẩn khơng?

Đặt 22 22 23

1 1

P

a b c

  

  

Biến đổi giả thiết thành a c b(1 ac) a

c

     

1 a c b ac  

 (1) Thay (1)

vào biểu thức P biến đổi

2

2 2

2 2( )

2

1 (1 )(1 )

a c P

a c a c



   

    (2)

- Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? (Coi biến ẩn, biến lại tham số, xét hàm số với ẩn đó)

Xét hàm số

2

2 2

1 ( )

( )

1 (1 )(1 )

x c f x

x x c



 

   với

1 x

c

  coi c tham số

(c0), có

2

2 2

2 ( 1)

( )

(1 ) (1 )

c x cx f x

x c

  

 

 

- Xét dấu đạo hàm nào? Trên 0;1

c

 

 

  f x( )0 có nghiệm

2

0

x   c c  (3) Với

0

1 x

c

  Qua x0 f x( ) đổi dấu từ dương xang âm nên f x( ) đạt cực đại

0 ( ) ( 0) 2

1

c x f x f x

c

   

Từ theo (2) ta có: 2 2

2

3

2 ( ) ( )

1 1

c

P f x g c

c c c

     

  

Xét hàm số g c( ) với c0, có

2

2 2

2(1 ) ( )

( 1) (3 1)

c g c

c c c



 

  

Với c0 g c( )0 0

8

c  qua c0 g c( ) đổi dấu từ dương sang âm

nên g c( )0 giá trị cực đại, suy

1 10

3

Pg 

  Giá trị

10

P đạt

1

,

c a b theo (1), (3)

c) Dựa vào dạng chung biểu thức có tốn để đặt hàm số Ví dụ 34: Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh

2

(sin sin sin ) (tan tan tan )

3 A B C 3 A B C 

Hoạt động khám phá:

- Viết lại BĐT cần chứng minh

2

(sin sin sin ) (tan tan tan )

3 A B C 3 A B C   A B C

- Các biểu thức xuất tốn có dạng hàm số nào? khảo sát hàm số đó?

Xét hàm số ( ) 2sin 1tan

3

f x  x xx 0;

2 

 



 , có

1

'( ) (2 3)

3

f x cosx

cos x

  

- Xét dấu đạo hàm nào? Tổng 2cosx 12 cosx cosx 12

cos x cos x

    chưa

Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số dương, ta có

3

2

1

3

cosx cosx cosxcosx

cos x cos x

   

'( ) 0;

2

f x x   

    

 hàm số f(x) đồng biến 0;2



 



 

( ) (0) 0,

f x f x

    

Vận dụng vào góc nhọn A, B, C ta suy bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 35: Chứng minh

1 1

2 2 3 3

A B C

cos cos cos

A B C

  

   Trong

góc A, B, C tam giác ABC đo radian

Hoạt động khám phá:

- Ba biểu thức xuất tốn có dạng hàm số nào? Hãy khảo sát hàm số đó?

Xét hàm số f t( )tantsint2t 0; , (0) f



  



 

Ta có ( ) 12 cos 2, (0) 0, 0;

2

f t t f t

cos t



 

       



có

2

1

( ) cos cos 2 0;

2

f t t t t

cos t cos t



 

            



Suy f t( ) đồng biến 0; 

 



  f t( ) f(0) 0,t 0;2



 

    



Áp dụng vào tốn cho ta có tan

2

A A sin A

  hay

1 cot A cos A A  

Tương tự

B cos

B





C cos

C



Do

1 1

2 2 cot cot cot

2 2

A B C

cos cos cos

A B C

A B C

  

     (1)

Mặt khác ABC ta ln có

3

cot cot cot cot cot cot cot cot cot

2 2 2 2 2

A B C A B C A B C

T       T

3

T

  (2) Từ (1) (2) suy bất đẳng thức cần chứng minh

Khám phá lời giải hàm số khác:

Với (0; )

x  sinxx nên

2

2

cos 2( )

2 2

x x x

x  sin    

áp dụng vào toán ta

2 2

1 ; ;

2 8

A A B B C C

cos   cos   cos  

Do

1 1

2 2

2 2

8

A B C

cos cos cos

A b C

A B C A B C

    

     

2

9 144

2 3

8

A B C

 





   

 

2.3 Khám phá ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức

Thông thường đặt ẩn phụ để quy toán cho tốn quen thuộc

a) Phân tích số ví dụ

Ví dụ 36: (bài thi Olympic Tốn Quốc tế năm 1983) Cho a, b, c cạnh

của tam giác Chứng minh 2

( ) ( ) ( )

a b a b b c b c c a ca  , đẳng

thức xảy nào?

Hoạt động khám phá:

Tồn x, y, z > thoả mãn a y z b,  z x c,  x y

- Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian

3 3 2

x zy xz yx yzxy zxyz hay

2 2

x y z

x y z

y  z  x   

- Có thể sử dụng bất đẳng thức để khử mẫu số vế trái bất đẳng thức cần chứng minh

Bất đẳng thức Côsi

2 2

2 , ,

x y z

y x z y x z

y   z   x  

bất đẳng thức Bunhiacopxki    

2 2

2 x y z

x y z x y z y z x

 

      

 

 

Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy nào?

Đẳng thức xảy x y z   a b c hay ABCđều

- Có thể đề xuất tốn tổng qt khơng?

Tổng quát: cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh với số nguyên n1 a b a bn (  ) b c b cn (  ) c a cn ( a)0, đẳng thức xảy nào?

Qua ví dụ cho thấy: a, b, c độ dài cạnh tam giác tồn số dương x, y, z thoả mãn a y z b,  z x c,  x y

Ví dụ 37: (bài thi Olympic Tốn Quốc tế năm 1985) Cho a, b, c số thực

dương cho abc = Chứng minh 3 3 3

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b 

, ,

a b c abc1

- Với mối liên hệ biểu diễn đại lượng qua biến trung gian nào?

Đặt a 1;b 1;c

x y z

   ta có x y z, , 0 xyz1

- Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian

2 2

3

x y z

yz zx xy 

- Có thể sử dụng bất đẳng thức để khử mẫu số yz z, x x, y? Bất đẳng thức Côsi

2

( )

x

y z x yz   

- Dấu đẳng thức xảy nào? (khi x  y z 1) , sửa lại bất đẳng thức để phù hợp với nhận xét này?

2

4

x y z x y z



 

 ,

2

4

y z x y z x



 

 ,

2

4

z x y z x y



 



hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki

 

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( )

x y z

y z z x x y x y z y z z x x y

 

         

    

 

Từ suy

2 2

2

x y z x y z

y z z x x y

 

  

  

- Khi ta phải chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

3

2

x y z

Qua ví dụ cho thấy: ba số dương a, b, c có tích tồn số dương x, y, z có tích thoả mãn a 1;b 1;c

x y z

  

Ví dụ 38: (bài thi Olympic Tốn Quốc tế năm 1993) Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh

2

2 3 3

a b c d

b c d c d ad a ba b c 

Hoạt động khám phá:

- Nếu coi đại lượng b2c3 ,d c2d3 ,a d2a3 ,b a2b3c biến số trung gian x y z t, , , biến số a b c d, , , biểu diễn qua biến trung gian nào?

Đặt x b 2c3 ,d y c 2d3 ,a z d 2a3 ,b t a 2b3c x y z t, , , 0

Suy ( )

24

a  x y z t , ( ) 24

b  y z t x

( )

24

c    z t x y , ( )

24

d   t x y z

- Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian

20 7 7

24 24

a b c d y z t z t x t x y x y z x y z t x x x y y y z z z t t t

 

                  

 

- Chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 36 số dương ta có

y y y t t z z t x t t x y x x y z 36

x x x                 x x y y y y z z z z t t t t

Suy 20 36

24 24

a b c d x y z t



Qua ví dụ cho thấy: đại lượng mẫu số tổ hợp đại lượng tử số biểu diễn mẫu số qua biến trung gian

Ví dụ 39: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 2008) Cho x, y, z số thực

khác thoả mãn xyz1 Chứng minh

2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 1)

x y z

x  y  z 

Hoạt động khám phá:

- Nếu coi đại lượng , ,

1 1

x y z

x y z biến số trung gian a b c, , Hãy

tìm hệ thức liên hệ a b c, ,

Đặt , ,

1 1

x y z

a b c

x y z

  

  

1 1

1 , ,

1 1

a b c

x y z

      

  

Ta có (a1)(b1)(c 1)

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)

xyz

abc

x y z  x y z  (vì xyz1)

Suy (ab bc ca  ) (    a b c) 0(ab bc ca  )   (a b c) - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian

2 2

1

a   b c

- Chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

Ta có 2 2

( ) 2( )

a b c  a b c  ab bc ca 

2

(a b c) 2(a b c)

      

(a b c 1) 1

     

Ví dụ 40: (bài thi Olympic Tốn Châu Á Thái Bình Dương năm 2002) Cho

các số dương a, b, c thoả mãn 1 1

a  b c Chứng minh

abc bca cab abc a b c

Hoạt động khám phá:

, ,

a b c 1 1

a  b c

- Với mối liên hệ biểu diễn đại lượng qua biến trung gian nào?

Đặt a 1;b 1;c

x y z

   ta có x y z, , 0 x  y z

- Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian

xyz yzx zxy   xy yz zx

hay xyz yzx zxy    x y z xy yz zx

- Chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

- Vế trái vế phải bất đẳng thức cần chứng minh có đặc biệt? Vế trái chứa xyz, vế phải chứa x yz

- Phải có mối quan hệ xyz  x yz , thử chứng minh điều

Ta có

(2)

xyz  x yz  x yzx  x yzyz

1 x yz x y z x yz

         y z2 0, x, y >

Tương tự, ta có yzx  y zx ; zxy  z xy Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 41: Cho số thực dương x y z t, , , thoả mãn xyzt1 Chứng minh

3 3

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

x yz zt ty  y xz zt tx  z xt ty yx t xyyzzx  Đẳng thức xảy

ra nào?

, , ,

x y z t xyzt1

- Với mối liên hệ biểu diễn đại lượng qua biến trung gian nào?

Đặt a 1;b 1;c 1;d x y z t

    ta có a b c d, , , 0 abcd 1 - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian

2 2

4

a b c d

S

b c d c d a d a b a b c

    

       

- Có thể sử dụng bất đẳng thức để khử mẫu số

, , ,

b c d c d   a d a b a b c  ? Bất đẳng thức Côsi

2

( )

a

b c d a b c d     

- Dấu đẳng thức xảy nào? (khi a   b c d 1) , sửa lại bất đẳng thức để phù hợp với nhận xét này?

2

2

9

a b c d a b c d

 

 

  ;

2

2

9

b c d a b c d a

 

 

 

2

2

9

c d a b c d a b

 

 

  ;

2

2

9

d a b c d a b c

 

 

 

Hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

S b c d    c d a d    a b a b c  a b c  d - Khi ta phải chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

1

( )

3 a b c d    hay a b c d   4(BĐT theo BĐT Cơsi,

abcd  ), từ suy bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy a   b c d hay x   y z t Qua ví dụ cho thấy:

+ Nếu bốn số dương a, b, c, d có tích tồn số dương x, y, z, t

có tích thoả mãn a 1;b 1;c

x y z

   ; d

t



+ Có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacopski để khử dạng mẫu

Ví dụ 42: (dựa theo thi Olympic Tốn THPT Việt Nam -1999) Cho số dương a b c, , thoả mãn abc a c  b Chứng minh

2 2

2 10

1 1

a  b  c  

Hoạt động khám phá:

- Đẳng thức abc a c b ac a.1 c.1

b b

       tương ứng với hệ thức lượng giác

nào góc tam giác?

tan tan tan tan tan tan

2 2 2

A B B C C A

- Có thể biểu diễn đai lượng a b c, , qua hàm số lượng giác tương ứng

với đẳng thức không?

Chọn A B C, , (0; ) cho tan ,1 tan , tan

2 2

A B C

a c

b

  

Theo giả thiết tan tan tan tan tan tan

2 2 2

A B B C C A

      A B C 

- Bất đẳng thức cần chứng minh chuyển bất đẳng thức lượng giác nào?

2 2 10

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2

3 11

2sin (1 2sin )

2 2

C A B C

cos    

2

2

1

sin

2

C A B A B

cos  cos 

 

    

 

Bất đẳng thức đúng, suy bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy nào?

Đẳng thức xảy AB sin

2

C 

hay 2, 2,

2

a b c

Qua ví dụ cho thấy: giả thiết toán tương ứng với hệ thức lượng giác đặt ẩn phụ đưa bất đẳng thức tam giác

Ví dụ 43: Cho x, y, z dương thoả mãn x  y z xyz Chứng minh

2 2

1 1

2

1 x y z

  

  

Hoạt động khám phá:

- Đẳng thức x  y z xyz tương ứng với hệ thức lượng giác góc

trong tam giác?

tanAtanBtanCtanAtanBtanC

- Có thể biểu diễn đại lượng x, y, z qua hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức không?

Chọn , , (0; )

2

A B C  cho xtan ,A ytan ,B ztanC Theo giả thiết tanAtanBtanCtanAtanBtanC    A B C 

2 2

1 1

2

1 tan A tan B tan C

  

   hay

3 cos cos cos

2

A B C - Chứng minh bất đẳng thức lượng giác nào?

Ta có cos cos cos cos cos cos

2

A B A B

A B C    C 

2

2sin 2sin

2 2

C A B C

cos 

  

2

2

1

1 sin

2 2 2

C A B A B

cos  cos 

 

     

 

1

2

   - Đẳng thức xảy nào?

Đẳng thức xảy

3

A  B C  hay x  y z

Ví dụ 44: Các số dương x y z, , thoả mãn x2y2z2xyz4 Chứng minh

3

x  y z

Hoạt động khám phá:

- Đẳng thức

2 2

2 2

4

2 2 2

x y z x y z

x y z xyz                 

          , tương

đương với hệ thức lượng giác góc tam giác?

2 2

2cos cos cos

cos A cos B cos C   A B C

- Có thể biểu diễn đại lượng x y z, , qua hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức không?

Chọn , , (0; )

2

A B C  cho cos , cos , cos

2 2

x y z

A B C

  

Theo giả thiết 2

2cos cos cos

cos A cos B cos C   A B C    A B C 

- Bất đẳng thức cần chứng minh chuyển bất đẳng thức lượng giác nào?

Mặt khác cos cos cos

A B C 2cosA2cosB2cosC3 - Đẳng thức xảy nào?

Đẳng thức xảy

3

A  B C  hay x  y z

Ví dụ 45: Cho x y Chứng minh 5

2

x y 

Hoạt động khám phá:

- Mối liên hệ đại lượng x y, xác định nào?

2

x y

- Với mối liên hệ biểu diễn đại lượng qua biến số trung gian nào?

Đặt x 1 a y,  1 a a, R

- Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo ẩn

5

(1a)  (1 a) 2

- Chứng minh bất đẳng thức nào?

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2 20 a 10a 2

(BĐT với a)

- Đẳng thức xảy nào? (Đẳng thức xảy a0 hay x y 1)

Ví dụ 46: Chứng minh a4;b5;c6 2

90

a  b c 

16

a b c  

Hoạt động khám phá:

- Mối liên hệ đại lượng a b c, , xác định nào?

4; 5;

a b c 2

90

- Với mối liên hệ biểu diễn đại lượng qua biến số trung gian nào?

Đặt a 4 x b,  5 y c,  6 z, ta có x y z, , 0

- Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo ẩn

1

x  y z

- Chứng minh bất đẳng thức nào?

+ Nếu ba số x y z, , có số lớn 1  x y z (vì

, ,

x y x )

+ Nếu x y z; ; 1

2 2

13x y z 8x10y12z   x y z 12x12y12z13(x     y z) x y z

Như trường hợp ta có x  y z - Đẳng thức xảy nào?

Đẳng thức xảy x y z1, tức a4,b5 c7

b) Những tri thức phƣơng pháp rút từ ví dụ

Giả thiết Chuyển theo ẩn phụ

Cho ba số dương a, b, c có tích

- Tồn số dương x, y, z có tích

thoả mãn a 1;b 1;c

x y z

  

- Tồn số dương x, y, z thoả mãn

; ;

x y z

a b c

y z x

Cho n số dương a a1, 2, ,an

có tích

- Tồn số dương x x1, 2, ,xn có tích

1 thoả mãn

1

1 1

; ; ; n

n

a a a

x x x

  

- Tồn số dương x x1, 2, ,xn thoả mãn

1

1

2

; ; ; n

n

x

x x

a a a

x x x

  

Cho ba số dương a b c, , có

tổng

Tồn số dương x, y, z thoả mãn

; ;

x y z

a b c

x y z x y z x y z

  

     

Cho n số dương a a1, 2, ,an

có tổng

Tồn số dương x x1, 2, ,xn thoả mãn

1

1

1 2

1

; ; ;

n n

n n

n

x x

a a

x x x x x x

x a

x x x

 

     



  

Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác

Tồn ba số dương x, y, z thoả mãn

, ,

a y z b z x c x y Cho ba số dương x y z, , thoả

mãn xyyzzx1

- Tồn tam giác ABC thoả mãn

tan ; tan ; tan

2 2

A B C

x y z

- Tồn tam giác nhọn ABC thoả mãn

cot ; cot ; cot

x A y B z C Cho ba số dương x y z, , thoả

mãn x  y z xyz

- Tồn tam giác nhọn ABC thoả mãn

tan ; tan ; tan

- Tồn tam giác ABC thoả mãn

cot ; cot ; cot

2 2

A B C

x y z

Cho ba số dương x y z, , thoả

mãn 2

2

x y z  xyz

Tồn tam giác nhọn ABC thoả mãn

cos ; cos ; cos

x A y B z C

2.4 Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phƣơng diện

Phân tích qua số ví dụ

Ví dụ 47: Cho 2

4x 9y 36 Chứng minh   5 x 2y5

Các hoạt động khám phá lời giải tốn: HĐ1: Nhìn tốn dạng lƣợng giác

- Hệ thức 2

4x 9y 36 hay

2

1

3

x y

    

   

    tương ứng với hệ thức lượng giác

nào góc?

2

sin t cos t 1

- Có thể biểu diễn đại lượng x y, , ?

3sin ; 2cos

x t y t

- Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo ẩn

5 3sint 4cost

   

- Chứng minh bất đẳng thức theo ẩn nào?

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 3sin 4cos

5 t t

Vì

2

3

1

5

    

   

    nên chọn

3

; sin

5cos   Khi bất đẳng thức cần

chứng minh có dạng  1 sin(t) 1 , bất đẳng thức với t nên bất

đẳng thức ban đầu x y,

HĐ2: Nhìn tốn theo phƣơng diện đại số (đặt m x 2y)

- Hãy tìm tập giá trị m để hệ phương trình 2 22 (1)

4 36 (2)

m x y x y

  



 

 có nghiệm

- Khử ẩn x (ẩn y) từ hệ nào? Rút x từ (1) vào (2) ta

2 2

4(m2 )y 9y 3625y 16my4m 360

- Tìm điều kiện m để phương trình (ẩn y) có nghiệm

Phương trình có nghiệm 

2 2

0 64m 25(4m 36) m 25 m



             suy   5 x 2y5

HĐ3: Nhìn tốn theo phƣơng diện hình học (đặt m x 2y)

- Tìm tập giá trị m để hệ phương trình 22 2 (1)

4 36 (2)

x y m x y

  

 

 

 có nghiệm

- Hệ thức (1) (2) phương trình đường mặt phẳng Hệ thức (1) phương trình đường thẳng

Hệ thức (2) :

2

1

9

x  y 

phương trình đường Elíp

- Chuyển yêu cầu từ đại số sang yêu cầu hình học tương ứng nào? Tìm điều kiện để hệ có nghiệm

- Nhắc lại điều kiện để đường thẳng Ax By c  0 tiếp tuyến (E):

2 2 x y a b 

2 2 2 a A b B C

- Áp dụng vào nào?

2 2

9.1 4( 2)  m m 25  m m5

Từ suy điều kiện để đường thẳng d cắt (E)       5 m 5 x 2y5

HĐ4: Nhìn tốn dạng bất đẳng thức quen thuộc

- Hãy viết lại bất đẳng thức Bunhiacopxki cho cặp số ( ; )( ; )a b c d

2 2 2

(a b )(c d )(ac bd ) - Giả thiết toán 2

4x 9y 36 hay 2

(2 )x (3 )y 36, gợi cho ta áp dụng cho cặp số nào?

(2 ;3 )x y hay ( ;1 2)

2 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2

2 2

(2 ) (3 ) ( )

2

x y      x y

        

      

 

2

(x )y 25 x 2y

       

Ví dụ 48: (bài thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002) Cho x y z, , số

dương x  y z Chứng minh 2

2 2

1 1

82

x y z

x y z

     

Các hoạt động khám phá lời giải toán:

- Hãy để ý vào vế trái bất đẳng thức, tổng bình phương đại lượng 2

1

x x



gợi cho bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? Dấu đẳng thức xảy nào?

Bunhiacopxki cho số ( ; )a b ( ; )c d 2 2

(a b )(c d )(acbd)

Đẳng thức xảy a b

c  d hay ( ; )a b ( ; )c d tỉ lệ

- Vai trị x y z, , bình đẳng nên cần áp dụng cho x y z, ,

- Đẳng thức xảy nào? (

3

x  y z ), tìm số tỉ lệ với

1 ( ; )x

x ?

1 ( ;3)

3 (1;9),

- Cần áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ( ; )x

x số nào?

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ( ; )x

x (1;9) ta có

2 2

2

1

(1 )(x ) (x )

x x

    hay

2

1

82 (x ) x

x x

  

Vận dụng tương tự với

2

1

y y



2

1

z z

 suy bất đẳng thức nào?

2 2

2 2

1 1 1

82 x y z x y z

x y z x y z

   

          

   

   

 

- Khi cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

1 1

9 82

x y z

x y z

 

      

- Các biểu thức 1

x y z x y z gợi cho ta nghĩ tới bất đẳng thức quen

thuộc nào?

1 1

9

x y z

x y z

 

      

  hay

1 1

x  y z x y z

- Vận dụng vào toán ta cần chứng minh bất đẳng thức nào?

81

82

x y z

x y z

   

 

- Tích (x y z) 81

x y z

 

  số gợi cho bạn nghĩ tới bất đẳng thức

nào?

Côsi cho số dương x y z 81 81

x y z

   

  , chưa suy bất

đẳng thức cần chứng minh

- Hãy xem lại dấu đẳng thức xảy ? (

3

x  y z hay x  y z )

đó cần áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số nào?

1

(x y z)

x y z

   

  Ta cần chứng minh

80

80

x y z  hay x  y z

(theo giả thiết ), từ suy bất đẳng thức cần chứng minh - Đề xuất toán tương tự tổng qt hố khơng?

- Bài toán cho áp dụng cho ba số dương có tổng nhỏ 1, mở rộng cho n số dương không? (lưu ý dấu đẳng thức xảy ra)

Tổng quát: cho x x1, 2, ,xn n số dương x1x2 xn 1 Chứng minh

rằng 2

1 2 2

1 1

1

n

x x x n

x x x

HĐ2: Nhìn tốn dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Côsi)

- Khai thác từ giả thiết: tổng tích ba số dương gợi cho bạn nghĩ tới bất đẳng thức quen thuộc nào?

BĐT Côsi cho ba số dương

3

1

3

x y z xyz    

 

- Vế trái bất đẳng thức tổng số hạng chưa có mối quan hệ với giả thiết, tích chúng có mối quan hệ với giả thiết Tổng tích số dương gợi cho bạn nghĩ tới bất đẳng thức quen thuộc nào? (bất đẳng thức Côsi )

- Dấu đẳng thức xảy nào? (khi

3

x  y z )

- Để ý vào số hạng

2

1

x x

 , số thứ

x số lại số

nào?

- Dấu đẳng thức xảy nào? (khi

3

x  y z Vậy số lại 12

81x )

Từ ta có lời giải sau: sử dụng bất đẳng thức Cơsi cho nhiều số, ta có

2

2

82

2 2 81 41 81 80

1 1 82

82

81 81 (81 ) 9

x

x x

x x x x x

      

Tương tự với y, z Sử dụng BĐT Cơsi cho ba số giả thiết có:

3

41 41

81 40 40 40 81 40 40 40

41 41 41 41 41 41

82 1 82 1

3 82

3

S

x y z x y z

 

 

    

 

 

Tổng quát: cho x y z, , số dương x  y z Chứng minh với số tự nhiên n1 ta có:

a) 2 2

2 2

1 1

82.3

n n n

n x n y z

x y z



     

b) 1

(9 1).3

n n n n n

n n n

x y z

x y z



      

Từ đề xuất tốn: cho x x1, 2, ,xn n số dương

1 n

x x  x  Chứng minh với số tự nhiên n1 ta có:

a) 2

1 2 2

1

1 1

( 1) n

n

n n n n

n

x x x n n

x x x



       

b) 2

1

1

1 1

( 1)

n n n n n

n

n n n

n

x x x n n

x x x



       

HĐ3: Nhìn tốn theo phƣơng diện hình học

- Có thể tìm kết cách khác khơng?

- Hãy nhìn vào vế trái bất đẳng thức, đại lượng

2 2

2 2

1 1

, ,

x y z

x y z

   có gợi cho em ý nghĩa hình học

khơng?

Độ dài véc tơ 2

( ; ),

u a b u  a b

- Hãy đưa vào toán đại lượng véc tơ thích hợp

1

1 1

( ; ); ( ; ); ( ; )

u x u y u z

x y z

  

Ta có 2

1 2

1 1

; ;

u x u y u z

x y z

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh u1  u2  u3

- Bất đẳng thức thể mối liên hệ độ dài véc tơ?

1 3 u u  u  u  u u

- Hãy vận dụng vào này? ta có

1 1

( ; )

u u u x y z

x y z

      

2

2 2

2 2

1 1 1

( )

x y z x y z

x y z x y z

 

           

 

- Khi ta cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào?

2 1

(x y z) 82

x y z

 

      

 

Làm tương tự ta có bất đẳng thức cần chứng minh

HĐ4: Nhìn tốn dạng khái quát bất đẳng thức phụ

- Bạn có biết tốn có liên quan hay khơng? Có thể sử dụng kết khơng?

2 2 2 2

1 2 3 ( 3) ( 3)

a b  a b  a b  a a a  b  b b - Chứng minh toán phụ nào?

- Tạm thời chứng minh toán tương tự đơn giản hơn, với hai dấu căn, xem có phát cách chứng minh cho tốn phụ hay khơng?

2 2 2

( ) ( )

a b  c d  a c  b d - Chứng minh bất đẳng thức nào?

Bất đẳng thức tương đương 2 2

(a b )(c d )ac bd Đây

- Từ ta có cách chứng minh sau

 2 2 2 2 2

1 2 3 ( 2) ( 2) 3

a b  a b  a b  a a  b b  a b

2

1 3

(a a a ) (b b b)

     

- Vận dụng vào nào?

2

2 2

2 2

1 1 1

( )

x y z x y z

x y z x y z

 

           

 

Làm tương tự trên, suy bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 49: Cho a, b, c, ba số dương thoả mãn a b c  3 Chứng minh

4 4 3

a   b c a  b c

Các hoạt động khám phá lời giải toán:

HĐ1: Nhìn tốn dạng khái qt bất đẳng thức phụ

- Nếu bạn chưa giải toán đề ra, thử giải tốn liên quan dễ khơng?

Cho a, b hai số dương thoả mãn a b 2 Chứng minh

4 3 a b a b

- Bạn có biết tốn liên quan khơng? Có thể sử dụng kết khơng?

4 3

a b a b ab , tương tự có 4 3

b  c b c bc ; 4 3 c a c a ca

- So sánh biết với yêu cầu toán:

Cộng vế ba bất đẳng thức trên, sau cộng hai vế BĐT

thu với 4

a  b c sử dụng giả thiết, suy BĐT cần chứng minh

- Bạn có nhận xét bậc hai vế, đưa chúng bậc không? (Bạn sử dụng kiện chưa?)

Vế trái bậc bốn, vế phải bậc ba, mà a b c  3 nên hai vế BĐT có

thể đưa bậc bốn: 4 3

3(a b c )(a b c a)( b c ) (1) - Hãy biến đổi tương đương BĐT

(1) 3 3 3

(a b a)( b ) (b c b)( c ) (c a c)( a )

         

2 2 2 2

(a b) (a ab b ) (b c) (b bc c ) (c a) (c ca a )

             , bất

đẳng thức với a, b, c

HĐ3: Nhìn tốn dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Côsi)

- Làm để hạ bậc từ

a xuống a3

Sử dụng BĐT Côsi cho bốn số: ba số

a số

- Đẳng thức xảy nào? Hãy vận dụng vào toán

Đẳng thức xảy a  b c Vậy số lại số

Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 4

1

a a a   a

- Vận dụng tương tự so sánh với yêu cầu toán:

Tương tự có 4

1

b    b b b ; 4

1

c    c c c

Cộng vế tương ứng ta được: 4 3

3(a b c )4(a b c ) 3

Ta cần chứng minh: 3

3

a   b c

- Chứng minh BĐT trung gian nào? (bạn sử dụng giả thiết chưa?)

Áp dụng BĐT Cơsi ta có

1 ;

a    a

1 ;

b    b

1

Cộng vế tương ứng sử dụng giả thiết a b c  3, suy 3

3

a   b c

- Bạn tổng qt hố tốn khơng?

- Bài tốn cho áp dụng cho ba số dương, mở rộng cho n số dương phát biểu nào?

Cho n số dương a a1, 2, ,an thoả mãn a1a2 an n Chứng minh

rằng 4 3

1 n n

a a  a a a  a

HĐ4: Nhìn tốn dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Bunhiacopxki)

- Làm để hạ bậc từ bậc bốn xuống bậc ba Sử dụng BĐT Bunhiacopxki:

3 3 2 2 2 2 4

(a  b c ) ( a a b b c c ) (a b c )(a b c ) Suy

4 4 3 3 3 2 a b c a b c a b c a b c

   



   

- Vận dụng tương tự để hạ bậc:

3 3 2

2 2

1 1

a b c a b c a b c a b c a b c

        

      , từ suy BĐT cần chứng minh

- Với cách làm tổng quát toán theo bậc a, b, c

Cho a, b, c, ba số dương thoả mãn a b c  3 Chứng minh với

mọi số ngun dương n ta ln có n1 n1 n n n n

a  b  c  a  b c

HĐ5: Nhìn toán dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Trêbƣsep)

- Có thể phát biểu tốn cách khác khơng? (lưu ý giả thiết a b c  3)

4 4 3

a  b c a b c a   b c

 hay

3 3 3

a a b b c c a b c a   b c

- BĐT có gần gũi với BĐT quen thuộc không? BĐT Trêbưsep cho hai dãy số ( ; ; )a b c 3

(a b c; ; ) - Giả thiết BĐT Trêbưsep có thoả mãn khơng?

Vai trị a, b, c ngang nên coi

3 3

0    a b c a b c

nên áp dụng BĐT Trêbưsep sử dụng giả thiết a b c  3, suy BĐT cần

chứng minh

HĐ6:Hoạt động khai thác giả thiết

- Bạn thấy trực tiếp kết khơng? Dấu đẳng thức xảy nào? Dấu đẳng thức xảy a  b c

- Nhận xét dấu a1

1

a  suy mối quan hệ

a a

1

a

1

a  dấu hay (a1)(

1

a  ) 0a4a3 a

- Vận dụng tương tự với b, c so sánh với yêu cầu tốn:

Tương tự có

1

b   b b ; c4  c3 c

Cộng vế tương ứng ba BĐT sử dụng giả thiết a b c  3, suy

BĐT cần chứng minh

- Với cách làm trên, phát biểu cho toán tổng quát:

Cho k, n số nguyên dương a a1, 2, ,ak số thực dương

thoả mãn a1a2 ak k Chứng minh

1 1

1 2

n n n n n n

k k

a  a   a  a a  a

2.5 Khám phá sai lầm lời giải sửa chữa Ví dụ 50: Đánh giá lời giải toán sau

Chứng minh a, b, c số dương

98 98 98

99 99 99

abc c

b a

c b a

  

 

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:

3 99 99 99 99

99 99

3 a b c c

b

a    (1)

3 98 98 98 98

98 98

3 a b c c

b

a    (2)

Vì vế (1) (2) dương nên chia vế (1) (2) ta có

3 98 98 98 99 99 99 abc c b a c b a     

Phân tích, đánh giá:

Lỗi mắc phải lời giải HS chia vế hai bất đẳng thức chiều (dù tất vế dương) Hãy ví dụ cụ thể để thấy cách làm sai Chẳng hạn: 21 52 suy

ra

5

Khám phá lời giải:

- Nếu bạn chưa giải toán đề thử giải tốn có liên quan Bạn nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng?

- Hãy toán đơn giản

2 2 a b c

abc a b c

 



 

2 2

2 2

3( ) ( )

3

a b c a b c

a b c a b c abc

a b c

   

       

 

- Phải ta chứng minh

99 99 99 98 98 98

3

a b c a b c a b c

    

 

- Đã có bất đẳng thức tương tự chưa?

- Lời giải đúng:

Giả sử a  b c 98 98 98

a b c , áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep có

98 98 98 98 98 98

3(a ab b c c )(a b c a)( b c )

99 99 99 98 98 98

3

a b c a b c a b c

   

 

 

Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cơsi

3

a b c

abc

  

Do kết luận 99 99 99

98 98 98 a b c

abc a b c

  

 

Ví dụ 51: Đánh giá lời giải toán sau

Cho a, b, c ba số tuỳ ý thuộc  0; thoả mãn a b c  3 Chứng

minh 2

5

a   b c

Lời giải:

Từ giả thiết suy

0  a a a( 2) 0 a 2a Tương tự: b22b;

2

2

c  c Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2

2( )

a b c  a b c

Suy ra: 2

6

a   b c

Vậy giá trị lớn 2

c b

a   Tại hai kết lại khác ?

Phân tích, đánh giá:

Lỗi mắc phải lời giải HS vội vàng kết luận giá trị lớn

nhất 2

c b

a   mà chưa dấu đẳng thức Với cách làm

như dấu đẳng thức không xảy Phép chứng minh HS đến có

2 2

6

a   b c không sai chưa

Khám phá lời giải:

- Dấu đẳng thức xảy nào?

- Khai thác từ giả thiết 0a b c, , 2 (2 a)(2b)(2 c) 2(ab bc ca) 4(a b c) abc

        

2(ab bc ca) abc

      ab bc ca  2

- So sánh có với u cầu tốn:

ta có 2 2

2( ) ( )

a b c  ab bc ca  a b c 

2 2

9 2( )

a b c ab bc ca

         

- Hoạt động thành phần: dấu đẳng thức xảy nào?

Dấu đẳng thức xảy ( , , )a b c (0,1, 2), (0, 2,1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2,1, 0), (2, 0,1) - Nhìn bất đẳng thức phương diện khác:

Nếu nhìn tốn phương diện hình học hệ toạ độ Oxyz, điểm M(a; b; c) thoả mãn giả thiết thuộc hình lập phương (vì a b c, ,  0; ) đồng thời thuộc mặt phẳng x  y z Các đỉnh hình lập phương

(0;2;2), (2;2;2), (2;0;2), (0;0;2), (0;2;0), (2;2;0), (2;0;0), (0;0;0)

A B C D A B C D Từ

M thuộc thiết diện lục giác ENLQPH, với E(0;2;1), N(0;1;2), (1;0;2),L

(2;0;1), (2;1;0), (1;2;0)

Q P H

Ta có: 2 2

a   b c OM lớn ME L N Q P H; ; ; ; ;  Mà

2 2 2

5

OE OL ON OQ OP OH  , a2  b2 c2

Ví dụ 52: Đánh giá lời giải toán sau

Cho số không âm x y z, , thoả mãn x  y z Chứng minh

9

4

xyyz zx xyz

Tương tự:

(1 )(1 ) (2)

y   z  x ;

(1 )(1 ) (3)

z   x  y

Từ (1), (2) (3) suy ra: 2 2

) ( ) ( ) ( )

(xyz   x  y  z

(1 )(1 )(1 )

xyz x y z

     4(xyyzzx) 8 xyz1

4

9

 

 

 xy yz zx xyz Đẳng thức xảy

3

  

x y z

Phân tích, đánh giá:

Lỗi mắc phải lời giải HS nhân vế ba bất đẳng thức chiều mà vế phải chưa xác định dấu Hãy ví dụ cụ thể để thấy cách làm sai Chẳng hạn: 1 2; 32; 2 4 suy 1.3.2 ( 2).2.( 4)

Khám phá lời giải:

- Trước hết xét tổng số hạng x y z y,  z x z,  x y Từ nhận xét dấu số hạng

Tổng số hạng không âm nên có nhiều số âm số hạng

- Nếu số hạng có số âm bất đẳng thức

(1 )(1 )(1 )

xyz  x  y  z có cịn khơng?

Bất đẳng thức hiển nhiên vế trái không âm, vế phải không dương

- Nếu ba số hạng khơng âm áp dụng lời giải suy bất đẳng thức cần chứng minh

- Nhìn bất đẳng thức phương diện khác:

Theo giả thiết x  y z nên có số khơng lớn

3

Giả sử

3

x

  , ta có

9

( )

4

xyyzzx xyzx y z yz  x

 

2

1

(1 )

2

x

x x     x

      

   

Xét hàm số

2

1

( ) (1 )

2

x

f x x  x       x

    đoạn

1 0;

3

 

 

 , suy

1 ( )

4

f x 

Ví dụ 53: Đánh giá lời giải toán sau

Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: )

(

2 2 2 2

4 4 a c c b b a c b

a     

Lời giải:

Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên

2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) (

2bc c a b c a bc b c a bc

b a c

b             

      

 4 2 2 2 2

4

2

2b c a b c a b c

a c

b a4 b4 c4 2(a2b2 b2c2 c2a2)

Phân tích, đánh giá:

Lỗi mắc phải lời giải HS bình phương hai vế bất

đẳng thức 2

2

b  c a  bc mà chưa xác định dấu Hãy

ví dụ cụ thể để thấy cách làm sai Chẳng hạn:  4 không

thể suy 2

( 4) 3 Với cần tam giác ABC có góc A tù hay

2 2

0

b  c a  bình phương vế bất đẳng thức sai

Khám phá lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với

2 2 2

(b  c a ) (2bc) 0  (b2 c2 a22bc b)( 2 c2 a22bc)0   (b c a b c a b c c b c a)(   )(   )(   ) - Khai thác giả thiết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác

Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác

, , 0; ; ;

a b c a b c b c a c a b

        , suy bất đẳng thức cần chứng minh

- Nhìn bất đẳng thức phương diện khác:

Hệ thức 2

b  c a gợi cho bạn nghĩ đến hệ thức lượng giác nào?

Định lí hàm số Cosi: 2

2 osA

b  c a   bc c

Hãy viết bất đẳng thức cần chứng minh dạng khác:

2 2

( 2 bc c osA) (2bc) cos A<1 Bất đẳng thức A góc tam giác

Ví dụ 54: Đánh giá lời giải toán sau

Chứng minh với số thực x y z, , khơng âm, ta có

2 2

2 2

1 1

2

1 1

x y z

y z z x x y

     

     

Lời giải:

Khơng tính tổng quát giả sử x  y z

Từ

(x1) 0, suy 2

3(x  1) 2(x  x 1) Đẳng thức xảy x1,

2

2

1

1

x x

y z x x

   

Tương tự ta có 2 y z x     ; 2 z x y  

  Từ suy điều phải chứng

minh, đẳng thức xảy x  y z

Phân tích, đánh giá:

Biểu thức vế trái bất đẳng thức cho có dạng hốn vị vịng quanh nên xem biến lớn nhỏ mà thơi Do đoạn lập luận sau lời giải toán: Giả sử x  y z ta có

2 2 x y z  

  , suy

2 2 y z x     ; 2 z x y  

  phép tương tự

vì vai trị x, y, z tốn khơng bình đẳng

Khám phá lời giải:

- Nhìn vào ẩn, x

x liên hệ với bất đẳng thức nào? Hãy vận

dụng vào toán

2

1

x   x

2 2

2 2

2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

2 2 2 2 2

x y z

y z z x x y

  

   

     

2 2

2 2 2

2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 )

x y z

M

z y x z y x

  

   

        

Ta cần chứng minh M 2

- Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian nào?

Đặt 2

1x a;1y b;1z c(a b c, , dương)

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 2

2 2

a b c

M

c b a c b a

  

   2

Đó bất đẳng thức: ( )2 ax+by+cz

a b c a b c x y z

 

   (Với a, b, c, x, y, z

các số thực dương)

- Có thể sử dụng kết khơng?

2

2 2 ( ) 2( )

2

2 2 (2 ) (2 ) (2 ) 3( )

a b c a b c a b c

c b a c b a a c b b a c c b a ab bc ca

   

    

         

Ví dụ 55: Đánh giá lời giải toán sau

Cho a b, 0 Chứng minh rằng:

2

2

a b a b

b a b a

 

     

  (1)

Lời giải:

Ta có (1)

2

2

9

2

4

a b a b

b a b a

    

        

 

 

 

2

3

0

2

a b b a

 

     

 

a b a b

b a b a

   

       

    (2) Vì

a b

b  a (2) với

mọi a b, 0 Vậy (1) với a b, 0

Phân tích, đánh giá:

Lỗi mắc phải lời giải học sinh vội vàng kết luận

2 ,

a b

a b

b  a  Bất đẳng thức a b, dương Hãy mội ví dụ

cụ thể để thấy bất đẳng thức sai Chẳng hạn, a2,b 1

2

2



 



Khám phá lời giải:

- Nhận xét dấu a

Ta có a

b b a  

a b

b

a dấu

- Đẳng thức thể mối quan hệ hai số dấu

a b a b ba  b  a

- Với điều kiện a0,b0 a , b

b a dương, gợi cho bạn nghĩ tới bất

đẳng thức nào?

Bất đẳng thức Côsi: a b a b

b  a  b a  Khi

a b

b a

2

a b

b   a (2) Vậy (1) với a b, 0

- lời giải đúng: Ta có (1)

2

2

9

2

4

a b a b

b a b a

    

        

 

 

 

2

3

0

2

a b b a

 

     

 

a b a b b a b a

   

       

    (2)

Vì a b a b a b

ba  b  a    b a

a b

b  a Suy (2) Vậy

Kết luận chƣơng

Chương trình bày việc vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn dạy học bất đẳng thức trường THPT

Bao gồm:

- Khám phá vận dụng bất đẳng thức biết

- Khám phá hàm số chứng minh bất đẳng thức - Khám phá ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức - Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện - Khám phá sai lầm lời giải sửa chữa

Chƣơng

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1 Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sƣ phạm

a) Mục đích thực nghiệm sƣ phạm

- Để làm sáng tỏ thêm lý luận phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trình bày

- Bước đầu kiểm tra tính khả thi tính hiệu phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn dạy học bất đẳng thức trường THPT

b) Tổ chức thực nghiệm

- Chọn lớp thử nghiệm: chọn hai lớp: 12A2 12A3 năm học 2009 - 2010 trường THPT Lạng Giang số - Bắc Giang để thử nghiệm sư phạm; lớp 12A2 lớp thử nghiệm; lớp 12A3 lớp đối chứng Mặt chung trình độ nhận thức đối tượng học sinh hai lớp tương đương

- Tiến trình thử nghiệm: Số tiết dạy thử nghiệm tiết Quá trình thực nghiệm xếp vào số tiết ôn tập, tuần tiết vào tháng năm học 2009 - 2010

c) Nội dung thực nghiệm

- Các tiết dạy thực nghiệm số tiết ôn tập chuyên đề bất đẳng thức THPT Sử dụng tập hệ thống tập xây dựng chương giáo án sau

3.2 Các giáo án thực nghiệm sƣ phạm

Giáo án BẤT ĐẲNG THỨC

I Mục tiêu giảng

- Hiểu vận dụng bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki - Rèn luyện cho học sinh hoạt động khám phá có hướng dẫn tìm lời giải tốn

II Chuẩn bị

- Giáo viên: giáo án, tập

- Học sinh: sách giáo khoa, kiến thức liên quan

III Các hoạt động

Bài 1. (Bất đẳng thức Côsi trường hợp n = ) Cho a, b số thực không âm Chứng minh

2

a b ab

 

Hướng dẫn học sinh giải toán theo tư tưởng Polya Hoạt động giáo

viên

Hoạt động học sinh Ghi bảng

[?] Bài tốn cho gì? u cầu gì?

[!] Cho a b, R a; 0,b0

Chứng minh:

2

a b ab

 

(1)

[?] Theo định nghĩa để

chứng minh bất đẳng thức dạng AB ta phải làm gì? Vận dụng vào tốn

[!] Để chứng minh AB

ta chứng minh A B 0

Khi (1)

0 a b ab    

a b ab

    (2)

Cho a, b số thực không âm Chứng minh

2

a b ab

 

[?] Bạn sử dụng

dữ kiện hay chưa? Dữ kiện có liên quan đến u cầu tốn? [!] 2 0; ;

ab a b a b

a a b b

 



   

 



Lời giải Cách

(1) a b ab    

[?] Biến đổi tương đương bất đẳng thức (2)?

[!] (2)

( a b)

  

luôn  a 0;b0 suy bất đăng thức chứng minh

2

a b ab

   

2

( a b) 0,

  

luôn

0;

a b

  

[?] Hãy cho biết dấu “=” bất đẳng thức xảy nào?

[!] Dấu “ = ” xảy

a b

    a  b

0

a b

  

Dấu “ = ” xảy a b    a b   a b   

[?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên?

[?] Trên cách

góc độ khác để em tìm cách giải

[?] Hãy để ý vào vế

phải bất đẳng thức, trung bình nhân số a b có gợi cho em nhớ đến hệ thức hình học? (cụ thể hệ thức lượng tam giác vuông )

[!] Trong tam giác vuông độ dài đường cao xuất phát từ góc vng trung bình nhân độ dài hình chiếu cạnh

góc vuông lên cạnh

huyền

ABC

 vuông C,

CH đường cao, ta có CH  AH BH

[?] Đặt HA = a, HB = b

hãy biểu diễn ab a + b theo độ dài đoạn thẳng có tam giác? Hãy chuyển bất đẳng thức đại số bất đẳng thức hình học?

[!] CH  ab AB;  a b

Bất đẳng thức (1) có dạng

2

AB CH



Cách

+ Nếu a, b dương, vẽ

nửa đường trịn

đường kính AB = a + b Trên AB lấy điểm H thoả mãn AH = a, HB = b

[?] Hãy xác định bán

kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC

[!]

2

AB

R Từ H kẻ đường

vng góc với AB cắt nửa đường trịn C

CH  HA HB  ab

[?] Hãy so sánh R CH

[!] CH không lớn bán

kính đường trịn CHR



2

a b ab  

Suy bất đẳng thức chứng minh

nên

1

2

a b ab CH AB 

[?] Hãy cho biết dấu “=” bất đẳng thức xảy nào?

[!] Đẳng thức xảy 

CH bán kính hay H trùng với tâm đường trịn điều a = b

đẳng thức xảy 

CH bán kính  H

trùng với tâm đường tròn  a = b

[?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên?

+ Nếu

0 a b    

 (1)

đúng Vậy (1)

0;

a b

  

[?] Bất đẳng thức (1) bất đẳng thức cosi cho số không âm, vế trái trung bình cộng, cịn vế phải trung bình nhân số Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho số khơng âm phát biểu nào?

[!] Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh

rằng

3

a b c

abc

  

(3)

Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh

3

3

a b c

abc

  

(3)

[?] Có thể áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức (2) không? Bất đẳng thức

[!] (3)

a b c abc

   

4

ab c abc

           abc  (4)

Áp dụng BĐT Côsi

còn vế trái (2) tổng số, viết lại bất đẳng thức (2) để vế trái có tổng số chẵn?

3

2

ab c abc



6

abc abc abc

 

[?] Hãy vận dụng liên tiếp bất đẳng thức (1) vào vế trái bất đẳng thức (4) cộng vế tương ứng bất đẳng thức chiều?

[!] a b ab   ; 3 c abc c abc   ;

ab c abc

 abc abc  abc 

Cộng vế tương ứng bất đẳng thức ta (4)

[?] Dấu “ = ” xảy nào?

[!] Dấu đẳng thức xảy

3

3

a b c abc

ab c abc

       

a b c

  

Dấu đẳng thức xảy

3

3

a b c abc

ab c abc

       

a b c

  

[?] Bất đẳng thức (1), (3) bất đẳng thức cosi cho số, số không âm Tổng quát phát biểu cho n số không âm?

[!] Cho n số thực không âm a a1, 2, ,an

1 2 n n n

a a a

a a a n

   

Dấu đẳng thức xảy 

1 n

a a  a

Cho n số thực không âm a a1, 2, ,an

1 2 n n n

a a a

a a a n

  



Dấu đẳng thức xảy

 a1 a2   an

Bài 2: Cho số a b c d, , , R Hãy chứng minh bất đẳng thức:

2 2

[?] Bài tốn cho gì? u cầu gì?

[!] Cho a b c d, , , R Chứng minh

2 2 2

(ac bd ) (a b )(c d )

Bài 2: Cho số

, , ,

a b c dR.Chứng minh bất đẳng thức:

2

(acbd) 

2 2

(a b )(c d )

   (1)

[?] Hãy biến đổi tương đương bất đẳng thức cho?

[!] Bất đẳng thức cho tương đương với:

2 2

2

a c b d  acbd 2 2 2 2

0

a c a d b c b d 

2 2

2adbc a d b c

   

(2)

Cách

(1) 2 2

2

a c b d acbd

  

2 2 2 2 a c a d b c b d

   

2

2 2 2 0

a d adbc b c

   

[?] Biến đổi tương

đương bất đẳng thức (2)?

[!] (2)

2

2 2

2

a d abc b c

   

2

(ad bc)

   ,

đúng a b c d, , , R

Suy bất đẳng thức chứng minh

2

(ad bc)

   ,

đúng a b c d, , , R

Dấu “ = ” xảy

0

ad bc

  

;( , 0)

a b c d c d

  

[?] Hãy cho biết dấu “ = ” bất đẳng thức xảy nào?

[!] Dấu “ = ” xảy

0

ad bc ad bc

    

;( , 0)

a b c d c d

  

[?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên?

rất thông thường mà học sinh tìm Bây nhìn tốn từ góc độ khác để em tìm cách giải

[?] Hãy để ý vào vế phải

của bất đẳng thức, tổng bình phương đại

lượng 2

a b c2d2

có gợi cho em ý nghĩa hình học khơng?

[!]

+ Liên quan đến véc tơ + Bình phương đại lượng bình phương độ dài véc tơ

Cách

Đặt ( , )

( , )

u a b v c d

   

 

Khi 2

,

u  a b

2

v  c d

[?] Hãy đưa vào tốn

các đại lượng vectơ thích hợp?

[!] Đặt ( , )

( , )

u a b v c d

   



 ,

2 2

,

u  a b v  c d

( )

u v ac bd

mà cos u v( , ) 1

 u v  u v

[?] Hãy tìm mối liên hệ hai vectơ u v, giúp

cho ta chứng minh bất đẳng thức?

[!] u v  u v cos u v ( ) (3)  (acbd)2 

2 2

(a b )(c d )

  

[?] Ta biết rằng:

( , )

cos u v  Vậy đẳng thức (3) trở thành bất đẳng thức nào?

[!] u v  u v (4) Dấu “ = ” xảy 

,

u cung phuong v u k v k R

 

 

[?] Hãy tính:

?, ?

u v u v  Từ suy

ra BĐT cần chứng minh

[!] u v (ac bd )

2 2

( )( )

u v  a b c d

a kc b kd       a k c b k d        

[?] Hãy cho biết dấu “ = ” bất đẳng thức xảy nào?

[!]

,

u cung phuong v u k v k R

 

 



; ( , 0)

a b

c d c d

  

; ( , 0)

a b

c d c d

  

[?] Hãy nhìn bất đẳng thức cho dạng sau:

2 2 2

(ac bd ) (a b )(c d )

0

 Rõ ràng nhìn

biểu thức vế trái

2 2 2

(ac bd ) (a b )(c d ) ta thấy giống với biệt thức  tam thức tính sẵn Vậy phải xây dựng tam thức tốn có hướng giải mới?

+ a = b = c = d =

thì BĐT + a b,  0 a2b20

Xét tam thức

2 2

( ) ( )

f x a b x

   

2

2(ac bd x) (c d )

   

2

(ax c) (bx d)

    

( ) 0,

f x x

  

[?] Bây đặc biệt hoá a = b = c = d = 0, em kiểm tra bất đẳng thức có không?

[!] Với a = b = c = d = bất đẳng thức ln

Vậy ta có

'

(ac bd)

   

2 2

(a b )(c d )

[?] Nếu tồn trường hợp

, , ,

a b c dR cho

,

a b Khi cho biết

dấu 2

a b ?

[!] 2

0

a b  Dấu “ = ” xảy 

; ( , 0)

a b

c d c d

  

[?] Hãy xây dựng tam

thức bậc hai với hệ số A, B, C nhận biểu thức VT ? Hãy kiểm tra dấu f(x)?

[!] 2

;

Aa b

2( );

B ac bd C c2 d2

2 2

( ) ( )

f x a b x

   

2

2(ac bd x) (c d )

   

2

(ax c) (bx d)

    

Vậy f x( ) 0, x

[?] Khi áp dụng định

lý dấu tam thức bậc hai cho ta kết cần chứng minh

* BĐT Bunhiacopxki cho số thực: a, b, c, x, y, z

[?] Bất đẳng thức (1)

bất đẳng thức

Bunhiacopxki cho số thực hay cho hai cặp số (a; b), (c; d), với

, , ,

a b c dR Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho hai ba số phát biểu nào? Dấu đẳng thức xảy nào?

[!] Cho hai ba số (a; b; c), (x; y; z) với

, , , , ,

a b c x y z R Hãy chứng minh bất đẳng

thức:

(ax by cz) 

2 2 2

(a b c )(x y z ) (5)

Dấu đẳng thức xảy

khi a b c

x  y z

Cho hai ba số

(a; b; c), (x; y; z) với

, , , , ,

a b c x y z R Hãy chứng minh bất đẳng

thức:

(ax by cz) 

2 2 2

(a b c )(x y z ) (5).Dấu đẳng thức xảy

[?] Bất đẳng thức (1), (5)

là bất đẳng thức

Bunhiacopxki cho hai hai, ba số Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho hai

bộ n số thực

1

( ;a a ; ;an) , ( ;b b1 2; ;bn)

thì phát biểu nào? Dấu đẳng thức xảy nào?

[!] Với hai n số

1

( ;a a ; ;an),( ;b b1 2; ;bn),

ta ln có

2 1 2

(a b a b  a bn n)

2 2

1

(a a an )

   

2 2

1

(b b  bn )

Dấu đẳng thức xảy 

1 2 n n a a a

b  b   b

* BĐT Bunhiacopxki cho 2n số thực

Với hai n số

1

( ;a a ; ;an) ,

1

( ;b b ; ;bn), ta có

2 1 2

(a b a b  a bn n)

2 2

1

(a a an )

   

2 2

1

(b b  bn )

Dấu " " xảy ra

1 2 n n a a a

b  b  b

IV Hệ thống tập

Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức

a) a b

a b

    

  

   , với a, b dương

b) 2

a   b c ab bc ca  , với a, b, c dương

c) 2 2

( )

a b c d e a b  c d e , với a, b, c, d, e dương d) Cho x, y, z >0, xyz = Chứng minh

2 2 2

1 1

3

x y y z z x

xy yz zx

        

e) Cho x, y, z >0 1

x  y z Chứng minh

1 1

1

  

Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức

a) Cho số thực a, b, c thoả mãn 2

1

a   b c Chứng minh

3 35

a b c

b) Cho số thực a, b, c thoả mãn ( 1) ( 1) ( 1)

3

a a b b c c  Chứng minh

rằng a b c  4

c) Cho số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = Chứng minh

4 4 16

3

a b c 

d) Cho số thực x, y thoả mãn 3x - 4y = Chứng minh 2

3x 4y 7 e) Cho x, y, z số thực dương x  y z Chứng minh

2 2

2 2

1 1

82

x y z

x y z

     

Hƣớng dẫn. Mức độ vận dụng toán khó dần

Bài

a) Chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho số b) Phải ghép đôi vận dụng bất đẳng thức Côsi cho số :

a b2; b2 c2;

c a2 Rồi cộng vế tương ứng bất đẳng thức chiều

c) Phải biết tách

2 2 2

4 4

a a a a

a     , áp dụng bất đẳng thức Côsi

d) Vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số thức, vừa áp dụng cho số hạng vế trái

e) Đòi hỏi vận dụng sáng tạo hơn: 1 1( 1 1)

Bài

a) Chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số: ( 1; 3; ) (a; b; c )

b) Phải biết biến đổi giả thiết:

2 2

1 1 25

2 2 12

a b c

         

     

      áp dụng bất

đẳng thức Bunhiacopxki cho số ( 1; 1; ) ( 1; 1; 1)

2 2

a b c c) Phải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki lần

d) Cần viết lại bất đẳng thức phải chứng minh 2

( )x (2 )y 7, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ( ; )x y ( 3;2)

e) Đòi hỏi vận dụng sáng tạo:

2

1

82

x x

x x

 

    

 

Giáo án BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Mục tiêu giảng

- Biết chứng minh số bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức Cosi - Rèn luyện cho học sinh hoạt động khám phá có hướng dẫn tìm lời giải toán

II Chuẩn bị

- Giáo viên: giáo án, tập

- Học sinh: tập sách giáo khoa

III Các hoạt động

Bài 1. Cho hai số dương a, b Chứng minh 3

( )

Hoạt động giáo viên

Hoạt động học sinh Ghi bảng

[?] Bài tốn cho gì? u cầu gì?

[!] Cho a0,b0 Chứng

minh: 3

( )

a b ab a b (1)

Bài 1. Cho hai số dương a, b Chứng minh

3

( )

a b ab a b (1)

[?] Theo định nghĩa để

chứng minh bất đẳng

thức dạng AB ta

phải làm gì? Vận dụng vào toán nào?

[!] Để chứng minh AB

ta chứng minh A B 0

Khi

3

( )

a b ab a b

3

( )

a b ab a b

     (2)

3

( )

a b ab a b

3

( )

a b ab a b

    

Theo giả thiết

0, 0

a b   a b

[?] Biến đổi tương

đương bất đẳng thức (2)?

[!] (2)

(a b a b)( )

    Mà

(a b ) 0

suy

(ab a b)(  ) 0

[?] Bạn sử dụng

mọi kiện hay chưa? Dữ kiện có liên quan đến u cầu toán?

[!] a0,b   0 a b

suy

(ab a b)(  ) 0 (BĐT chứng minh)

Dấu “ = ” xảy

a b

 

[?] Hãy cho biết dấu “ = ” bất đẳng thức xảy nào?

[!] Dấu “ = ” xảy

a b

 

giải theo ý tưởng trên?

[?] Khám phá cách

giải khác: phát biểu tốn cách khác khơng? [!] 3 a b a b ab    2 a b a b b  a  

Lời giải khác:

3

(1) a b a b

ab     2 a b a b b  a  

[?] - Vai trò a b, bình

đẳng nên cần áp dụng cho a b,

- Có thể sử dụng bất đẳng thức để khử dạng mẫu số, để ý tử số bình phương

[!] Bất đẳng thức Côsi cho

hai số:

2 a

b b

2

2

a

b a b   ;

2

2

b

a b a  

Cộng vế tương ứng suy bất đẳng thức cần chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:

2

2

a

b a b   ;

2

2

b

a b a  

Cộng vế tương ứng suy bất đẳng thức cần chứng minh

[?] Bạn sử dụng kết cho tốn khác khơng? Thử áp dụng tương tự với số dương b, c c, a

[!] 3 b c b c bc    3 c a c a ca   

[?] Hãy phát biểu cho toán

[!] Cho a, b, c ba số dương Chứng minh

3 3 3

2( )

a b b c c a ab bc ca

a b c

  

  

  

Bài 2. Cho a, b, c ba số dương Chứng minh

3 3 3

2( )

a b b c c a ab bc ca

a b c

     

[?] Có thể viết bất đẳng thức (1)

dạng khác không?

(Các số hạng 3

,

a b gợi

cho bạn nghĩ tới đẳng thức nào?)

[!]

3 3

(ab) a b 3ab a( b)

3 3

(1)4(a b )(a b )

[?] Áp dụng tương tự phát biểu cho toán

[!] 3

4(b c )(bc)

3 3

4(c a ) (c a)

Bài 3. Cho a, b, c ba số dương Chứng minh

3 3

3 3

8( )

( ) ( ) ( )

a b c

a b b c c a

  

    

Bài Cho a, b, c ba số dương Chứng minh

3 3 3

1 1

a  b abcb  c abcc a abc abc

[?] nhìn vào số hạng

3

a b Bạn có biết tốn có liên quan hay khơng? Có thể sử dụng kết khơng?

[!] 3

( )

a b ab a b

3

( )

a b abc ab a b c

     

3

1

( )

a b abc ab a b c

 

   

Áp dụng (1) suy

3

( )

a b abcab a b c

hay

3

1

( )

a  b abcab a b c 

[?] Hãy áp dụng tương

tự cho số hạng lại so sánh với bất đẳng thức cần chứng minh

[!]

3

1

( )

b  c abc ab a b c  3

1

( )

c a abc ab a b c 

Cộng vế tương ứng

Tương tự ta có

3

1

( )

b  c abcab a b c 

3

1

( )

c a abcab a b c 

của ba BĐT trên, suy bất đẳng thức cần chứng minh

ứng ba BĐT trên, suy bất đẳng thức cần chứng minh

[?] Nếu bổ xung giả thiết abc1

tốn phát biểu nào?

[!] Cho a, b, c ba số dương abc1 Chứng

minh

3 3

3 1 1 1

a b b c

c a

 

   

 

 

Bài 5. Cho a, b, c ba số dương abc1

Chứng minh

3 3

3 1 1 1

a b b c

c a

 

   

 

 

Bài Cho a, b, c ba số dương abc1 Chứng minh

5 5 5

ab bc ca

a  b abb  c bcc a ca 

[?] Giả thiết toán gợi cho bạn nghĩ tới toán mà bạn gặp rồi?

[!] Đó

Ta có

5 3

1

ab

a  b aba  b

[?] Có thể sử dụng kết khơng? (Kết gợi cho bạn chứng minh BĐT nào? )

[!]

5 5

5 3

3 3

1 1

1

ab bc

a b ab b c bc ca

c a ca a b b c c a

                  4 2

( )( )

( )( )( )

a b a b

a b a b a b

   

    

BĐT với a, b dương

[?] Chứng minh BĐT trung

gian nào? (Hãy nhìn vào số hạng)

[!] Phải chăng:

5 3

1

ab

a  b aba  b

(*)

Tương tự ta có

5 3

1

bc

b  c bcb  c

[?] Chứng minh bất đẳng thức (*) nào?

[!]

4

(*)(a b a )( b )0

5 3

1

ca

[?] Hãy áp dụng tương tự cho số hạng lại so sánh với bất đẳng thức cần chứng minh

[!]

5 3

1

bc

b  c bcb  c

5 3

1

ca

c a cac a 

Cộng vế tương ứng ba BĐT trên, suy bất đẳng thức cần chứng minh

Cộng vế tương ứng ba BĐT áp dụng trên, suy bất đẳng thức cần chứng minh

[?] Bằng hoạt động khám phá tương tự, HS giải tốn sau:

Bài 7 Cho a, b, c ba số dương Chứng minh

a)

3 3

3

a b c

b c c a a b

      

        

      ; b)

3 3 2

a b c a bcb cac ab

3.3 Kết thử nghiệm

a) Về phƣơng pháp khả lĩnh hội kiến thức học sinh

Giáo viên tổ chức hoạt động khám phá cho học sinh học, sử dụng phương pháp dạy học hợp lí Học sinh có khả tiếp thu nắm cách chứng minh số dạng bất đẳng thức trường THPT Bằng hoạt động khám phá, học sinh giải phần lớn tập luận văn

b) Về kết kiểm tra

Đề kiểm tra:

Câu Cho ba số thực không âm x y z, , thoả mãn 2000 2000 2000

3

x y z 

Chứng minh 2

3

x y z 

Câu Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh

sinAsinBsinCtanAtanBtanC2

Câu Cho ba số dương a b c, , nhỏ thoả mãn ab bc ca  1

Chứng minh 2 2 2 3

1 1

a b c

a  b  c 

  

Ý định sƣ phạm đề kiểm tra:

Câu 1: Thuộc chủ đề vận dụng BĐT biết

Câu 2: Thuộc chủ đề vận dụng phương pháp hàm số, nhằm kiểm tra khả khám phá hàm số

Câu 3: Thuộc chủ đề vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhằm kiểm tra khả chuyển từ BĐT đại số sang BĐT lượng giác

Kết kiểm tra:

Lớp Tổng số

HS

Nhóm điểm

1 - - - - - 10

SL % SL % SL % SL % SL %

Qua kiểm tra ta thấy lớp thực nghiệm có kết cao lớp đối chứng Điều chứng tỏ phương pháp tác động hiệu tới trình học tập học sinh

Kết luận chƣơng

Mặc dầu tiến hành thực nghiệm sư phạm phạm vi hẹp (một lớp thực nghiệm, lớp đối chứng) Song, kết thực nghiệm sư phạm phần chứng tỏ: phương pháp đề xuất có tính khả thi tính hiệu quả; học sinh học tập môi trường “động”, tức học sinh hoạt động, giao lưu tích cực tự khám phá kiến thức, phương pháp cần nhân rộng phần kiến thức khác trường THPT

KẾT LUẬN

Luận văn thu đƣợc kết sau đây:

1 Luận văn minh hoạ làm sáng tỏ lý luận phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn theo quan điểm hoạt động; phương pháp giải toán theo bốn bước Polya Tìm hiểu thực tiễn qua kiểm tra, cho thấy HS yếu kĩ chứng minh BĐT

2 Luận văn trình bày việc vận dụng lí luận dạy học khám phá có hướng dẫn vào số dạng BĐT thường gặp trường THPT Đó là:

- Khám phá vận dụng bất đẳng thức biết

- Khám phá hàm số chứng minh bất đẳng thức - Khám phá ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức - Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện - Khám phá sai lầm lời giải sửa chữa

Những nội dung phân tích, minh hoạ thơng qua 55 ví dụ Luận văn trình bày việc tổ chức thực nghiệm hai lớp 12 trường THPT Lạng Giang số tỉnh Bắc Giang Kết thực nghiệm phần kiểm nghiệm tính khả thi kết đề tài

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Tuấn Anh ( 2005 ), Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, NXB tổng hợp TP.Hồ Chí Minh

[2] Phan Đức Chính (1993), Bất đẳng thức, NXB Giáo dục, Hà Nội

[3] Nguyễn Kế Hào (Chủ biên), Nguyễn Quang Uẩn (2006), Giáo trình tâm lý học lứa tuổi tâm lý học sư phạm, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội

[4] Nguyễn Thị Phương Hoa (2006), Lý luận dạy học đại, Tập giảng cho học viên cao học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội

[5] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức, Hà Nội

[6] Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học mơn tốn NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội

[7] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc (2006), Phương pháp dạy học đại cương mơn tốn NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội

[8] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992),Phương pháp dạy học mơn tốn, tập 1, NXB giáo dục, Hà Nội

[9] Nguyễn Bá Kim, Vương Dương minh (1998), Khuyến khích số hoạt động trí tuệ học sinh qua mơn tốn trường THCS, NXB Giáo dục, Hà Nội

[11] I.Lerner (1997), Dạy học nêu vấn đề, Phạm Tất Đắc dịch, NXB Giáo dục, Hà Nội

[12] Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng ( 2005), Các giảng bất đẳng thức Côsi, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội

[13] Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2005), Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội

[14] Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2005), Các giảng toán tam giác, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội

[15] Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thông, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội

[16] Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn NXB Đại học sư phạm, Hà Nội

[17] Ngô Thế Phiệt (2007), Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, NXB Giáo dục, Hà Nội

[18] G.Pôlya ( Hồ Thuần – Bùi Tường dịch ) (1997), Giải toán như nào, NXB Giáo dục, Hà Nội

[19] G.Pơlya ( Hà Sỹ Thế – Hồng Chúng – Lê Đình Phi dịch ) (1976), Tốn học suy luận có lý, NXB Giáo dục, Hà Nội

[21] Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên )(2006), Đại số 10 nâng cao, Sách giáo khoa NXB Giáo dục, Hà Nội

[22] Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên ), 2006, Đại số 10 nâng cao, Sách giáo viên NXB Giáo dục, Hà Nội

[23] Nguyễn Cảnh Toàn (Chủ biên), Nguyễn Kỳ, Lê Khánh Bằng, Vũ Văn Tảo (2002), Học dạy cách học NXB Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội

[24] Nguyễn Cảnh Toàn (1997) Phương pháp vật biện chứng với việc dạy học nghiên cứu toán học, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội

[25] Nguyễn Cảnh Toàn (1997) Tập cho học sinh giỏi quen dần với nghiên cứu toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội

[26] Nguyễn Cảnh Toàn (1997) Khơi dậy tiềm sáng tạo, NXB Giáo dục, Hà Nội

[27] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 10 mơn Tốn ( 2006), NXB Giáo dục, Hà Nội

[27] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số luận văn thạc sĩ

[28] Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ (1997), NXB Giáo dục, Hà Nội

[29] Đảng cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần