Đang tải... (xem toàn văn)
Không ai trong các em nhớ số hiệu ghi trên biển xe, nhưng vì tất cả đều là học sinh yêu toán nên mỗi em đã nhớ được đặc tính của số hiệu ấy.. Một em nhớ lại rằng số hiệu đó là AB tiếp t[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 150 phút)
Bài (2,5 điểm) Giải phương trình sau: 3x2 + 4x + 10 = 2 14x2 7
2 4 x2 x416 4x 1 x2y2 2y 3 5 y x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm)
1 Tìm số tự nhiên n để n18 n 41 hai số phương Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 6
Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số ngun? Hãy tồn số
Bài 3: (3,25 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (O), (P, N hai tiếp điểm)
1 Chứng minh MN2 MP2 MA MB
2 Dựng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vng
3 Chứng minh tâm đường tròn qua điểm M, N, P chạy đường thẳng cố định M di động đường thẳng d
Bài 4: (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP Trên trục hồnh lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Nối PM; PN; PQ cắt đường tròn (K) A; B ; C Tính độ dài cạnh tam giác ABC theo a; b; c
Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2
19b - a 19c - b 19a - c
+ + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c ac + 5a
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
MƠN THI: to¸n
(Thời gian làm 150 phút)
Câu Ý Nội dung Điể
m
1 (2,5đ)
1.1 (0,75 đ)
Giải, xác định điều kiện: 2;
2
x x x2 4x 4 2x2 1 2x2 1 7
=
2
(x 2) ( 2x 7)
2
2
2
2
2 x x
x x
x
x
(Thỏa mãn)
0,25 0,25
0,25 1.2
(1.0đ)
Điều kiện :
2
2
4 (1)
16 (2)
4 (3)
2 (4)
x x
x
x y y
Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) 0 x2 4 0
kết hợp với (1) (3) suy x = Thay vào (4): y2 – 2y + 0 ; Đúng với giá trị y.
Thay x = vào phương trình giải đúng, tìm y = 1,5 Vậy nghiệm phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5đ 0,5 1.3
(0,75 đ)
Biến đổi đưa pt dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0 x2 – 2y – = x2 = 2y2 + x lẻ
Đặt x = 2k + ; ( kZ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4 y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn
Đặt y = 2n; (n Z ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k k + hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệm pt cho vô nghiệm
0,25 0,25 0,25 2
(2,0đ) 2.1 (1,0đ)
Để n18 n 41 hai số phương
18
n p
vàn 41q p q2 , N
2 18 41 59 59
p q n n p q p q
Nhưng 59 số nguyên tố, nên: 30
59 29
p q p
p q q
Từ n 18 p2 302 900
suy n882
Thay vào n 41, ta 882 41 841 29 q2
Vậy với n882 n18 n 41 hai số phương
0,5
0,5
2.2
(1,0đ) Gọi số cần tìm : ab10a b (a, b số nguyên a khác 0)
Theo giả thiết: 10a b a b số nguyên, nên ab b số phương, đó: b hoặc
Ta có: 10a b a b 10a b a 22a b b 5a b a2
2 b a
(vì a0)
0,5
(3)Nếu b 1 a 8 81 8 9 (thỏa điều kiện toán) Nếu b 4 a 6 64 6 8 (thỏa điều kiện toán) Nếu b 9 a 4 49 4 7 (thỏa điều kiện toán) 3
3,25đ
)
3.1 (1,0)
d d'
D
B
A L
I E
N
P H O
M
Ta có: MN = MP (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tam giác MAN MNB đồng dạng Suy ra: MA MN MN2 MP2 MA MB.
MN MB
0.25
(4)3.2
(1,25) Để MNOP hình vng đường chéo Dựng điểm M: Ta dựng hình vng OADC, dựng đường trịn tâm O qua điểm D,OM ON R cắt (d) M
Chứng minh: Từ M vẽ tiếp tuyến MN MP Ta có MN MO2 ON2 R
, nên
Tam giác ONM vuông cân N Tương tự, tam giác OPM vng cân P Do MNOP hình vng
Bài tốn ln có nghiệm hình OM R 2R
0,25 0,25
0,50 0,25 3.3
(1,0) + Ta có: MN MP tiếp tuyến (O), nên M, N, O, P nằm đườngtrịn đường kính OM Tâm trung điểm H OM Suy tam giác ba điểm M, N, P thuộc đường trịn đường kính OM, tâm H
+ Kẻ OEAB, E trung điểm AB (cố định) Kẻ HL( )d HL // OE, nên HL đường trung bình tam giác OEM, suy ra:
2
HL OE (khơng đổi) + Do đó, M động (d) H ln cách dều (d) đoạn khơng đổi, nên H chạy đường thẳng (d') // (d) (d') qua trung điểm đoạn OE cố định
0,5
0,25
0.25 4
(1,5đ)
y
x c
b a
1
C B A
O K
P
M N Q
Nối AO, xét tam giác vuông POM có OA đường cao Theo Pi-ta-go ta có: PO2 = PM PA
2
2 2
1
PO PO
PA
PM PO OM a
Áp dụng Pi-ta-go vào: POM PON lại có: PA PM = PB PN ( = PO2) PA PB
PN PM mà góc APB chung APB ~NPM(c.g.c)
AP AB NP MN
2
(1 )(1 )
a b AP NM
AB
NP a b
Tương tự tính : AC = 2 2
( 1)( 1)
a c
a c
; BC = ( 1)( 1) b c
b c
0.25
0,25
0,5đ
0,5đ
5. (0,75)
Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
2 3
(a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b)
3 3 3
2 3 2 3
3
3 3
3
2
a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a
b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a
b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a
4b - a ab + 5b
0.25
(5)Tương tự với a, b, c > thì:
3 3
2
19c - b 19a - c
4c - b; 4a - c cb + 5c ac + 5a
Từ ta có BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c 0,25
Các cách giải khác yêu cầu đề cho điểm tối đa, phần hình học phải có hình vẽ
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh NghÖ an Năm học 2005 2006
Môn: Toán Lớp Bảng A
( Thời gian: 150 phút, không kể thờigian giao đề ).
Bài 1: Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có mệnh đề mệnh đề sai
a A + 51 số phơng
b Chữ số tận bên phải số A lµ sè c A – 38 lµ sè phơng
Bài 2: Giải hệ phơng trình:
4
2
y x
xy y
x
Bµi 3: Cho hai sè thực x; y thoả mÃn điều kiện: x > y xy < Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:
P = ( )2 ( 1 )2 y x y x y
x
Bài 4: Cho đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC ( có góc C tù)
A’; B ’; C ’ lần lợt tiếp điểm đờng tròn (I ) với cạnh BC,CA, AB tam giác Nối AA’ cắt đờng tròn (I) E, kéo dài C ’B ’ BC cắt K
a Chứng minh KE tiếp tuyến đờng tròn (I )
b.Từ A’ kẻ đờng thẳng vng góc với AA’, đờng thẳng cắt C’B’ kéo dài F Chứng minh đờng thẳng BC qua trung điểm AF
===================
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giỏi tỉnh Nghệ an Năm học 2005 2006
Môn: Toán Lớp B¶ng B
( Thời gian: 150 phút, khơng kể thờigian giao đề ).
Bµi 1: Giải hệ phơng trình:
x 2 + xy + y2 = 4 x+ xy + y =
Bài 2: Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có mệnh đề mệnh đề sai
a A + 51 lµ sè chÝnh phơng
b Chữ số tận bên phải số A số c A 38 số phơng
Bài : : Cho hai sè thùc x; y tho· mÃn điều kiện: x>y xy < Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
P = ( )2 ( 1 )2 y x y x y
x
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm thuộc cung nhỏ BC ( M ≠ B; C ), E giao điểm BC với AM
a Chøng minh:
MC MB
ME
1
1
b Gọi P giao điểm hai đờng thẳng AB CM; Q giao điểm hai đờng thẳng AC BM Chứng minh M di động cung nhỏ BC ( M khơng trùng với B C) PQ qua điểm cố đinh
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh Nghệ an Năm học 2005 2006
Môn: Toán Lớp B¶ng C
( Thời gian: 150 phút, không kể thờigian giao đề ).
(6)x 2 + xy + y2 = 4 x + xy + y =
Bµi 2: Cho hai số a; b nguyên dơng thoà mÃn ®iỊu kiƯn:
a b b
a 1
số nguyên dơng Gọi d ớc số a b Chøng minh:
d ab
Bµi 3: Cho biÓu thøc:
P 2x 4x 2x 4x Tìm giá trị nhỏ P tập giá trị x tơng øng
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm thuộc cung nhỏ BC ( M ≠ B; C )
a Chøng minh: MA = MB + MC
b Gọi P giao điểm hai đờng thẳng AB CM; Q giao điểm hai đờng thẳng AC BM Chứng minh M di động cung nhỏ BC (M không trùng với B C) PQ ln qua điểm cố định
Së GD-§T Kú thi chän häc sinh giái tØnh Nghệ an Năm học 2006 2007
Môn: Toán Lớp B¶ng A
( Thời gian: 150 phút, khơng kể thờigian giao đề ).
Bµi : Chøng minh r»ng:
a Víi số tự nhiên n > số A = n 6- n 4 + 2n + 2n 2 số phơng
b Các số a b tổng hai số phơng tích a.b tổng hai số phơng
Bài 2: a Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức: 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + = 0 b.Cho hai số thực x, y thoả mãn phơng trình: 2x + 3y =
Tìm giá trị nhỏ tổng S = 3x 2 + 2y 2. Bài 3: Giải phơng trình:
7x3 11x2 25x 12
= x2 +6x -1
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) , kẻ đờng phân giác AD góc BAC đờng trung tuyến AM ( D;M BC) Vẽ hai đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ADM , hai đờng tròn cắt điểm thứ hai I, đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB AC theo thứ tự E F Tia AD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC J
a Chøng minh: ®iĨm I, M,J thẳng hàng
b Gọi K trung điểm EF, tia MK cắt AC tia BA theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác PAQ cân
Sở GD-ĐT Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ an Năm học 2006 – 2007
M«n: Toán Lớp Bảng B
( Thời gian: 150 phút, không kể thờigian giao đề ).
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
a Víi mäi sè tù nhiªn n > th× sè A = n 6- n 4 + 2n + 2n 2 sè chÝnh ph¬ng
b Các số a b tổng hai số phơng tích a.b tổng hai số phơng
Bài 2: Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức: 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + = 0
Bµi 3: Cho hai sè thùc x, y thoả mÃn phơng trình: 2x + 3y =
Tìm giá trị nhỏ cđa tỉng S = 3x 2 + 2y 2.
(7)ADM , đờng tròn cắt cạnh AB AC tam giác ABC theo thứ tự E F Gọi K trung điểm EF
Chøng minh: MK // AD
Së GD-§T Kú thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ an Năm häc 2006 – 2007
Híng dÉn chÊm
Môn: Toán Lớp BảngA
TT Lời giải Điểm
Bài1
4điểm a.Giả sử n
6 – n4 + 2n3 + 2n2 = k 2 , k Z <=> n4( n2 – 1) + 2n2 (n + 1) = k2 <=> (n + 1) n 2(n – n2 +2) = k <=> ( n+ 1)2 n2( n – 1) 2 + 1 = k 2
=>( n – 1) 2 + phải số phơng.
Nhng ta cã: (n – 1) 2 < ( n- 1) 2 + = n 2 + (1 – n) < n n >1 suy ( n- 1) 2 + sè chÝnh ph¬ng. VËy A= n6 – n4 + 2n3 + 2n2 số phơng. b Giả sư a = m2 + n 2 vµ b = p2 + q2
m;n;p;q Z
Ta cã: a.b = (m2 + n 2 )( p2 + q2 ) = m2p 2 + m2q 2 +n2p2 +n2q2 = m2p 2 + n2q2 + 2mnpq +m2 q2 +n2p2 – 2mnpq
=(mp +nq)2 + (mq – np)2 §.p.c.m Bài
6 điểm
a ( điểm)
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + = (1)
(1) <=> 25x 2 + 25y 2 + 40xy + 10y – 10x + 10 = 0
<=>25 x2 + 16 y2 + + 40 xy – 10 x – x + 9y2 +18 y +9 = 0 <=> ( 5x + 4y – 1) 2 + (x – 1) 2 = 0
0 1 y
0 1 y 4 x5
Vậy x = 1, y = - có đẳng thức (1)
b.áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: (2x + 3y) 2 = ( y 2)2
2 3 x
( )
2
(3x2 + 2y2 ) =
6 35
( 3x2 + 2y2 ) Suy ra: 3x2 + 2y2
35
Đẳng thức xảy khí: x
2 : y :
3 vµ 2x + 3y =
3 y 2 2
x 3
1 y 3 x 2
=>
35 y ; 35
4
x
Bµi
4 ®iĨm Ta cã: 7x
3 – 11x2 + 25x – 12 = 7x3 – 7x2 + 21x – 4x2 + 4x – 12 =7x( x 2 – x +3) – 4( x2 –x + 3) = ( 7x 4)( x2 x + 3)
Phơng trình:
) x x )( x (
2
= x +6x –1
§iỊu kiƯn: x
7
( x2 –x +3
4 11
)
) x x )( x (
2
(7x – 4) +( x2 –x +3) = x2 +6x –
= VP
Đẳng thức xảy khi:
7x – = ( x2 –x +3) <=> x2 – 8x + = 0 x = vµ x = thoà nmÃn toán
(8)6 điểm =>BE.BA = BD.BM =>BE = BD.BM/BA (1) Tơng tù:
CF = CM.CD/CA
¸p dơng tÝnh chÊt phân giác BD/ BA = CD/CA (2)
Theo gt: BM = CM
Thay vµo (1) ta cã: BE = CF
EBI = ICF( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) AEI = AFI => IEB = IFC
Suy ra:BEI = CFI => IB = IC
=> IM BC (vì M trung điểm BC) => IM qua J Đ.p.cm b.( điểm) ( giám khảo tự vẽ hình)
Gi G, H theo thứ tự giao điểm BF CE Dễ dàng có tứ giác KGMH hình thoi =>KM phân giác góc GKH => KG// AD =>Chứng minh đợc tam giác PAQ cân
Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hồ Chí Minh
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THAØNH PHỐ Năm học 2007 – 2008 MƠN TỐN
Thời gian làm : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2x2 (6m 3)x 3m 1 0
( x ẩn số)
a) Định m để phương trình có hai ngiệm phân biệt âm.
b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình
Định m để A= 2
x x đạt giá trị nhỏ
Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho a, b, c, d số dương Chứng minh: a b c d a b c b c d c d a d a b
b) Cho a1 ;b1 Chứng minh : a b1b a1ab
Caâu 3 : (4 điểm)
Giải phương trình : a)(x2 3 )x 6(x2 3 ) 0x
b) 8 x 3 5 x 5
c) x x2 x x2 x 1
Caâu 4 : (2 ñieåm)
Chứng minh với số tự nhiên n n2 n 1
không chia hết cho
Câu : (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H
a) Xác định vị trí điểm M thuộc cung BC khơng ch a i m A ứ đ ể cho tứ giác BHCM
một hình bình hành
J
C I
A
B B B B
D
J MJ B
(9)b) Lấy M điểm cung BC không chứa A Gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng
Caâu 6 : (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo diện tích tam giác AOB , diện tích tam giác COD Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD
ĐÁP ÁN Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2x2 (6m 3)x 3m 1 0
( x ẩn số)
a) Định m để phương trình có hai ngiệm phân biệt âm.
b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình treân
Định m để A= 2
x x đạt giá trị nhỏ
Giaûi:
a) (6m 3)2 8( 3m 1) (6m 1)2
1;2
6m - 6m - x
4
1
x 3m -
v x2
Để hai nghiệm phân biệt âm
1
3
3
1 1
3
2 6
m m
m m
b)Ta coù A= 2
x x = (3 1)2 1
4
m
A đạt GTNN
4
3 m
Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho a, b, c, d số ươ d ng Ch ng minh:ứ a b c d a b c b c d c d a d a b
b) Cho a1 ;b1 Chứng minh : a b1b a1ab
Giaûi :
a) Ta có : ( với a, b, c, d số dương)
a a
a b c a b c d
b b
b c d a b c d
c c
c d a a b c d
d d
d a b a b c d
Cộng bốn BĐT ta : a b c d a b c b c d c d a d a b
(10)1
a a
a b c a c
c c
c d a a c
a c
a b c c d a
vaø
1
b b
b c d b d
d d
d a b d b
b d
b c d d a b
Từ ta có đpcm
b)Ta có 1( 1) 1
2
a a
a a ( ,a b1)
Suy : ba b a ( 1)
Tương tự : ab a b (2)
Cộng (1) (2) ta có đpcm Câu 3 : (4 điểm)
Giải phương trình : a)(x2 3 )x 6(x2 3 ) 0x
b) 8 x 3 5 x 3 5 c) x x2 x x2 x 1
Giaûi:
a) (x2 3 )x 6(x2 3 ) 0x
Đặt t x2 3x
, ta có phương trình : t2 6t 0 t 1 v t7
Với 1, 3 1 3 1 0
2 t x x x x x
Với 7, 3 7 3 7 0 37 t x x x x x
b) 8 x 3 5 x 5
Đặt u 8 x 3 u 0, u2 8 x 3
Đặt v 5 x 3 v 0, v2 5 x 3
Ta có hệ phương trình: 2
5
3
13
u v u u
v
v v
u v
Từ ta tìm nghiệm x =
c) 2
1
x x x x x ( Điều kiện : 0 x
Ta thấy x0 không thỏa nên ta chia hai vế cho x:
2 1 1
1
x x x x
x x x x
x x x x
Xét vế phaûi : x x
dấu xảy x = 1.
Ta coù : ( 1 )2 2
( ) ( )
2
x x
x x
(11)Vậy hai vế khơng Phương trình cho vô nghiệm Câu 4 : (2 điểm)
Chứng minh với số tự nhiên n n2 n 1
không chia hết cho
Giaûi:
Giả sử n2 n 1
chia hết cho ta có :
2 1 .9 ( )
n n k k N
2 1 .9 0
n n k ( 1)
1 4(1 k.9) 36k 3(12k 1)
Ta thấy chia hết cho không chia hết không số phương, phương
trình (1) có nghiệm nguyên Vậy n2 n 1
không chia hết cho ( đpcm)
Câu :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H
a)Xác định vị trí điểm M thuộc cung BC khơng ch a i m A ứ đ ể cho tứ giác BHCM
hình bình hành
b)Lấy M điểm cung BC không chứa A Gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng
Gọi Mo điểm đối xứng A qua tâm O đường trịn
Ta có CMo song song với BH vng góc với AC
BMo song song với CH vng góc với AB
Vậy tứ giác BHCMo hình bình hành
Điểm Mo vị trí M mà ta cần xác định
a) Ta có N M đối xứng qua AB nên : ANB=AMB= ACB H trực tâm tam giác ABC nên AHB + ACB = 180o
Suy : ANB + AHB = 180o.
Tứ giác AHBN nội tiếp cho ta : NHB = NAB Mà NAB = MAB nên NHB = MAB ( 1) Tương tự ta có : EHC = MAC ( ) Cộng (1 ) (2 ) ta có : NHB + EHC = BAC Mà ta lại có : BAC + BHC = 180o
Nên : NHB + EHC + BHC = 180o
Vaäy N, H , E thẳng hàng Câu 6 : (2 điểm)
Cho tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo diện tích tam giác AOB , diện tích tam giác COD Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD
Giải :
Đặt SBOC x , SAOD y
Ta coù AOB BOC AOD COD S OB S S ODS
Suy : 36
x xy y
Ta lại có SABCD 4 x y13 2 xy13 2.6 25.
Dấu xảy x = y =
(12)sở giáo dục - đào tạo quảng ninh
-kú thi chän häc sinh giái tØnh lớp năm học 2004-2005
(bảng A)
Bài 1:
1) Chứng minh không tồn số tự nhiên n thoả mÃn: n2 + 2006 số phơng 2) Giải phơng trình: 2 2
x =
x
Bài 2:
Cho số thực x, y thoả mÃn điều kiện sau:
5
2
x + x + x2 = y2 5 + y 1 + y2 Chøng minh r»ng: x = y
Bµi 3:
Gäi a lµ tham sè thùc cho phơng trình x2 - 3ax - a = có hai nghiệm phân biệt x
1 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc A = 2
2 2
2
2 3 3
3
3 a
a x
ax a
x ax
a
Bµi 4:
Gọi O tâm đờng tròn tiếp xúc với cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ đờng thẳng dA, dB, dC, dD cho dA OA, dB OB, dC OC, dD OD Các cặp đờng thẳng dA dB, dB dC, dC dD, dD dA tơng ứng cắt điểm K, L, M, N
1) Chøng minh ba điểm K, O, M thẳng hàng
2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m Tính độ dài ON theo k, l, m
hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005 môn toán lớp - bảng a
-Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm Bài 1.1
3 điểm Giả sử tồn số tự nhiên n thoả mÃn n
2 + 2006 số chÝnh ph¬ng
thì n2 + 2006 = m2 với m số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*). 1,0 đ Khi đó:
- nÕu m vµ n khác tính chẵn lẽ (m-n)(m+n) lẻ Mâu thn víi (*)
- nÕu m vµ n cïng tính chẵn lẽ (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006 không chia hết cho Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử khơng
Vậy không tồn số tự nhiên n thoả mÃn n2 + 2006 số phơng
0,5 ® 1,0 ® 0,5 ® Bµi 1.2
3 ®iĨm §K: x
3 + (*).
Biến đổi phơng trình cho (1) <=> 2x2 2 = 5 ( 1)( 1)
x x
x 0,5 ®
Đặt (x 1) = u; ( 1)
x
x = v (1) => u2 + v2 = x2 + 2. Khi (1) trở thành: 2(u2 + v2) = 5u.v
=> u = 2v ; u = v/2
0,5 đ 0,75 đ Thay vào (1); giải phơng trình; tìm đợc: x =
2 37
5 vµ x =
37 5
Thử thấy giá trị thoả mãn điều kiện (*) Vậy phơng trình cho có hai nghiệm: x =
2 37
5 vµ x =
37
1,0 đ 0,25 đ
Bài 2
3 điểm Giả sử có x, y thoả mÃn
x + x + x2 =
5
2
y + y + y2 => x 1; y
- NÕu x=1=y th× x = y (®pcm !)
0,25 đ 1,0 đ - Nếu x, y khơng đồng thời = cách nhân với BT liên hợp, đợc:
5
2
x + x + x2 =
y + y + y2 <=> <=> (
x -
y ) + ( x - y ) + (x2 - y2) =
<=>(x2- y2)/( 5
x +
y ) +(x - y)/( x + y )+(x2-y2) = 0 <=> (x - y).((x+y)/(
x +
y ) +1/( x + y ) +x+y)=
<=> x - y = <=> x = y (v× : (x+y)/(
x +
y ) + 1/( x + y ) + x + y > 0)
1,0 ®
(13)Vậy x, y thoả mãn đẳng thức x = y
Chó ý: Cã thĨ ch/m x = y b»ng c¸ch loại trừ khả x < y; x > y Bài 3
4 điểm Do phơng trình x
2 - 3ax - a = cã hai nghiệm phân biệt x
1 x2 nên ta cã : 9a2 + 4a > (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = ; x1 + x2 = 3a
=> x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) 0,5 đ1,0 đ
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm
Khi ú: A = 2
2 2
2
2 3 3
3
3 a
a x
ax a
x ax
a
=
2
2 9 4
4
9 a
a a a
a
a
0,5 đ Theo (1) 9a2 + 4a > nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2.
A = <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 x1 = -1 x2 = -1/2 1,0 đ0,5 đ Vậy Anhỏ = 2, đạt đợc a = -1/2 ; x1 = -1 x2 = -1/2 0,5 đ Bài 4 Hình vẽ:
4 1)
4 ®iĨm DƠ thấy AKBO, BLCO, CMDO DNAO tứ giác nội tiếp.và đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng phân giác góc A, B, C, D tứ
giác ABCD 1,5 đ
Có KOL + LOM = - OKB - OLB + - OLC - OMC = - BAO - BCO + - CBO - CDO
= 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 - = Từ suy điểm K, O, M thẳng hàng
1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 4 2)
3 ®iĨm
Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp Thật vậy, có: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC = (1/2).( A + B + C + D ) = 2
0,25 đ 1,25 đ Từ chứng minh đợc OK.OM = ON.OL
Do ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l 1,0 đ0,5 đ
Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hồ Chí Minh
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THAØNH PHỐ Năm học 2006 – 2007 MƠN TỐN
Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 : (3 ñ)Thu gọn biểu thức: a)A 62 5 2912 b) B 8 8 20 40
c) )( 11)
6
12
4 15
(
C
Caâu 2 : (3 ñ)
a) Chứng minh : (xyz)2 3(x2 y2 z2) , x,y,zR b) Cho
4 ,
4 ,
4 ,
1
y z x y z
x
(14)Dấu xảy x, y, z bao nhiêu?
Câu 3 : (4 đ)
Giải hệ phương trình phương trình:
a)
13 36 x z
zx 5 18 y
yz 5 12 y x
xy
z
b) 2 4 8
4 x x
x
Caâu 4 : (2 đ) Cho phương trình : ax2bxc0 có hệ số a,b,c số nguyên lẻ
Chứng minh phương trình có nghiệm nghiệm khơng thể số hữu tỉ
Câu : (4 đ)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2R Gọi M điểm chuyển động nửa đường tròn (O) ( M khác A B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M C D
a)Chứng minh ba điểm M, C, D nằm tiếp tuyến đường tròn (O) M b)Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi Tính tích số AC.BD theo CD
c)Giả sử CD cắt AB K Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK
Caâu 6 : (4 ñ)
Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) cĩ ACB = 45o Đường trịn đường kính AB cắt AC BC lần
lượt M N Chứng minh MN vng góc OC MN =
2 AB
============================= Bµi 1:
Rót gän biĨu thøc : 4 102 10 Bài 2:
Giải hệ phơng trình :
1
1 1
3 1
5
y x
x y
x
Bµi 3:
Xét phơng trình: mx2 - (m + 2)x + = (1) víi m lµ tham sè. a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Giả sử phơng trình (1) cã hai nghiƯm lµ a vµ b
Chøng minh r»ng: a b > 1
Bµi 4:
Cho đờng tròn (O ; R), đờng kính AB cố định, M điểm tuỳ ý thuộc đờng tròn (M A, M B) Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By với đờng tròn (O ; R) Tiếp tuyến M đờng tròn (O ; R) cắt Ax C, cắt By D Đờng thẳng BM cắt Ax E
a) Chøng minh AD OE
b) Tìm vị trí điểm M đờng trịn (O ; R) để tổng diện tích hai tam giác ACM BDM nhỏ
kú thi chän häc sinh giái tØnh
Bµi 1:
(15)Giải hệ phơng trình :
8
3 )1 ( 1
y x
x y y
x
Bài 3:
Xét phơng trình: mx2 - (m + 2)x + = (1) víi m lµ tham số. a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm a b
Chøng minh r»ng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2
2 )
(
m
Bµi 4:
Cho đờng trịn (O ; R), đờng kính AB cố định, M điểm tuỳ ý thuộc đờng tròn (M A, M B) Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By với đờng tròn (O ; R) Tiếp tuyến M đờng tròn (O ; R) cắt Ax C, cắt By D Đờng thẳng BM cắt Ax E
a) Chøng minh AD OE
b) Tìm vị trí điểm M đờng trịn (O ; R) để AE = BD
HÕt
-ĐỀ THI HỌC SINH TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 1978-1979 (Vòng 1) Bài 1.
1 a, b c số khác Chứng minh :
a c c b b a b c a c
b a a
b c b
a c c
a b a
c b
2
) )( ( ) )( ( ) )( (
2 Phân tích biểu thức thành thừa số :
) ( ) ( )
( 2
2 b c b c a c a b
a
Bài Làm để đem l nước từ sông về, tay có hai thùng, thùng dung tích l, một thùng dung tích l khơng có thùng có vạch chứa dung tích.
Bài Đang dạo chơi thành phố, bốn học sinh nhận thấy xe vi phạm luật giao thông Không em nhớ số hiệu ghi biển xe, tất học sinh yêu toán nên em nhớ đặc tính số hiệu Một em nhớ lại số hiệu AB số có bốn chữ số Em thứ hai nhớ lại hai chữ số đầu giống hệt Em thứ ba nhớ lại hai chữ số cuối giống hệt Còn em thứ tư ta có bốn chữ số số phương.
Căn vào chứng ấy, tìm số hiệu xe.
Bài Cho ΔABC có diện tích S Một đường thẳng xy chuyển động luôn qua A Gọi E F lần lượt hình chiếu B C xy.
1 Trong trường hợp xy cắt BC tai G, chứng minh : AG(BE+CF)=2S
2 Đường thẳng xy phải có giá trị để tổng BE+CF có giá trị nhỏ xác định giá trị đó.
sở giáo dục - đào tạo quảng ninh
-kú thi chän häc sinh giái tØnh líp năm học 2004-2005
(bảng b)
Bài 1:
Giải phơng trình : (x1)(x 2) + (x1)(x 3) = (x1)(x 4) Bài 2:
Cho số thực x, y thoả mÃn điều kiện : x + x2 = y + y2
Chøng minh r»ng x = y Bµi 3:
Gäi a tham số thực cho phơng trình x2 - 3ax - a = cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ x
(16)1) TÝnh theo a giá trị biểu thức A = 2 2
2
2 3 3
3
3 a
a x
ax a
x ax
a
2) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc A Bµi 4:
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm phân biệt A B Qua A vẽ cát tuyến MAN với M thuộc (O) ; N thuộc (O') M, N không trùng với A Tiếp tuyến M đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến N đờng tròn (O') I
1) Chứng minh độ dài đoạn thẳng MN lớn cát tuyến MAN song song với đờng thẳng OO'
2) Chứng minh bốn điểm B, M, I, N nằm đờng tròn - Hết
-hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005 môn toán lớp - bảng B
Bài Sơ lợc lêi gi¶i Cho
điểm Bài 1 Điều kiện: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x-3) 0; (x-1)(x-4) (*) 0,5 đ 5 điểm * Nếu x áp dụng công thức A.B A Bvới A, B 0, ta đợc:
(1) <=> x x + x x = x x
<=> x + x = x (1a)
Giải (1a) với x 4, đợc kết (1a) vô nghiệm 1,0 đ * Nếu 1< x < (x-1)(x-4) < 0, khơng thoả mãn điều kiện (*)
=> khơng có x thuộc khoảng (1 ; 4) nghiệm (1) 1,0 đ * Nếu x = 1, thử trực tiếp thấy x = nghiệm (1) 1,0 đ * Nếu x < 1thì áp dụng cơng thức A.B A B với A, B 0, ta đợc:
(1) <=> 1 x 2 x + 1 x 3 x = 1 x 4 x
<=> 2 x + 3 x = 4 x (1b)
Giải (1b) với x < 1, đợc kết (1b) vô nghiệm 1,0 Vậy phơng trình cho (1) có nghiệm x = 0,5 Bi 2
5 điểm Giả sư cã x, y tho¶ m·n x + x
2 = 1
y +y2 => x 1; y 1 - NÕu x = = y th× cã x = y (®pcm!)
0,5 đ 1,5 đ - Nếu x, y khơng đồng thời = cách nhân với BT liên hợp, đợc:
1
x + x2 = 1
y + y2 <=> ( 1
x - y ) + (x2 - y2) = 0 <=> (x - y)/( x + y ) + (x2-y2) =
<=> (x - y).(1/( x + y ) + x + y) =
<=> x - y = (v× 1/( x + y ) + x + y > 0) <=> x = y
VËy nÕu cã x, y tho¶ m·n x + x2 = y + y2 th× x = y (®pcm!)
1,5 ® 1,0 ® 0,5 ®
Chú ý: Có thể giải cách xét trờng hợp: - Nếu x > y, CM đợc x + x2 > y + y2
- Nếu x < y, CM đợc x + x2 < 1
y + y2
- VËy nÕu x + x2 = y + y2 th× x = y
Bài 3 3 1) 2 điểm
Do phơng trình x2 - 3ax - a = có hai nghiệm phân biệt x
1 x2 nên ta có : 9a2 + 4a > (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = ; x1 + x2 = 3a
=> x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a
1,0 ® 0,5 ®
Khi đó: A = 2
2 2
2
2 3 3
3
3 a
a x
ax a
x ax
a
=
2
2 9 4
4
9 a
a a a
a
a
0,5 đ 3 2)
2 điểm Theo (1) 9a
2 + 4a > nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2. A = <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2.
DƠ kiĨm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1/2
1,0 đ 0,75 đ Vậy Anhỏ = 2, đạt đợc a = -1/2 ; x1 = -1 x2 = -1/2 0,25 đ Bài 4 Hình vẽ
4 1) 2,5 điểm
Gọi H, K lần lợt trung ®iĨm AM, AN => MN = HK
Chứng minh đợc HK OO', OO' khơng đổi => MN 2OO' , dấu = xảy <=> HK//OO' <=> MN//OO'
Suy MN lín nhÊt <=> MAN // OO' (®pcm !)
1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 4 2)
3,5
Chứng minh đợc :
(17)®iĨm - NÕu N (hoặc M) AM (hoặc AN) MIN = MBN
1,5 đ Từ suy bốn điểm B, M, I, N thuộc đờng tròn 0,5 đ Bài 4: Gọi O tâm đờng tròn tiếp xúc với cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ đờng thẳng dA, dB, dC, dD cho dA OA, dB OB, dC OC, dD OD Các cặp đờng thẳng dA dB, dB dC, dC dD, dD dA tơng ứng cắt điểm K, L, M, N
1) Chứng minh ba điểm N, O, L thẳng hàng 2) Chứng minh OK.OM = OL.ON
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm Bài 4 Hình vẽ:
4 1) 3 ®iĨm
DƠ thÊy AKBO, BLCO, CMDO DNAO tứ giác nội tiếp
và đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng phân giác góc A, B, C, D tứ giác ABCD
0,5 đ 0,5 đ Có NOK + KOL = - ONA - OKA + - OKB - OLB
= - ADO - ABO + - BAO - BCO = - ( A + B + C + D )/2
= 2 - = 1,0 ®
0,5 đ Từ suy điểm N, O, L thẳng hàng 0,5 đ 4 2)
3 ®iĨm
Tríc hÕt ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp ThËt vËy, ta cã: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC
= (1/2).( A + B + C + D ) = 2 1,0 ®1,0 ®
Từ chứng minh đợc OK.OM = ON.OL 1,0 đ
Bài 4: Cho đờng tròn (O ; R) điểm A nằm ngồi đờng trịn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC tới đờng tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiếp tuyến qua M cắt AB E, cắt AC F
a) BiÕt AO = a TÝnh chu vi tam giác AEF theo a R
b) Đờng thẳng BC cắt OE OF P Q H¹ OH BC (H BC) Chøng minh r»ng:
EF PQ
=
R OH
Bài 4 Hình vẽ: 4 1)
2 điểm Chứng minh đợc chu vi Tính đợc AB = AO2 OBAEF = AB2
= a2 R2 (do A nằm (O) nên a>R) Suy chu vi AEF = a2 R2
1,0 ® 1,0 ® 4 2)
4 ®iĨm
Hạ OH BC
Vì EB EM tiếp tuyến nên OEB = OEM = 900 - (AEF)/2
Tơng tự ABC = ACB = 900 - (BAC))/2 1,0 đ Do BPE = 1800-ABC-OEB =(AEF +BAC)/2 = 900-AFE/2
= OFE Hay OPQ = OFE 2,0 ®
Suy OPQ đồng dạng OFE
Do vËy PQ/EF = OH/OM = OH/R ( ®pcm !) 1,0 ®
sở giáo dục đào tạo
qu¶ng ninh kú thi chän häc sinh giái cÊp tỉnhlớp năm học 2005-2006
bảng A
Bài
Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a)A =
5
1
+
1
+ 13
1
+ 2001 2005
+ 2005 2009
1
b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3 2 2 + 3 2 2 Bµi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đờng thẳng có phơng trình :
(d1) : x - 5y + k = ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = ; (d3) : (k + 1)x - y + = Tìm giá trị tham số k để ba đờng thẳng đồng quy
(18)Gi¶i hƯ phơng trình : 1 4 1 4 1 4 y x z x z y z y x Bµi
Cho đờng trịn (O;R) có hai đờng kính AC BD vng góc với Điểm M thay đổi cung nhỏ BC (M khác B C) điểm N thay đổi cung nhỏ CD cho góc MAN = góc MAB + góc NAD Dây AM cắt dây BC E, dây AN cắt dây CD F
1) Chøng minh r»ng ta lu«n cã : - Gãc AEB = gãc AEF
- Đờng thẳng EF ln tiếp xúc với đờng trịn cố định 2) Đặt góc MAB = , tính diện tích tam giác AEF theo R Bài Chứng minh rằng:
b a
21 +
a b
3 80 víi a 3, b 3.
Dấu xảy ?
- HÕt
-híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giỏi cấp tỉnh môn toán lớp - bảng a năm học 2005-2006.
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm Bài 1.a
1,5 điểm
áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=3 3 2 2 , b=3 3 2 2 biến đổi => x3 = + 3x
Suy A = 2006
1,25 đ 0,25 Bài 1.b
2,5 ®iĨm
Cã A =
1 5 + 9 + 13 13 + + 2001 2005 2001 2005 + 2005 2009 2005 2009 Rút gọn, đợc A =
4 2009 .
1,0 đ 1,5 đ Bài 2
3 điểm Chứng minh đợc (d2) cắt (d1) điểm M0(0 ; 1)Khi M0(0 ; 1) (d3) <=> k =
1,5 đ 1,0 đ Vậy ba đờng thẳng đồng qui <=> k = 0,5 đ Bài 3
4 điểm Điều kiện ẩn : x, y, z Nhân vế-vế ba phơng trình với cộng lại, ta đợc phơng trình: 1/4 4x + 4y + 4z = 4x1 + 4y1 + 4z (*)
Biến đổi (*) <=> ( 4x1-1)2 + ( 4y 1-1)2 + ( 4z1-1)2 =
<=> 4x1 = 4y1 = 4z1 = <=> x = y = z = 1/2 tháa m·n ®/kiƯn
0,5 ® 1,5 ® 1,5 ® Thư l¹i, thÊy x = y = z = 1/2 tháa m·n hƯ
Vậy hệ cho có nghiệm (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2) 0,5 đ Bài 4
4 1) 4 ®iĨm
Tríc hÕt tõ gi¶ thiÕt suy MAN = 450
Gọi DB, cắt AN, AM P, Q Chứng minh đợc: ABEP ADFQ tứ giác nội tiếp
=> EPF = EQF = 900 => tø gi¸c PQEF néi tiÕp.
Từ ch/minh đợc AEB = APB = AEE => AEB = AEF
0,5 đ 1,0 đ 0.75 đ 0,75 đ Kẻ AH EF (HEF) Chứng minh đợc AEH = AEB => AH=AB
Suy EF tiếp xúc với đờng tròn cố định (A;a) với a =AB=R
0,5 ® 0,5 ® 4 2)
2 ®iĨm
Dể chứng minh đợc SAEF = SAEH + SAFH = SAEB + SAFD
Tính đợc SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).R 2 R 2 tg = R2 tg SAFD = = R2 tg(450-)
Suy SAEF = R2.(tg + tg(450-))
Chó ý: Cã thĨ tÝnh theo c¸ch kh¸c: * SAEF = (1/2).AF.EP = = SAEF = (R2/
2 .cos.cos(450-))
* Hc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2. (1 )2 (1 (450 ))2
tg tg
đều đáp số cho điểm tối đa
(19)Bµi 5
3 ®iĨm Ta cã: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3
3 a
a + (62.3/3) = 64 (1) a
DÊu b»ng xảy <=> (3/a) = a/3 a = <=> a =
0,75 ® 0,5 ® L¹i cã: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3
3 21 b
b + (2.3/3) = 16 (2) b
DÊu b»ng xảy <=> (21/b) = 7b/3 b = <=> b =
0,75 ® 0,5 ® Từ (1) (2) suy BĐT cần chứng minh !
DÊu b»ng x¶y <=> a = b = 0,25 đ0,25 đ
Cách giải khác:
Tríc hÕt chøng minh B§T: (21/b) + (3b) 16 (*) víi b Víi b th× (*) <=> 3b2 - 16b + 21 <=> (b - 3)(3b - 7) 0.
Do b nªn (b - 3) vµ (3b - 7) 3.3 - = => (b - 3)(3b - 7) DÊu b»ng x¶y <=> b =
Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) 64 với a (<=> (a-3)(21a-1) 0) Dấu xảy <=> a = Từ suy điều phi chng minh
Các ý chấm: Bài
Tìm tất số nguyên dơng a, b, c thỏa mãn : a3 + b3 + c3 = 2001 (Loại trừ , thử => đáp số) Bài b) B =
3 - Bài 1.b 2,5 điểm
Nhân tử mẫu phân thức với 2, biến đổi, ta đợc: A = = 12 ) ( -3 12 ) ( = ) ( 2 ) ( -2 ) ( 2 ) ( = 3 ) ( -1 3 ) ( = ) 3 )( 3 ( )) 3 )( ( ) 3 )( (( = 13 1,0 đ 1,5 đ
c) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m có nghiệm x1, x2, x3, x4 thỏa mãn
4 1 1 x x x
x = -1
Cho phơng trình x4 - (m2 + 2)x2 + = với m tham số.
Gọi nghiƯm cđa pt lµ x1, x2, x3, x4, h·y tÝnh theo m giá trị biểu thức A = x14 + x24 + x34 + x44 Bµi Chøng minh r»ng víi x R,y R ta cã :
9 21 2 y
x +
9 2 x
y 80
DÊu b»ng x¶y nµo ?
Tính đợc EF = R 2 (1 )2 (1 (450 ))2
tg tg
Suy SAEF = R2. (1 )2 (1 (450 ))2
tg tg
đề thi học sinh giỏi hải dơng 2008 - 2009
Câu (2,0 điểm )
1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (a b c )3 a3 b3 c3
2)Rót gän biĨu thøc sau :A 4 10 5 4 10 5 5 Câu ( 2,0 điểm )
1)Chứng minh phơng trình :x4 ax3 bx2 ax 1 0
cã nghiƯm th× : a2(b 2)2 0
2)Tìm giá trị m để hệ phơng trình :
2 2
1
mx x y m x y
(20)1)Tìm số nguyên dơng a,b,c thoả mãn đồng thời điều kiện : a b c a b c 1 1
a b c
2)Trên tờ giấy kẻ vô hạn ô vuông đợc tô màu đỏ xanh thoả mãn hình chữ nhật kích thớc 2x3 có hai màu đỏ.Hỏi hình chữ nhật có kích thớc 2010x2011 có màu đỏ
Câu4 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC
a) Chøng minh : 12 12 42 R r a b) Chøng minh :
3 2
( )
ABCD
R r S
R r
; ( KÝ hiƯu SABCD lµ diƯn tÝch tø gi¸c ABCD ) 2) Cho tam gi¸c ABC cân A có BAC 1080
Chứng minh : BCAC số vô tỉ Câu ( 1,0 ®iĨm )
Cho f x( )ax2bx c tho¶ m·n víi mäi x cho 1 x vµ f x( ) p T×m sè q nhá nhÊt cho a b c p q
HÕt
Sở Giáo dục đào tạo hải dơng
K× thi chän häc sinh giái líp THCS Híng dÉn chÊm
Câu Phần Nội dung Điểm
Câu 2điểm
1)
1®iĨm Ta cã :
3 3
(a b c ) a b c 3
3
(a b c) a b (ab a b) c
0,25
3
(a b c ) a b c 3(a b c a b c ) ( ) ( ab a b )
0,25 =3(a b c a b c ) ( )ab 0,25
3(a b a c b c)( )( )
0,25
2)
1điểm Đặt B = 4 10 5 4 10 5 ,B>0
Ta cãB2 4 10 4 10 (4 10 )(4 10 )
2 8 16 (10 5) B
0,25
2
2 8 2. 5 1 6 5
B
0,25
12
B , V× B >
0,25
VËy A 5 1 5 1 0,25
C©u
2điểm 1điểm1) Giả sử x x Là nghiệm cña PT
4 1 0
x ax bx ax ;(1)Ta thÊy 0
x Vì x0 0 dẫn đến 1= vơ lí
4 2
0 0 0
0
1 a
x ax bx ax x ax b
x x
2
0
0
1
2 0; (2)
x a x b
x x
0,25
Đặt 0 y x
x
ta cã PT(2) trë thµnh y2ay b PT có nghiệm y thoả mÃn ĐK 0
0
2 y x
x
hay y2 4, 3
(21)Ta chứng minh bất đẳng thức sau : (ax by )2 (a2b2)(x2y2) ,(*) Thật : Thật (*) 2abxy a y 2b x2 (ay bx )2 0( ) Đẳng thức xảy ay = bx
áp dụng Bất đẳng thức (*) ta có
2 2 2
4 2
2 2 2 2
2 ( 2) ( 2)
1 ( 2)
1 ( 2) ( 2) (3) ( 2)
y ay b y ay b a b y
y a b y
y a b y a b theo a b
0,25
0,25
2)
1điểm Giả sử (x0;y0) nghiệm hệ phơng trình2 2
1 ,(1) 1,(2)
mx x y m x y
suy (-x0;y0) nghiệm hệ.Từ ta có x0 x0 x0 0
0,25
Víi x0=0 thay vµo (2) suy y0 1
- Víi x0=0 vµ y0 = - thay vµo (1) suy m = Víi m =
2 2 2 2
1
1 1
0
1 ( 1) 2
1 x y
x y x y x y x y
y
x y x y y y y y
y
HÖ PT nghiệm Nên m = loại
0,25
-Với x0 =0 y0 = thay vµo (1) suy m = Víi m =
2
2 2
2 ;(3)
1 ;(4)
x x y x x y
x y x y
Tõ (3) y1 vµ Tõ (4) y1 VËy hÖ PT cã nghiÖm nhÊt (x;y) =(0;1)
0,25
VËy m = th× hƯ PT cã nghiệm 0,25
Câu3 2điểm
1)
1®iĨm Cã a b c a b c
2 ( )
( ) ( )( )
a b c b a c a b c b a b c b a c ac a b
b a b c ac a b b c
b c
0,25
NÕu a = b vµ a , c d¬ng Ta cã
1 1
1 2c a ac (a 2)(c 1) a b c a c Vì a,b,c nguyên dơng nên ta có trờng hợp sau :
2
1) 2)
1 2
a a b a
a c b
c c c
0,25
Nếu b = c b,c dơng Ta có
1 1
1 2a b ab (b 2)(a 1) a b c a b Vì a,b,c nguyên dơng nên ta có trờng hỵp sau :
2 2
1) 2)
1 1
b b b c
a b c
a a a
0,25
Vậy cặp số nguyên dơng (a;b;c) thoả mÃn (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2) 0,25
2)
1điểm Ta chứng minh hình chữ nhật kích thớc1x3 chứa màu đỏ (1)Thật , điều không tức tồn hình chữ nhật k có số màu đỏ khác 1.hay số ô màu đỏ k
giả sử số ô màu đỏ k
0,25 0,25
Xét hình chữ nhật ABCD theo giả thiết ABCD chứa hai ô màu đỏ nên 1;2;3;4 màu xanh.lại suy 5;6 đỏ ( xét hình chữ nhật AHPQ)
nên hình chữ nhật EHGF có ô màu đỏ.Mâu thuẫn
Nếu số ô màu đỏ k o trái với giả thiết
(22)6
4
5
1
F C
Q
A H
D
E B
P
Vậy (1) đợc chứng minh
Do ta chia hình chữ nhật kích thớc 2010x2011 670x2011 hình chữ nhật 1x3và (1) ta có số màu đỏ cần tìm 2011.670 =1347370
0,25
C©u4 3®iĨm
I E
K M
D O
A C
B
Tứ giác ABCD hình thoi nên AC đờng trung trực đoạn thẳng BD,BD đờng trung trực AC.Do gọi M,I,K giao điểm đờng trung trực đoạn thẳng AB với AB,AC,BD ta có I,K tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADB,ABC
Từ ta có KB = r IB = R.Lấy điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI hình thoi ( có hai đờng chéo EI AB vng góc với cắt trung điểm đờng )
0,25
1)
1®iĨm Ta cã BAI EBA mµ BAI ABO 900 EBA ABO 900
0,25
XÐt EBK cã EBK 900
,đờng cao BM.Theo hệ thức tam giác vng ta có 12 12 2
BE BK BM
0,25
Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = a
Nªn 12 12 42 R r a
(§pcm) 0,25
2)
1điểm Xét AOB AMI có AOB AMI 900 vµ A chung AOBAMI
2
2 AO AM AO AM AB AB
AB AI AI R
Chứng minh tơng tự ta đợc
2
2 BM AB AB BO
BK r
0,25
0,25
Ta cã
4
2
4 ABCD
AB
S AO OB
Rr
Mà theo định lí Pi ta go tam giác vng AOB ta có
2 2
2
1 1
4 AB OA OB AB
R r
2 2
2 4R r AB
R r
Từ ta có :
3 2
( )
ABCD
R r S
R r
0,25
0,25
3) 1®iĨm
x C
D B
A
0,25
Kẻ tia Cx cho CA tia phân giác BCx, tia Cx cắt đờng thẳng AB D.Khi Ta có DCA ACB 360
DCA cân C , BCD cân B AB AC DC
Theo tính chất đờng phân giác tam giác BCD ta có
;
CB AB BC CA BC BD
CD AD CA BD CA
0,25
(23)2 2
2
( )
1
1
2
BC CA
BC BC CA CA BC BC CA CA CA BC CA
BC BC BC
CA CA CA
1
2 BC CA
( V× BC 0) CA Vậy
BC
AC số vô tỉ
0,25
Câu
1điểm Vì
2 ( )
f x ax bx c tho¶ m·n víi mäi x cho 1 x f x( ) p Nên :
- Với x = a b c p (1) - Víi x = - a b c p (2) - Víi x = c p (3)
0,25
Tõ (1) vµ (2) a b c a b c 2p mµ a b c a b c 2b Nªn suy : b p
0,25
Ta cã b c b c c b p p2p
KÕt hỵp víi (1): a a b c b c 3p a 3p
0,25
5 a b c p
VËy sè q nhá nhÊt lµ 0,25
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS - năm học 2008 - 2009
Môn : Toán
Đề thøc Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: (4,0 ®iĨm)
1 Rót gän biĨu thøc: 21 80
10
A
2 Giải phơng trình: x2 x 6 x2 x 18 0 Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phng trỡnh m1x33m 1x2 x 4m 1 (1) (m tham số) Biến đổi phơng trình (1) dạng phơng trình tích
2 Với giá trị m phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt, có nghiệm âm Bài 3: (4,0 điểm)
1 Chøng minh r»ng víi hai sè thùc a b, ta có:
2 a b
ab
Dấu đẳng thức xảy ?
2 Cho ba số thực a b c, , không âm cho a b c 1 Chứng minh: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy ? Với giá trị góc nhọn biểu thức P sin6 cos6
có giá trị bé ? Cho biết giá trị bé nht ú
Bài 4: (6,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC vuông A Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB lần lợt D, E F Đặt x DB y DC z , , AE
a Tìm hệ thức x y, z
b Chøng minh r»ng: AB AC 2DB DC
2 Cho tam giác ABC cân A, BC a Hai điểm M N lần lợt AC AB cho:
2 ,
(24)Bài 5: (3,0 điểm)
3 Một đồn học sinh cắm trại tơ Nếu tơ chở 22 ngời cịn thừa ngời Nếu bớt tơ phân phối tất học sinh lên tơ cịn lại Hỏi có học sinh cắm trại có tơ ? Biết ô tô chở không 30 ngời
(25)B ià Cõu Đáp án đề hải dơng 2008 - 2009 Điểm
1 (4 ®iĨm)
1.1
(2 ®) 2 4 5 21 80
10
A
2
21 80 5 1 5 21 80 1
12
2
1
2( 1) 5
A
0,5 0,5 1,0
1.2
(2 ®) x2 x 6x2 x18 0
Điều kiện để phơng trình có nghĩa: x2 x 6 0
Đặt t x2 x 6 t 0 x2 x 18 t2 12t 0
Khi phơng trình cho trở thành: t2 t 12 0 t0 t (t4 0 loại)
2
1
1 61 61
3 15 ;
2
t x x x x x x Vậy phơng trình cho có hai nghiệm: 1,2 61
2 x
0,25 0,5 0,5 0,5 0,25
2 (3 ®iĨm)
2.1 m 1x3 3m 1x2 x 4m 1 (1)
m 1 x3 m 1x2 4mx2 x 4m 1 0
m 1 x x2 1 4m x 1 x 1
x 1 m 1x2 4mx 4m 1
0,5 0,5 0,25 2.2 Ta cã:
2
2
1 4
1 ( )
( ) 4 ( )
x m x mx m
x a
g x m x mx m b
0,5
Để phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt phơng trình (b) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tơng đơng với:
1
1
' 1, 0,
3
(1) 9 0
m m
m m m m m
g m
(*)
Với điều kiện (*), phơng trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm x = > hai nghiệm lại x1 x2 (x1 < x2 ) nghiệm (b) Do để (1) có nghiệm phân biệt có hai nghiệm âm x1 < x2 <0, tơng đơng với:
1 2
4
1
1
1 1
4
4
1
0 m P x x
m hay m
m m hay m
m
m hay m S x x
m
(**)
Kết hợp (*) (**) ta có: Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt, có hai nghiệm âm cần đủ là: 1
4
m hay m
0,25
0,50
0,25
0,25
3 (4,0 ®iĨm)
3.1 Ta cã:
(26)2 2 2
2
2 4
a b a ab b a ab b
ab ab
2
0, ,
a b
a b
R
VËy:
2
2
, , , ,
2 a b
ab a b a b ab a b
R R
Dấu đẳng thức xảy a b
(27)Theo kÕt qu¶ c©u 3.1, ta cã:
a b c 2 ab c 2 4a b c
mà a b c (giả thiết)
nªn: 4 a b c b c 4a b c 2 (v× a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhng: b c 2 4bc (không âm)
Suy ra: b c 16abc
Dấu đẳng thức xảy khi: 1,
4
a b c
b c a b c
0,25
0,25 0,25 0,25 0,50 3.2 Ta cã:
3 3
6 2
sin cos sin s
P co
sin2 cos2 sin4 sin2 cos2 cos4 P
sin2 cos2 2 3sin2 cos2 1 3sin2 cos2
P
áp dụng kết câu 3.1, ta có:
2 2 2 2 2
sin cos 4sin cos 4sin cos sin cos
4
Suy ra: 3sin2 cos2
4
P Do đó: min
4
P vµ chØ khi: sin2 cos2 sin cos
(vì góc nhọn)
sin
1 45
cos tg
0,25 0,25 0,25 0,25
0,5
4 (6,0 ®iÓm)
4.1.a + Ta cã: BD = BF, CD = CE vµ AE
= AF (TÝnh chÊt cđa hai tiÕp tun c¾t nhau)
Do đó:
, ,
BC x y AC y z AB x z
Theo định lí Pytago:
2 2
BC AB AC
x y2 x z2 y z2
2xy 2z x y 2z xy z x y z
(a)
0,5
0,5 0,5 4.1.b Gọi r bán kính, I tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ABC
Ta cã: 1 1
2 2
ABC
S AB AC BC r CA r AB r x y z r (b) Tứ giác AEIF có góc vuông, nên hình chữ nhật
Nhng AE = AF (cm trờn), nên AEIF hình vng, Do đó: z EI r (c)
Tõ (a), (b), (c) suy ra: AB AC 2xy AB AC 2DB DC
(28)4.2 + Theo giả thiết: AM 2MC AN 2NC Suy ra:
2
//
3
AM AN MN AM
MN BC
AC AB BC AC
+ Gọi E giao điểm BM CN, theo định lí Ta-lét, ta có:
3 EM EN MN
EB EC BC
Gọi BK đờng cao hạ từ B tam giác ABC, ta có:
2 3 3
1 ABC ABC BCM BCM AC BK S AC S S
S CM BK CM
0,5 0,5 1,0
3 5
5 12
BEC
BMC BEC BMC
S BE a
S S
S BM
VËy: ABC a S 0,5 0,5
5 (3,0 ®iĨm)
5.1 + Gọi số ô tô lúc đầu x ( x nguyên x 2) Số học sinh cắm trại là: 22x +
+ Theo giả thiết: Nếu số xe x1 số học sinh phân phối cho tất xe, xe chở số học sinh y (y số nguyên < y 30)
+ Do ta có phơng trình: 1 22 22 22 23
1
x
x y x y
x x 0,25 0,25 0,5 + Vì x y số nguyên dơng, nên x1 phải ớc số 23
Mµ 23 nguyên tố, nên: x1 1 x2 x1 23 x24 NÕu x2 th× y22 23 45 30 (trái giả thiết)
Nếu x24 y22 23 < 30 (thỏa điều kiện toán) + Vậy số ô tô là: 24 tổng số học sinh cắm trại là:
22 24 23 23 529 häc sinh
0,25 0,25 0,25 0,25 5.2 + TÊm b×a h×nh chữ nhật 1 5 có diện
tích (®vdt)
Để cắt hình chữ nhật thành mảnh ráp thành hình vng, cạnh hình vng 5, bng di
cạnh huyền tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có kích thớc có diện tích (đvdt)
+ Do cắt hình chữ nhật 5 theo đờng chéo hình chữ nhật AEFD GBCH, cắt theo đờng EF GH xong ráp lại đợc hình vng MNPQ nh hình bên
1,0
Vòng ii TP Hải D ơng
Bài 1: (1,5 điểm) Cho a,b,c,d số thực tho¶ m·n:
a a d c b b b a d c c c d b a d d c b
a
Tính giá trị biểu thức sau:
a) M=
d b a c a d b c d a c b 1
1 ; b) N= 2 3 4
4 1 a d c b d c b a
Bài 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức A=
2 16 4 4 x x x x x x
víi x>4 a) Rót gän A b) T×m xZ
để AZ
Bài 3: (3 điểm) a) Tìm số nguyên tố p để 8p+9 số phơng
(29)e d c b
e e
d c a
d e
d b a
c e
c b a
b d
c b a
a A
Bài 4: (2 điểm) Cho ABC có trọng tâm G.O tâmđờng tròn nội tiếp Cho AB=c; BC=a; AC=b Chứng minh OG vng góc với phân giác góc ACB
b a
ab c b a
3
Bài 5: (2 điểm) a) CMR: với n nguyên lớn
4 1
1
1
1
2
2
2 n