Giải các bài toán chứa giá trị tuyệt đối

Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học có từ lâu đời, mơn Tốn tảng môn khoa học tự nhiên khác Ngày phát triển ngành khoa học ngành cơng nghiệp then chốt khơng thể thiếu tốn học, ứng dụng toán học mang lại hiệu to lớn cho đời sống xã hội Tốn học khơng cung cấp cho học sinh kỹ tính tốn cần thiết mà cịn rèn luyện cho học sinh tư lô-gic, phương pháp luận khoa học Bằng thực tiễn toán học, lý luận khẳng định kiến thức giá trị tuyệt đối cần thiết thiếu chương trình tốn THPT, giá trị tuyệt đối mảng kiến thức quan trọng nhiên THPT em làm quen với dạng tốn đơn giản nên tơi chọn đề tài nhằm giúp cho học sinh hiểu sâu cách giải toán chứa dấu trị tuyệt đối Trong năm học tập trường ĐH Sư Phạm Đà Nẵng, đặc biệt giúp đỡ Cô Phan Thị Quản, giảng viên trường ĐH Sư Phạm Đà Nẵng, tơi xin trình bày góc độ nhỏ đề tài: “Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối” II Mục đích nghiên cứu: - Đề tài nhằm trang bị cho học sinh số kiến thức sâu giá trị tuyệt đối nhằm nâng cao lực học toán, giúp em tiếp thu chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến giá trị tuyệt đối - Gây hứng thú cho học sinh giải tập giá trị tuyệt đối - Giúp học sinh nắm vững cách hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để giải tốn chứa dấu trị tuyệt đối III Nhiệm vụ nghiên cứu: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản - Nhắc lại số kiến thức giá trị tuyệt đối - Trang bị cho học sinh dạng toán phương pháp giải dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối - Chọn lọc, hệ thống số tập ví dụ minh họa phù hợp với dạng toán IV Đối tƣợng nghiên cứu: - Đề tài áp dụng học sinh THPT áp dụng luyện tập, ôn tập thi cuối học kỳ, bồi dưỡng học sinh giỏi… V Phƣơng pháp nghiên cứu: - Tham khảo, thu thập tài liệu - Phân tích, chọn lọc tài liệu - Tổng hợp, trình bày cách hệ thống VI Dự kiến kết đạt đƣợc đề tài: Đề tài nhằm giúp học sinh hiểu sâu vấn đề giá trị tuyệt đối, có hứng thú giải toán liên quan đến giá trị tuyệt đối tự giải số tập liên quan đến giá trị tuyệt đối SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƢƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.1 Các định nghĩa: 1.1.1 Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối thực chất ánh xạ | | Với giá trị có giá trị ( ) | | 1.1.2 Định nghĩa 2: Giá trị tuyệt đối số thực , kí hiệu | | là: | | { * Mở rộng khái niệm ta có giá trị tuyệt đối biểu thức ( ): | ( )| { ( ) ( ) ( ) ( ) 1.1.3 Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối số nguyên , kí hiệu | | số đo (theo đơn vị dài dùng để lập trục số) khoảng cách từ điểm | | đến gốc trục số | | SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối  { | |  | |  {  GVHD: Th.S Phan Thị Quản [ | | [ | | { | | [ 1.2 Một số tính chất giá trị tuyệt đối: 1.2.1 Tính chất 1: | | 1.2.2 Tính chất 2: | | 1.2.3 Tính chất 3: | | | | 1.2.4 Tính chất 4: | | | | 1.2.5 Tính chất 5: | | | | 1.2.6 Tính chất 6: | | | | | | | | xảy | | Dấu xảy 1.2.7 Tính chất 7: | | | Dấu nh hấ :| | | | || | | | ( | | ) CHƢƠNG 2: 2.1 CHỦ ĐỀ 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 2.1.1 Dạng 1: | ( )| Dựa vào đồ thị hàm số (C): SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST ( ) suy đồ thị hàm số (C1): | ( )| Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối | | Ta có: (C1): { | ( )| gồm phần: Do đồ thị hàm số (C1): ( ) nằm phía - Phần 1: phần đồ thị (C): - Phần 2: phần đồ thị (C): qua GVHD: Th.S Phan Thị Quản ( ) nằm phía lấy đối xứng Ví dụ minh họa: | Vẽ đồ thị hàm số (C1): | Giải: Ta vẽ đồ thị hàm số (C): y -1 O x -1 y = x4 2∙x2 -2 Dựa vào (C) ta có đồ thị hàm số (C1): | B | gồm phần: - Phần 1: phần đồ thị (C): nằm phía - Phần 2: phần đồ thị (C): nằm phía xứng qua lấy đối SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản y y = x4 -1 2∙x2 1 O x -1 -2 2.1.2 Dạng 2: (| | ) B (| |) hàm số chẵn nên (C2): Nhận xét: (C2): (| | ) ( ) suy đồ thị hàm số (C2): Dựa vào đồ thị hàm số (C): (| |) nhận làm trục đối xứng Ta có: (C2): (| | ) { ( ) ( ) (| |) gồm phần: Do đồ thị hàm số (C2): - Phần 1: phần đồ thị (C): ( ) nằm phía bên phải - Phần 2: phần đồ thị lấy đối xứng qua Ví dụ minh họa: ẽ đồ thị hàm số (C ) | | Giải: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản Ta vẽ đồ thị hàm số (C) y y= x2 x y=x+1 O x x=1 Dựa vào (C) ta có đồ thị hàm số (C ) Phần : phần đồ thị ( ) | | nằm phía bên phải - Phần 2: phần đồ thị lấy đối xứng qua SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST gồm phần Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản y y= x+1 y= O x2 x 1 x y=x+1 x= 2.1.3 Dạng 3: x=1 | (| | )| ( ) suy đồ thị hàm số (C3): Dựa vào đồ thị hàm số (C): Đồ thị hàm số (C3): | (| |)| ta vẽ theo | (| |)| cách sau: Cách 1: | (| |)| ta làm bước sau: Để vẽ đồ thị hàm số (C3): - Bước 1: Vẽ (| |) - Bước 2: Vẽ | (| | )| ( ) dựa vào dạng | ( )| dựa vào dạng Cách 2: | (| |)| ta làm bước sau: Để vẽ đồ thị hàm số (C3): - Bước 1: Vẽ | ( )| - Bước 2: Vẽ | (| | )| SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST ( ) dựa vào dạng (| |) dựa vào dạng Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản Ví dụ minh họa: || | Vẽ đồ thị hàm số (C3): | | | Giải: Ta vẽ đồ thị hàm số (C): y O x Cách 1: || | Để vẽ đồ thị hàm số (C3): | | - Bước 1: Vẽ | | | | - Bước 2: Vẽ || | | | SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST | ta làm bước sau: ( ) dựa vào dạng | | ( )| dựa vào dạng Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản y -1 O x Cách 2: || | Để vẽ đồ thị hàm số (C3): - Bước 1: Vẽ | - Bước 2: Vẽ || | | | | | | | ta làm bước sau: ( ) dựa vào dạng | (| |) dựa vào dạng y -1 2.1.4 Dạng 4: O x | ( )| ( ) Dựa vào đồ thị hàm số (C): SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST ( ) ( ) suy đồ thị hàm số (C4): Trang 10 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản y y = x2 O 4∙x + x Dựa vào đồ thị ta biện luận sau: , bất phương trình vơ nghiệm Với , bất phương trình có nghiệm là: Với ( √ √ ) ( √ √ Với , bất phương trình có nghiệm là: ( Với , bất phương trình có nghiệm ( √ √ ) √ ) * + ) √ 2.3.1.7 BÀI TOÁN 7: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ I Phƣơng pháp: Phương pháp điều kiện cần đủ thường tỏ hiệu cho lớp dạng tốn: Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1: Bất phương trình có nghiệm Dạng 2: Bất phương trình nghiệm với thuộc D Khi ta thực theo bước: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 84 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản Bước : Đặt điều kiện để biểu thức bất phương trình có nghĩa Bước : Tìm điều kiện cần cho bất phương trình dựa việc đánh giá Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ II Ví dụ minh họa: Tìm để với - ta ln có: | , | (*) Giải: Điều kiện cần: , Bất phương trình sau nghiệm - nghiệm với Tức ta có: | | { | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | | { | Bằng cách đổi dấu hai vế (2) kết hợp với ( ) ta được: ( ) Bằng cách đổi dấu hai vế (4) kết hợp với (3) ta được: ( ) Từ (5), (6) suy Thay vào ( ), ( ) ta được: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 85 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản { ( ) Thay , vào (3), ( ) ta được:{ ( ) Vậy , điều kiện cần để (*) nghiệm - Điều kiện đủ: Với ta có: (*) { Vậy với { ( ( | | )( )( ) ) bất phương trình ln nghiệm , - 2.3.1.8 BÀI TOÁN 8: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phƣơng pháp: Nhiều bất phương trình cách đánh giá tinh tế dựa a Tam thức bậc hai b Các bất đẳng thức như: Cauchy, Bunhiacop ki… c Tính chất trị tuyệt đối … Ta nhanh chóng nghiệm II Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 86 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối Giải bất phương trình: | GVHD: Th.S Phan Thị Quản | √ | | √ Giải: | | Điều kiện: | | Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: | √ √ | | √ | | | √ | √ | | | Vậy bất phương trình nghiệm với | | | | Ví dụ 2: Giải bất phương trình: | |√ | | |√ | Giải: Điều kiện: { Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacop ki ta được: (| |√ | | |√ |) , ( ) -( (với Vậy bất phương trình nghiệm với ) ) , - 2.3.2 HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Lược đồ để giải hệ bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối minh họa sơ theo bước sau: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 87 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản Bước : Đặt điều kiện có nghĩa cho hệ bất phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện: Phương pháp : Biến đổi tương đương Phương pháp : Đặt ẩn phụ Phương pháp 3: Hàm số - Đồ thị Phương pháp : Điều kiện cần đủ Phương pháp : Đánh giá Bước 3: Kết luận 2.3.2.1 BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG I Phƣơng pháp: Việc lựa chọn phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối thường thực theo bước sau: Bước : Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Thực phép biến đổi tương đương chuyển hệ bất phương trình đại số biết cách giải Bước 3: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đưa lời kết luận cho hệ Với hệ bất phương trình trị tuyệt đối chứa tham số thường thực theo bước: Bước : Đặt điều kiện để biểu thức hệ có nghĩa SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 88 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản Bước 2: Thực phép biến đổi tương đương (phương pháp sử dụng nhiều phép biến đổi tương đương) để nhận từ hệ bất phương trình ẩn chứa tham số Bước 3: Giải biện luận theo tham số bất phương trình nhận Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đưa lời kết luận cho hệ Chú ý: Đối với hệ bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ẩn, thường giải việc giải bất phương trình hệ, kết hợp tập nghiệm tìm để đưa kết luận nghiệm cho hệ bất phương trình II Ví dụ minh họa: Giải biện luận hệ bất phương trình: { ( ) ( ) √ | | (I) Giải: * Giải (1): √ (1) { ( ) { ( ) * Giải (2): Bằng cách thay (3)vào ( )ta | ới | { nghiệm hệ { √( SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST ) Trang 89 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản nghiệm hệ { ới √( ) Kết luận: * Với , hệ vô nghiệm nghiệm hệ là: { * * nghiệm hệ là: { ) √( ) √( 2.3.2.2 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Phƣơng pháp: Việc lựa chọn ẩn phụ thích hợp cho hệ bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta chuyển hệ hệ đại số biết cách giải Cụ thể ta thường thực theo bước sau: Bước : Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ cho hệ điều kiện cho ẩn phụ Bước 3: Giải hệ nhận được, từ suy nghiệm Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đưa lời kết luận cho hệ II Ví dụ minh họa: Giải biện luận hệ bất phương trình: { SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST | | | | | | ( ) ( ) (I) Trang 90 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản Giải: Ta có: ( ) ( khơng phải nghiệm hệ (I) ) Từ (1) ta được: |( )| )( | | | | ( ) Viết lại ( ) dạng: | | Đặt | | |, điều kiện ( ) | Khi đó: ( ( ) ( )( ) ) ( ) Với (5) vô nghiệm suy hệ vô nghiệm Với : (5) | | Khi nghiệm hệ bất phương trình là: { Kết luận: * Với , hệ vơ nghiệm SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 91 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối , nghiệm hệ cặp số ( * Với GVHD: Th.S Phan Thị Quản ) thỏa mãn: { 2.3.2.3 BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐỒ THỊ I Phƣơng pháp: Bằng phép biến đổi tương đương ph p đặt ẩn phụ, ta chuyển hệ hệ đại số mà phương trình bất phương trình hệ ác định miền mặt phẳng giới hạn đối tượng quen thuộc hình học đường thẳng, đường trịn, Elip, Hyperbol, Parabol Từ việc xét vị trí tương đối đối tượng xuất hệ ta có lời giải cho hệ II Ví dụ minh họa: Tìm m để hệ có nghiệm nhất: { | (I) | Giải: hệ vô nghiệm, ta Với ( (I) { [ ) t với ( ) ( ) ( ) SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST (III) Trang 92 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản y y=x+3 y=x+1 y=x-1 y=x-3 O -1 x Gọi X1, X2 X3 tập nghiệm (3), (4) (5) Ta có:  X1 tập điểm hình trịn (C): { Tâm ( Bán kính ) √  X2 tập điểm đường thẳng (d1):  X3 tập điểm đường thẳng (d2): ( ) ( ( Với | ) | √ √ | √ | | (C) cắt (d2) Với [ ( (loại) [ ( ) ) ) (loại) ( | ) | √ | (C) khơng cắt (d1) SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 93 Đề tài: Giải tốn chứa dấu trị tuyệt đối Vậy hệ có nghiệm GVHD: Th.S Phan Thị Quản 2.3.2.4 BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ I Phƣơng pháp: Phương pháp điều kiện cần đủ thường tỏ hiệu cho lớp dạng tốn: Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1: Hệ bất phương trình có nghiệm Dạng 2: Hệ bất phương trình có nghiệm với giá trị tham số Dạng 3: Hệ bất phương trình nghiệm với thuộc D Khi ta thực theo bước: Bước : Đặt điều kiện để biểu thức hệ bất phương trình có nghĩa Bước : Tìm điều kiện cần cho hệ dựa việc đánh giá tính đối xứng hệ Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ II Ví dụ minh họa: Tìm m để hệ có nghiệm nhất: { | | | ( | ) (I) Giải: Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm ( ) suy ( Do để hệ có nghiệm điều kiện Với ) nghiệm hệ , thay vào hệ ta được: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 94 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối { | ( | ) GVHD: Th.S Phan Thị Quản [ { (II) √ √ Để hệ (II) có nghiệm điều kiện là: { √ √ điều kiện cần để hệ có nghiệm Vậy Điều kiện đủ: Với { | | hệ có dạng: | ( Vậy với | ) | | | | { { hệ có nghiệm 2.3.2.5 BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phƣơng pháp: Nhiều bất phương trình cách đánh giá tinh tế dựa trên: a Tam thức bậc hai b Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacop ki,… c Tính chất trị tuyệt đối … Ta nhanh chóng nghiệm II Ví dụ minh họa: Giải hệ bất phương trình: SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 95 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối { | | | | ( | | ( ) ) GVHD: Th.S Phan Thị Quản ( ) ( ) Giải: * Đánh giá ( ): ( ) | | ( ) , ta được: * Với (2) Khi hệ có dạng: { { [ Vậy hệ có cặp nghiệm là: ( SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST ) ( ) Trang 96 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản KẾT LUẬN Qua đề tài nghiên cứu: “giải toán chứa dấu trị tuyệt đối” rút số kết luận sau: Đề tài hệ thống hóa lại sở lý thuyết phương pháp giải vài dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối Chọn lọc trình bày cách khoa học ví dụ minh họa cho phù hợp với dạng toán Hy vọng tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên trường cho giáo viên THPT Bài viết hoàn thành nhờ bảo hướng dẫn tận tình Cơ Phan Thị Quản Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn chân thành đến Cô Do kinh nghiệm, kiến thức, thời gian hạn chế nên viết khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận ý kiến tham gia đóng góp thầy cô giáo bạn để viết hoàn thiện Đà Nẵng ngày 20 tháng năm 2013 Sinh viên thực Phạm Thị Xuân Ái SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 97 Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phương pháp giải toán Hàm số - Lê Hồng Đức – Nhà xuất Hà Nội – Năm 2008 [2] Phương pháp giải tốn: hệ vơ tỉ, hệ chứa dấu trị tuyệt đối – ThS Lê Hồng Đức (Chủ biên), Nhà giáo ưu tú Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc – NXB ĐH Sư Phạm [3] Chuyên đề Đại số - Nguyễn ăn Nho (Chủ biên), Nguyễn đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 00 ăn Thổ - Nhà xuất [ ] Phương pháp giải toán Đại số - Lê Hồng Đức (Chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc – NXB ĐH Sư Phạm – Tháng năm 00 [5]http://elib.bdu.edu.vn/tailieu.vn/xem-tai-lieu/phuong-phap-ve-do-thi-cua-ham-soco-chua-dau-gia-tri-tuyet-doi.301958.html [6]http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/chuyen-de-phuong-trinh-va-bat-phuong-trinh-cua-hamso-co-chua-dau-gia-tri-tuyet-doi.487477.html [7]http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/he-phuong-trinh-va-he-bat-phuong-trinh-cua-ham-soco-chua-dau-gia-tri-tuyet-doi.pham-thanh-luan.298260.html SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang 98 ... tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản - Nhắc lại số kiến thức giá trị tuyệt đối - Trang bị cho học sinh dạng toán phương pháp giải dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối. .. cách hệ thống VI Dự kiến kết đạt đƣợc đề tài: Đề tài nhằm giúp học sinh hiểu sâu vấn đề giá trị tuyệt đối, có hứng thú giải toán liên quan đến giá trị tuyệt đối tự giải số tập liên quan đến giá. .. giá trị tuyệt đối SVTH: Phạm Thị Xuân Ái_Lớp 09ST Trang Đề tài: Giải toán chứa dấu trị tuyệt đối GVHD: Th.S Phan Thị Quản NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƢƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI