Bài giảng vấn đề 3: PHÉP QUAY - PHẾP ĐỐI XỨNG TÂM

Trương Đinh Dũng Trường THPT Trưng Vương- Quy Nhơn PHÉP QUAY – PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1. PHÉP QUAY : +)ĐN: ϕ: Góc lượng giác ; O là điểm cố định ( ) ; ' ( ) ' ( , ') O OM OM Q M M OM OM ϕ ϕ =  = ⇔  =  +) Phép quay là một phép dời hình 2. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: Đ O ≡ Q (O, π ) Vậy Đ O (M) = M’ ⇔ O là trung điểm của MM’ 'OM OM⇔ = − uuuur uuuuur Biểu thức toạ độ: Trong mặt phẳng Oxy: M(x;y), M’(x’;y’), I(a;b) +) Đ I : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' 2 ' 2 x a x y b y  = −  = −  +) Q (O,90 0 ) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x y y x  = −  =  +) Q (O,–90 0 ) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x y y x  =  = −  CÁC DẠNG TỐN: DẠNG 1: Tìm ảnh của điểm; của đường 1. Cho các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với: a) Tìm ảnh của các điểm qua phép đối xứng tâm G( Glà trọng tâm của tam giác ABC) b) Tìm ảnh của các điểm qua phép quay tâm O góc quay 90 0 , - 90 0 c) Tìm ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép quay 90 0 2. Cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 và d’: x – 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và trục Ox thành chính nó. 3.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1, -3) và đường thẳng d có phương trình : 2x + y – 3 = 0, đường tròn (C) có phương trình : 2 2 4 6 3 0x y x y+ − + − = . a. Tìm tọa độ điểm A’ và phương trình d’ lần lượt là ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm A b. Viết phương trình đường tròn ( ) 'C là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A c. Tìm ảnh của (C) và d qua phép quay tâm O góc quay 90 0 4. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2): a) 2 2 1 16 9 x y + = b) x 2 + 4y 2 = 1 c) 9x 2 + 16y 2 = 144 5. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép quay tâm O. góc quay - 90 0 : a) 2 2 1 16 9 x y - = b) x 2 – 4y 2 = 1 c) 9x 2 – 25y 2 = 225 6.Cho tam giác đều ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Với giá trị nào sau đây của góc ϕ thì phép quay Q (O; ϕ ) biến tam giác ABC thành chính nó ? DẠNG 2: Tốn dựng hình: Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nólà ảnh của một điểm đã biết qua Đ O ; V (O,k) , hoặc xem M là giao của một đường cố định và là ảnh của một đường đã biết. 1. Cho góc xOy và A là điểm thuộc miền trong của nó. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A và cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điếm của MN 2. Cho hai đường tròn (O,R); (O 1 ,R 1 ) và một điểm M tuỳ ý. Tìm hai điểm N và N’ lần lượt thuộc đường tròn (O,R); (O 1 ,R 1 ) sao cho M là trung điểm của đoạnNN’ DẠNG 3: Tìm quỹ tích Tìm quỹ tích ( hay tập hợp) của điểm M Cg: - Tìm Đ O hoặc Q (O, ϕ ) và các điểm N sao cho Đ O (N) = M (hoặc Q (O, ϕ ) (N) = M Trương Đinh Dũng Trường THPT Trưng Vương- Quy Nhơn - Tìm đường (C) cố định khi N chạy trên đó. [Thơng thường (C) là đường tròn hoặc đường thẳng] - Thì quỹ tích của M là đường (C’) là ảnh của (C) qua các phép trên ( có thể giới hạn quỹ tích) 1.Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố đònh và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng minh rằng H′ nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra q tích của điểm H. 2.Trên đường tròn (O) cho hai điểm A, B cố đònh. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ sao cho 'MM MA MB= + uuuuur uuur uuur .Tìm quỹ tích M’ khi M chạy trên (O) D ẠNG 4 : Tốn chứng minh 1.Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF a. Chứng minh AF = EC và góc giữa hai đường thẳng À và EC bằng 60 0 . b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AF và EC. Chứng minh tam giác BMN đều. 2.Cho hai tam giác đều OAB và O’A’B’. Gọi C và D lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng Â’ và BB’. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều. 3.Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM = 1 2 FK. HD: Gọi D = Đ (A) (B). Xét phép quay Q (A,90 0 ) . --------------------------------------------------------------- . 2 FK. HD: Gọi D = Đ (A) (B). Xét phép quay Q (A,90 0 ) . -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - - . qua phép đối xứng tâm với: a) Tìm ảnh của các điểm qua phép đối xứng tâm G( Glà trọng tâm của tam giác ABC) b) Tìm ảnh của các điểm qua phép quay tâm O