Một số phương pháp giải phương trình hàm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - KEOKHAMPHET SILAPANYA MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành : Phƣơng Pháp Toán Sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRƢƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng, 2018 MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.4 Tính đơn điệu hàm số Chƣơng Một số phƣơng trình hàm 2.1 Phƣơng trình hàm Cauchy 2.2 Phƣơng trình hàm Jensen 12 2.3 Vận dụng phƣơng trình hàm vào giải toán 15 2.4 Phƣơng trình hàm Pexider 30 Chƣơng Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm 34 3.1 Phƣơng pháp 34 3.2 Sử dụng tính liên tục 47 3.3 Sử dụng tính đơn điệu 53 3.4 Sử dụng tính chất điểm bất động 68 3.5 Đƣa phƣơng trình sai phân 73 3.6 Các dạng tập tổng hợp 78 Kết luận 87 Tài liệu tham khảo 88 MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Phƣơng trình hàm phƣơng trình mà ẩn hàm số Giải phƣơng trình hàm tức tìm hàm số chƣa biết Lý thuyết phƣơng trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng lý thuyết số giải tích tốn học Các dạng tốn phƣơng trình hàm phong phú, bao gồm phƣơng trình tuyến tính phƣơng trình phi tuyến , phƣơng trình hàm ẩn nhiều ẩn… Phƣơng trình hàm chuyên đề quan trọng bồi dƣỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Các tốn phƣơng trình hàm thƣờng có đề thi học sinh giỏi tốn ngồi nƣớc Tuy nhiên, nay, học sinh trƣờng chun, lớp chọn nói riêng ngƣời giải tốn nói chung cịn biết phƣơng pháp thống để giải phƣơng trình hàm, chí cịn lúng túng khơng biết định hƣớng tiếp cận toán phƣơng trình hàm Với mục đích trên, chúng tơi cố gắng tìm hiểu vấn đề phƣơng trình hàm để phục vụ cho công việc giảng dạy nghiên cứu tốt Do vậy, chúng tơi chọn đề tài luận văn thạc sỹ là: Một số phương pháp giải phương trình hàm II Mục đích nghiên cứu Luận văn nêu đƣợc số kiến thức đại số giải tích có ứng dụng nhiều việc giải tốn phƣơng trình hàm Luận văn hệ thống phân loại số dạng toán thƣờng gặp phƣơng pháp giải tốn phƣơng trình hàm với nhiều tốn có lời giải, nhận xét bình luận Luận văn nêu số hƣớng khai thác mở rộng, tổng quát hƣớng tƣ tìm lời giải biến hố số dạng tốn phƣơng trình hàm III Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nội dung khái niệm phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm: định nghĩa hàm số liên tục, hàm số chẵn lẻ, tính chất cách tiếp cận trƣờng trung học phổ thông Xem xét phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm để giải tốn Đơn giản hoá toán giải đƣợc cách áp dụng phƣơng trình hàm Nhằm nâng cao lực tƣ cho học sinh cần thiết phải nghiên cứu xây dựng chuỗi toán từ toán gốc, nhƣ vận dụng toán tổng quát nhằm hƣớng đến đối tƣợng học sinh giỏi IV Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên tài liệu tham khảo phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm Từ phân loại dạng tốn dùng phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm để giải Đồng thời đƣa quy trình giải cho dạng tốn cụ thể Qua đó, định hƣớng cho học sinh cách nhìn nhận, cách phân tích tốn dùng phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm để giải chúng V Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chƣơng Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức đƣợc dùng chƣơng sau nhƣ: Hàm số liên tục, hàm số chẵn hàm số lẻ, hàm số tuần hồn hàm số phản tuần hồn, tính đơn điệu hàm số Chƣơng Một số phƣơng trình hàm Trình bày số phƣơng trình hàm nhƣ: phƣơng trình hàm Cauchy, phƣơng trình hàm Jensen ứng dụng chúng việc giải tốn; phƣơng trình hàm Pixeder Chƣơng Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm Trình bày số phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm thơng dụng Ở phƣơng pháp bắt đầu phƣơng pháp giải, sau tốn, cuối toán vận dụng CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến hàm số phục vụ cho toán bày chƣơng sau Ta quan tâm tới hàm số f ( x) với tập xác định D  f   tập giá trị R f   1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1.1.1 Giả sử hàm số f ( x) xác định (a, b)  x0  (a, b) Ta nói hàm số liên tục x0 với dãy  xn  n1, xn  (a, b) cho lim xn  x0 , ta có lim f ( xn )  f ( x0 ) n n Định nghĩa tƣơng đƣơng với định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f ( x) xác định (a, b) đƣợc gọi liên tục x0  (a, b) lim f ( x)  f ( x0 ) Điều có nghĩa là: Với số   , xx0   ( ) cho với x  (a, b) thoả mãn f ( x)  f ( x0 )   tồn số x  x0 Hàm số khơng liên tục x0 đƣợc gọi gián đoạn x0 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử hàm số f xác định tập J , tập J khoảng hợp khoảng thuộc J liên tục điểm thuộc J Ta nói hàm số f liên tục Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f ( x) xác định đoạn  a, b  đƣợc gọi liên tục  a, b  liên tục khoảng  a, b  liên tục phải a, liên tục trái b 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục Ở mục trên, ta có cách xác định hàm số liên tục Tuy nhiên việc sử dụng định nghĩa khơng phải lúc đơn giản Do vậy, ngƣời ta chứng minh đƣợc tính chất hữu ích, giúp ta xác định nhanh hàm liên tục, nhƣ sau: Các hàm sơ cấp nhƣ: hàm lũy thừa, hàm thức, hàm lƣợng giác, hàm logarít liên tục miền xác định chúng Giả sử f  x  g  x  hàm liên tục D  f g   x   f  g  x   hàm liên f  g  (x )  f  x  g  x , Khi tục D Giả sử g  x   với x  f  x hàm liên tục Trong g  x , trƣờng hợp ngƣợc lại, liên tục tập xác định Một số tính chất khác hàm số liên tục: Định lý 1.1.5 (Định lý giá trị trung gian) Giả sử f ( x) liên tục đoạn  a, b  Nếu f  a   f  b  với số thực M nằm f(a) f(b) tồn c   a, b  cho f  c   M Sau đây, chúng tơi trình bày tính chất hàm số liên tục Mệnh đề 1.1.6 Giả sử f  x  g  x  hai hàm xác định liên tục Khi f  x   g  x  với x f  x   g  x  Nhận xét 1.1.7 Trong mệnh đề ta thay giả thiết f  x   g  x  với x giả thiết f  x   g  x  với x  A , A tập hợp trù mật Với định nghĩa tập hợp trù mật nhƣ sau: Định nghĩa 1.1.8 Tập A đƣợc gọi tập trù mật x, y  , x  y tồn a  A cho x  a  y Ví dụ 1.1.9 a tập trù mật b Giả sử  p  1.2 m Tập A   p  n  m  , n   trù mật   Hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa 1.2.1: Xét hàm số f  x  với tập xác định D  f   R f   Khi tập giá trị a) f  x  đƣợc gọi hàm số chẵn M  D  f  x  M   x  M b) f   x   f  x  với x  M f  x  đƣợc gọi hàm số lẻ M  D  f  x  M   x  M f  x  1.3  f  x  với x  M Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Định nghĩa 1.3.1 Hàm số f x đƣợc gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu a M kì a, a M , M D f với x M ta có x nhỏ (nếu có) thỏa f x a f x với x M Số thực T mãn f x T f x với x M đƣợc gọi chu kì sở hàm số tuần hoàn f x Định nghĩa 1.3.2 Hàm số f x đƣợc gọi phản tuần hồn (cộng tính) chu b M kì b, b M , M D f với x M ta có x f x b f x với x M 1.4 Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa 1.4.1 Giả sử hàm số f  x  xác định I  D  f  , ta xét I khoảng, nửa khoảng hay đoạn thực Khi đó, hàm số f  x  đƣợc gọi không giảm (hoặc không tăng) I  D  f  với a, b  I f  a   f  b   a  b (tƣơng ứng f  a   f  b   a  b ) Định nghĩa 1.4.2 Hàm số f  x  đƣợc gọi đồng biến (đơn điệu tăng) I  D  f  với a, b  I ta có f  a   f  b   a  b Định nghĩa 1.4.3 Hàm số f  x  đƣợc gọi nghịch biến (đơn điệu giảm) I  D  f  với a, b  I ta có f  a   f  b   a  b 81  f  x  yf  x   f  x  y   f  x   y   yf  x   f  x  f  x  y  f  x y , x, y  f  x  y (*) Với x  , theo nguyên lý Acsimet, tồn n   : nf  x  1  Với  k  n  1, k  ta có k  f  x    f  x  1  n  k (do    0, f  x   f  x  y   0, x, y  ) n n k   f x    f  x  1  n n  k Thay x x  , y  vào (*), ta có n n k  f x   k k  1 1 n n    f x    f x      k n n  2n    n f  x   k  n n  f x  n  Cho k chạy từ đến n  cộng tổng với nhau: 1 f  x   f  x  1  n  2n Vậy không tồn f thỏa mãn (điều phải chứng minh) Bài tốn 3.6.3 Tìm f : 0,     0,    thỏa mãn: a) f  xf  y   f  y   f  x  y  với x, y  ; b) f    ; c) f  x   với x  0, 2 Lời giải Thay y  vào (1) ta có f  x    với x   f  x   với x  Kết hợp với iii), ta có f  x    x  Với y  với x  y  hay x   y ta có f  xf  y   f  y   f  x  y    f  xf  y     xf  y    f  y   x Lấy x   y , ta có f  y  ,y  0,   y (*) 82 Với y  2, x  y  ta có f  xf  y   f  y   f  x  y    f  xf  y    , x   y  xf  y   0, 2  f  y   x Cho x   y ta có f  y  , y  0,   y , y   0,  Từ (*) (**) ta có f  y    y Bài tốn 3.6.4 Tìm f : f  f  x   xf  y   (**)  thỏa mãn  xf  y  1 , x, y  (1) Lời giải Phân tích tốn: Việc có x đứng ngồi, ta nghĩ tới giả thiết Trƣờng hợp f  , ta cần giải trƣờng hợp tồn a : f  a   Nếu thay y  a   f toàn ánh  b : f  b   Thay x  b , ta có f  bf  y    bf  y  1 , y  (*) f  y    bf  y  1   b  ( f    0) f  y  1  (không giải đƣợc điều gì) Tuy đến ngõ cụt đoạn f  y  1  nhƣng để ý ta thu đƣợc f    f toàn ánh  y cho f  y    f  x  x , x  Điều hƣớng cho ta lời giải giả thiết Cũng để ý điều, Rõ ràng trƣờng hợp giả thiết suy đƣợc tồn ánh Trƣớc hết ta tính f   Thay x  y  vào (1)  f  f     Đặt f    a  f  a   Ta tính a mệnh đề đảo Giả sử a  Thay x  y  a vào (1)  f    af  a  1  a  af  a  1  f  a  1  ( a  ) Thay y  a vào (1) ta có f  f  x    xf  a  1  x, a  song ánh Thay x  vào (1) ta có f  f 1  f  y    f  y  1 , y  ,  f 1  f  y   y  1, y  ,  f  y   y   f 1 , y  (2) Thay y   f 1  (2)  f  y   y, y   f     a  (vô lý) Vậy f 83 Vậy a  Xét giả thiết 2: Trƣờng hợp 1: Tồn b  : f  b   Thay y  b vào (1) ta có (3) f  f  x    xf  b  1 , x  Thay x  b vào (3) ta có f  f  b    bf b  1  bf b  1  f 0    f b  1  (do b  ) Từ (3) suy f  f  x    0, x  Thay y f  f  y   vào(1) ta có  f  f  f  x  f  x    xf f  f  y     xf 1 , x     xf f  f  y    , x, y   f 1  Thay x  vào (1)  f  f  y    f  y  1 với y   f  y  1  0, y  Trƣờng hợp 2: ( f  x   f  x   0, x  (thỏa mãn)   x  0) Thay y  vào (1) ta có f  f  x    xf 1 (4) Do f 1  1   nên f song ánh Thay x  vào (1) ta có f  f 1  f  y    f  y  1 với y   f  y   y   f 1  f  y   y với y  (thỏa mãn) Để ý trƣờng hợp 2, ta sử dụng ( f     x  ) giải đƣợc giả thiết 1, mấu chốt tìm đƣợc f     Bài tốn 3.6.5 Tìm f : thỏa mãn f  x  y   f  x  f  y   f  x   f  y   f  xy , x, y  (1) Lời giải (1)  f  x  y   f  x   f  y   f  xy   f  x  f  y  với x, y  Xét f  x  y  z   f  x   f  y  z   f  x  y  z   f  x  f  y  z   f  x   1  f  x   f  y   f  z   f  yz   f  y  f  z   f  xy   f  xz   f  x yz   f  xy  f  xz   f  x   f  y   f  z   f  xy   f  yz   f  zx   f  x  f  y  f  z   f  x f  y   f  x f  z   f  y  f z   f  x yz   f  xy  f  xz   f  x  f  yz  Hoán đổi vai trị x, y, z ta có f  x yz   f  xy  f  xz   f  x  f  yz  84  f  xy z   f  xy  f  yz   f  y  f  xz  (*) Thay y  vào (*) ta có  f  x z   f  x  f  xz   f  x  f  z   f  xz   f  x  f  z   f 1 f  xz   f  x z   1  f 1  f  xz   f  x  f  xz  , x, z  Mặt khác thay y xz vào (1) ta có f  x z   f  x  xz   f  x  f  xz   f  x   f  xz   f  x  xz   2  f 1  f  xz   f  x  , x, z  Thay z  vào (2)    f 1 f    Đặt  f 1  a Nếu a  , thay x  vào (2)  f 1  z   f  x   f 1 , z   f  x   2, x  mãn) Nếu a   f    Thay z   vào (2)  f    af   x   f  x   f  x    af   x  , x   f   x    af  x  , x  (2) (thỏa  f  x   a f  x  , x   f  x   0, x  (thỏa mãn) a  • a     f 1    f 1  Thay vào (2) ta có f  x  xz    f  xz   f  x  với x, z  1 1 Thay x  , z    f 1   f    f    (vô lý) 2 2 • a  Từ (2) suy f  x  xz   f  xz   f  x  , x, z  (3) y Với x  , thay z  vào (3) ta có x f  x  y   f  x   f  y  , x, y  (**) Có (**) với x   f  x  y   f  x   f  y ; x, y   f  xy   f  x  f  y  ; x, y   f  x   (loại), f  x   2, x  (loại), f  x   x Vậy f  0, f  f  x   x, x  cần tìm Bài toán 3.6.6 Cho f :    thỏa mãn: f  x   x  f  f  x   , x  Chứng minh f  x   x với x  Lời giải Từ (1) ta dễ thấy f  x   x , x  (1) hàm 85 Nếu ta có f  x   ax, x   x   x  x x  a2  f  f    a2 ·  x, x  2 2    Vậy ta xét dãy  an  thỏa mãn f  x  an1 Thì dễ dàng quy nạp đƣợc  an2  , a0  , n  , 2 (*) f  x   an x, n    Vậy an  1, n  Nếu an   an1  2 an  1   an2 Xét an1  an   an   0, n  2 Vậy  an  dãy tăng bị chặn ⇒ tồn a  lim an   a  1 n  a a  Từ (*) cho n    , ta có f  x   x với x  a  Chứng minh  thỏa mãn  x f  x   x f   , x  , 2 f  x   1, x   1, 1 Bài toán 3.6.7 Cho f :  f  x x2  , x  Lời giải Thay x  vào (1)  f    thỏa mãn (*) Xét x  , từ (1)  f  x   0, x  (1) (2) (*) f  x với x  x2  x (1)  g  x   g   , g  x   0, x  2  x 2n  g  x   g  n  , x  2   x   g  x   2n g  n  , x  2  x x Với x có lim n   tồn N  : n  N , n   1, 1 n 2 Suy với n  N , ta có Đặt g  x   86 g  x   2n  x  2f  n  2    x   n 2  2n 22 n1 x2 n 1 2n 2n    2n  , lim  lim Ta có lim ,  2  n  n n 2n x  x với x  (điều phải  g  x   với x   f  x  chứng minh) Bài toán 3.6.8 Tìm f : f  x  y    thỏa mãn  f  x   xf  y   y , x, y  (1) Lời giải Do tính chất đối xứng x y (1) ta có f  x   xf  y   y  f  y   yf  x   x   f  x  y   Thay x  vào (2) ta có f  y    f  y y  x  , x, y   f    , y  (2) (3) Thay x  y  vào (1)  f    f    f    f    f    Từ (3)  f  y   y f  y    y Giả sử tồn a, b  : f  a   a f  b    b Thay x  a, y  b vào (1) ta có  f  a  b    a  2ab  b  a  b  a  b    a  b   2ab   (vô lý)  a  b   a  b 2    a  b 2  Vậy f  x   x với x  f  x    x với x  Thử lại thấy f  x   x với x  (thỏa mãn) f     f  y   y  f  y     y  1  f  1  Giả sử tồn a  0, a  1: f  a     a  1 Thay x  a, y   vào (2),    f a    a  2 Vậy f  x    f  1  a  a   1  a  a2  a   (vô lý)  x  với x  (thỏa mãn) 2 87  Bài tốn 3.6.9 Tìm f : thỏa mãn: a) f  x  1  x  với x  , b) f  x  y   f  x  f  y  với x, y  Lời giải Thay x  y vào (2) ta có f  x   f  x    f  x   với x  Ta suy x x  x  f  x   f n    x     n n  n  n x   f  x   1   , x  n  x x   tồn N  : với n  N ,   Cố định x, ta có lim n n n suy với n  N : n x  f  x   1    n  Ta có n x  lim     e x n n  x Từ suy f  x   e với x  Thay x  y  vào f    e0   f    (2)  f  0  f Ta có  f    f  x  f   x   e x e  x  Vậy f  x   e x với x  (thỏa mãn)  0 , lại có 88 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc số kết sau: Luận văn nêu đƣợc số kiến thức đại số giải tích có ứng dụng nhiều việc giải tốn phƣơng trình hàm Luận văn hệ thống phân loại số dạng toán thƣờng gặp theo phƣơng pháp giải tốn phƣơng trình hàm với nhiều tốn có lời giải, nhận xét bình luận Luận văn nêu số hƣớng khai thác mở rộng, tổng quát hƣớng tƣ tìm lời giải biến hóa số dạng tốn phƣơng trình hàm Luận văn dƣa phƣơng pháp khác đề giải phƣơng trình hàm 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Nam Dũng (2010), Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển Việt Nam tham dự IMO [3] Nguyễn Quý Dy (2001), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn-Tập 3, Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2001), Phương trình hàm, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Trọng Tuấn (2004), Bài tốn hàm số qua kì thi Olympic, Nhà xuất Giáo dục [6] Trần Đức Tồn (2010), Phương trình hàm đa ẩn hàm bản, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Thái Nguyên [7] C G Small (2000), Functional Equations and How to Solve Them, Springer [8] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [9] Website: mathlinhks.ro, vnmath.com, diendantoanhoc.net, luyenthithukhoa.vn ... sau nhƣ: Hàm số liên tục, hàm số chẵn hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn hàm số phản tuần hồn, tính đơn điệu hàm số Chƣơng Một số phƣơng trình hàm Trình bày số phƣơng trình hàm nhƣ: phƣơng trình hàm Cauchy,... phƣơng trình hàm Jensen ứng dụng chúng việc giải tốn; phƣơng trình hàm Pixeder Chƣơng Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm Trình bày số phƣơng pháp giải phƣơng trình hàm thông dụng Ở phƣơng pháp. .. điệu hàm số Chƣơng Một số phƣơng trình hàm 2.1 Phƣơng trình hàm Cauchy 2.2 Phƣơng trình hàm Jensen 12 2.3 Vận dụng phƣơng trình hàm vào giải tốn 15 2.4 Phƣơng trình