Đang tải... (xem toàn văn)
Hoïc caùi gì chöa ñuû maø phaûi bieát caùch hoïc nhö theáù naøo ñeå coù hieäu quaû cao, do vaäy phaûi chuù troïng phöông phaùp reøn luyeän tính töï hoïc cho hoïc sinh, phaûi taêng cöôøn[r]
(1)MUÏC LUÏC
I Đặt vấn đề TRANG
1/ Lý chọn đề tài
2/Mục đích nhiệm vụ đề tài
II Giải vấn đề
A. Nghiên cứu tài liệu, tự học lí thuyết, thực hành làm tập theo chuyên đề
1 Chọn chủ đề, học nội dung tự học
2 Xác định trọng tâm học
3 Xác định kĩ kĩ xảo tương ứng theo chủ đề học
4 Thực hành tập theo chuyên đề học 10
B Các phương pháp tìm lời giải tốn
1 Phương pháp khai thác giả thiết toán 13
2 Phương pháp biến đổi kết luận toán 16
3 Phương pháp phân tích biến đổi đồng thời giả thiết kết luận toán16 Sử dụng cơng cụ thích hợp để chuyển hóa nội dung hình thức tốn
Các tốn từ dạng có sẵn
19
Dùng tính chất hàm số giải phương trình hệ phương trình
21
Dùng đạo hàm dể chứng minh bất đẳng thức 22
Dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số
23
So sánh, đánh giá tương tự hóa
23
Chuyển đổi ẩn số-tham số, đặt ẩn số phụ 25
(2)Bài học kinh nghiệm 26
IV Tài liệu tham khaûo
1/ Một số hương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp , nhà xuất giáo dục 1993
2/ Tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2001-2005
3/ Sách giáo khoa, sách tập toán lớp 10-11(chuẩn+ nâng cao)
I ĐẶT VẤN ĐỀ 1/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hiện nay, ngành giáo dục nhận thấy rõ vai trò học sinh học tập, coi học sinh chủ thể giáo dục, việc lĩnh hội tri thức, học sinh giữ vai trò chủ đạo Luật giáo dục ghi rõ: “phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
Chúng ta biết rằng:Trong phương pháp học cốt lõi phương pháp tự học, rèn luyện cho người học có phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học tạo cho họ lịng ham học, kết học tập tăng lên gấp bội Nhưng quan điểm đắn chưa sâu vào thực tế dạy học.Thực tiễn giáo dục nhiều tồn :
-Nhiều học sinh lúng túng trước công việc tự học soạn nhà, đâu, trình bày tài liệu ơn tập kế hoạch học tập để thực học cách tốt nhất, từ không đạt kết mong đợi, mà thường là:”hên xui” câu nói cửa miệng nhiều em học sinh nay, nhiều em học đối phó mơn khơng thuộc ban mà lự chọn, đầu tư thời gian cơng sức cho mơn u thích chọn theo ban từ trước, dovậy nhiều học sinh học lệch, tạo động cơ, thái độhọc tập không tốt học sinh phổ thơng
- Thói quen dạy học cũ bám sâu tiềm thức người học đa số bậc phụ huynh làm cho phương pháp khó tiếp cận
(3)-Cơ sở vật chất, phương tiện dạy học thiếu nguyên nhân làm giảm tính tích cực học sinh hiệu việc dạy học
-Một số phụ huynh vùng nông thôn theo công việc nương rẫy đồng lo việc sinh nhai, lam lũ mà thời khóa biểu em lớp nhà sao, nên phát học yếu, lừa dối gia đình trốn học theo bạn bè chơi lỏng… tìm đến nhà trường, thầy, cô chủ nhiệm…
-Một số phụ huynh thành thị định hướng quan tâm họ lại việc chọn thầy, chọn trường Họ chăm lo cho trường chuyên lớp chọn kia, cơng việc lựa chọn xong họ n tâm làm ăn theo sống xô bồ, không cần biết tiếp thu tự đào luyện để thành người có học Như gia đình thờ với việc tự học dẫn đến hư hỏng muộn màng mà cịn phiền tối đến quan chức năng, trường lớp thầy cô bạn bè xã hội…
+Nói chung khơng phải biết cách tự học, cách tự học cần giáo viên môn hướng dẫn theo kinh nghiệm thân chưa có giáo trình cụ thể để dạy học sinh cách tự học nào….đặc biệt tự học với mơn tốn lại khó khăn hơn, tính đặc thù
Vì người viết xin mạo muội chọn đề tài:
“NHỮNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂN HÌNH GIÚP HỌC SINH RÈN TÍNH TỰ HỌC
CỦA MƠN TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG” đề xuất, thảo luận để phân tích đánh giá, mong chia xẽ kinh nghiệm góp ý chân thành bổ ích q thầy đồng nghiệp gần xa nhằm giúp em học sinh có kế hoạch học tập nói chung phương pháp tự học mơn tốn ngày tốt
2/ MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀIÏ
Chúng ta biết rằng: Sự thành công giảng kết tổng hợp nhiều yếu tố, có thành cơng đổi phương pháp dạy học, vấn đề thời mục tiêu quan trọng ngành giáo dục phổ thơng
(4)Tự học có nghĩa tự giác, chủ động chiếm lĩnh tri thức với niềm say mê, hứng thú đặc biệt.Đối với học sinh.Tự học để rèn luyện tư độc lập Nâng cao khả phát tìm tịi, khám phá giới xung quanh Thực tế chứng minh, hầu hết nhà khoa học, danh nhân văn hóa tầm cở giới trưởng thành từ đường tự học Với tính đặc thù riêng mơn tốn, người học sinh có tự học làm tốt nhiệm vụ môn học, thấu hiểu sâu sắc vấn đề mà lĩnh hội, từ mà sinh nhiều niềm vui học tập làm cho họ đam mê hứng thú đầy sáng tạo Khi nắm vững kiến thức nhận xét đánh giá, phân tích, so sánh tổng hợp kiến thức cập nhật hàng ngày cách xác dễ hiểu
(5)II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A) NGHIÊN CỨU TÀI LIỆU, TỰ HỌC LÍ THUYẾT, THỰC HÀNH LÀM BAØI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ
1 Chọn chủ đề, học, nội dụng tự học a) Thực trạng:
Đa số học sinh chưa biết chọn chủ đề thích hợp để tạo hứng thú học tập trước vào nội dung học, xuất phát điểm từ đơn vị kiến thức dễ hiểu, vừa sức tạo hưng phấn để học tiếp học thật dễ dàng sn sẻ Khi có nhiều tài liệu hay sách tham khảo củng làm cho em “lang thang” với chủ đề không cần thiết khơng trọng tâm học làm thời gian tự học
b) Giải pháp:
Khi học cũ soạn ta xác định tài liệu cần thiết để nghiên cứu, tài liệu quen thuộc gần gủi tập ghi, sách giáo khoa, sách tập, số tài liệu tham khảo khác, việc trình bày tập ghi đầy đủ, rõ ràng, có khoa học việc học cũ làm tập dễ dàng hơn, phải chọn chủ đề thiết thực cho học như: làm tập nhà, tập làm thêm, theo phân công nhiệm vụ giáo viên tiết học trước, học khái niệm, định lí hay tính chất….Việc lựa chọn phải theo thời gian biểu ngày lớp cần giải theo phân chia thời gian hợp lý, tốt làm hoàn tất học ngày cách có hệ thống trì đặn, tập thói quen ghi chép giảng dạng dàn ý để ta đọc lại nhamh chóng hiểu học có giải hết vấn đề, đơn vị kiến thức theo thời khóa biểu cách nhịp nhàng, khoa học có hiệu
2.Xác định trọng tâm học :
Ln đặt câu hỏi trọng tâm học vấn đề gì? ýù nghĩa vấn đề áp dụng chúng cac trường hợp nào? -Khi học bất phương trình bậc hai kiến thưcù trọng tâm giải bất phương trình bậc hai vận dụng giải bất phương trình tích bất phương trình chứa ẩn số mẫu thức, giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn số Khi học khái niệm vectơ phương, phương trình tham số đường thẳng phải biết cách xác định vectơ phương đường thăûng (khi biết phương trình tham số đường thẳng, biết đường thẳng qua hai điểm cho trước, đường thẳng song song với đường thẳng cho trước…), viết phương trình tham số đường thẳng biết yếu tố cho trước, viết phương trình tắc, viết phương trình theo hệ số góc, viết phương trình theo đoạn chắn…
(6)bc ac c
b a
0 , đọc lời là:”nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức tương đương chiều”, nói đến: “Trong mặt phẳng hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song” ta viết kí hiệu: a b
b a
c b
c a
//
, hoặc: “bình phương vơ hướng vec tơ bình phương độ daiø nó” ta viết kí hiệu là: “
2
) (
a
a “, dùng câu văn diễn tả mối
liên hệ tỉ số lượng giác góc đặc biệt có liên quan:” Cos đối, sin bù, phụ chéo…” Để hai góc đối có cosin chúng nhau, hai góc bù có sin nhau, hai góc phụ sin góc cosin góc ngược lại(chéo nhau) Để nhớ lâu hiểu sâu học
3 Xác định kĩ năng, kĩ xảo tương ứng theo chủ đề học a)Thực trạng
Đa số học sinh không xác định trọng tâm không rút kỹ kỹ xảo tương ứng, khơng có thói quen tự cố lại kỹ học, chủ đề, không dùng phép so sánh, tương tự để nhận dạng kỹ thực hành tổng hợp chúng lại thành dạng đặc trưng, trước tốn chưa phân tích đượcgiả thiết kết luận, chưa hiểu hết mục đích u cầu đề bài, khơng tìm thấy mối liên hệ giả thiết kết luận, điêù kiện cho khái niệm học từ trước, khơng có kế hoạch giải dạng cụ thể, sử dụng sử dụng “công cụ” thích hợp để giải tốn : đạo hàm, tính chất hàm số, tam thức bậc hai, bất đẳng thức, vectơ,…
b)Giải pháp
Khi nắm trọng tâm học cần rút kĩ tương ứng theo chủ đề đơn vị kiến thức
+Chẳng hạn học “Hệ tọa độ”, kĩ cần có là:viết kí hiệu tọa độ vec tơ tọa độ điểm qua hai vec tơ đơn vị
i , j ngược lại ví dụ:
u (5;-2) u = i -2 j ,
+Cho hai điểmA, B hệ tọa độ cho trước ta xác định tọa độ vectơ
AB=(xB-xA;yB-yA) khoảng cách hai điểm A B AB =
2 ( )
)
(xB xA yB yA tọa độ trung điểm cuả đoạn thẳng AB là: (
2
B A x x
(7)thể lập bảng biểu đồ sơ đồ để dễ nhớ khắc sâu kiến thức vừa học, sau ví dụ minh họa
B1/Lập bảng so sánh, tổng hợp lý thuyết theo chủ đề nhóm đơn vị kiến thức, kỹ tương ứng
Khi học hết tiết học Hãy xác định trọng tâm, kĩ tương ứng tiết đó Nếu học xong phép cộng hai vecto phải nắm định nghĩa phép cộng hai vecto, từ suy tính chất giao hốn, tính chất kết hợp, phép cộng vơí vecto khơng, từ suy hai quy tắc quy tắc ba điểm quy tắc đường chéo hình bình hành kĩ tương ứng biết áp dụng quy tắc vào việc chứng minh đẳng thức vectơ(đưa đẳng thức cần chứng minh đẳng thức tương đương đúng), ngồi cịn có kiến thức liên quan định nghĩa vec tơ không, hai vec tơ Hai vectơ phương…, hệ thống kiến thức sau học chương củng vấn đề khơng thể thiếu q trình tự học như:
Bảng tóm tắt nội dung chương Bài Định nghóa mô tả theo
kí hiệu hình vẽ
Tính chất Quy tắc
Phep cộng hai vectơ
+Giao hốn +Kết hợp
+Cộng với vecto khơng
+Quy tắc ba điểm +Quy tắc hình bình hành
Phep trừ hai
vectô
+Vec to đối vectơ
+Hiệu hai vectơ
+Vectơ
AB có vectơ đối
BAhay -AB
+Quy tắc hiệu
Phép nhân một số
với vectơ
+Là vectơ xác định
hướng độ dài
+Kết hợp vói phép nhân +Kết hợp vói phép cộng +Kết hợp phép nhân với phép cộng
+Khi k=0, nhân số với vectơ không
+Hệ thức vectơ trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác
+Điều kiện để hai vectơ phương
+Chứng minh ba điểm thẳng hàng
+Biểu thị vectơ qua hai vectơ không phương
(8)quyết định thành đạt người học tốn, ví dụ giải dạng tập minh họa sau đây:
Bài tập1 Xét tính chẵn lẻ hàm số y=f(x) Bướ
c Trình bày giải p dụng:Xét tính chẵn lẻcủa y=x3 +3.x
1 -Tìm tập xác định D hàm số -Tập xác định D hàm số
bằng R
2 - Xác định tính đối xứng tập D -Nếu với x D mà –x D
(tập D khơng đối xứng)thì kết luận f(x) khơng có tính chẵn lẻ, kết thúc tốn
Nếu với x D mà –x D chuyển sang
bước3
moïi x R => –x R
3 -Tính f(-x) –f(x) so sánh kết
Nếu f(-x) f(x) f(x) tính chẵn lẻ va
økết thúc tốn
Nếu f(-x)= f(x) f(x) hàm số chẵn D Nếu f(-x)= -f(x) f(x) hàm số lẻ D
y(-x)=(-x)3+ 3.(-x)= - x3 -3.x
= -(x3 +3.x)= -y(x) hàm số
lẻ R
Bài tập2giải biện luận phương trình dạng a.x+b =0
Bước Trình bày giải Giải biện luận pt: m(x-1)=2x+1áp dụng
1 Đưa phương trình dạng a.x =- b (m-2)x= m+1
2 Nếu a0 csb3(nếu không csb4) Nếu m2thì (csb3)
3 x=
a b
x=
2
m
m
, csb7 Xét a=0 Nếu b0 csb5, không
thì csb6
Nếu m=2 (b=30)
csb5
5 Pt vô nghiệm csb7 PTVN, csb7
6 Pt có vô số nghiệm csb7
7 Quá trình kết thúc Kết luận
(9)Bước Trình bày giải Aùp dụng giải hệ
) ( 0 5 2
) ( 0 2 .3
II x
I x
1 Giaûi bâùt pt (I), xác định tập nghiệm SI
tập nghiệm SI =(-2/3;+)
2 Giải bâùt pt (II), xác định tập nghiệm SII
tập nghiệm SII =(-;5/2)
3 Tìm giao SI SII
S =(- 2/3;5/2)
4 Kết luận S =(- 2/3;5/2)
Chẳng hạn giải bất phương trình bậc hai ẩn số có kỹ năng: Xét dấu tam thức bậc hai, biểu diễn tập hợp nhiệm trục số, giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn số ta giữ nguyên hai kỹ thêm kỹ nửa xác định giao tập hợp nghiệm bất phương trình bậc hai hệ cho…
+Phải phân biệt phép biến đổi tương đương phương trình khác với phép biến đổi tương đương bất phương trình nào, chẳng hạn giải phương trình:
x x
x
2
1
(1) sau đặt điều kiện x-1 pt(1) tương đương với: 2.x-1=2.x(x+1)
đối với bất phương trình: x
x x
2
1
(2) khơng thể tương đương với bất phương trình : 2.x-1 < 2.x(x+1)
B3/lập bảng tóm tắt lí thuyết dạng kĩ tương ứng để ôn tập so sánh tổng hợp
+Khi học xong chủ đề chương hay ôn tập chương ta thường lập bảng tóm tắt lí thuyết dạng kĩ tương ứng để ơn tập so sánh tổng hợp kiến thức học chẳng hạn học xong chương ta lập bảng sau:
chươngII HÀM SỐ Chủ
đề 1 đại cương hàm số
2 ôn tập bổ sung hàm số
y= a.x+b, y= x
3 hàm số bậc hai y= a.x2 +b.x + c
Kiến thức
+ khái niệm hàm số, tập xác định hàm số, đồ thị hàm số
+ khái niệm hàm số đồng biến nghịch biến, hàm số
+ biến thiên đồ thị hàm số bậc
+ đồ thị hàm số bậc đồ thị hàm số y= x
(10)chẵn, lẻ tính chất đối xứng đồ thị hàm số chẵn, lẻ
Kó năng
+ tìm tập xác địnhcủa hàm số đơn giản Các dạng thường gặp hàm số có chứa biến số dấu bậc hai chứa biến mẫu thức
+ cách chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng cho trước + xét tính chẵn, lẻ số hàm đơn giản
+thành thạo việc xác định chiều biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc đồ thị hàm số y= x , y=b
+biết tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng, đường thẳng pa bol có phương trình cho trước
+lập bảng biến thiên hàm số bậc hai
Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng, vẽ đồ thị hàm số bậc hai +đọc đồ thị hàm số bậc hai, từ đồ thị xác định trục đối xứng, giá trị x để y> 0, giá ttrị x để y<0
+tìm đồ thị hàm số
y= a.x2 +b.x + c,khi bieát
các điều kiệncho trước
p dụng
+tìm tập xác định hàm số sau:
a) y= x 1+ x1
b) y=x1 2+ x
+xét tính đơn điệu hàm số
a) y=-3.x+1 R b) y=2.x2 0;
+xét tính chẵn lẻ hàm soá
a) y= 3.x4 -2.x2 +7
b) y= 6.x3 -x
+lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y= 3.x + 5, tìm giao điểm đồ thị với đường thẳng y= -1 +vẽ đồ thị hàm số y= x ,
từ suy giá trị nhỏ hàm số
+tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị y= 3.x + y=2.x2
+lập bảng biến thiên vẽ đồ thịcác hàm số a) y= 3.x2 -2.x +7
b) y=2.x2
+veõ pa rabol y=3x2
-2x-1
Từ đồ thị đóhãy giá ttrị x để y<0 +viết phương trình pa rabol y= a.x2 +b.x +2
biết
a)Nó qua hai điểm A(1;5) B(-2;8)
b)Cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x1=1
và x2=2
+Để dễ nhớ khó qn nên lập bảng so sánh tương tự hóa cơng thức chẳng hạn hình học phẳng hình học khơng gian
Hình học phẳng Hình học không gian
Cho hai vectô
a =(a1;a2), b =(b1;b2),
+
a b =a1.b1 +a2.b2;
Trong không gian cho vec tơ
(11)+2
a = a12 + a22
+
a =
2 a a
b =a1.b1 +a2.b2+a3b3;
+2
a = a12 + a22 +a32
+
a =
3 2
1 a a
a
+Cos(
a ,b ) = 2 2 2 2 1
b b a a b a b a
+Cos(
a ,b ) =
3 2 2 2 3 2 1
b b b a a a b a b a b a
+Cho hai đường thẳng
a1.x + b1y +c1 =0 a2.x + b2y +c2 =0
phương trình đường phân giác góc chúng 2 1 1 b a c y b x a
=
2 2 2 b a c y b x a
+Cho hai mặt phẳng A1.x + B1y +C1 z+D1=0
vaøA2.x + B2y +C2+D2=0
phương trình mặt phẳng phân giác góc chúng
2 2 1 1 C B A D C y B x A
=
2 2 2 2 2 C B A D C y B x A
Bài tập tương tự :Lập bảng trình bày giải tóm tắt chủ đề tương ứng theo gợi ý sau
Baøi1 Giải biện luận phương trình dạng a.x2 + b.x +c = 0, a.xb =c.xd
Bài2 Xét vị trí tương đối hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN), với đường thẳng a.x + by +
c =
Bài3 Bảng tóm tắt chủ đề chương IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài4 Chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng vng góc với Bài5 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm thiết diện mặt phẳng với khối đa diện
Bài6 Chứng minh mộtđường thẳng song song với mặt phẳng Bài7 Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian
Bài8 Xác định vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng
Bài9 Xác định góc đườngthẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng
Bài10 Xác định tích có hướng hai vectơ khơng gian Bài 11 Tính diện tích tam giác, thể tích hình hộp, hình chóp
Bài 12 Xét tính liên tục hàm số điểm, đạon, mơt khoảng Bài 13 Tìm giới hạn dạng vô định
(12)4/Thực hành tập theo chuyên đề học
Một nội dung quan trọng để rèn lực giải toán thực hành tập theo chuyên đề học như: khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, tam thức bậc hai ứng dụng, bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn,tích vơ hướng, tích có hướng, tích phân ngun hàm, đuờng thẳng ,mặt phẳng khơng gian… chun đề có dạng tập khác ta thống kê, tìm kiếm trình bày theo trật tự khóa học chẳng hạn sau học xong bất đẳng thức ta có chuyên đề tương ứng chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phong phú bất đẳng thức việc giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn giá trịnhỏ biểu thức hay hàm số:
Dưới ví dụ chuyên đề chương vectơ hình học 10
CHƯƠNG I VECTƠ (HÌNH 10)
Chuû
đề Các định nghĩavectơ Phép cộng vàphép trừ vectơ
Tích vectơ với
một số Trục hệ trục tọađộ
Dạng tập
1.Xác định vectơ
Chứng minh vectơ
1.Chứng minh đẳng thức vectơ
1.Chứng minh đẳng thức vectơ
1.Tìm tọa độ điểm tọa độ vectơ 2.Xác địnhcác yếu
tố :phương, chiều, độ dài vectơ
2.Tính độdài
vectơ 2/Chứng minh hai đường thắng song song c/m ba điểm thẳng hàng
2.Tìm tọa độ điểm đặc biệt tam giác
3.Vectô- không
*Trong chủ đề lập bảng tóm tắt phương pháp tập tương ứng chẳng hạn:
Chủ đề Phép cộng phép trừ vectơ Dạng
toán
phương pháp Bài tập vân dụng Bài tập tương tự 1.Chứng
minh đẳng thức vectơ
Giả sử có đẳng thức vectơ : VT=VP +ta tìm cách biến đổi trực tiếp vế thành vế
Chứng minh bốn điểm A,B,C,D ta có
AB CD AD CB
GIAÛI
AB CD AD DB CB BD
0
AD CB DB BD
1.Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ tổng
AB AC
2 Chứng minh hai hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Có trọng tâm
(13)+c/m VT,VP biểu thức thứ ba +Có thể dùng quy tắc, tính chất vectơ để biến đổi tương đương đẳng thức
AD CB
Vậy VT=VP đẳng thức chứng minh
' ' '
' BB CC DD
AA
3 Cho tam giác ABC Bên tam giác vẽ hbh ABIJ , BCPQ, CARS CMR :
0
IQ PS
RJ
2.Tính độ dài
vectơ
+Dựa vào cách tính độ dài cạnh tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vng cân, hình chữ nhật, hình thoi ,vng…
Cho tam giác ABC cạnh a tính độ dài vectơ
AB+AC
Giaûi
AB+AC =AD độ dài vectơ
AB+AC
=AD=2.AO
=2.a 23 = a 3, với AO
là đường cao tam giác ABC
1.Cho hình vuông ABCD Cạnh a
Tính độ dài vec tơ
AB+AC ,
và vectơ AB-AC
2.Cho tam giác ABC vuông A có góc
ACB=600 có AB=2cm, AC= 4cm Xác định độ dài vectơ
AB+AC , AB +
BC
Ví dụ chủ đề chương IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
chủ đề: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng tập bản Ví dụ áp dụng Bài tập tương töï
Dạng1 sử dụng phép biến đổi tương đương
Phương pháp:
AB A- B 0
Nếu c/m A- B 0
đúng AB
C/m với số thực a,b ta có a2 +b2 2.a.b (1)
khi đẳng thức xảy ra? Giải:bđt(1) a2 +b2 -2.a.b0
(a-b)2 , bất đẳng thức
luôn đúng, đẳng thức xảy
1)C/m a0 vàb0
thì
a3+ b3 ab(a+b) nào
đẳng thức xảy
2)C/m a0 vàb0
thì
A
B
C
(14)a=b a4+ b4 a3b+ab3 đẳng
thức xảy
Dạng2 Biến đổi biểu thức dạng tổng bình phương
Phương pháp:
a2 + b2 +c2 0
với a, b, c , đẳng thức xảy khivà a=b=c=0
Dạng tập bản
C/m với số thực a,b ta ln có:
a2 + ab + b2 0, a2 - ab + b2 0
giaûi: a2 + ab + b2 =
= (a2+ 2.ab/2 +b2/4 )+3b2/4 =
=(a+b/2)2 + 3b2/4 0, dâu
xảy a=b=0, tương tự cho
a2 - ab + b2 =(a-b/2)2 + 3b2/4
dấu xảy a=b=0
Ví dụ áp dụng
1) C/m
với số thực a,b, c
:a2 + b2 +c2 ab+bc+ca (1),
đẳng thức xảy nào? 2)C/m
:a2 + b2 +c2 +d2+e2
a(b+c+d+e) Với a,b,c,d,e
Bài tập tương tưï
Dạng3 Sử dụng bất đẳng thức có
Phương pháp:
1.Sử dụng bất đẳng thức Cơ si
2 Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki:
3 Sử dụng bất đẳng thức khác bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức tam giác…
1.Ch/m với số dương x, y, z
z y x +
y x z +
x z y
6, dấu =
xảy nào?
Giải: ta coù : xz y + zyx+ yx z =(x/y+y/x)+(z/y+y/z)+(x/z+ z/x)
2+2+2=6đẳng thức xảy
y x
= xy => x=y tương tự zy = yz => y=z từ x=y =z
2 cho x2+y2 =1 c/m raèng
y x
4 5
Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki ta có
(4x+3y)2 (42+32)( x2+y2)=52.1=>
y x
4
1.CMR a,b,c độ dài ba cạnh tam giác “
(b+c-a)(c+a-c)(a+c-b) abc
2.cmr neáu a=a2+2b2 +9.c2=3
thì
A+ 2b +9c
3.cmr: với avà b dấu a/b +b/a
với avà b trái dấu a/b +b/a-
(15)lớn ,giá trị nhỏ biểu thức
Phương pháp
+sử dụng bất đẳng thức Cô si
+ Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki:
+ Sử dụng bất đẳng thức khác bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức tam giác…
nhỏ hàm số y =(x+3)(5-x),
với -3x5
giải theo giả thiết x+3 0, 5-x
0,
4= ( 3)(5 )
2
x x
x x
=> y 16=> Max y=16
x+3 = 5-x hay x=1
mặt khác y0 với x 3;5,
vaø
y(-3)= y(5) =0 nên giá trị nhỏ y = x=-3 x=5
hàm số f(x)= x+ x2 1, với x>1 2.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
f(x) = x1 4 x
(16)B.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN, BÀI TỐN TỔNG HỢP 1Khai thác giả thiết toán
Làm gần gũi giả thiết với kết luận toán
Giả sử A giả thiết, B kết luận tốn, quy trình để giải tốn sau:A => A1 =>A2 => … =>An => B, xảy hai trường hợp Trường hợp 1: có
thể An B, tốn A =>B kết thúc, trường hợp2 An chưa phải B
ta phải biến đổi A An+1 giải toán An+1 => B dễ tốn cho An+1 gần B
hơn so với A Sau ví dụ
Bài tốn 1: Chứng minh phương trình a.x2 + b.x + c =0 có hai nghiệm phân biệt mà
nghiệm k lần nghiệm (k số cho trước khác -1) thì: k.b2 = (k + 1)2 a.c
Giaûi
Gọi x1 x2 hai nghiệm phân biệt phương trình bậc hai a.x2 + b.x + c =0, từ giả
thieát ta suy (*)
1
2
kx x
kx x
từ suy (x1 –kx2)(x2-kx1) = x1.x2-k.( 22 x
x ) +k2 x1.x2
=0
x1.x2 –k[(x1 +x2 )2 -2 x1.x2 ] +k2 x1.x2 =0 k (x1+x2)2 = (k + 1)2.x1.x2 (**) Như
từ giả thiết ta suy điều kiện(*), từ ta có đẳng thức (**) đẳng thức làm gần gủi giả thiết kết luận k.b2 = (k + 1)2 a.c toán Mặt khác ta sử dụng định lí
Viet : x1 +x2 =-b/a, x1.x2 =c/a đẳng thức (**) trở thành k (-b/a)2 = (k + 1)2.c/a
hay k.b2 = (k + 1)2 a.c đẳng thức cần chứng minh
Bài toán 2 Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiêïn cần đủ để hai trung tuyến kẻ từ B C vuông góc với b2 + c2 =5.a2
Giải Hình vẽ
Theo giả thiết trung tuyến BB1 CC1 vng góc với nên tam giác BHC tam
giác vng, áp dụng định lí Pitago :BC2 =BH2 +HC2 (*), với BH=
3
BB1, CH= 32 CC1
C
B A
B1
C1
(17)Gọi mb, mc độ dài trung tuyến BB1 CC1, BB12=
b
m =
2
2 c a
-4
2
b ,
CC =
2
c
m =
2
2 b a
-c42 suy BC2 =
9
)
(
1 CC
BB =
9
(a2 +
4
2 c b
), với BC= a ta có: a2 =
9
(a2 +
4
2 c b
) 9.a2
=4a2 + b2 +c2 b2 + c2 =5.a2 Vậy từ giả thiết ta áp dụng định lí Pitago, tính chất
của trọng tâm H tam giác(suy BH= 32 BB1, CH= 32 CC1) sau áp dụng
cơng thức độ dài trung tuyến để biến đổi công thức(*) kết luận toán Như tức ta làm gần gủigia ûthiết với kết luận tốn cơng thức (*) định lí độ dài trung tuyến tam giác
Bài tốn3 Chứng minh a> b a.b> a1 < b1 Giải
Từ giả thiết a> b a.b>0 ta nhân hai vế bất đẳng thức a> b với ab1 > ta có ab1 a> b ab1
Hay a1 < b1 Như phân tích giả thiết phép biến đổi tương đương ta có phần kết luận tốn
Nghiên cứu tính chất biểu thức có mặt tốn
Nhìn vào biểu thức có mặt tốn ta định hướng, phân tích theo dạng tốn sau số ví dụ (ta cịn nghiên cứu phần tìm kiếm lựa chọn cơng cụ giải tốn)
Bài tốn4 Giải phương trình bất phương trình sau a) x2 3.x 12 x2 3.x
; b)(x-2) x2 4 x2 – ; c) x2 - 1 x = x + ; d) 1 x=
x
Giaûi
Trước tiên ta thấy tập không thuộc dạng học, giải theo dạng biến đổi cồng kềnh, dẫn đến bế tắc, chẳng hạn câu a) khơng thể bình phương hai vế đưa đến phương trình khơng giải được.tương tự pt cịn lại khơng mẫu mực , nhìn tốn góc độ khác biểu thức đề làm cho ta có hướng giải khác Cụ thể
a) Đặt y = 12 x
x >0 =>y2 -12 = x2 + 3.x thay vào pt a) ta có : y = y2 -12 y2 –y-12
=0
=> y= (do y>0) => 12 x
x =4 x2 +3.x-4=
4
x x
(18)+Trường hợp1: x-2>0 hay x >2 bpt b)
x x+2 2
4 .4 4 2
2
2
x x x x x
+Trường hợp2: x-2<0 hay x< bpt b)
x x+2 0
4 .4 4 2
2
2
x x x x x
+Trường hợp3: x-2 = hay x= hai vế
Vậy tập hợp nghiệm bất phương trình cho là: S= ;0 2;
c)Đây phương trình khơng mẫu mực trước tiên ta tìm tập xác định nó: D= x/1 x0 va x 20= x/1x va x2 = Vậy pt vô nghiệm d)Tập xác định pt
D= x/1 x0 va x10=x/1xva x1= 1 , thử lại ta thấy x=1 nghiệm pt tập nghiệm pt d) S= 1
Bài tốn5 a) Tìm giá trị nhỏnhất f(x) = 21
x x
b)Chứng minh với n *
:
1
n +
1
n +…+2n
1
2
Giải a) Ta phân tích mối liên hệ x2 +2 1
x , có mặt biểu thức x2+2
x2+1 làm ta nhận x2+2 = x2+1+1 ta biến đổi sau:
f(x) = 2 x x = 1 2 x x
+ 12 1
x =
2
x +
1
2
x từ áp dụng bất đẳng thức Cô si cho
hai số dương
x
1
2
x ta coù f(x) =
2
x +
1
2
x
1 2 x
x =2
vậy giá trị nhỏ nhâùt hàm số f(x) đạt x=0
b) nhìn vào biểu thức vể trái ta thấy 21n =n1n, có nhận xét rằng: với n *
n+1n+n, n+2n+n,…, n+nn+n, suy
1
n 2n
1
, n12 n
2
,…, n1n n
2
cộng vế theo vế bất đẳng thức lại ta có n11+n12+…+21n
n
2
+21n + + 21n =n 21n =
2
, bất đẳng thức chứng minh
Bài tốn6
Cho tam giác ABC Tìm điểm M vaø N cho:
MA-MB +MC =0 vaø 2.NA +NB +
NC= 0
(19)+Từ biểu thức
MA-MB +MC =0 ta nhận xét điểm A,B,C cố định thìMA -
MB=BA
cố định, suy ra
BA+MC =0 MC =AB => M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM +Tương tự biểu thức 2.
NA+NB +NC = 0
Do xuất 2.
NA, mà nghĩ đến việc
Biến đổi
NB+NC = 2NI , với I trung điểm
của BC Khi 2.
NA+NB +NC = 0 trở thành
2.
NA+ 2NI =0 hayNA + NI =0 tức N
Trung điểm đoạn AI A
B C
M
A M
(20)2.Phương pháp biến đổi kết luận toán +Nếu toán chứng minh A) <=> B)
Ta có quy trình:B <=>B1 <=>B2 <=>….,<=>Bn A làm thỏa mãn giả thiết
A Thường gặp dạng tóan tập chứng minh mệnh đề, đẳng thức bất đẳng thức
Bàitoán7 Chứng minh tam giác ABC vuông A 5ma2 =mb2 +mc2
Giaûi
Ta biết tam giác ABC ta có cơng thức tính độ dài trung tuyến:
a
m =
2
2 c b
-4
2 a
;
b
m =
2
2 c a
-4
2 b
;
c
m =
2
2 b a
-4
2 c
, thay vào biểu thức 5ma2 =mb2 +mc2 ta có :
5(b2 2c2
-4
2 a )=
2
2 c a
-4
2 b +
2
2 b a
-4
2
c < => a2 =b2 +c2 chứng tỏ tam giác ABC vuông
tạiA (theo định lí Pitago)
Bàitốn8 Chứng minh với số thực a, b : a2 +ab + b2 0
Gaûi
Từ kết luận toán a2 +ab + b2 0 ta biến đổi vế trái a2 +ab + b2 =a2 +2.a
2
b
+b42 +3.b42
=(a+ 2b )2 + 3.
4
2 b
0 với a,b đẳng thức xảy a = b=
3.Phương pháp biến đổi đồng thời giả thiết kết luận toán
Ta biến đổi đồng thời giả thiết kết luận tốn làm chúng gần hơn, dễ dàng vận dụng giả thiết suy luận từ giả thiết để chứng minh kết luận toán
Bàitoán9 Chứng minh G G’ lần lượt trọng tâm tam giác ABC tam giác
A/B/C/ 3.
/
GG =AA / +BB / +CC /
Giải +Theo giả thiết
G trọng tâm tam giác ABC nên
AG +BG +CG =-(GA +GB +GC ) =0 (1) Và G/
trọng tâm tam giác A/B/C/ nên
/ /A
G +G /B/ +G /C/ =0 (2)
+Phân tích kết luận tốn:Ta có theo quy tắc ba điểmù:
/ AA =
AG +GG / +G /A/ ;BB / =
BG +GG / +G /B/ ,CC / =CG +GG / +G /B/ , cộng đẳng thức ta có AA / +BB / +CC /
=3
/ GG + (
AG +
BG +
CG )+(G /A/ +G /B/ +G /B/ ) (3) thay (1) và(2) vào (3) ta cóAA / +
/ BB +
/
CC =3.GG / Chính đẳng thức (1), (2), (3) làm gần gủi giả thiết kết luận
(21)Bàitốn10 Tính cos( 3 ), biết sin =
3
vaø 0< <
2
Giải +Phân tích kết luận cos(3) = cos cos
3
- sin sin
3
= 21 cos -
2
3 sin (a)
+Phân tích giả thiết: sin =
3
0< <
2
, suy cos >0, từ công thức cos2 x +
sin2 x = với x ta suy cos = 1 sin2 x
=
3
1 thay giá trị sin cos
vào (a) ta có kết cos(
3
) =
2
3 -
2 =
6 3 6
Bàitoán11
Chứng minh tam giác ABC ta có sinA+sinB +sinC= 4.cos 2A cos B2 cosC2 Giải
+Phân tích giả thiết: Trong tam giác ABC ta có A+B+C = , từ suy
2
B A
=2
-2
C
sin A2B = cosC2 , cos A2B= sinC2
+Phân tích kết luận: sinA+sinB +sinC =2 sin A2B cos A2 B + sinC2 cosC2 =2 cosC2 ( cos A2B + sinC2 )
=2 cosC2 ( cos A2B+ cos A2B) = 4.cos A2 cosB2 cosC2
Vaäy sinA+sinB +sinC= 4.cos A2 cosB2 cosC2
Bàitốn12 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng
a) Gọi O O/ trọng tâm hình bình hành ABCD và
ABEF Chứng minh đường thẳng OO/ song song với mặt
phẳng (ADF)và (BDE)
b) Gọi M N trọng tâm tam giác ABD ABE chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF) Giải
a) Phân tích giả thiết: Theo giả thiết OO/ đường trung bìng tam giác BDF
và tam giác ACE OO/ // DF OO/ // CE (1) Để chứng minh đường thẳng OO/
song song với mặt phẳng (ADF) ta c/m đường thẳng OO/ song song với đường
(22)vậy OO/ //(ADF), tương tự ta c/m OO/ //(CDE)
b)Để c/m đường thẳng MN song song với mặt phẳng (DEF) ta c/m MN song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng (CDE) (Phân tích kết luận tốn) Gọi I trung điểm AB,
Hình vẽ
DM EN qua I , tam giác IDE co ù MN đường thẳng định trênhai cạnh ID IE đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ta có đẳng thức IMID = INIE =31 (phân tích từ giả thiết tốn :tính chất trọng tâm hai điểm Mvà N) MN//DE, mà DE thuộc mặt phẳng (CDE) từ ta có đường thẳng MN song song với mặt phẳng (DEF)
CACÙ BAØI TẬP TƯƠNG TỰ (Cho mục 1), 2), 3) )
1/Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
a) Sin2A +sin2B +sin2C =4sinA.sinB.sinC
b) Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1-4 CosA CosB CosC
c) TanA + tanB +tanC = tanA.tanB.tanC
2/ Hãy nhận dạng tam giác ABC : a)cos2A+ cos2B+ cos2C = 1
b)sin2A + sin2.B = 4.sinA.sinB 3/Chứng minh :
a) Nếu x2 + y2 = xy 2 ; b) Nếu 4.x-3.y = 15 x2 + y2 9
A
D C
F
O/
O
B
E M
(23)4/ Tìm giá trị a cho với x , ta ln có -1
2 2 x x a x x <
4 Lựa chọn cơng cụ thích hợp để chuyển hóa nội dung hình thức tốn
Việc lựa chọn cơng cụ khác để giải toán việc làm cần thiết thường xun người học tốn, nhằm chuyển hóa nội dung hình thức tốn trở thành tốn quen thuộc xuất dạng tập Vì việc lự chọn cơng cụ thích hợp lời giải tương ứng tốt Các công cụ chủ yếu là: Bất đẳng thức, đồ thị hàm số, đạo hàm, nguyên hàm, tam thức bậc hai, vec tơ, tính chất hàm số, đặt ẩn phụ, …
4.1 Bài tập từ dạng có sẵn
Đây tập dạng có sẵn học , sau khiđã nắm vững lí thuyết người học nhận dạng tập tương ứng để luyện tập chẳng hạn:
Bài tốn13: Giải phương trình sau đây: a 2.x 13 x
b 2.x3 = x
Giải a)p dụng giải pt dạng f(x) g(x)
) ( ) ( 0 ) ( x g x f x g
ta coù 2.x 13 x
3 1 2 0 3 x x x
4 6
6 4 6 4 3 x x x x nghiệm
b) p dụng giải pt dạng axb =c.xd
d x c b x a d x c b x a
Ta pt b)
/ x x x x x x
V ậy tập nghiệm pt 4;2/3
Bài tốn14Giải bất phương trình sau: 4 3
x x
(24)Giải
p dụng giải bất phương trình dạng f x)(g x)(
)( )]([ )( 0) ( )( 0) ( 0) ( 2 II xg xf xg I xg xf
Giải hệ (I) Được tập nghiệm SI , giải hệ (II) tập nghiệm SII tập nghiệm hệ
S= SI SII
Ta coù 4 3
x x
x )( 3 4 0 3 )( 0 3 0 4 2 II x x x x I x x x 2 9 0 2 9 3 3 0 4 x x x x x x hoac x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S=
; ; Bài tốn15: Tìm tất giá trị tham số m để
a) Bất phương trình (m-4)x2 –(m-6)x+ m - 5 nghiệm với x
b) Bất phương trình (m-2)x2 +2(m+1)x+ 2m > vô nghiệm
Giải a) áp dụng dạng tốn sau:
Với x thuộc tập R: a.x2 +b.x +c 0
0 0 a
+Ta xét m=4 bpt a)=> 2.x – 1 không thỏa với x, nên m =4 không nhận
(25)+Xét m khác áp dụng dạng toán ta hệ 0 4 0 )5 )( 4 (4 )6 ( m m m m 3 4
m giá trị cần tìm
b) +Xét m=2 bất pt trở thành 6.x + >0 có nghiệm, giá trị m= khơng nhận
+Ta xét m khác Bất pt b) vô nghiệm bất pt (m-2)x2 +2(m+1)x+ 2m nghiệm với x thuộc tập R , áp dụng dạng toán câu a) ta có hệ sau:
10 3 0 2 0 )2 (2 )1 ( m m mm m
Bài toán16Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ
a (1;2), b (-3;0) Hãy xác ñònh
a) 2
a +3b
b) Độ dài vectơ
a ,b
c) Góc vec tơ
a ,b
Giải Aùp dụng dạng toán quen thuộc sau: Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ
a (x;y), b (u;v) K hi
a) m
a + nb = (m.x+n.u; m.y+n.v)
b) a x2 y2 c) Cos(
a ;b )= 2. 2
v u y x v y u x Từ ta có
a) 2
a +3b =(2.1-3.3;2.2+3.0)=(-7;4)
b) a 12 22 =
5, ( 3)2 02 b =3
c) Cos(
a ;b )= 12 22. ( 3)2 02
0 ) (
= 3 35 15
4.2 Dùng tính chất hàm số để giải phương trình hệ phương trinh
Bài tốn17 Giải phương trình hệ phương trình sau a) 3x +4x = 5x ; b) 2x-1 -2x2x=(x-1)2 ; c)
(26)a) 3x +4x = 5x ta thấy x=2 nghiệm phương trình, ta chứng minh x=2 là
nghiệm phương trình cho Chia hai vê pt cho 5x ta có x
3 + x
4 =1, xeùt các
hàm số f(x)= x
3 và hàm số g(x)= x
4 là hàm số mũ có số nhỏ nên đây
là hàm số nghịch biến x>2 x
< 532
vaø x
< 542
từ x
+ x
< 532
+
5
=1, tương tự x <2 x
3 >
vaø x
4 >
từ x
3 + x
4 >
5 +
=1, nên có x = nghiệm phương trình cho, ta sử dụng tính đồng biến nhgịch biến hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm nhất, đâylà cơng cụ hữu hiệu để giải tốn
b) Viết phương trình b) dạng: 2x-1 =x2 – 2.x +1+2x2x 2x-1 +x -1=2x2x+ x2-x
(*),nếu ta xét hàm số f(t) = 2t + t từ đẳng thức (*) ta thấy f(x-1) = f(x2-x) nếu
chứng minh f(t) hàm số đơn điệu R ta suy x-1 = x2-x tìm
được nghiệm x Thật với t thuộc R : f/(t) =2t.ln2 +1 > nên hàm số f(t) đồng biến
treân R vaø f(x-1) = f(x2-x) suy x-1 = x2-x x2 -2.x +1 =0 x=1 laf nghieäm của
phương trình cho
c) Từ pt(1) => sin.x-x =siny- y, đặt f(t) =sint-t qua biểu thức cho thấy f(x) = f(y) chứng minh f(t) hàm số đơn điệu R ta suy x=y giải nghiệm nhanh chóng Thật với t thuộc R : f/(t)=cost -1 0, => f(t)
nghịch biến tập R ta thấy sin.x-x =siny- y chứng tỏ f(x) = f(y) suy x=y thay vào phương trình (2) ta có 2.sin.x=1 sin.x =1/2 x= 2
6 k x=
2
k
k
thuoäc Z
Bài tập tương tự
Bài1 Giải phương trình :1) 2.cos2.x = x2 +4.x +5; 2)sin .x = x-1
Bài2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: cos4x + (2-cosx)4 = m
Bài3 Giải hệ phương trình sau: 1) 3 1 tan . . tan 8 2 sin . . sin y x y x
; 2)
3 3 tan . tan y x y x
; 3)
x y x y y x cos 2 ) 2 cos( cos 2 ) 2 cos(
(27)Bài toán18
Chứng minh với x: x5 +(1-x)5
16
(1)
Giaûi
Nhận xét bất đẳng thức (1) với x hàm số y = x5 +(1-x)5 có giá trị nhỏ
nhất 161 ta dùng việc khảo sát hàm số để chứng minh hàm số y có giá trị nhỏ là161
Ta có y/ = 5.x4 -5(1-x)4 = 5(2.x2- 2.x +1) (2.x-1), 2.x2- 2.x +1 >0 với x nên y/ =0
khi x=12
Ta có bảng xét dấu
x - ½
+
y/ - +
y
161
Từ đó ta có ymin= 16
1
, toán chứng minh
Bài toán 19 Chứng minh với x>0 ln(1+x) > x -x22 Giải
Phương pháp: để chứng minh với x thuộc tập X: f(x) > g(x) ta đặt h(x) =f(x) –g(x), xét biến thiến thiên hàm số h(x) =f(x) –g(x) tập X , dựa vào biến thiên chứng tỏ h(x) > , với x X
Thaät vaäy đặt h(x)= ln(1+x) –( x - x22 ), xét X =(0;+ ), h/(x) = x x
1
2
> xX
x +
h/(x) +
h(x)
do h(x) > , với x X toán chứng minh Bài tập tương tự:
1/Cho x+y = chứng minh x4 + y4
(28)2/ Chứng minh rằng ex > 1+x, x>0
3/ Chứng minh (x+1)lnx > 2(x-1), với x >
4.4Dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Bài tốn20
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau a) f(x)= (x+3)(5-x) với -3 x
b) g(x)= x1 4 x
Giaûi
Các tốn dạng cơng cụ thường dùng bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki tính chất bất đẳng thức học
a) từ giả thiết -3 x ta suy (x+3)(5-x) 0 giá trị nhỏ f(x)
0 x=-3 x= 5, mặt khác theo giả thiết số dương x +3 5-x có tổng khơng đổi nên theo hệ bất đẳng thức Cô si f(x) lớn x+3 = 5- x hay x= Maxf(x) =16
b) Tập xác định hàm số D =[1;4], ta dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số 1, x 1, 1, 4 x ta có [g(x)]2 =( x1 4 x)2 (12 + 12)[ ( x 1)2+( 4 x
)2]=6 suy g(x) 6 g(x) >0 nên 0< g(x) 6, từ Maxg(x) = 6 đạt
được x= 5/ 2, mặt khác ta thấy rằng: [g(x)]2 =( x1 4 x)2 =3+2 x 1 4 x ming(x)=
Bài tập tương tự:
1/ Tìm giá trị nhỏ
a) hàm số f(x) = x+ x2 1, với x >1 b) f(x) = x1x
2/ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau a) f(x) = x 3 5 x
b) g(x)= 2x 1 1 x 4.5 So sánh, đánh giá, tương tự hóa
Dạng tốn ta đánh giá tính chất hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ hai vế để kết luận, giải phương trình cách đánh giá hai vế để quy hệ phương trình sau vài ví dụ điển hình
Bài tốn21
(29)b)Xác định a để hệ sau có nghiệm 1 tan . sin 1 . 2 x y x y a x a
c)Giải phương trình x + 4 x = x2 -6.x +11
Giaûi
a)Ta biết rằng: -1 cos 1, -1 sin 1 , viết a)=> sin3.x + cos2.x =-2 ta
suy sin3.x = cos2.x = - 1, ta giải hệ
1 2 cos 1 3 sin x x 2 2 3 2 m x k x k x c m x k x k x / / 2 /
k,m
b)Nhận xét hệ đối xứng với ẩn x nên hệ có nghiệm (x0;y0) có
nghiệm (-x0;y0), theo giả thiết hệ có nghiệm phải có –x0 = x0 => x0 = từ
ta có 1 1 y y a
=> (a-1)2 = a=0 a= 2
Với a= hệ trở thành
)2 ( 1 tan )1 ( . sin 1 2 x y x y
từ (1) => y = sin.x -1 thay vào (2) ta
Sin2x +2 sin.x +tan2x =0 sin.x = hệ có vô số nghiệm
1 . y k x (loại a=0)
Với a= hệ trở thành
)4 ( 1 tan )3 ( .2 1 . sin 2 x y x x y
, thay (3)vào (4) ta có tan2x + ( sin.x
+1+2.x2)2 = 1
(30) tan2 x =sin2x =4.x4 =2 sin.x =4.x2 sin.x =4.x2 =0 =>x=0 nghiệm hệ
là
1 0
y x
, giá trị a cần tìm thỏa đề a=2
c) Giải phương trình khơng mẫu mực ta nhâïn xét đánh giá hai vế :
Ta thấy VT2=( x 2 + 4 x )2 (12 + 12)(x-2 + 4-x)=4 => VT 2, đóVP =x2
-6x+11= x2 -2.3.x +9 +2= (x-3)2 +2 2 => VT=VP=2 đạt x=3 x=3 là
nghiệm phương trình cho
Bài tốn22 Cho tam giác ABC G trọng tâm tam giác chứng minh rằng:
a)
GA +GB +GC =0
b) Với điểm M :
MA+MB +MC = MG
c) M cmrằng:MA2 + MB2 + MC2 = MG2 + GA2 + GB2
+ GC2
(Bài toán chứng minh phần tập ), ta chứng minh toán sau cách tương tự
Bài toán23 Cho tứ giác ABCD G trọng tâm tứ giác chứng minh rằng: a)
GA +GB +GC +GD =0
b)Với điểm M :
MA+MB +MC +MD = 4.MG
c)M cmraèng:MA2 + MB2 + MC2 +MD2 = MG2 + GA2 + GB2 + GC2 +GD2
Bài tập tương tự:
Bài1 Giải phương trình sin3x +cos3x = 2- sin4x
2 8sin2x 81 sin2x 9 cos2y
Bài2 H trực tâm tam giác không vuông ABC chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC, HCA, HAB ABC
5.Chuyển đổi ẩn số, tham số, đặt ẩn số phụ
Bài tốn 24 Giải phương trình: ( 2 3)x ( 2 3)x=4
Giải Đặt ( 2 3)x
= u suy ( 2 3)x =
u
1
, phương trình cho trở thành u+ u1 = 4, với u> 0, u2 -4u +1 = u= 2+ u= 2- 3, với u= 2+ 3= x
3)
2
( = (2+ 3)-x/2
x=-2
Với u= 2- 3=( 2 3)x
=( 2 3)x=(2- 3)x/2 x=2, phương trình có hai nghiệm
là
(31)Bài tốn 25 Tìm tất giá trị m để pt sau có nghiệm
(2m-1) (sinx – cosx)- (sinx +cosx)+2m2 +2m +2 =0 (1)
Giaûi
Ta áp dụng phương pháp tráo vai trò ẩn số với tham số:Giải pt lượng giác fm(x) = (1) ta
biến đổi pt(1) thành pt đại số gx(m) = (2) mà biết cách giải , ta tìm điều kiện cho (2)
tồn nghiệm m lúc ta giá trị nghiệm x tương ứng
Thaät vaäy pt(1) g(m) = 2m2 +2(sin x – cos x+1)m +2(1 – cos x) = (2)
Ta coù ,
g
= (sin x – cos x+1)2 -2.2(1 – cos x) = 2(sin x – 1)(1 – cos x)
nên pt (2) có nghiệm ,
g
=0 sin x = cos x =
với sin x = cos x = pt (2) 2(m+1)2 = m = -
với cos x = sin x = pt (2) m2 = m = Vậy với m =o m = -
pt(1) có nghiệm Bài tập tương tự
Baøi1 cho f(x) =x4 + 2x3 -2(m+4)x2 -2(m-2)x+(m-2)2
1) Giaûipt f(x) = m= -2
2) Tìm m biết f(x) 0, với x thuộc R
Bài2 Giải biện luận theo a số nghiệm pt x4 -10x3 -2(a-11)x2 +2(5a+6)x+2a+a2 =0
Bài3 Giải phương trình bất phương trình sau
a) ( 2)( 32) 34 48
x x x
x ; b) 12
x
x = x2 + 3.x
III.KẾT THÚC VẤN ĐỀ
1/Kết thực nghiệm trước sau thực đề tài qua đánh giá kiểm tra viết 45 phút lớp 10T1, 10T2, 10C trường THPT Tân hòa năm học 2007-2008 sau
Lớp Sĩ số giỏi Trung bình Yếu
Trướ c Khi Thực
10T1 44 1 15 24
10T2 41 1 27
10C 51 0 10 34
(32)hiện Sau Khi Thực
hieän
10T1 42 11 10 13
10T2 41 12 17 11
10C 48 10 26
Toång 131 23 38 47 21
2/Bài học kinh nghiệm
2.1
H ãy thật nhập tâm vào việc học
1 Chia thành dạng rõ ràng, tự hệ thống lại kiến thức lí thuyết Như ghi nhớ dễ nhớ lâu
2 Chia thành nhóm dạng tập tương tự nhau, luyện thật nhiều tập dạng Chỉ cần nhớ dạng giải tương tự
3 Làm thật nhiều tập để nhớ công thức học vẹt
4 Tất lý thuyết kiểm tra thông qua tập nên học theo phương pháp đọc hiểu hữu ích làm thật nhiều tập từ dễ đến khó để khơng nản lịng Khơng nên q sâu vào dạng khó mà cần tập trung vào tập sách giáo khoa, sách tập
2.2Những đặc điểm c ần phải có người học:
Trung thực với thân
Tránh chi phối
Biết vượt qua vướng mắc
Đặt câu hỏi
Xây dựng phán đoán chứng cụ thể
Tìm mối quan hệ nối kết việc
Có tư độc lập
2.3 Một phương pháp học nhiều người dùng 1/VềTâm trạng
Hãy tạo tâm trạng thoải mái cho trước bắt đầu học
Hãy chọn khoảng thời gian, không gian thái độ thích hợp để bắt đầu việc học 2/Sự hiểu biết
Khi gặp khơng hiểu phần, đánh dấu lại
Cố tập trung vào phần hay nhóm tập mà bạn giải 3/Cần phải nhắc lại
Sau học phần, dừng lại chuyển bạn vừa học sang ngơn ngữ
của bạn
4/hấp thụ
Quay trở lại với mà lúc bạn chưa hiểu thử xem xét lại kiện.
(33)5/ôn lại
Lướt qua tất bạn hồn thành
Xem xem phương thức giúp bạn hiểu và/hoặc giữ lại kiến thức cũ để áp dụng vào bạn học
Luyện tập kỹ viết
· Sử dụng kỹ sơ đồ hóa để xếp thông tin để tiếp thu cách tốt điều bạn muốn học
· Bạn tận dụng công nghệ, phương pháp thu thập xếp thông tin từ nguồn khác
Những trò chơi ứng dụng máy vi tính giúp bạn: o Hình dung rõ ràng vấn đề
o Làm việc với phần công việc thử nghiệm
o Phỏng theo, thay luyện trả lời cho tình tương tự gặp phải ngồi đời
· Viết câu hỏi đối chiếu với bạn lớp Tập viết nháp câu trả lời
Thử làm làm kiểm tra
Thử xem bạn học kiểm tra qua mơ hình, diễn thuyết hay hình thức khác, ngồi việc làm kiểm tra viết
2.4 Những thói quen có ích cho việc học tập hiệu quả 1/Tự có trách nhiệm với thân
2/Việc hôm để ngày mai
3/Hãy ln coi người chiến thắng:
Dù lợi ích bạn, hay bè bạn, thầy cô hay người hướng dẫn, bạn người chiến thắng bạn làm việc cống hiến cho lớp học bạn Nếu bạn hài lịng với bạn làm, đỉểm số kiểm chứng cho phần cơng việc bạn, nói cách khác, điểm kết số điều bạn thu
2.5 kinh nghiệm phòng thi:
1 Ln giữ bình tĩnh, khơng tự tạo áp lực cho thân
2 Tận dụng tối đa thời gian sau làm xong để đọc soát lại cẩn thận giúp phát chỉnh sửa kịp thời chỗ sai
3 Đừng cố gắng làm hết đề thi mà cố gắng làm tốt khả Sẵn sàng chấp nhận làm 90% hồn tồn cịn làm tới 100% nửa
4 Tính tốn nhanh hợp lý việc việc chia thời gian làm cách đọc lướt toàn đề thi, với dạng đề thi trắc nghiệm
5 Khi kiến thức trang bị đầy đủ, để làm thi cách hồn hảo cần có trình bày tốt, khơng thừa không thiếu
(34)7.Cẩn thận bước kể bước tưởng nhỏ nhặt Trước làm câu khó nên kiểm tra hết tất câu khác để đảm bảo không bị điểm cách… “oan ức”
Tân tiến ngày tháng04 năm 2008 Người viết