Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng.. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång.[r]
(1)Đề kiểm thi học sinh giỏi năm học 2009 -2010
Môn: toán 8
(Thời gian làm 120 phút)
Bài 1: (4đ).
Chứng minh r»ng sè A = n3 (n2 - 7)2 - 36n chia hết cho với n số tự nhiên Bài 2: (4đ).
Cho a, , c, x, y, z 0 tho¶ m·n: x + y + z = 2006; x2 = a + yz ; y2 = b + xz ; z2 = c + xy Tính giá trị biểu thức A =
c b a
cz by ax
Chøng minh r»ng -x3 + x2
4
nÕu 0x1
Bµi 3: (4đ) Giải phơng trình
5 16
2
2
2
x x
x x
x
Bài 4: (5đ) Cho hình vng ABCD, độ dài cạnh a Một điểm M chuyển động cạnh DC (MD, MC) chọn điểm N cạnh BC cho MAˆN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN E F
Chøng minh
90 ˆ
ˆM AEN
F A
2 Chøng minh SAEF =
SAMN
3 Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi M chuyển động DC Bài 5: (3đ) Cho MNP, độ dài cạnh theo thứ tự m, n, p Mˆ + Nˆ = 180o.
Chøng minh hệ thức: m2 + np - p2 = 0 Đáp ¸n
Bµi 1
A= n3 (n2 -7)2 - 36n
= n3 (n4 - 14n2 + 49) - 36n = n7 - 14n5 + 49n3 - 36n
= (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) = n5(n2-1) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n2-1) =( n2-1) (n5-13n3 + 36n)
= (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)} =(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9n (n2 - 4) } = (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n)
= (n2 - 1) (n -2) (n +2) n (n2 - 9)
= (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) VËy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Vì n số tự nhiên nên số A tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp Råi chøng minh cho tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho
KÕt luËn: A chia hÕt cho Bµi 2
Ta có x2 = a +yz x3 = ax + xyz => ax = x3 - xyz Tơng tự: by = y3 - xyz Cz = z3 - xyz Cộng theo vế đẳng thức ta đợc: ax + by +cz = x3 + y3 + z3 - 3xyz
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) + z3 - (3x2y+3xy2+3xyz) = (x+y)3 +z3 - 3xy (x+y+z)
= (x+y+z) {(x+y)2 - z (x+y) +z2 }- 3xy (x+y+z) = (x+y+z) {(x+y)2 - (x+y) z + z2 - 3xy}
= (x+y+z) (x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz) Cïng tõ x2 = a+yz => x2 - yz = a
T¬ng tù y2 - xz = b Z2 - xy = c
Do đó: ax + by + cz = (x+y+z) {(x2 -yz) + (y2 - xz) + ( z2 -xy) } = (x+y+z) (a+b+c)
V× vËy
c b a
cz by ax
=
c b a
c b a z y x
)( )
(
= x+y+z (do a+b+c 0)
= 2006 (do x+y+z = 2006) VËy A= 2006 Do x nªn x2 x => - 4x2 - 4x vµ 1-x 0
Từ ta có - 4x2 (1-x) -4x (1-x)
(2) 4x3 - 4x2 + 4x2 - 4x +1 = (2x -1)2
=> 4x3 -4x2 +1 - 4x3 + 4x2 - 0 - 4x3 + 4x2 1 4(-x3 + x2) 1 - x3 + x2
4
VËy : -x3 + x2
4
x Bài Gải phơng trình:
5 16 2 2 x x x x x
§KX§ x R
5 2 16 2 2 x x x x x
+
5 2 2 2 x x x x x
)
5 ( ) ( ) ( 2 2 2 x x x x x 5 3 2 2 2 2 x x x x x x x x = 2 2 2 2 2 x x x x x x x x
= (x2 - 2) )
5 1
( 2 2 2 2
x x x
x = (1)
Lý luËn )
5 1
( 2 2 2 2
x x x
x >
Nªn (1) x2 - = x2 =
x = (TMĐK) x = - 2(TMĐK) Vậy S = {- 2; 2}
Bµi AFM = AEN = 90
Nối A với C đợc
3 1
A = A ; B = C
=> AFB AMC (g.g)
=> (1)
AC AM AB AF AC AB AM AF
Cã
MAF = CAB = 45 (2)
Tõ vµ => AFM ABC
=>
AFM = ABC = 90
C/M hoàn toàn tơng tự có AEN = 900
v× vËy
AFM = AEN = 90
S AEF = 1/2 S AMN Cã AFM AEN =>
AN AE AM
AF
=> AEF AMN (c.g.c) => ( )2(1) AM
AF SAMN
SAEF
Cã FAM = 450, AFM = 900
=> AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 => ( )2
AM AF
=
Thay vào (1) ta đợc
SAMN SAEF
=
hay: S AEF = 1/2 S AMN C/M chu vi CMN không đổi
Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BN ADK = ABN => AK = AN BAN = DAK AMN = AKM (c.gc) => MN=KM
Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi
Tức là: Chu vi CMN không thay đổi M chuyển động cạnh DC Bài C/M: m2 + np - p2 =
Do 3M + 2N = 1800 vµ M + N + P = 1800 => P = 2M + N vËy P > N => MN>PM Trªn MN lÊy ®iĨm Q cho MQ = PM = n Nên QN = P-n
MNP PNQ cã N chung vµ PQN = 1800 - MQP
= 1800 - 1800 M
( MQP c©n) = 1800 -
2 3M N M
(do 3M + 2N = 1800 )
= 1800 -
) (
(3)= MPN vËy PQN = MPN => MNP PNQ (gg)
=> NQPN MNPN => PN2 = MN NQ PN2 - MN NQ = Hay m2 - p(p-n) =
m2 + np - p2 = (ĐPCM)
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán - Lớp 8
năm häc 2008 - 2009
Thêi gian lµm bµi: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n
2
a b c
a b c 2009, tÝnh 4
A a b c
2, Cho ba sè x, y, z thoả mÃn x y z Tìm giá trị lớn Bxyyzzx
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức f x x2 pxqvới pZ, qZ Chứng minh tồn số nguyên k để
f k f 2008 f 2009
Bài 3: (4 điểm)
1, Tìm số nguyên dơng x, y thoả m·n 3xy x 15y 440
2, Cho sè tù nhiên 9 2009
a , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d
Bài 4: (3 điểm)
Cho phơng trình 2x m x
x x
, tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
(4)Cho hình thoi ABCD có cạnh đờng chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AECđồng dạngCAF,
tÝnh EOF
Bµi 6: (3 ®iÓm)
Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC ln
lợt lấy điểm E F cho EAD FAD Chøng minh r»ng:
2
BE BF AB
CE CF AC
Bài 7: (2 điểm)
Trờn bng cú số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm nh đến cịn số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đợc khơng? Giải thích
HÕt
Híng dẫn chấm môn toán 8
Bài Nội dung Điểm
1.1
Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n
2
a b c
a b c 2009, tÝnh 4
A a b c
2,00
Ta cã 2 2
a b c a b c abbcca 2 abbcca
2
2 2
2
2 2 2 a b c 2009
a b b c c a ab bc ca 2abc a b c
2
2
4 4 2 2 2 2 2009
A a b c a b c a b b c c a
2
0,50
0,50
1,00
1.2 Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x y z Tìm giá trị lớn cña Bxyyzzx 2,00
2 2 2
2 2
2
B xy z x y xy x y x y
xy x y x y x y xy 3x 3y
y 3y 6y y 3
x x y 3
2 4
DÊu = x¶y
y
y
x x y z
2
x y z
Vậy giá trị lớn B x = y = z =
1,25
0,50
0,25
2 Cho ®a thøc
f x x px qvíi pZ, qZ Chøng minh r»ng tån t¹i sè
nguyên k để f k f 2008 f 2009
(5)
2
2
2
2
2
f f x x f x x p f x x q
f x 2.x.f x x p.f x p.x q
f x f x 2x p x px q
f x x px q 2x p
f x x p x q f x f x
Víi x = 2008 chän kf 2008 2008
Suy f k f 2008 f 2009
1,25 0,50 0,25
3.1 Tìm số nguyên dơng x, y thoả mÃn 3xy x 15y 440 2,00
3xy x 15y 44 0 x5 3y 1 49
x, y nghuyêndơng x + 5, 3y + nguyên dơng lớn
Thoả mÃn yêu cầu toán x + 5, 3y + ớc lớn 49 nên có: x x
3y y
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên x = y =
0,75 0,50
0,75
3.2 Cho sè tù nhiªn 9 2009
a , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b,
d tổng chữ số c Tính d
2,00
2009 3.2009 6027
9 3 6027
a 2 10 b 9.6027 54243
c 4.9 41 d 1.9 13
3
2 1mod 9 a1mod mµ a b c d mod 9 d1mod 2
Tõ (1) vµ (2) suy d =
1,00 0,75 0,25
4
Cho phơng trình 2x m x
x x
, tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
3,00
§iỊu kiƯn: x2;x2
2x m x
3 x m 2m 14
x x
m = 1ph¬ng trình có dạng = -12 vô nghiệm
m1 phơng trình trở thành x 2m 14 m
Phơng trình có nghiệm dơng
2m 14 m
m
2m 14
1 m m
2m 14 m
Vậy thoả mÃn yêu cầu toán m
1 m
0,25 0,75 0,25 0,50
1,00
0,25
5 Cho hình thoi ABCD có cạnh đờng chéo AC, tia đối tia AD lấy
điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F Chứng minh AECđồng dạng
CAF
, tÝnh EOF
(6)O
D
B A
C E
F
AEB đồng dạng CBF (g-g)
2
AB AE.CF AC AE.CF
AE AC
AC CF
AEC đồng dạng CAF (c-g-c)
AEC đồng dạng CAF
AEC CAF mµ
0
EOF AEC EAO ACF EAO
180 DAC 120
1,00
1,00
1,00
6 Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, cỏc on thng DB,
DC lần lợt lấy ®iĨm E vµ F choEAD FAD Chøng minh r»ng:
2
BE BF AB
CE CF AC
3,00
A
B E D F C
K H
KỴ EHAB t¹i H, FKAC t¹i K
BAE CAF; BAF CAE
HAE
đồng dạng KAF(g-g)
AE EH
AF FK
ABE
ACF
S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB
S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC
T¬ng tù BF AF.AB
CE AE.AC
2
2
BE BF AB
CE CF AC
(®pcm)
1,00
1,25 0,50
0,25
7 Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy hai số bất
kỳ thay hiệu chúng, làm nh đến cịn số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số đợc khơng? Giải thích
2,00
Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số tính chất chẵn lẻ tổng số có bảng khơng đổi
Mµ S 1 2008 2008 2008 1 1004.2009 0 mod 2
2
; 1 mod 2
do bảng lại số
1,00
(7)líp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tö: x2 7x 6
2 x4 2008x2 2007x 2008
Bµi 2: (2điểm)
Giải phơng trình: x2 3x x1 0
2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài 3: (2điểm)
1 Căn bậc hai 64 viết dới dạng nh sau: 64 6
Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng d ới dạng nh số nguyên? Hãy tồn số
2 T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc x2 x4 x6 x82008 cho ®a thøc
10 21 x x
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E
1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM v BEC ng
dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chøng minh: GB HD
BC AH HC
Hết
(8)Bài 1 Câu Nội dung Điểm
1. 2,0
1.1 (0,75 điểm)
2
7 6 6
x x x x x x x x
x1 x6
0.5 0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)
4 2008 2007 2008 2007 2007 2007 1
x x x x x x x 0,25
2
4 1 2007 1 1 2007 1
x x x x x x x x
0,25
x2 x 1 x2 x 1 2007x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008
0,25
2. 2,0
2.1
3
x x x (1)
+ NÕu x1: (1) x12 0 x1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn x1)
+ NÕu x1: (1) x2 4x 3 x2 x 3x 1 0 x1 x 3 0
x1; x3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x1
0,5 0,5 2.2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
(2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x0
(2)
2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
2
2
2
1
8 x x x x 16
x x
0
x hay x
vµ x0
Vậy phơng trình cho có nghiệm x8
(9)3 2.0
3.1 Gọi số cần tìm là ab 10a b
(a, b lµ sè nguyên a khác 0)
Theo gi thit: 10a b a blà số nguyên, nên ab blà số phơng, đó: b hoặc4
Ta cã: 10a b a b10a b a 22a b b 5a b a2
b a
(v× a0)
Do a phải số chẵn: a2k, nên 5 b k
NÕu b 1 a 8 81 8 1 9 (thỏa điều kiện toán) Nếu b 4 a 6 64 6 4 8 (tháa điều kiện toán) Nếu b 9 a 4 49 4 9 7 (thỏa điều kiện toán)
0,5
0,5 3.2 Ta cã:
( ) 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
Đặt tx210x21 (t3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) 2008 1993 P x t t t t
Do chia t2 2t1993 cho t ta có số d 1993
0,5
0,5
4 4,0
4.1 + Hai tam giác ADC BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vng CDE CAB đồng
d¹ng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra:
135
BECADC (vì tam giác AHD vuông
cân H theo giả thiết)
Nên
45
AEB tam giác ABE vuông cân A Suy ra:
2
BEAB m
1,0
0,5 4.2
Ta cã: 1
2
BM BE AD
BC BC AC (do BECADC)
mà ADAH 2 (tam giác AHD vuông vân H)
nên 1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH CBA)
Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450
0,5 0,5 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
GC AC , mµ //
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC 0,5
Do đó: GB HD GB HD GB HD
(10)Đề khảo sát Chất lợng hoc sinh giỏi lần thứ ba
Năm học 2009 - 2010 Môn : Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài : ( điểm)
1 Phân tích đa thức thành nhân tử
a)
x
x
b) a3(b c) + b3(c a) + c3(a b) 2 T×m x, y biÕt : 2x2 + 4x + 4xy 2y + 5y2 + = 0 Bài : ( điểm)
1 Cho a, b số dơng thoả mÃn 5a2 2b2 = 3ab 2a b Tính giá trÞ biĨu thøc 4a2 b2
ab P
2. Cho abc =2 Rót gän biĨu thøc
2 c ac
c
b bc
b
a ab
a M
3. Cho a, b, c số đôi khác khác thoả mãn 1110 c b
a
HÃy tính giá trị biÓu thøc :
ab c
1 ca
2 b
1 bc
2 a
1
M 2 2 2
+ 2010
Bµi : ( điểm)
1. Cho a, b số nguyên, a chia cho d b chia cho d Hái a2 b2
chia cho d bao
nhiªu?
2 Chøng minh với số tự nhiên n n2 5n + 120 kh«ng chia hÕt cho 169.
3 Tìm số nguyên tố p cho biểu thức M = 2p + p2 có giá trị số nguyên tố.
Bài : ( điểm)
Cho hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt O Đờng thẳng qua O song song với hai đáy cắt cạnh bên AD, BC lần lợt điểm M N
a) Chøng minh
BC BN AD AM
b) Chøng minh
CD AB
1 ON
1 OM
1
c) Cho diÖn tích tam giác AOD, COD lần lợt a2 b2 (a, b số dơng) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b
Bài : ( điểm)
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, kẻ 2010 đờng thẳng cho đờng thẳng chia hình bình hành ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích
3
(11)Hớng dẫn chấm khảo sát học sinh giỏi vòng 3 môn toán lớp
Bài Nội dung Điểm
Bài :
( điểm)
1 Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 4x (1,5 điểm)
- Tách 4x = -x + 5x 0,5
- Nhóm đặt nhân tử chung nhóm 0,5
- Nhóm đến kết ( x-1)(x + 5) 0,5
b) a3(b c) + b3(c a) + c3(a b) (2 ®iĨm)
= a3(b c) b3[(b c) + (a b)] + c3(a b) 0,5 = a3(b c) b3(b c) b3(a b) + c3(a b) 0,25
= (b c)( a3 b3) (a b)( b3 c3) 0,25
=(b c)(a b)(a2 + ab + b2) (a b)(b c)( b2 + bc + c2) 0,25 = (b c)(a b)(a2 + ab + b2 b2 bc c2) 0,25
= (b c)(a b)(a2 c2 + ab bc) 0,25
=(a b) (b c) (a c) (a + b + c) 0,25
2. T×m x, y biÕt : 2x2 + 4x + 4xy 2y + 5y2 + = (1,5 ®iĨm)
- Viết đẳng thức dạng (x + 2)2 + (y 1)2 + (x + 2y)2 = 0 0,5 - Lập luận bình phơng khơng âm =>(x + 2)2 = (y 1)2= (x + 2y)2 = 0 0,5
- Tìm đợc x, y 0,5
Bµi :
( điểm)
1 Cho a, b số dơng thoả mÃn 5a2 2b2 = 3ab 2a b Tính giá trị biểu thức 4a2 b2
ab P
(1,5 ®iĨm)
- Từ 5a2 2b2 = 3ab =>5a2 2b2 3ab = => (a b)(5a + 2b) = 0 0,5 - a, b > => 5a + 2b > => a = b 0,5 - Tính tiếp đến P =
3
0,5 2. Cho abc =2
Rót gän biĨu thøc
2 c ac
c
b bc
b
a ab
a M
(1,5 ®iĨm)
abc abc ac
abc
b bc
b abc
a ab
a
M 2
2
0,5
b bc
bc
b bc
b bc
1 b
1 M
0,5
1 b bc
1 b bc M
(12)Bài Nội dung Điểm
Bài :
3. Cho a, b, c số đôi khác khác thoả mãn 111 0 c b
a
H·y tÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc :
ab c
1 ca
2 b
1 bc
2 a
1
M 2 2 2
+ 2010 (2 ®iĨm)
Tõ 1110 c b
a => abc
ca bc ab
abbcca0 0,25
bc = ab ac 0,25
a2 + 2bc = a2 + bc ab ac 0,25
a2 + 2bc = a(a b) c(a b) 0,25
a2 + 2bc = (a b)(a c) 0,25
T¬ng tù b2 + 2ca = (b a)(b c)
c2 + 2ab = (c a)(c b) 0,25
) a c )( b c (
1 )
c b )( a b (
1 )
c a )( b a (
1 M
+ 2010 0,25
) c b )( c a )( b a (
b a c a c b M
+ 2010 = 2010 0,25
Bài :
( điểm)
1. Cho a, b số nguyên, a chia cho d vµ b chia cho d Hái a2 b2
chia cho d bao nhiêu? (1 điểm)
a chia cho d a = 7k + 2, t¬ng tù b = 7q + víi k, q N 0,25
2 b
a =( 7k + )2 + ( 7q + )2 0,25
= 49 k2 + 28k + + 49q2 + 42q + = 49 k2 + 28k + 49q2 + 42q + 13 0,25 Do k, q N nªn 49 k2 + 28k + 49q2 + 42q chia hÕt cho 7, 13 chia cho d
VËy a2 b2
chia cho d 0,25
2 Chøng minh víi mäi số tự nhiên n n2 5n + 120 không chia hết cho 169. (1 điểm)
n2 5n + 120 = ( n 9)( n + ) + 156 0,25
NhËn xÐt ( n + ) ( n 9) = 13 nên chia hết không chia hết
cho 13 0,25
Nếu ( n 9) chia hết cho 13 ( n + ) chia hết cho 13 tích ( n 9)( n + ) chia hết cho 132 = 169 mà 156 không chia hết cho 169
n2 5n + 120 kh«ng chia hÕt cho 169. 0,25
NÕu ( n 9) kh«ng chia hÕt cho 13 ( n + ) không chia hết cho 13 mà 13 số nguyên tố nên tích ( n 9)( n + ) kh«ngchia hÕt cho 13 mµ 156 chia hÕt cho 13 n2 5n + 120 kh«ng chia hÕt cho 169.
0,25
3 Tìm số nguyên tố p cho biểu thức M = 2p + p2 có giá trị số nguyên tố.
(13)Bài Nội dung Điểm
Bài :
Nếu p = M = không số nguyên tố
NÕu p = th× M = 23 + 32 = 17 số nguyên tố. 0,25
Nếu p > p nguyên tố nên p số lẻ không chia hết cho
M = 2p + p2 = 2p+ + p21 = 2p+ + (p 1)( p + 1) 0,25
p không chia hết p chia cho d hc
(p 1)( p + 1) chia hÕt cho 0,25
p lỴ nªn p = 2k + víi k N 2p+ =22k + 1 + =2.4k+ 1
4 1mod3 4k 1mod3 2.4k 2mod3 2.4k+1 chia hÕt cho 2p+ chia hÕt cho M chia hÕt cho vËy víi p > M không số nguyên tố
0,25
Bài : ( 6 điểm)
Cho hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt O Đờng thẳng qua O cắt cạnh bên AD, BC lần lợt điểm M N
a) Chøng minh
BC BN AD AM
2
b) Chøng minh
CD AB
1 ON
1 OM
1
2
c) Cho diÖn tích tam giác AOD, COD lần lợt a2 vµ b2 (a, b >0) TÝnh diƯn
tÝch hình thang ABCD theo a b 2
Bài : ( 1 điểm)
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, kẻ 2010 đờng thẳng cho đờng thẳng chia hình bình hành ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh
2010 đờng thẳng có 503 đờng thẳng qua điểm
Gi M, Q, N, P lần lợt trung ®iĨm cđa AB, BC, CD, DA (H×nh vÏ)
V× ABCD l hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD
Gọi d đờng thẳng 2010 đờng thẳng cho Nếu d cắt AB E; CD F ; PQ L LP, LQ lần lợt đờng trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có : S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3
0.5
Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thoả mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 đóL trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2
Tơng tự, MN lấy hai điểm K1, K2 thoả mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2
Tóm lại, đờng thẳng 2010 đờng thẳng cho phải qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2
0.25
Vì 2010 > 4.502 = 2008 nên theo nguyên tắc Đi Rich Lê, 2010 đờng thẳng cho có 503 đờng thẳng (503 = 502 + 1) qua điểm điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 Suy điều phải chứng minh