de thi 45 phut c3

Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6.. IX.[r]

I Chứng minh n N* 

 ta ln có đẳng thức sau :

1 ) (

1  nn n

2 ) )( (

12 2  

  

 n n n n

3 ) ( 2 3    

 n n n

4 ) ( ) ( 2 2     

 n n n

5 1 3 5 (2n 1) n2      

6 1.4 2.7 .(3 1) ( 1)2    



 n n n n

7 ( 1) 1

3 2 1       n n n n

8 1.2 2.5 3.8 (3 1) 2( 1)

     

 n n n n

9 1 23 4  2n(2n1)n1

10 n n n n n

n ) ( 1 ) ((         11 ) ).( ( ) (

22 2  

 



 n n n n

II Chứng minh n N* 

 ta ln có :

1 n3 2n

 chia hết cho

2 13n  chia hết cho

3 n3 11n

 chia hết cho

4 92 14



n chia hết cho 5

5 10n chia hết cho

6 16n  15n chia hết cho 225

7 4n15n chia hết cho

8 10n 18n 28 chia hết cho 27

9 62n 3n 3n



  chia hết cho 11

10 7.22 2 32 1

 n

n chia hết cho 5

11 5.23 2 33 1

 n

n chia hết cho 19

12 n4 6n3 11n2 6n  

 chia hết cho 24

13 4.32n232n 36 chia hết cho 64

14 62n  chia hết cho 35

15 2.3

 

 n n

n chia hết cho 25

16 52 1 2 4 2 1 

 n n

n chia hết cho 23

17 7n 3n chia hết cho

18 32 40 67

 

 n

n chia hết cho 64

19 n6 3n5 6n4 7n3 5n2 2n    

 chia hết cho 24

20 .(2 1)

  n

n

n chia hết cho 6

21 11 1 122 1

 n

n chia hết cho 133

III Cho số thực xk2,kZ Chứng minh n N* 

1 sin ) ( sin sin sin sin sin x x n nx nx x x      2 sin cos ) ( sin cos cos cos x nx x n nx x x      

IV Cho số thực x 1 Chứng minh rắng : (1x)n 1nx , nN*

V Chứng minh với số ngun dương n, ta ln có bđt :

1 n n

1   

2

1 1      

 n n

n

3 22 21 31 4     n n n

VI Chứng minh với số ngun dương n2, ta ln có :

n n n 1 1

1 2  

                   

VII Cho n số nguyên lớn Hãy chứng minh bđt :

24 13 1     

 n n

n

IX Chứng minh với số tự nhiên n2, ta ln có đẳng thức :

( ). 1 2 . 2 1

     

 b a b an an b abn bn a

X Chứng minh với số tự nhiên n 3, ta có :

2 2n  n

XI Chứng minh với số tự nhiên n2, ta có :

1 n

n 

  



3 1

2 N n

     1

XII Chứng minh với số nguyên 0 : 27

26 33

 

 n

n chia hết cho 169

XIII Tính tổng :  ( 11).( )

) ).( ( ) ( n a n a a a a a Sn          

Tính tổng : n n n

a a

a a

S 2 2 4 2

1 2         

BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ :

I Tìm số hạng dãy số sau : Dãy số  un với

n n

un

2 Dãy số  un với

4 sinn un 

3 Dãy số  un với un (1)n 4n

II Tìm số hạng dãy số sau : Dãy số (un) với un 3n 2n

2 Dãy số (un) với 33

n u

n n 

III Cho dãy số (un) với

3 cos

sinn n

un   Hãy điền số thích hợp

vào trống sau :

n

un

IV Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số

1

1

2

  

x x

y có đồ thị (C).

Với số nguyên dương n, gọi An giao điểm (C) với đường

thẳng d : x n Xét dãy số (un) với un tung độ điểm An Hãy tìm

công thức xác định công thức tổng quát dãy số V Hãy xét tính đơn điệu dãy số sau :

1 Dãy số (un) với un 2n3 5n1

2 Dãy số (un) với un 3n  n

3 Dãy số (un) với

1

2

 

n n un

4 Dãy số (un) với 1

2



 n

n n u

5 Dãy số (un) với

1

   

n n n un

6 Dãy số (un) với un n n21

7 Dãy số (un) với

n n un

1 1  

8 Dãy số (un) với

1

1

2

   

n n n un

VI Xác định số thực a để dãy số (un) với

3

1

1

  

n an

un :

1 Một dãy số tăng Một dãy số giảm VII Chứng minh : dãy số (un) với

3

1

2

  

n n

un dãy số bị chặn

VIII CMR : dãy số (un) với

7

5

  

n n

un dãy số tăng bị chặn.

IX Cho dãy số (un) với un

6 cos

sinn  n 

2 Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh cơng thức

bằng phương pháp quy naïp

X Cho dãy số (un) xác định :

    

    

 1

2 5 2 3 1

2

1

n n

n u u

u u

n 1

1 Hãy tính : u2 , u3 , u4 , u5

2 Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un chứng minh cơng thức

bằng phương pháp quy nạp

XI Cho dãy số (un) xác định :   

  

 7

1

1

n

n u

u u

n1 Hãy tính : u2 , u4 , u6

2 Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un chứng minh cơng thức

bằng phương pháp quy nạp

XII Cho dãy số (un) xác định :   

   

 3 2 1

2

1

n u u

u

n n

1  n

1 Hãy tính : u2 , u3 , u4 , u5

2 Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức

bằng phương pháp quy nạp

XIII Cho dãy số (un) với

3 )

sin(  

 n

un

1 Chứng minh : un un3 n 1

2 Hãy tính 17 số hạng dãy số cho

BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG :

I Cho cấp số cộng (un) có : u1 =1 u2 =

II Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? Hãy xác định công sai cấp số

1 Dãy số (an) xác định a1 = an+1 = + an với n1

2 Dãy số (bn) xác định b1 = bn+1 = bn – n với n1

3 Dãy số (cn) mà cn+1 = cn + với n1

III Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (C) hàm số y = 3x –

Với số nguyên dương n, gọi An giao điểm đồ thị (C)

đường thẳng x = n

Xét dãy số (un) với un tung độ giao điểm An Chứng minh dãy số

un cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu cơng sai cấp số

cộng

IV Xét dãy số (un) xác định u1 = a un+1 = – un với n1,

đó a số thực Hãy xác định tất gía trị a để dãy số (un)

là cấp số cộng

V Cho cấp số cộng có số hạng Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Hãy tìm số hạng cịn lại

VI Một cấp số cộng có số hạng mà tổng số hạng thứ ba số hạng thứ năm 28, tổng số hạng thứ năm số hạng cuối 140 Hãy tìm cấp số cộng

VII Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = cơng sai d = -3

Trên mặt phẳng tọa độ, lấy điểm A1, A2, cho với số

nguyên dương n, điểm An có toạ độ (n, un) Chứng minh tất

điểm An, ( n = 1,2,3,,,,) nằm đường thẳng Hãy cho biết

phương trình đường thẳng

VIII Cho cấp số cộng có số hạng với công sai duơng số hạng thứ tư 11 Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số cộng đó, biết hiệu số hạng thứ ba số hạng thứ năm

IX Cấp số cộng (un) có u17 – u20 = (u17)2 + (u20)2 = 153 Hãy tìm số

hạng đầu công sai cấp số cộng

X Cho cấp số cộng (un) có cơng sai d > 0, u31 +u34 = 11

(u31)2 + (u34)2 = 101 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng

XI Cho cấp số cộng (un) cho số nguyên dương m, k với

m < k Chứng minh rằng:

2

m k m k k

u u

u   

Áp dụng: Hãy tìm cấp số cộng có số hạng mà số hạng thứ ba tổng số hạng đầu số hạng cuối 10

XII Hãy tính tổng sau :

1 Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số hạng thứ hai 105 số hạng cuối 999 Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu

bằng

3

, số hạng thứ hai

3

 số hạng cuối

: -2007

XIII Cho cấp số cộng (un) có u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu

của (un)

XIV Cho cấp số cộng (un) có u2 + u5 = 42 u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng

346 số hạng cấp số cộng

XV Cho cấp số cộng tăng (un) có 153 302094

1 u 

u và tổng 15 số hạng đầu

tiên 585 Hãy tìm u1 cơng sai d cấp số cộng

XVI Tìm số hạng a1 công sai d mổi trường hợp sau :

1 a3 = -15 & a14 = 18

2 a2 + a5 – a3 = 10 & a4 + a6 = 26

3 a2 + a4 + a6 = 36 & a2 a3 = 54

4 a5 – a3 = – & a2 a4 = –

5 a1 + a7 = & a32 + a72 = 122

6 S4 = 15 & S7 = 12

7 a3 + a5 = & S12 = 129

8 a4 a5 = 130 & S5 = 35

9

  

    

    

13 8

25 19 13

13 10

a a a a a

a a a a a

XVII Tính S10 Biết : u1 + u6 = 17 & u2 + u5 – u3 = 10

2 Tính S20 Biết : u7 = & u13 = 23

3 Tính S20 Biết : u3 = –15 & u14 = 18

4 Tính S30 Biết : u5 = 19 & u8 = 31

5 Tính S100 Biết : u9 – u4 = 10 & u3 u6 = 55

6 Tính tổng số hạng sau :

a S = 1002 – 992 + 982 – 972 + + 22 – 12

XVIII Số đo góc tam giác lập thành cấp số cộng Góc lớn có số đo

3

số đo góc nhỏ Tìm số đo góc XIX Giả sử a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh :

1 a2 + 8bc = (2b+c)2

2 a2 + 2bc = c2 +2ab

3 ( ) ( ) ( ) ( )

9

2 3 2 2 2

b a c c a b c b a c b

a       

XX Gọi a, b, c A, B, C ba cạnh ba góc tam giác ABC Chứng minh : Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng :

3

2 

C tg A tg

XXI Tìm x để ba số : 10 – 3x ; 2x2 +3 ; – 4x lập thành cấp số cộng.

2 Giải phương trình :

(x+1) + (x+4) + (x+7) + + (x+28) = 155

XXII Thêm 20 số vào số 67 để cấp số cộng tìm số thêm

XXIII Định m để phương trình sau có nghiệm lập thành cấp số cộng :

1 x4 – 2mx2 + m + = 0

2 x4 – 2mx2 + 2m – = 0

3 x4 – 2(m+2)x2 + 2m + = 0

4 x4 – 2(m+1)x2 + 2m + = 0

BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN :

I Cho cấp số nhân (un ) có u1 = & u2 =

II Trong dãy số sau đây, dãy số cấp số nhân ? Hãy xác định công bội mổi cấp số nhân

1 Dãy số (an) xác định a1=1 an+1 =

7

n a

1  n

2 Dãy số (bn) xác định b1=3 bn+1 =

n bn

1  n

3 Dãy số (cn) xác định c1=2 cn+1 =

n

C

1  n

4 Dãy số (dn) mà dn+1 = 3dn n 1

III Cho dãy số (un) xác định u1 = un+1 = 4un + n1

Chứng minh dãy số (vn) xác định : = un + n 1 cấp

số nhân Hãy xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân IV Xét dãy số (un)xác định u1= a un+1 =

n

u 12

n 1 a

một số thực khác Hãy xác định tất giá trị a để dảy số (un)

là cấp số nhân

V Cho cấp số nhân có số hạng với cơng bội dương Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số nhân

VI Một cấp số nhân có số hạng với số hạng đầu công bội số âm Biết tích số hạng thứ ba thứ năm 5184, tích số hạng thứ năm số hạng cuối 746 496 Hãy tìm cấp số nhân

VII Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số nhân

VIII Xác định cấp số nhân gồm số hạng với ba số hạng đầu 168 ba số hạng cuối 21

IX Tìm số hạng u1 cơng bội q , biết :

1 u5 = 96 & u6 = 192

2 u4 – u2 = 72 & u5 – u3 = 144

3 u7 – u4 = – 216 & u5 – u4 = –72

4 u20 = 8u17 & u3 + u5 = 272

5 u1 – u3 + u5 = – 65 & u1 + u7 = – 325

X Cho cấp số nhân (un) có : 6u2 + u5 = & 3u3 + 2u4 = –1 Hãy xác

định số hạng tổng quát công bội cấp số nhân XI Hãy tính tổng sau :

1 Tổng tất số hạng cấp số nhân có số hạng đầu 2, số hạng thứ hai –2 số hạng cuối 64

2 Tổng tất số hạng cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng

3

số hạng cuối

256 81

XII Cho cấp số nhân (un) có 8u2 – 5.u5 = & u13 + u33 = 189 Hãy tính

tổng 12 số hạng cấp số nhân

XIII Cho cấp số nhân (un) với công bội q  (0 ;1) Hãy tính 25 số hạng

đầu tiên cấp số nhân đó, biết : u1 + u3 = & u12 + u32 =

XIV Cho cấp số nhân (un) có : 3 u2 + u5 = & u32 + u62 = 63 Hãy

tính tổng : S = u1 u2 u3  u15

XV Xác định bốn số a, b, c, d Nếu chúng lập thành cấp số nhân theo thứ tự :

  

   

    

3280 40

2 2

2 b c d

a

d c b a

XVI Cho dãy số (un) xác định :

  

  

 3 10

2

2 1

n n u u

u

1  n