[r]
(1)BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG
Bất đẳng thức Svacxơ phát biểu sau: Cho hai dãy số thực ( ) ta có:
Ta chứng minh BĐT (1) BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai số
, ta BĐT (1)
Đẳng thức xảy
Sau số ví dụ minh hoạ cho tiện lợi BĐT Svacxơ việc chứng minh BĐT
(Ở hướng dẫn để bạn chứng minh BĐT, cịn phần đẳng thức xảy ban dễ dàng tìm nên khơng trình bày )
Ví dụ 1:Chứng minh với số dương a,b,c ta có :
Lời giải: Ycbt (yêu cầu toán)
Áp dụng BĐT (1) được: suy ĐPCM
Ví dụ 2: chứng minh với số dương a,b,c thoả mãn ta có:
Lời giải: Áp dụng BĐT (1)
Ta có BĐT quen thuộc , suy (vì (ĐPCM)
Ví dụ 3: chứng minh với số dương a,b,c
(2)Mà ta có BĐT quen thuộc , thay vào bên ta suy ĐPCM
Ví dụ 4: Cho số dương a,b,c thoả mãn abc = CMR
Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được:
Theo BĐT cơsi ta có
Từ suy
(ĐPCM)
Ví dụ 5:Cho a,b,c số dương thoả mãn a+b+c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Lời giải: Ta có
Ta lại có
Từ suy , đạt
Ví dụ 6:Cho a,b,c > thoả mãn a+b+c =1 Tìm giá trị nhỏ
Lời giải: Áp dụng BĐT cơsi có
Từ
Áp dụng BĐT Svacxơ
Mặt khác ta lại có
Bất đẳng thức S y số thực côsi t