5 CHUYÊN đề TOÁN THI vào 10 CHUYÊN

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ A LÝ THUYẾT CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC  A neu A ≥ A2 = A =   − A neu A < AB = A = B A2 B = A A B (Với A B (Với B A B= A B = − A2 B (Với A2 B A = B B A A B = B B (Với (Với AB (Với (Với ( C A±B C = A − B2 A±B C C = A± B 1 ( A) 3 = ( ) A± B A− B (Với ) (Với A ≥ 0; B ≥ A ≥ 0; B > B≥0 ) ) A ≥ 0; B ≥ A < 0; B ≥ A ≥ 0; B > B>0 ) ) ) ) ) A ≥ 0; A ≠ B2 ) A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B A3 = A XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC ) BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A A B A B A B ĐKXĐ: ĐKXĐ: ĐKXĐ: ĐKXĐ: A B ĐKXĐ: A≥0 VÍ DỤ Ví dụ: B≠0 Ví dụ: B>0 Ví dụ: A ≥ 0; B > Ví dụ:  A ≤   B <  A ≥    B > Ví dụ: Cho a > ta có: x > a x2 > a ⇔   x < − a Ví dụ: Cho a > ta có: x 3  x > ĐKXĐ:  x + ≤    x + < ⇔  x < −2 x ≥  x + ≥     x + > x − 2018 x+2 x −3 x +1 x+2 x > a ⇔ x >  x < − a x < ⇔ −2 < x < Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng tổng quát 1: A( x ) = k ⇔ A( x ) = ± k Dạng tổng quát 2: A( x ) = B ( x ) ⇔ A( x ) = ± B ( x ) ( k ≥ 0) với k số Dạng tổng quát 3: A( x) = B ( x) A( x) ≥ • Trường hợp Nếu • Trường hợp A( x) < Nếu phương trình trở thành A( x ) = − B ( x ) phương trình trở thành A( x ) = B ( x) Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng tổng quát 1: f ( x) < g ( x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x) k >0 Đặc biệt với số f ( x ) < k ⇔ − k < f ( x) < k Dạng tổng quát 2:  f ( x) > g ( x) f ( x) > g ( x ) ⇔   f ( x) < − g ( x) Đặc biệt với số k >0  f ( x) > k f ( x) > k ⇔   f ( x) < − k Dạng tổng quát 3: 2 2 • Trường hợp f ( x) > g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) • Trường hợp f ( x) < g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x) Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b không âm ta có: a + b ≥ ab ⇔a =b Dấu “ = ” xảy Ví dụ: cho x≥2 A= x+ Tìm giá trị nhỏ biểu thức x Hướng dẫn Vì x ≥ > A= x+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có ⇔x= Dấu “ = ” xảy Vậy 1 ≥ x = x x ⇔ x =1 x Amin = ⇔ x = Ví dụ: cho x≥2 B = x+ Tìm giá trị nhỏ biểu thức x Hướng dẫn Cách giải sai: Vì B = x+ x ≥ > 1 ≥ x = x x ⇔x= Dấu “ = ” xảy Vậy Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có ⇔ x =1 x (khơng thỏa mãn x≥2 ) Bmin = ⇔ x = Gợi ý cách giải đúng: Dự đoán Bmin đạt mức x=2 B = nx + ta có   nx = ⇔ x  x = + x − nx x Dấu “ = ” xảy B= Do ta có 3x  x  + + ÷ 4 x Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có x 1 + ≥2 = = x x x ⇔ Dấu “ = ” xảy Bmin = Vậy x = ⇔x=2 x (vì x≥2 ) ⇔ x=2 Ví dụ: cho x≥3 C = x+ Tìm giá trị nhỏ biểu thức x Hướng dẫn x ≥ > Tương tự: Vì Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có x  x  10 C = x+ = +  + ÷≥ x 9 x Dấu “ = ” xảy ⇔ x=3 D= Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x + 12 x +2 với x≥0 Hướng dẫn D= Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có Dấu “ = ” xảy ⇔ x=4 CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC x+2 + 16 −4≥ x +2 Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn Ví dụ: Rút gọn biểu thức  x +2 x −   x +1  A =  − − x + ÷  ÷ x −1 ÷   x + x +1  x Hướng dẫn Điều kiện: x >  x ≠  x +2 x −   x +1  A =  −  − x + 1÷ ÷ ÷ x −1   x   x + x +1  A=   (  ( A=   ( A= A= ( x +2   x +1+ x − x x x +1   x −2 − ) ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( − x + 1) ( x − 1) ( x +1 )( x − 1) ( x −2 2 x )( x +1 ) ) x +1  x +1   x x +1   ) x +1 x x −1 ) x −1 B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các tốn rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức a) c) A = 6−2 b) C = 19 − d) B = − 12 D = 5−2 Hướng dẫn A= 6−2 = a) ( ) −1 = ( B = − 12 = − = b) C = 19 − = ( − 3) D = 5−2 = ( c) d) 3− −1 = −1 ) ) −1 = −1 = 4− = 4− = 3− = 3− Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức a) c) A = 4+2 b) C = 9−4 d) B = − 15 D = + 13 − − 13 Hướng dẫn ( A = 4+2 = a) ) +1 ( B = − 15 = b) c) = +1 ) 15 − ( 2− 5) C = 9−4 = 2 D = + 13 − − 13 = = d)   2 ( ) 13 + − ( = 15 − = −2 ( 14 + 13 − 14 − 13 ) 2 13 −  =  ) Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A= a) C= c) d) b) 6+2 5−2 + +1 3− B= 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 D = +7 − −7 Hướng dẫn A= a) 6+2 5−2 +1 3− + = + =2 +1 3− +1 3− + + 5− 6+ 6+ 3 + + = 5− 6+ 6+ B= b) 5+ ) + 4( 6− )+ ( 6− ) = 5+ 2+ 6− 2+ 6− 5=2 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 C= = c) ( ( ) ( ) ( −1 + ) 3− + − + + ( ) 100 − 99 = +7 −5 +7 D = +7 − −7 = (5 +7 ) ( )( ) ( + +7 −7 + −7 ) =2 d) Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức a) A = 3−2 − 6− C= c) ( 14 + ) b) − 21 B = 9+4 − 9−4 D= d) + − − 10 6+2 Hướng dẫn a) b) A = − 2 − − = −1 − + = 2 − B = 9+4 − 9−4 = + − + = 2 C= ( D= + − − 10 = 6+2 c) d) 14 + ) − 21 = ( ( ) + 10 − 21 = )( +1 − ( ) +1 ( ) = ( 3− 2) ( )( 7+ ) 7− =4 ) −1 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức a) A = 4−2 + 4+2 c) C = +7 − −7 b) B= − − 29 − 12 d) D = 2+ + 2− Hướng dẫn a) b) A = − + + = −1+ +1 = B= − − 29 − 12 = − 6−2 = − +1 = 14 C = +7 − −7 = (5 +7 ) ( )( ) ( + +7 −7 + −7 ) =2 c) D = 2+ + 2− = d) ( + 5) − ( + 5) ( − 5) + ( − 5) =1 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức a) c) b) A= 7−4 − 7+4 B = − 13 + + + 13 + C = 20 + 14 + 20 − 14 d) D = 9+ + 9−4 Hướng dẫn a) b) A = − − + = − − − = −2 B = − 13 + + + 13 + = − − + + + = − −1 + + +1 = 10 x + − ( x + 5) x + + 3x + = a) Phương trình Đặt t = x + ( t > 1) t − ( x + ) t + 3x + = Phương trình trở thành: ∆ =  − ( x + )  − ( x + ) = ( x − 1) ≥ ∀x 2 t = t = x +  Do t = ⇔ x = ±2 Với Với t = x+2 ⇔ x = 2± { S = ±2; ± } Vậy Dạng 3: Đánh giá Phương pháp: Phương trình Ví dụ: Giải phương trình ln có 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x a) 2 + x = x + x +1 b) c) f ( x) = g ( x)  f ( x) ≥ m  f ( x) = m ⇔   g ( x) ≤ m  g ( x) = m 13 x − x + x + x = 16 Hướng dẫn ⇔ ( x + 1) + + ( x + 1) + = − ( x + 1) 2 a) Phương trình VT ≥ ⇔ VT = VP =  VP ≤ Ta có: ⇔ x + = ⇔ x = −1 = Dấu “ ” xảy Vậy  21 + 41  S =    246 x ≥ b) Điều kiện: ( ax + by ) ≤ a + b x + y ( )( ⇔ = Dấu “ ” xảy ) a b = x y  2   + x÷  ÷ ≤  2 x +   = Dấu “ ” xảy Vậy 1  S =  7  ( ⇔ Áp ) dụng bất đẳng thức   x     + x +1  + ÷  = x+9   x +  x + ÷     2 1 = ⇔ x= x +1 x C LUYỆN TẬP SÂU VÀ CÓ CHỦ ĐÍCH Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) P = 1− x + 1+ x + x Tìm giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn ≤ x ≤ Điều kiện: Với a, b ≥ ta có: ( a+ b ) = a + ab + b ≥ a + b ⇒ a + b ≥ a + b x=0 = Dấu “ ” xảy x=0 P=2 Vậy giá trị nhỏ Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) 247 Bunhiacopxki: Cho số a , b, c thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ 2 P = a +b +c giá trị lớn biểu thức Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a + b ≥ a 2b = 2ab b + c ≥ b2 c = 2bc c + a ≥ c a = 2ca ( ) ⇒ a + b + c ≥ ( ab + bc + ca ) ⇒ P≥9 Vậy a = b  2 b = c MinP = ⇔  ⇔a =b=c = 2 c = a  ab + bc + ca =  Ta có a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ x=0 nên ( a − 1) ( b − 1) ≥  ab − a − b + ≥   ( b − 1) ( c − 1) ≥ ⇔ bc − b − c + ≥ ⇒ ab + bc + ca − ( a + b + c ) + ≥  ca − c − a + ≥  ( c − 1) ( a − 1) ≥ ⇔ a+b+c ≤ ab + bc + ca + ⇔ ( a + b + c ) ≤ 36 a+b+c ≥ ⇔ a + b + c + ( ab + bc + ca ) ≤ 36 ⇔ a + b + c ≤ 36 − ( ab + bc + ca ) ⇔ P ≤ 18 Vậy Vậy ( a − 1) ( b − 1) ≥  a = b = 1, c = ( b − 1) ( c − 1) ≥  MaxP = 18 ⇔  ⇔ b = c = 1, a = ( c − 1) ( a − 1) ≥ c = a = 1, b =   2 a + b + c = 18 MinP = ⇔ ⇔ a = b = c = 248 ( a − 1) ( b − 1) ≥   a = b = 1, c = ( b − 1) ( c − 1) ≥  MaxP = 18 ⇔  ⇔ b = c = 1, a = ( c − 1) ( a − 1) ≥  c = a = 1, b =  2 a + b + c = 18 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) Với số thực x, y x− x+6 = y+6− y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ giá P = x+ y trị lớn biểu thức Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) a, b a2 + b2 = Với số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức ab M= a +b+2 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) a , b, c a+b+c = Với số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu Q = 2a + bc + 2b + ac + 2c + ab thức Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) a, b, c a + b + c + ab + bc + ca = 6abc Với số dương thỏa mãn Chứng minh 1 + + ≥3 a b2 c2 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) x ≥ 2y x, y Với số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ 2 x +y M= xy biểu thức x + y ≤1 x, y Ví dụ: Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ 1 1 P =  + ÷ + x2 y2 x y biểu thức Hướng dẫn 249 Ta có: ≥2 ≥2 ≥2 1 1  1  15 P =  + ÷ + x2 y ≥ 1+ x2 y2 = + xy =  xy + ÷+ xy xy 16 xy  16 xy x y  15 + ( 4xy ) (Áp dụng Cô si) 15 + ( x + y ) 15 + (Vì (Vì 4xy ≤ ( x + y ) x + y ≤1 ) ) = 17 Vậy MinP = 17 ⇔ x = y = x + y + 3z ≥ 20 thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ A= x+ y+z+ + + x 2y z biểu thức Hướng dẫn Ví dụ: Cho số dương A= x+ y+z+ x, y , z 3 1  + + = x+ + y+ + z+ + x+ y+ z÷ x 2y z x 2y z 4  Ta có: Áp dụng Cơ si ta có: 3 +) x + ≥ x +) y + ≥3 2y +) z + ≥ z 250 Và 1 x + y + z = ( x + y + 3z) ≥ 4 A ≥ 13 Suy MinA = 13 ⇔ x = 2, y = 3, z = Vậy a , b, c a + b + c = abc Ví dụ: Cho số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn a b c A= + + a + bc b + ac c + ab biểu thức Hướng dẫn a b c A= + + a + bc b + ac c + ab Ta có: 1 = + + bc ac ab a+ b+ c+ a b c 1 ≤ + + bc ac ab ≤ 1 1 1 1 4 + + + + + ÷ b c a c a b = 1 1 2 + + ÷ a b c Mà P≤ a b c + + =1 bc ac ab 2≥ nên 2 + + a b c ⇔ a = b = c = = Dấu “ ” xảy MaxP = ⇔ a = b = c = Vậy a, b a +b ≤ 2 Ví dụ: Cho số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ 1 A= + a b biểu thức 251 Hướng dẫn A = ( a + b ) − 4ab = ( a − b ) ≥ ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ 2 Ta có: a+b ≤ 2 ⇒ Mà Vậy 4 ≥ a+b 2 MinP = ⇔ a = b = = Dấu “ ” xảy a+b 4 ≥ ⇔ A≥ ab a+b a +b ( a − b ) = ⇔ ⇔ a = b = a + b = 2  A = x2 − x x + x + y − y + Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn y≥0 Điều kiện: A = x2 ( − x ( x − 1) + ) y −1 Ta có: y  3y + − + =x− 4  2 y −1   1 2 ÷ +  y− ÷ + ≥ ÷ 3 3  4   x = − ⇔ y =  = Dấu “ ” xảy MinA = Vậy a , b, c Ví dụ: Cho độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a + b + c < ( ab + bc + ca ) Hướng dẫn Ta có: ( a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) 2 ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) Vì a , b, c độ dài cạnh tam giác nên ta có: b < ab + bc; c < ac + bc Tương tự 252 a < a ( b + c ) ⇒ a < ab + ac a + b + c < ( ab + bc + ca ) (2) Suy ra: (1) (2) Từ ta có điều phải chứng minh ( 10 x + = x + Ví dụ: Giải phương trình: Điều kiện: x ≥ (1) ⇒ a +b = x +2 2 10.ab = ( a + b • Nếu Hướng dẫn a = x +1 b = x2 − x + , ( a ≥ 0; b ≥ ) (2) 2 • Nếu Đặt ) a = 3b b = 3a ) Khi phương ⇔ ( a − 3b ) ( 3a − b ) = từ trình cho trở thành: (2) ⇒ x + = x − x + từ phương trình vơ nghiệm  x = + 33 (2) ⇒ x + = x − x + ⇔ x − 10 x − = ⇔   x2 = − 33 mãn (1)  x1 = + 33   x2 = − 33 Vậy phương trình có hai nghiệm là: Ví dụ: Giải hệ phương trình:  x +1 = y    y +1 = 2x Hướng dẫn Lấy phương trình trừ phương trình Ví dụ: Cho số Vì a, b, c ∈ [ 0;1] b, c ∈ [ 0;1] ⇒ b < b, c < c Mặt khác Chứng minh rằng: Hướng dẫn Do a + b + c − ab − bc − ca ≤ a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca (1) a + b + c − ab − bc − ca = ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) − abc + (2) 253 thỏa Vì a, b, c ∈ [ 0;1] Do từ Từ (1) nên a + b + c − ab − bc − ca = ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) − abc + ≤ 0; − abc ≤ (2) ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≤ (3) (3) ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≤ a+b Ví dụ: Chứng minh rằng: a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) ≥ ( x+ x, y a, b với x + 2011 số dương )( y+ ) y + 2011 = 2011 Ví dụ: Cho hai số thỏa mãn đẳng thức: x+ y Tính x > 0, y > x+ y ≥6 Ví dụ: Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 3x + y + + x y Ví dụ: Cho số thực x , a , b, c thay đổi thỏa mãn hệ x giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ: Tìm x, y thỏa mãn Ví dụ: Cho số dương Ví dụ: Cho x, y 5x − x ( + y ) + y + = a , b, c Chứng minh rằng: hai số thực thỏa mãn: ( x + y) lớn giá trị nhỏ biểu thức a b c + + 0; x ≠ 1; x ≠ −3 HDG: 22 x = 27 + 10 − 18 + + = a)Ta có: Thay A= (5+ 2) − ( 3+ 2) +8 x = + − − + = 10 > x = 10( TM ) vào biểu thức A ta có: 10 − ( 10 − 1)( 10. .. x 1+ x  15 − x B =  + x − 25   x +1 ÷: x +5? ?  x ? ?5 B b) Tìm giá trị x để P = B− A có giá trị nguyên HDG: x ≥ 0; x ≠ 25 a) Với 33 với x ≥ 0; x ≠ 25  15 − x  x + 15 − x + x − 10 x − B =... x +5 x x − 25 với x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 25 P= b)Ta có: x x +5 x : = x + x − 25 A = B x ? ?5 −1 = x +3 P −1 = Xét hiệu: A= Ví dụ: Cho biểu thức: a) Rút gọn x ? ?5 x +3 −8