De thi HSG

O lµ mét ®iÓm n»m trªn ®êng.. trung tuyÕn AD sao cho AO=OC.[r]

Sở Giáo dục-Đào Tạo Bắc Giang

§Ị chÝnh thøc

§Ị thi chän häc sinh giái cấp tỉnh Lớp Năm học 2005-2006

Ngày thi: 01 tháng năm 2006 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút. Bài (4 điểm).

1) Cho a a22006 b b220062006 H·y tÝnh tæng a + b

2) Giải hệ phơng trình

2 3

1 x y x y

  

 

 

Bài 2(4 điểm).

1) Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên không âm không lớn 8, biết P(9)=32078 Tìm đa thức P(x)

2) Giải phơng trình x 1 x4 2x2 1 0

    

Bµi 3(4 điểm).

1) Tìm x, y nguyên dơng thoả mÃn phơng trình 2x 153 y2

2) Cho a, b, c lµ ba sè thùc dơng không nhỏ Chứng minh rằng:

3 3

1 1

1a 1b 1c 1abc

Bài 4(6 điểm). Cho tam giác ABC cân A, BAC 300

O l điểm nằm đờng

trung tuyến AD cho AO=OC Các đờng BO, CO lần lợt cắt đoạn AC, AB điểm tơng ứng E, F Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm đoạn thẳng BO, OF, BF, CE

1) Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp đợc đờng tròn 2) Chứng minh tam giác MNQ tam giác

3) Gọi H trực tâm tam giác MNQ, chứng minh H, O, A thẳng hàng

Bi 5(2 điểm) Cho đa giác lồi 2006 cạnh, đỉnh đợc đánh số theo thứ tự từ 1, 2, đến 2006 Ngời ta lại dùng số 1, 2, , 2006 để đánh số lại đỉnh theo qui tắc: đỉnh đợc đánh số (lần đầu) đợc đánh số 2005, đỉnh lại đánh tuỳ ý cho đỉnh đợc đánh số tập hợp số {1, 2, , 2004, 2006} Gọi S tổng giá trị tuyệt đối hiệu số số số đánh ban đầu đỉnh đa giác Xác định tính chẵn, lẻ S

HÕt

Đáp án hớng dẫn chấm thi HSG cấp tỉnh

môn toán lớp - năm học 2005-2006

(Đề thức híng dÉn cã trang)

Chú ý: Dới sơ lợc bớc giải cách cho điểm phần bài, làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác chấm điểm phần tơng ng.

Bài 1(4 điểm):

1)(2đ)Ta có a a2 2006 b b220062006 (1)

 a a22006b b22006  a22006 a 2006 a22006 a

 b b2 2006 a2 2006 a

      a b  a22006 b22006 (2)

L¹i cã (1)  a a22006 b b22006  b22006 b 2006 b2 2006 b

 a a2 2006 b2 2006 b a b b2 2006 a2 2006

           (3)

tõ (2) vµ (3) suy a+b=0

2)(2đ)Từ phơng trình x2+y2=1 suy x 1 vµ y 1 suy x2  x3 vµ y2  y3 suy ra

x2+y2  x3+y3 mµ x2+y2 = x3+y3=1

Do hệ cho tơng đơng với

2 3 2 1 x x y y x y

 

   

 



từ ta có nghiệm hệ cho (x; y )= (0;1) (x; y )= (1;0)

§iĨm

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0.5

Bài 2(4 điểm):

1)(2) Gi s đa thức cần xác định P(x)= n 1 n 1 0

n n

a x a x  a x a



 với a0, a1, , an

số nguyên không âm không lớn 8, hƯ sè cđa bËc cao nhÊt kh¸c Tõ 32078=P(9)= 9n 19n 19 0

n n

a a  a a



     32078-a0=an9nan19n1 a19 (1)

chia hÕt cho mà a0 số nguyên không âm nhỏ nên a0

Thay a0=2 vào (1) chia hai vế cho ta lại đợc

3564=an9n1 an 19n2 a1 

   , lập luận tơng tự nh liên tục ta đợc a1=a2=0, a3=8, a4=4

a5=a6= an=0 Vậy đa thức cần tìm P(x)= 4x4+8x3+2 (mỗi giá trị a1, a2, a3, a4 ,KL tính 0.25)

2)(2 đ) ĐK: x1

Ta có x 1 x4 2x2 1 0

    x (x21)2

vế trái tổng số không âm suy x= - So sánh với điều kiện kết luận

0.25 0.5 1.25 0,5 0,5

Bài 3(4 điểm)

1)(2®) Ta cã 2x 153 y2

   y2 2x 153 (1)

+Với x chẵn: đặt x=2m (m nguyên dơng) suy (1) (y )(m y ) 153m

   

Chỉ y+2m>y-2m y+2m ớc số nguyên dơng 153 từ PT(1) suy hoặc

2 17 m m

y y

  

 

 

 

hc

2 51 m m

y y

  

 

 

 

hc

2 153 m m

y y

  

 

 

 

giải hệ đợc (x=4, y=13) thoả mãn

+ Víi x lỴ: suy (1) y2 2x 153 2x 1 150 2

       (2)

chØ ra: VT(2) chia cho d hc 1, VP(2) chia cho d suy PT(2) v« nghiƯm Vậy x=4 y=13 số cần tìm

2)(2®) Víi a, b, c 1, chøng minh 3 3 3

1a 1b 1c 1abc (1) +Tríc hÕt ta chøng minh víi a, b1 th× 2 2

1a 1b 1ab (2)

Thậy vậy: (2)  (a-b)2(ab-1) 0 (điều hiển nhiên a, b1) Dấu xảy

chØ a=b

0,5

0,5 0,5 0.5

0,5 0,5

+Trë lại chứng minh (1) Với d 1, áp dụng (2) ta cã:

3 3 3 3 3 3

1 1 2

1a 1b 1c 1d 1 a b 1 c d =

3 3 3 3

1

2

1 a b c d a b c d

 

 

 

  

 

Chän d=3 abc d3 abc

 

từ suy kết Dấu xảy a=b=c=d

0,5 0.5

Bài 4(6 điểm)

1)(2đ) Do ABC cân A Â=300 nên

  750

ABCACB

Tõ OAC cân O OAC 150

suy

  600

OCB OBC  suy OBC OEF tam giác

từ suy CMBO, ENOF

suy tứ giác CMNE nộitiếp đợc đờng tròn 2)(2đ) Từ 1) suy QM=QN=1

2CE (cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMNE) Mặt khác MN đờng trung bình tam giác OBF nên MN=1

2BF=

2CE(dễ cm) từ suy MNQ tam giác

H

Q P

N

M

E F

D A

B C

O

3)(2đ) +Chứng minh tứ giác MHON nội tiếp đợc đờng trịn (vì MHN MON 1200

  vµ O,H

n»m vỊ mét nửa mặt phẳng bờ MN ) Suy NOH NMH 1800

 

ChØ NMH NOA 300

 

suy NOH NOA 1800

  Suy ®pcm

0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 5(2điểm)

Gi a a1, , ,2 a2006l cỏc số đợc đánh lại lần lợt từ đỉnh đợc đánh số (lần đầu) hết, 1, , ,2 2006

a a a số tự nhiên khác thuộc tập hợp {1, 2, , 2006} Ta cã nÕu a, b >0 th× a b  a b 2 max ,a b

XÐt S= a11 a2   a2006 2006 =

= a11a2   a2006 2006  a1 1 a22  a20062006  a1 1 a22  a20062006= =

 a11 a11) ( a22 a2 ) (  a20062006 a2006 2006 - 1 2006     a1a2 a2006=

= 2max{a1, 1}+2max{a2, 2}+ +2max{a2006, 2006} – 2(1+2+ +2006)

VËy S lµ sè ch½n

0.5 0,5

0,5

0,5