[r]
(1)đề thi kỳ mơn tốn
Khối a
(Thời gian làm 180 phút)
Câu I (3®iĨm)
1/ Khảo sát vẽ đồ thị y=
2
1
x
x
(C)
2/ Tìm điểm M
(C) cho tổng khoảng cách từ M tới tiệm cận
nhỏ nhất.
3/ Tìm điểm M
(C) cho tiÕp tun t¹i M t¹o víi tiƯm cËn mét tam
gi¸c cã chu vi nhá nhÊt.
CâuII(3điểm)
1/ Tỡm m phng trỡnh sau có nghiệm thực :
4
1
1
1
x
x
m x
2/ Cho ABC cã 0
0<A≤B≤C<90
0Chøng minh r»ng:
2cos 3
4 cos 2
1
2
cos
C
C
C
3/ Cho x.y>0 x+y=
54
tìm giá trị nhỏ cña S =
x 4y1
CâuIII(3điểm)
1/ Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD có cạnh đáy a Gọi B’và D’
trung điểm SB SD nặt phẳng (AB’D’) vng góc với SC cắt SC C’
a/ Tinh thĨ tÝch h×nh chãp.
b/ TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AB’C’D’
2/Cho tø diƯn ABCD cã AB=CD=a ,AC=BD=b, AD=BC= c tÝnh thÓ tÝch
khèi tứ diện ABCD.
Câu IV(1điểm)
Cho a,b,c số dơng a
2+b
2+c
2=1 chứng minh rằng:
2 2 2
3 3
2
a
b
c
(2)Híng dÉn chÊm C©uI
1/ Khảo sát vẽ đồ thị y=
1
x x
(C)
2/ Tìm điểm M (C) cho tổng khoảng cách từ M tới tiệm cận nhỏ
3/ Tìm điểm M (C) cho tiếp tun t¹i M t¹o víi tiƯm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt
I-1 +tập xác định +sự biến thiên
y’ = 3/(x+1)2 >0 víi mäi x≠-1
Hàm số đồng biến khoảng (-∞;-1)và (-1;+∞) Hàm số khơng có trị
Giíi h¹n tiƯn cËn lim 1 x x x lim x x x lim x x x
Đồ thị có tiện cận đứng x=-1 Đồ thị có tiện cận ngang y=1 Bảng biến thiên
+Đồ thị
Tìm giao với trục
0,25
0,25
0,25 0,25
I-2 M(x0;y0)(C) => y0=1-3/(x0+1)
d(M;x+1=0) = x 0 d(M;y-1=0) =
0
3 x
d(M;x+1=0)+ d(M;x+1=0) = x 0 1+
0
3
x
DÊu b»ng cã <=> x 0 1= 3 x0 = -1+ y0 = 1+
x0 = -1- x0 = 1-
0,25 0,25 0,25 0,25
I-3 M(x0;y0)(C) => y0=1+3/(x0+1)
TiÕp tuyÕn t¹i M cã pt : y=
0
2 03
( )
1
1 x x x
x
Gọi A giao điểm tiếp tuyến với tiện cận đứng =>
0
6
( 1: )
1 A x
Gäi B giao điểm tiếp tuyến với tiện cận ngang =>
0 (2 1:1)
B x
Gọi I giao điểm tiện cận => I(-1;1) Ta cã IA=
0
6
x IB=2 x 0 => IA.IB =12
Chu vi IAB= IA+IB+AB = IA+IB+ IA2 IB2
≥ IA IB IA IB =
0,25
(3)2 6
DÊu b»ng cã <=>IA=IB <=>
x0 = -1+ y0 = 1+ => M1(-1+ : 1+ 3)
x0 = -1- x0 = 1- =>M2 (-1- : 1- 3)
0,25
C©u
II 1/ Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực :4 2
1
1
1
x
x
m x
2/ Cho ABC cã 00 <A≤B≤C<900
Chøng minh r»ng:
2 cos3
4 cos 2
1
2
cos
C
C
C
3/ Cho x.y>0 vµ x+y=5
4 tìm giá trị nhỏ S = x 4y
1
II-1 Tập xác định D=[1;+∞)
Pt <=> 1
1
x x
m
x x
Đạt
1 x
t x
víi x≥ => 0≤t <1
Pt cã nghiÖm <=> pt : t2+1=mt (1) cã nghiệm thoả mÃn 0t <1
Ta tháy t=0 không lµ nghiƯm (1)<=> m = t+1/t
XÐt hµm sè f(t) = t+1/t trªn [0;1) f’(t) =1-1/t2 >0 víi 0≤t <1
Hàm số đồng biến [0;1) 0≤f(t) <1
VËy víi 0≤m <1 th× pt cã nghiƯm
0,25
0,25 0,25 0,25
II-2 ta co 600≤C<900 => 0<cosC≤1/2
P=
3
2cos 3
4 cos 2
1 8cos
8
6
5
cos
cos
C
C
C
cos C
cosC
C
C
= 8cos2 8cos
cos
C C
C
Đặt cosC =t ta có P=8t2-8t -6 +5/t
xét hµm sè f(t) =8t2-8t -6 +5/t víi 0<t≤1/2
f’(t) =8t-8 -5/t2 <0 víi 0<t≤1/2
hµm sè nghịch biến (0;1] f(t)> f(1/2) =2
0,25 0,25 0,25 0,25
II-3 ta cã y=5/4-x => 0<x<5/4
P=
5
x x
XÐt hµm sè f(x) =
x x khoảng (0;5/4) f(x) = 42 2
(5 )
x x
f’(x)=0 <=> x=1 f(x)
vậy giá trị nhỏ P băng x=1 y=1/4
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu III
CâuIII(3điểm)
(4)trung điểm SB SD nặt phẳng (ABD) vuông góc với SC cắt SC C a/ Tinh thĨ tÝch h×nh chãp
b/ TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AB’C’D’
2/Cho tø diƯn ABCD cã AB=CD=a ,AC=BD=b, AD=BC= c tÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn III-1
H S
O'
O
A D
B
C D' B'
C'
chøng minh SC’=SC/3
ta co SO.SO’=SC.SC’=> SO2/2 =SC2/3=> 3SO2=2SC2
mµ SC2-SO2=a2/2
SO=a , SO= a V=a3/6
0,25 0,25 0,25 0,25
III-2
B’C’ = 2 a
SC.AC’ =AC.SO=>AC’= 3 a SAB’C’D’=
2
a
3
a =
6 a
0,25 0,50 0,25
k j
l
M P
N
D
A B
C
Dựng hình chóp DMNP cho A,B,C trung điểm MN NP vµ PM MN =2 BC =2 DA => MND vuông D => DMDN
Tơng tự DPDN vµ DMDP VDMNP =
1
6DM DN DP
VDMNP = 4VABCD
Ta cã DM2 +DN 2 =4c2
DM2 +DP 2 =4b2
DP2 +DN 2 =4a2
=> DM= 2a2 2b2 2c2
0,25
0,25
(5)DM= 2a2 2c2 2b2
DM= 2b2 2b2 2a2
=> VDMNP =
1 12
2 2 2 2 2
2(a b c )(a c b b)( c a )
C©u III
Cho a,b,c số dơng a2+b2+c2=1 chøng minh r»ng:
2 2 2
3 3
2
a
b
c
b
c
c
a
a
b
XÐt hµm sè f(x) = 2
(1 )
x x trªn (0;1) f’(x) =
2 2
1 [ (1 )]
x
x x
f’(x)=0 <=> x= 3 f(x)≥ 3
2
2
2
2 2
3
a a
a
b c a a
2 2
2 2 2