Quy luật chuyển động của các thiên thể

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ - - TRẦN THỊ ÁNH NGUYỆT QUY LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC THIÊN THỂ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý - Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, cố gắng nổ lực thân, em nhận giúp đỡ nhiều từ phía thầy cơ, gia đình bạn bè Trước hết, em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Trương Thành, trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, người dành thời gian quý báu tận tình hướng dẫn, động viên bảo cho em suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Em xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng người dạy dỗ, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập, nghiên cứu Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới người thân gia đình bạn bè, người ln bên cạnh em lúc khó khăn động viên giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực khóa luận thời gian hạn chế, khả có hạn nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong bạn đọc thơng cảm góp ý phê bình để viết hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực đề tài SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý MỤC LỤC MỤC LỤC A MỞ ĐẦU .5 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .6 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 6 Đóng góp khóa luận Cấu trúc khóa luận B NỘI DUNG Chương I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG XUYÊN TÂM 1.1 Các đặc trưng chuyển động trường xuyên tâm 1.1.1 Khái niệm trường xuyên tâm 1.1.2 Tích phân chuyển động trường xuyên tâm .7 1.1.3 Ý nghĩa tích phân chuyển động 1.1.4 Sự bảo toàn momen động lượng trường xuyên tâm .8 1.1.5 Tính chất đặc trưng trường xuyên tâm 1.1.6 Bảo toàn trường xuyên tâm 10 1.2 Phương trình chuyển động trường xuyên tâm 12 1.2.1 Phương trình chuyển động .12 1.2.2 Công thức Bine 15 1.3 Khảo sát chuyển động vật thể tác dụng lực xuyên tâm (lực hấp dẫn), vận tốc vũ trụ 16 1.3.1 Các phương trình chuyển động 16 1.3.2 Tìm lại định luật Kepler 18 a Tìm lại định luật .18 b Tìm lại định luật .19 c Tìm lại định luật 21 1.3.3 Các vận tốc vũ trụ .22 SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý 1.3.3.1 Vận tốc ứng với quỹ đạo tròn 22 1.3.3.2 Vận tốc ứng với quỹ đạo elip 22 1.3.3.3 Vận tốc ứng với quỹ đạo parabol 23 1.3.3.4 Vận tốc ứng với quỹ đạo hypecbol 23 1.3.3.5 Vận tốc vũ trụ cấp I cấp II 23 Chương II: GIẢI BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 25 2.1 Cách giải toán chuyển động vật trường xuyên tâm sử dụng định luật hấp dẫn vũ trụ định luật Kepler 25 2.2 Cách giải toán chuyển động vật trường xuyên tâm sử dụng kết toán hai vật .39 2.3 Giải toán trường xuyên tâm hàm Lagranger loại II 53 C KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày xưa nhà thiên văn học lý chuyển động hành tinh Một số người cho chuyển động biểu phép màu mà Tạo hóa tạo Nhưng thực chất vật chất vũ trụ chuyển động theo tượng tự nhiên mà chuyển động theo quy luật riêng Truyền thuyết kể lại Newton nhìn thấy táo rơi từ xuống ông tự hỏi Mặt trăng không rơi táo Một phát vô quan trọng lĩnh vực vật lý "hấp dẫn phổ biến" Newton, nhà thiên văn vật lý toán học thiên tài người Anh, kỷ thứ 17, 18 Lực hấp dẫn làm cho hai vật thể có khối lượng hút nhau, hai vật gần bị hút mạnh nhiêu Chúng ta đứng mặt đất nhờ lực hấp dẫn Trái đất hút ta Một vật ta ném lên không trung rơi xuống đất sức hút trường hấp dẫn Trái đất Cũng lực hấp dẫn mà Trái đất hành tinh khác quay chung quanh Mặt trời Mặt trăng quay chung quanh Trái đất Ta tự hỏi Mặt trăng không rơi xuống Trái đất trái đất hành tinh khác Thủy, Kim, Hỏa Mộc, Thổ v v , không rơi vào Mặt trời Bởi chuyển động quỹ đạo Mặt trăng chung quanh Trái đất hay hành tinh chung quanh Mặt trời tạo lực gọi lực ly tâm để bù trừ hút lực hấp dẫn Việc tìm quy luật chuyển động thiên thể để giải thích tượng xảy tự nhiên cách thực tế rõ ràng Bản thân sinh viên ngành Vật lý để hiểu rõ giải thích chuyển động vật thể nào, chọn đề tài: “QUY LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC THIÊN THỂ” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết trường xuyên tâm, để giải toán chuyển động vật trường xuyên tâm - Phân loại tập theo cách giải để xác định quỹ đạo vật chuyển động trường xuyên tâm - Giúp tăng thêm kiến thức cho thân SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống, khái quát kiến thức trường xuyên tâm - Phân loại, nêu giải số tập mang tính chất khái quát để hiểu kỹ chuyển động vật thiên thể đồng thời làm tài liệu tham khảo sau Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết trường xuyên tâm - Bài tập chuyển động vật trường xuyên tâm Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tham khảo tài liệu tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân tích: phân tích rõ yêu cầu đề toán vận dụng lý thuyết để giải hồn chỉnh chi tiết tốn Đóng góp khóa luận - Thơng qua đề tài giúp em rèn luyện thêm kỹ giải tập Vận dụng lý thuyết chung vào giải tập cụ thể nhằm nâng cao khả nhận thức thân - Giúp có nhìn khái quát chuyển động vật vũ trụ - Luận văn nghiên cứu cách có hệ thống số vấn đề lý thuyết trường xuyên tâm phục vụ cho môn học vật lý - Luận văn đưa số tập phương pháp giải làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học sinh Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm có ba phần chính: A: Mở đầu B: Nội dung, gồm hai chương: Chương I: Những kiến thức trường xuyên tâm Chương II: Giải toán chuyển động vật trường xuyên tâm C: Kết luận SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý B NỘI DUNG Chương I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG XUYÊN TÂM 1.1 Các đặc trưng chuyển động trường xuyên tâm 1.1.1 Khái niệm trường xuyên tâm Trường lực xuyên tâm trường lực có đường tác dụng ln ln qua điểm cho trước (điểm gọi tâm trường) Các trường lực xuyên tâm thường gặp là: trường hấp dẫn trường tĩnh điện 1.1.2 Tích phân chuyển động trường xuyên tâm Vì hai vector: lực vector định vị phương với nên:   r F 0  (1)  Từ phương trình Newton: F  ma     dv dv Mà: F m a dt dt   dv Từ (1) suy ra: r  m  dt F Vì m khơng đổi nên ta viết lại:   d (mv ) r 0 dt     d (mv ) d   dr Dùng: (r  mv )   mv  r  dt dt dt     d (mv ) d   dr  (r  mv )   mv  r  0 dt dt dt     dv  dr   dr Do  v // mv r //  mv  dt dt dt Dẫn đến: Kết quả: r O d   (r  mv )  dt    r  v  C  const (2) Biểu thức (2): gọi tích phân chuyển động trường lực xuyên tâm Tuy nhiên phạm vi Cơ học ta xét trường hấp dẫn SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý 1.1.3 Ý nghĩa tích phân chuyển động Xét hai vị trí chuyển động M N  Tại thời điểm t: M( r )   Tại thời điểm t +  t: N( r +  r ) r M N Ta có diện tích  S trường hợp  t bé: 1  r  r  Vector diện tích S có dạng: r S  r+ r    S  (r  r ) Ta đưa khái niệm vận tốc diện tích  có: - Phương chiều phương chiều vector pháp tuyến đường cong điểm M  - Có độ lớn diện tích mà bán kính vector r quét đơn vị thời gian      S (r  r ) r dr   lim  lim   t 0 t t 0 t dt  Hay:     (r  v ) (3)    dS C   So sánh (2) (3) suy ra:     (r  v ) dt 2 Kết luận: Ý nghĩa tích phân chuyển động vận tốc diện tích chuyển động trường lực xuyên tâm có giá trị nửa tích phân chuyển động 1.1.4 Sự bảo toàn momen động lượng trường xuyên tâm [1] Ta khảo sát chuyển động chất điểm L khối lượng m trường hấp dẫn chất điểm khối lượng M đặt cố định điểm O Chọn O làm gốc tọa độ Vector động lượng chất điểm: O (M)   K  mv F r Theo định luật Newton thứ hai chất điểm SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt (m) K =m v N GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý   khối lượng m chịu tác dụng lực F (hay nhiều lực tổng hợp F )  có gia tốc a cho bởi:     dv F  ma  F  m dt   d (mv) dK Vì m khơng đổi: F  (4)  dt dt  Nhân hữu hướng hai vế phương trình (4) với r  ON (O gốc tọa độ)       d (mv ) d (r  mv ) dr   mv  r  dt dt dt    dr   dr Trong đó:  v // mv  mv  dt dt   d (r  mv )   Vậy ta viết:  r F dt   d (r  K )     r F dt Dùng: (5) Trong phương trình (5):    r  K momen vector động lượng K O, gọi vector momen động lượng chất điểm O, kí hiệu:    L  r K Cịn tích hữu hướng:     r  F momen lực F O, kí hiệu: M OF  dL   Phương trình (5) viết:  M OF dt      dL Do r , F phương nên r  F  dẫn đến: 0 dt  Suy ra: L = const Vậy chất điểm (m) chuyển động trường hấp dẫn chất điểm (M) momen động lượng (m) đại lượng bảo tồn 1.1.5 Tính chất đặc trưng trường xuyên tâm Xét chất điểm m chuyển động trường hấp dẫn chất   GMmr điểm M Khối lượng m chịu tác dụng lực hấp dẫn: F   r SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý  Trong r vector tia nối từ tâm M đến tâm m  Dưới tác dụng lực F , m dịch chuyển từ vị trí sang vị trí r2   r dr Nên cơng lực hấp dẫn đoạn đường là: A  GMm r1 r  Ta chứng minh rdr  rdr thực vậy:         r dr  ( xi  yj  zk )(dxi  dyj  dzk )    r dr  xdx  ydy  zdz z  x2  y2  z    d    r F dr m r  r 2rdr  r dr  d   rdr 2 r M y O x Do đó:  1 1 1 dr       GMm    GMm r r  r  1  r1 r2  r1 r2 A  GMm Nhận xét: Công lực hấp dẫn không phụ thuộc vào dạng đường mà phụ thuộc vị trí đầu vị trí cuối Điều chứng tỏ trường hấp dẫn trường 1.1.6 Bảo toàn trường xuyên tâm Khi chất điểm (m) dịch chuyển từ vị trí A sang vị trí B trường lực cơng AAB trường lực phụ thuộc vào hai vị trí đầu cuối A, B Từ tính chất ta nêu định nghĩa: Thế chất điểm (m) trường lực hàm Wt phụ thuộc vị trí chất điểm cho: AAB = Wt (A) + Wt (B) Thế chất điểm (m) vị trí A: Wt (A) =  GMm C rA Thế chất điểm (m) vị trí B: Wt (B) =  SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt GMm C rB 10 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Bài 9: Một vệ tinh nhân tạo khối lượng m chuyển động theo quỹ đạo elip quanh Trái Đất Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị trí gần xa vệ tinh h, H a) Xác định toàn phần vệ tinh b) Xác định vận tốc vệ tinh vị trí cách tâm Trái Đất khoảng l c) Xác định chu kỳ quay vệ tinh d) Xác định khối lượng Trái Đất sử dụng số liệu thu từ vệ tinh nhân tạo Côxmot 380: T = 102,2 phút, h = 6588 km, H = 7926 km Giải: a) Cơ toàn phần quỹ đạo elip A: vA GMm EA  mvA2  h Dẫn đến: E A  GMm  mvA  h GMm h  1m 2 vA EA  (1) Cơ toàn phần quỹ đạo elip tai B: GMm EB  mvB2  H Dẫn đến: EB  GMm  mvB  H GMm H  1m 2 vB EB  GMm GMm EB  h  H 2 vA vB vB (2) EA  Từ (1) (2): Hình: 2.12 Theo định luật bảo toàn lượng: EA = EB = E Do đó: GMm h   v A  GMm  vB  E H E Theo định luật II Kepler: v A h.t  v B H t  vA H  vB h SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 50 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý GMm GMm  GMm  H H h     E E   GMm  h  h H  h E H E E  H2  EH GMm GMm H 1    GMm      E 2 h h h h h  h   H h GMm   h   GMm( H  h) E h H2 (h  H ) h2 E  G Cuối cùng: Mm h H b) Cơ vị trí cách tâm Trái Đất khoảng l là: GMm E  mv2  l Sử dụng E tính câu a ta có:  v2  GMm GMm 1   mv   GM    h H l l hH   1  v  2GM    l hH  c) Theo định luật III Kepler: T2 4 4   a G(M  m) GM Với: a hH T  (h  H ) 2GM d) Theo câu c khối lượng Trái Đất tính theo cơng thức: (h  H ) M   6.1024 kg 2GT Bài 10: Một trạm vũ trụ bay quanh Trái Đất quỹ đạo trịn có bán kính R = 2R0 (R0 = 6400 km – bán kính trung bình củaTrái Đất) SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 51 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý a) Xác định chu kỳ quay vận tốc trạm vũ trụ động không hoạt động Bỏ qua ma sát cho biết vận tốc vũ trụ cấp I sát mặt đất v0 = 7,9 km/s b) Khi động hoạt động thời gian ngắn để tăng vận tốc trạm lên đến giá trị v1 chuyển sang quỹ đạo elip Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến trạm lớn nhỏ R1 = 2R0, R2 = 4R0 Xác định chu kỳ vận tốc v1 trạm quỹ đạo elip Giải: a) Trạm vũ trụ chuyển động tròn, lực hấp dẫn v1 trạm Trái Đất đóng vai trị lực hướng tâm: R1 GMm v2 (R = 2R0) F  m R R2  GM v2 GM   v2  2R0 2R0 (2R0 ) R2 Suy ra: v GM GM 2   v0  7,9  5,58km/ s 2R0 2 R0 Chu kỳ trạm: T 2   v2 2 2 2.6400 2R0   14405s  240 phút v 5,58 Hình: 2.13 b) Vì động hoạt động thời gian ngắn nên xem bảo tồn chuyển từ quỹ đạo cũ sang quỹ đạo mới, nghĩa là: mv12 GMm mv22 GMm    R1 R2  v12 GM v22 GM    R1 R2 (1) Theo định luật II Kepler: v1.R1.t  v2 R2 t  v2  v1 R1 R2 (2) Thay (2) vào (1): v12 GM v12 R12 GM    R1 R22 R2 SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 52 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý  R2  1 1  v12     GM     2R2   R1 R2   R  R1   GM  R2 R1  GM ( R2  R1 )   v1   2 ( R  R1 )(R2  R1 ) R2  R1 R1 R2 2 2R22 2R2  v2   v1  2GM.4R0 2GMR2  R1 (R2  R1 ) 2R0 (4R0  2R0 ) 4GM  v0  6,45km/ s 6R0 Áp dụng định luật III Kepler cho số liệu: - Chuyển động trịn có chu kỳ T = 240 phút bán kính 2R0 - Chuyển động elip có chu kỳ Te bán kính a  ( R1  R2 )  3R0 Te2  3R0    1,53  Te  441phút   T  2R0  2.3 Giải toán trường xuyên tâm hàm Lagranger loại II [8] Bài 1: Chất điểm khối lượng m gắn vào đầu lị xo có khối lượng khơng đáng kể có hệ số đàn o x  hồi k, đầu lò xo treo vào điểm O giá l đỡ dao động tự quanh điểm O mặt phẳng thẳng đứng (hình vẽ) Tìm quy luật chuyển động chất điểm m y Giải: - Chọn trục tọa độ hình vẽ - Chất điểm m chuyển động mặt phẳng Oxy nên chịu liên kết có phương trình : z = - Do đó, hệ có hai bậc tự - Ta chọn góc lệch  trục lò xo với phương thẳng đứng chiều dài l lò xo làm tọa độ suy rộng: q1   , q2  l SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 53 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp - Khoa Vật Lý Khi đó, vị trí lắc xác định góc  chiều dài l lị xo, l  liên hệ với tọa độ Descartes công thức: x  l sin  x dx   l sin  lcos dt   x2  lsin   lcos o  x  l  l sin   2lsinlcos  l 22 cos2  m dy y  l cos  y  lcos  lsin dt   y2  lcos  lsin  y  2  l cos2   2lcoslsin  l 22 sin  Nên: Hình: 2.14 x2  y2  l  l 22  Động lắc vị trí bất kỳ: T  mv 2   dr Mà: suy ra: v dt   1 2 T  mr2  m x2  y2  m l  l  2    Thế lắc gồm trọng trường đàn hồi lò xo Chọn gốc O 1 U  k (x)  (mgy)  k l  l0   mgl cos 2 Với l0 độ dài tự nhiên lò xo Hàm Lagranger hệ:   2 2 L  T U  m l  l   k l  l0   mgl cos 2 Ta có: L L  ml,  m2l  k l  l0   mg cos  l l L L  mgl sin   ml 2,   Các phương trình Lagranger: SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 54 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý d  dt d   dt L L  0 l l L L  0    l m2l  k l  l0   mg cos  m   2mll mgl sin    ml  m l m2l  kl  mg cos  kl0   2l sin   g 0  l l      k  m l  mg cos  kl0 l  m m   2l g sin       l   l  Xét dao động bé: cos  1, sin    , đó:     k  m l  mg  kl0 l  m m   2l g      l   l  Giải hệ phương trình vi phân ta xác định quy luật chuyển động hệ Về nguyên tắc hệ phương trình giải Bài 2: Tìm phương trình tần số dao động nhỏ hệ vẽ hình bên Cho biết bán kính rịng rọc R, moment R qn tính trục quay l, khối lượng vật m, hệ số cứng lò xo k Khối lượng sợi dây lị xo khơng đáng kể, sợi dây m vắt qua rịng rọc khơng trượt không bị giãn Bỏ k qua ma sát x Giải: Hình: 2.15 - Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, gốc O vị trí cân vật m - Để xác định vị trí cân vật m cần xác định độ lệch x khỏi vị trí cân O SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 55 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý - Vì hệ có bậc tự - Ta chọn x làm tọa độ suy rộng: q = x = x(t) - Tại vị trí cân O vật, ta có: mg  kl0 (do ròng rọc cố định) Với l0 độ giãn lò xo vật vị trí cân O - Tại vị trí vật m, động toàn phần hệ tổng động tịnh tiến vật m động quay ròng rọc: 1 T  mv2  I 2 Do ròng rọc đối xứng trịn xoay lăn khơng trượt nên vận tốc tịnh tiến liên hệ với vận tốc quay hệ thức: v  R    v R R bán kính tiết diện rịng rọc 1  v  1 I  1 I  T  mv  I     m  v   m   x2 2 R 2 2 R  R  Nên: - Thế hệ gồm trọng trường vật m đàn hồi lò xo, chọn gốc O U  k x  l0   mgx Hàm Lagranger hệ: 1 I  L  T  U   m   x2  k x  l0   mgx 2 R  Ta có: L  I  I     m  2 x  m   x x  R  R   L   k 2x  2l0   mg  k x  l0   mg x Phương trình Lagranrer: d L L  0 dt x x I     m   x k x  l0   mg  R   I     m   x kx  kl0  mg  R   SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 56 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý I     m   x kx  (do kl0  mg ) R    (mR2  I )  x kx  R2 x  x  (*) với   Hay  kR2 mR2  I Phương trình (*) có nghiệm dạng: x  A sint    Với A, số xác định từ điều kiện đầu Vậy vật m dao động điều hòa tần số góc:   kR2 mR  I Bài 3: Giả sử ta có rãnh xuyên Trái Đất theo đường kính Thả vật khối lượng m vào rảnh cho lực hút Trái Đất gây chuyển động vật tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật tới tâm F Trái Đất Tìm phương trình chuyển động thời gian mà vật hết đường O m x kính Trái Đất thả khơng vận tốc đầu từ mặt đất Bán kính Trái Đất R bỏ qua ma sát Giải: - Chọn hệ tọa độ hình vẽ, gốc O tâm Trái Đất trục Ox trùng với rãnh Trái Đất - Chất điểm m chuyển động theo phương nên chịu hai liên kết đặt lên là: y = z = - Do hệ có bậc tự - Chọn độ lệch x vật m khỏi tâm O làm tọa độ suy rộng - Tại vị trí vật m có động là: T  mx2 x   x U   Fdx   Fdx 0 Lực hấp dẫn phần Trái Đất có bán kính x tác dụng lên vật m là: SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 57 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý F GM x m x2 Với Mx khối lượng phần Trái Đất có bán kính x F Mx  x3 x  M 3 R R M m O M: khối lượng Trái Đất Suy ra: F  G x Hình: 2.16 x3 m GM x x M  m  mg (g: gia tốc trọng trường mặt đất) R R x R R x Do đó: mgx mgx2 U  dx  R 2R Hàm Lagranger hệ: mgx2 L  T  U  mx2  2R Ta có: dL  mx dx dL mgx  dx R Phương trình Lagranger mơ tả chuyển động vật m: d L L  0 dt x x  m x Hay: mg g x0 x x  R R  x  x  với   g R Phương trình có nghiệm: x  Asin(t   ) v  x A cos(t   ) Với A,  số Khi t = x = R (vật m mặt đất) v = nên: A = R    Vậy phương trình chuyển động vật m là: SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 58 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý  x  R sin(t  ) Tức là, m dao động điều hịa quanh vị trí cân tâm O Trái Đất với biên độ R, pha ban đầu  với chu kỳ T  2   2 R g Thời gian để vật hết đường kính Trái Đất là: R t'  T   g Bài 4: Xác định chu kỳ dao động nhỏ hình trụ đồng tính đặc có bán kính r, khối lượng m lăn khơng trượt phía mặt trụ có bán kính R nằm cố định mặt phẳng ngang, trục hình x O R  O' r trụ đặc mặt trụ song song (hình vẽ) Bỏ y qua ma sát Giải: - Chọ hệ tọa độ Oxy hình vẽ, gốc O làm tâm mặt trụ, mặt phẳng Oxy vng góc với trục trụ - Dễ thấy để xác định vị trí hình trụ O’ mặt trụ O, ta cần xác định góc  hợp OO’ phương thẳng đứng (trục Oy) - Vì hệ có bậc tự - Chọn tọa độ suy rộng góc  :   (t ) O - Vì hình trụ lăn khơng trượt mặt trụ nên ta có R x  O' mối liên hệ vận tốc góc  hình trụ quanh trục O r với vận tốc góc  hình trụ quanh trục O’ là: y ( R  r )  r hay   Rr  r Hình: 2.17 Động hệ gồm động quay hình trụ quanh trục O’ tịnh tiến khối tâm O’ 1 1  Rr  T  mvO2 '  I  m( R  r ) 2  I    2 2  r  SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 59 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý  (R  r)2  I   m    r  Với I momen quán tính hình trụ trục O’ Chọn gốc O, ta hình trụ góc lệch  là: U  mgyO'  mg(R  r) cos Hàm Lagranger hệ: (R  r)2  I  L  T U   m    mg( R  r ) cos  r  L I    ( R  r )  m    r   Ta có: L  mg( R  r ) sin   Phương trình Lagranger: d L L  0 dt   I    mg( R  r ) sin    ( R  r )  m   r      mgr sin   ( R  r )(mr  I ) Chỉ xét dao động nhỏ nên sin    , ta được:   2  với    mgr ( R  r )(mr  I ) Phương trình có nghiệm dạng:   Asin(t   ) Với A,  số xác định từ điều kiện đầu Như vậy, hình trụ dao động điều hịa quanh vị trí cân với: - Tần số góc  - Chu kỳ dao động: T  Ta có:  2  mgr2 với I  mr 2 ( R  r )(mr  I ) SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 60 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý   Do đó: T  2 mgr ( R  r )(mr  mr )  2g 3( R  r ) 3( R  r ) 2g Bài 5: Một mảnh đồng chất tiết diện đều, chiều dài l, khối lượng m quay tự quanh mặt phẳng thẳng đứng quanh trục cố định nằm ngang qua trung điểm O vng góc với Một o đầu gắn với lò xo có hệ số cứng k, đầu lị xo treo cố định vào giá đỡ cho vị x  F   P trí cân nằm ngang lò xo treo theo phương thẳng đứng Kéo cho lệch khỏi y phương ngang góc  nhỏ thả nhẹ khơng vận tốc đầu Viết phương trình dao động tìm chu kỳ dao động Lực cản khơng khí ma sát không đáng kể Giải: - Chọn hệ tọa độ Oxy hình vẽ - Dễ thấy hệ có bậc tự - Chọn tọa độ suy rộng góc lệch phương ngang (trục Ox): q  (t ) Chọn gốc O góc lệch bất kỳ, động hệ là: T  I2 2 l  U  k     kl2 2 2  Với I momen quán tính trục O Hàm Lagranger hệ: 1 L  T  U  I2  kl2 2 Ta có: L  I  SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 61 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý L   kl2  Phương trình Lagranger: o d L L  0 dt    F x kl2  kl2  hay    2  với    I 4I   P y Phương trình có nghiệm dạng:   Asin(t   ) Hình: 2.18 Với A,  số  A cos(t   ) Tại t = có:   0  = nên ta suy ra: A  0    Vậy dao động điều hòa với phương trình:     0 sint    Chu kỳ dao động: T 2 2  kl2 3k với I  ml    4I 12 m m  T  2 3k  SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 62 GVHD: Th.S Trương Thành Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý C KẾT LUẬN Trong q trình nghiên cứu khóa luận tơi chọn lọc phát triển số vấn đề đạt kết ban đầu sau:  Củng cố lại số kiến thức trường xuyên tâm đồng thời đào sâu thêm số kiến thức khác liên quan đến  Đề tài đưa ba dạng tập liên quan đến ba môn học: học, lý thuyết thiên văn học để tham khảo Qua đề giúp cho bạn sinh viên dể dàng việc tìm kiếm tài liệu phục vụ chuyên ngành  Các tập đề tài giúp làm quen với việc phân tích thuộc dạng tập giải toán cụ thể, hình thành khả tư nhạy bén cho việc giải tập vật lý Thông qua việc nghiên cứu đề tài giúp hệ thống lại toàn kiến thức trường xuyên tâm Trong thời gian nghiên cứu đề tài lý thuyết cách vận dụng lý thuyết vào tập cụ thể, giúp tơi hồn thiện kiến thức chun ngành vật lý là: học, lý thuyết thiên văn học Điều quan trọng qua đề tài giúp rèn luyện kỹ nghiên cứu đề tài khoa học, đòi hỏi tinh thần làm việc nghiêm túc nghiên cứu nhiệt tình, cẩn thận tỉ mỉ q trình tính tốn, tìm hiều kỹ vấn đề Song song với kết đạt đề tài cịn số hạn chế định: thời gian không cho phép nên tập đưa chưa thật điển hình, phong phú đa dạng khả thân có hạn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý phê bình thầy cô, bạn đọc SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 63 GVHD: Th.S Trương Thành  r d X d X0 G  dt  dt   r ( X  X )(m  m0 )  Khóa luận tốt nghiệp  d Y d 2Y0 G     (Y  Y0 )(m  m0 ) dt r  dt 2  d Z d Z0 G     (Z  Z )(m  m0 ) dt r  dt Khoa Vật Lý TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lương Duyên Bình (1997) Vật lý đại cương (tập – nhiệt) Nhà xuất Giáo Dục [2] Th.S Trương Thành (2002) Giáo tình thiên văn học [3] Trần Quốc Hà (2003) Giáo trình thiên văn học đại cương Nhà xuất đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh [4] Trương Thanh Tuấn (2008) Khóa luận tốt nghiệp hệ đại học ngành sư phạm Lý trường Đại Học An Giang [5] PGS TS Vũ Thanh Khiết (chủ biên) PGS.TS Nguyễn Đình Nỗn – Vũ Đình Túy Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vật Lý THPT (tập 7) Cơ học chất lưu – Vật Lý thiên văn Nhà xuất Giáo Dục [6] Th.S Trương Thành(2002) Bài tập thiên văn học [7] Chu Văn Biên Tuyển chọn toán thiên văn.Website: bienhongduc.com [8] Th.S Trương Thành(2004) Bài tập Cơ lý thuyết Website: www Google com www Thuvienvatly com SVTH: Trần Thị Ánh Nguyệt 64 GVHD: Th.S Trương Thành ... thích tượng xảy tự nhiên cách thực tế rõ ràng Bản thân sinh viên ngành Vật lý để hiểu rõ giải thích chuyển động vật thể nào, chọn đề tài: ? ?QUY LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC THIÊN THỂ” Mục đích nghiên... nhà thiên văn học lý chuyển động hành tinh Một số người cho chuyển động biểu phép màu mà Tạo hóa tạo Nhưng thực chất vật chất vũ trụ chuyển động theo tượng tự nhiên mà chuyển động theo quy luật. .. TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 25 2.1 Cách giải toán chuyển động vật trường xuyên tâm sử dụng định luật hấp dẫn vũ trụ định luật Kepler 25 2.2 Cách giải