Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán

Bài báo trình bày một số lí do cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán, chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình mô hình hóa và minh họa cho các yếu tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử và các tiếp cận lí thuyết về mô hình hóa trong giáo dục toán để thấy được sự quan tâm của thế giới trong lĩnh vực này.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 _ SỰ CẦN THIẾT CỦA MÔ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC TỐN NGUYỄN THỊ TÂN AN* TĨM TẮT Người ta thường nghĩ tốn học nhà trường sử dụng sống hàng ngày Mơ hình hóa tốn học cầu nối suy luận lớp học suy luận tình thực tế Bài báo trình bày số lí cần thiết mơ hình hóa dạy học toán, yếu tố chu trình mơ hình hóa minh họa cho yếu tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử tiếp cận lí thuyết mơ hình hóa giáo dục toán để thấy quan tâm giới lĩnh vực Từ khóa: mơ hình hóa tốn học, chu trình mơ hình hóa tốn học ABSTRACT The relevance of modelling in teaching mathematics Mathematics in schools is often considered impractical Thus mathematical modelling will be the bridge between classroom reasoning and real-life reasoning This article presents some reasons why mathematical modelling should be introduced into teaching practice, draws out elements of the mathematical modelling process and illustrates these elements The article also gives a brief history and discusses some theoretical approaches to modelling in mathematics education to show that this field is gaining an international interest Keywords: mathematical modelling, mathematical modelling cycle Giới thiệu Mọi người sử dụng nhiều kiến thức tốn học khác tình quen thuộc hàng ngày từ cịn nhỏ Ví dụ, em bé biết xấp xỉ lượng thức ăn đĩa so sánh với phần anh/ chị mình; biết đo phát triển cách đánh dấu chiều cao tường; biết đếm để đảm bảo có lượng kẹo cơng Việc sử dụng kiến thức tốn khơng thức tiếp tục thể em lớn hơn, chẳng hạn biết kiểm tra tiền trước vào chợ kiểm tra thay đổi lượng tiền Khi trở thành người lớn, em * NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 114 lên kế hoạch cho việc chi tiêu thân xếp đồ đạc chuyển nhà để đạt hiệu Và thường người ta khơng nhận kiến thức tốn sử dụng ngầm ẩn tình Tuy nhiên, lớp học tốn, học sinh có hội xây dựng, phát triển khả sử dụng toán để hiểu giải vấn đề thực tiễn, mà thường thực nhiệm vụ quen thuộc dạy cách làm nào, nghĩa có quy trình, có thuật tốn Lấy ví dụ chương Hàm số bậc bậc hai, Đại số 10 nâng cao, học sinh yêu cầu tìm tập xác định, khảo sát biến thiên, xét tính chẵn lẻ, phép tịnh tiến đồ thị, vẽ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Tân An _ đồ thị hàm số Điều không chuẩn bị cho em cách giải vấn đề khơng quen thuộc tốn học lĩnh vực khác Những áp dụng toán giới thiệu chương trình phổ thơng chủ yếu nhằm mục đích minh họa nhấn mạnh khái niệm kĩ toán dạy Chẳng hạn tốn bóng đá (tr 60), tốn cổng Arch (tr 61), toán tàu vũ trụ (tr 62) (Đại số 10 – Nâng cao) tập chương hàm số bậc bậc hai đặt ngữ cảnh thực tế (tổng số tập chương 46 bài); nhiên, yêu cầu học sinh xác định rõ ràng tìm hàm số bậc hai có phần đồ thị trùng với đồ thị cho tương ứng toán Những minh họa quan trọng khơng đủ để học sinh mơ hình hóa tình thực tế, chọn sử dụng kiến thức, kĩ toán phù hợp (từ nội dung tốn học khơng liên quan đến chủ đề em dạy) để giải vấn đề chúng xuất Lí mà tốn học ln chiếm thời lượng lớn chương trình, từ lịch sử nay, người ta nhận thấy lợi ích tốn học thực tiễn Trước đây, mục đích việc dạy tốn trang bị kĩ để tính tốn ngày, ngày tất kĩ nhờ vào thiết bị cơng nghệ thông tin Những thập kỉ gần đây, cần thiết để thúc đẩy mơ hình hóa (MHH) tốn học nhà trường ngày chấp nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế đặt nhiều quan điểm giáo dục từ kỉ XX đến Mơ hình hóa tốn học gì? Mơ hình mẫu, kế hoạch, đại diện, minh họa thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành đối tượng, hệ thống hay khái niệm Mơ hình theo ý nghĩa vật lí nó, sao, thường nhỏ đối tượng Mơ hình có nhiều tính chất với đối tượng gốc: có điểm đặc trưng, màu sắc chí chức với đối tượng mà mơ hình biểu diễn Một mơ hình lí thuyết vật tượng tập hợp quy tắc biểu diễn vật tượng đầu người quan sát [1] MHH toán học trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán học cách thiết lập giải mơ hình tốn học, thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình cách giải khơng thể chấp nhận [7] MHH toán học hoạt động phức hợp, địi hỏi học sinh phải có nhiều lực khác lĩnh vực toán học khác có kiến thức liên quan đến tình thực tế xem xét Thông qua MHH, học sinh học cách sử dụng biểu diễn khác nhau, lựa chọn áp dụng phương pháp, cơng cụ tốn học phù hợp việc giải vấn đề Việc đưa MHH toán học vào dạy học toán nhiều ủng hộ lí sau: 115 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 _ - MHH phương tiện góp phần phát triển kĩ năng, lực toán học thái độ học sinh, cụ thể khả giải vấn đề, tính tị mị, sáng tạo, suy luận tốn học giao tiếp - MHH toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với giới thực, khả ứng dụng ý tưởng toán MHH cung cấp cho học sinh tranh rộng hơn, phong phú toán học, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn, giúp học sinh thấy mối liên hệ toán học với thực tế ngược lại - MHH hỗ trợ việc học khái niệm q trình tốn học học sinh tạo động cơ, giúp hình thành hiểu khái niệm , đặc biệt củng cố việc hiểu toán áp dụng vào tình - MHH giúp trang bị cho học sinh lực để sử dụng tốn giải tình sống MHH tốn học giáo dục thức xuất hội nghị Freudenthal (1968) ([4]), nhà giáo dục toán đưa nhiều vấn đề liên quan đến MHH: Tại phải dạy tốn để có ích (Freudenthal)? Tại nhiều học sinh khơng thể sử dụng kiến thức tốn học để giải vấn đề thực tế đạt chứng xuất sắc môn học (Siller)? Dạy toán phải dạy cho học sinh áp dụng tốn vào tình đơn giản sống (Klamkin) Mối liên hệ toán MHH tiếp tục đề cập đến hội nghị nước nói tiếng Đức (1977) – bao gồm thảo luận khía cạnh toán học ứng dụng giáo dục 116 Một dấu mốc quan trọng việc giới thiệu MHH toán học vào nhà trường nghiên cứu Pollak năm 1979: Ảnh hưởng tốn học lên mơn học khác nhà trường Theo ơng, giáo dục tốn phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán sống hàng ngày Từ đó, dạy học MHH nhà trường trở thành chủ đề bật phạm vi tồn cầu Ví dụ, nghiên cứu PISA, chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International Student Assessment), nhấn mạnh mục đích giáo dục toán phát triển khả học sinh sử dụng toán sống tương lai Hội nghị quốc tế dạy mơ hình hóa áp dụng toán ICTMA (International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications) tổ chức năm lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng MHH tất lĩnh vực giáo dục toán Xu hướng đưa MHH tốn học vào chương trình, sách giáo khoa với mức độ khác ngày gia tăng Chẳng hạn Đức, Hà Lan, Úc, Mĩ, MHH toán học lực bắt buộc chuẩn giáo dục quốc gia mơn tốn Ở Singapore, MHH tốn học đưa vào chương trình tốn năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng MHH việc học toán đáp ứng thách thức kỉ XXI Các nhiệm vụ MHH toán học thường yêu cầu học sinh phát triển mơ hình khám phá để đáp ứng yêu cầu đó, cung cấp hội để học sinh phát triển kĩ giải Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Tân An _ vấn đề khảo sát tốn Đối với nhiệm vụ MHH, cơng cụ chiến lược cụ thể cần thiết, chu trình MHH tốn học Chu trình mơ hình hóa toán học Nhiều sơ đồ sử dụng để chất hoạt động MHH toán học, hướng dẫn để thiết kế nhiệm vụ MHH thực MHH lớp học a Sơ đồ Blum (2005): sơ đồ xem sở cho tất hoạt động MHH thay đổi chu trình MHH ngày Sơ đồ Chu trình MHH bước Blum [2] Bước 1: Hiểu tình cho, xây dựng mơ hình cho tình đó; Bước 2: Đơn giản hóa tình đưa biến phù hợp vào để mơ hình thực tình huống; Bước 3: Chuyển từ mơ hình thực sang mơ hình tốn; Bước 4: Làm việc mơi trường tốn học để đạt kết toán; Bước 5: Thể kết ngữ cảnh thực tế; Bước 6: Xem xét tính phù hợp kết hay phải thực chu trình lần 2; Bước 7: Trình bày cách giải b Sơ đồ Stillman (2007) Sơ đồ Chu trình MHH Stillman [7] 117 Số 37 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Các mục A-G biểu diễn bước trình MHH, mũi tên đậm biểu thị chuyển đổi bước Tồn q trình MHH theo dấu mũi tên chiều kim đồng hồ Quá trình kết thúc việc thể kết MHH tiếp tục chu trình MHH khác kết không thỏa đáng phương diện Các hoạt động trí tuệ mà người MHH cần nỗ lực để chuyển từ bước sang bước mô tả bước 1-7 Các mũi tên ngược lại (màu nhạt) nhấn mạnh tồn hoạt động phản ánh, nghĩa người thực MHH quay lại bước chu trình Thế giới thực để xem xét tiếp tục thực c Sơ đồ theo PISA (2006) gồm bước : Bước 1: Bắt đầu từ vấn đề đặt thực tế; Bước 2: Nhận kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo khái niệm toán học; Bước 3: Không ngừng cắt tỉa yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành toán mà thể trung thực cho tình huống; Bước 4: Giải toán; Bước 5: Làm cho lời giải tốn có ý nghĩa tình thực tế, xác định hạn chế lời giải Thế giới toán học Lời giải thực tế Lời giải toán học Vấn đề thực tế Vấn đề toán học 1, 2, Sơ đồ Chu trình MHH theo PISA [5] Các chu trình MHH tốn học giới - Tốn học hóa: q trình chuyển thiệu gồm yếu tố chính: đổi từ vấn đề thực sang vấn đề toán toán học hóa, làm việc với tốn, chuyển cách thiết lập mơ hình tốn học Để đổi phản ánh Các yếu tố mô tả làm điều này, học sinh đòi hỏi phải hoạt động mà học sinh thực hiểu vấn đề, nghiên cứu thông tin suốt trình MHH cho, loại bỏ thơng tin khơng cần thiết, Q trình MHH bắt đầu với vấn đưa giả thuyết phù hợp đơn đề thực tế - vấn đề xuất phát từ giản hóa vấn đề để giải Học giới thực với liệu thực sinh cần nhận khái niệm toán học, biến biểu diễn vấn đề dạng 118 Nguyễn Thị Tân An Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ toán học, đưa mơ hình tốn hình vẽ, đồ thị, hàm số hệ phương trình - Giải tốn: bước đòi hỏi học sinh lựa chọn, sử dụng phương pháp công cụ phù hợp để giải vấn đề Sản phẩm cuối bước kết toán học - Chuyển đổi: xem xét kết tốn học ngữ cảnh tình thực tế ban đầu - Phản ánh: xem lại giả thuyết hạn chế mơ hình, phương pháp công cụ sử dụng giải vấn đề Điều dẫn đến cải tiến mơ lời giải tạo chu trình cần thiết Ví dụ Bên phải hình ảnh thang trượt sân bay Đồ thị so sánh người thang trượt người lối bên cạnh thang trượt Giả sử đồ thị, tốc độ hai người gần giống Hãy vẽ thêm vào đồ thị đường thẳng biểu diễn khoảng cách theo thời gian người đứng thang trượt, biết tốc độ thang trượt nhỏ tốc độ trung bình người Người thang trượt Khoảng cách từ điểm bắt đầu thang trượt Người ngồi thang trượt Thời gian Đây mơ hình thực (theo sơ đồ Blum) tình thực tế, giáo viên đơn giản hóa, thêm vào giả thiết, thông tin để phù hợp với đối tượng học sinh lớp 10 Tuy nhiên đọc tình huống, học sinh chưa thấy xuất yếu tố tốn học cần sử dụng để giải Q trình MHH thực sau: - Tốn học hóa: Để thiết lập mơ hình tốn tình huống, học sinh cần: • Hiểu vấn đề đặt ra; • Nhận kiến thức toán liên quan Trong trường hợp hàm số bậc biễu diễn khoảng cách 119 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 _ theo thời gian Hàm số đồ thị tương ứng với người thang trượt, người thang trượt, người đứng thang trượt S=v1t, S=v2t, S=v3t, v1=v2+v3 v2>v3; • Vẽ đồ thị hàm số S=v3t hệ trục Giải tốn: • Học sinh dựa vào tính chất hệ số góc đồ thị hàm số bậc để vẽ đồ thị thứ với giả thiết v3