Dựa vào định nghĩa số hữu tỷ (là phân số a/b trong đó (a,b)=1 ), để chứng minh một biểu thức số nào đó là một số vô tỷ bằng phương pháp chứng minh phản chứng. Căn bậc hai của số không c[r]
(1)Kính Thầy giáo, Cơ giáo giảng dạy mơn Tốn cấp THCS huyện ! Nhằm giúp q Thầy giáo , giáo có tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh khiếu mơn Tốn cấp Trung học sở , phận chun mơn Phịng GD&ĐT Quế Sơn sở tham khảo ý kiến thầy giáo , giáo có nhiều kinh nghiệm công tác giảng dạy môn , biên soạn tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ mơn Tốn - Cấp THCS “ “Tài liệu bồi dưỡng môn Đại số “ là tập tài liệu tài liệu nói
Chương trình bồi dưỡng tập định hướng cho mục nội dung nêu chương trình Mỗi nội dung có số dạng tập khác nhau, dạng tập nêu đến hai tập đại diện cho dạng Giáo viên cần chọn kiến thức cụ thể (theo đề mục nêu chương trình) để cung cấp kiến thức cho em Đi nhanh kiến thức học chương trình khóa, kiến thức (nâng cao ) trình bày ngắn gọn Cho học sinh làm tập để qua trình bày phương pháp giải phương pháp nên dùng Các tập tài liệu giúp giáo viên chọn tập tương tự tạo thành lớp toán cho dạng toán cần giảng
Một số định hướng kỳ thi chọn học sinh giỏi vụ THPT giới thiệu tạp chí trung học phổ thông số 25 (Tháng năm 1999), trường tham khảo để biết định hướng cấu trúc đề tham khảo đề đề nghị Phòng gởi đến trường toàn đề thi cấp huyện, tỉnh, quốc gia năm gần để trường tham khảo
Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng cách đầy đủ yêu cầu q Thầy giáo , giáo Bộ phận chun mơn Phịng GD&ĐT Quế sơn mong nhận ý kiến đóng góp chân thành để sửa chữa bổ sung cịn thiếu sót
Hy vọng tập tài liệu có ích phần cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn q thầy ,
(2)PHẦN I : BÀI TẬP ĐỊNH HƯỚNG NỘI DUNG I Số thực - Căn bậc hai :
1 Định nghĩa số vô tỷ :
- Chứng minh biểu thức vô tỷ hữu tỷ (Chủ yếu sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng ):
Dựa vào định nghĩa số hữu tỷ (là phân số a/b (a,b)=1 ), để chứng minh biểu thức số số vô tỷ phương pháp chứng minh phản chứng Căn bậc hai số khơng phương số vơ tỷ, tổng hiệu, tích thương số vơtỷ với số hữu tỷ , số vô tỷ với cần trình bày tập hồn thiện lý thuyết
Bài tốn1:
Chứng minh \/5 số vô tỷ
Bài toán2:
a Chứng minh tổng số hữu tỷ với số vô tỷ số vô tỷ b Chứng minh tích số hữu tỷ với số vô tỷ số vô tỷ
c Chứng minh phương trình x3 +3x2+8x+ 10\/2 = có nghiệm số vơ tỷ
( Dựa vào tập giáo viên cho học sinh số tập chứng minh biểu thức hữu tỷ vô tỷ dựa vào thành phần cho hữu tỷ vơ tỷ )
Bài tốn 3:
Chứng minh a,b số hữu tỷ \/a + \/ b số hữu tỷ \/a , \/b số hữu tỷ.(Bài tập cho học sinh làm tập luyện tập sau phần phép biến đổi thức )
- Bài tốn dựng đoạn thẳng có giá trị độ dài biểu thức chứa khi cho độ dài đoạn thẳng đơn vị (bằng 1).
Bài tập dạng chủ yếu dựa vào đoạn thẳng đặc biệt (\/2 : đường chéo hình vng có độ dài cạnh băng 1; \/3 /2 : độ dài đường cao tam giác ) với việc vận dụng định lý Pitago; định lý talet để dựng đoạn thẳng có giá biểu thức chứa Khái quát việc dựng đoạn thẳng có giá trị độ dài bậc hai giá trị độ dài đọan thẳng biết để dựng đoạn thẳng có giá trị độ dài biểu thức chứa bậc hai
(3)Trên mặt phẳng cho trước đoạn thẳng có độ dài đơn vị Bằng thước compa dựng đoạn thẳng có độ dài \/1 + \/2 khơng ? Nếu được, nêu cách dựng
Căn bậc hai - Điều kiện tồn - Hằng đẳng thức a2 = | a|:
- Tìm giá trị biến để bậc hai có nghĩa
Bài tập cần ý để tập giá trị biến : Tập rỗng; Tập có phần tử ; Tập khoảng; Tập đoạn; Tập toàn trục số
- Thực rút gọn biểu thức chứa bậc hai dựa vào đẳng thức, chú ý tập rèn luyện kỷ biến đổi biểu thức chứa bậc hai dạng bình phương đẳng thức a2 = |a|.
Bài toán 5:
Rút gọn biểu thức :
a + 4\/3 b 13-4\/ 3 c P(a) = a + \/ a + 1/2 + \/ a + 1/4
- Giới thiệu bậc cao chọn giải số tập biến đổi bậc ba, đưa thừa số vào,ra đấu căn
Bài toán :
Rút gọn biểu thức :
A = ( \/ + )3(\/ -1) B = \/m\/m\/m
3 dạng toán biến đổi bậc hai :
- Thực biến đổi bậc hai có vận dụng kiến thức khai phương một tích , khai phương thương nhân chia bậc hai.
Bài toán 7:
Rút gọn biểu thức :
\/11+\/3 \/4+\/5+\/3 \/3+\/5+\/5+\/3. \/3-\/5+\/5+\/3
\/59
(Đề thi HSG cấp tỉnh 96-97)
- Dạng toán so sánh hai bậc hai. Bài toán 8:
(4)a \/ 6+\/ 20 \/1 + \/5 b
- Dạng tính biểu thức A cách tính A2hoặc A3. Bài tốn 9:
Rút gọn biểu thức :
a A = \/7 -2\/6 - \/7 + 2\/6
b B = \/2x + \/4x-1 - \/2x-\/4x-1
c C = \/5\/2 + - \/5\/2 -7
Bài toán 10:
Cho X = \/a + \/a2+b3 - \/ \/a2+b3 -a Chứng minh : X3 + 3bX -2a = 0
- Dạng toán trục mẫu (Chú ý việc áp dụng đẳng thức an-bn để trục biểu thức có chứa bậc ba).
Bài tốn 11 :
Trục biểu thức sau :
a b
\/1 + \/2 + \/3 \/9 + \/6 +\/4
c A= 20
3+\/5 + \/2 + 2\/5
- Dạng tốn tính từ cuối : Bài tốn 12:
Thực tính :
a \/6 + \/6 + \/6 \/ b \/6 + \/6 + \/6 \/8
(5)Thực rút gọn :
A = x + x + x
( có 1999 lần + ) + x
+\/ + x
- Dạng tóan sai phân. Bài tốn 14:
Thực tính giá trị biểu thức
a A = + + + \/1 + \/2 \/2 + \/3 \/24 + \/25
b Đặt Sn= a1+a2+ +an Với an = Tính S99 (n+1) \/n +n\/n+1
5 Các dạng tập chung bậc hai :
- Chứng minh số đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản có liên quan đến căn bậc hai.
Bài toán 15:
Chứng minh bất đẳng thức sau :
a Cho a,b hai số không âm Chứng minh : a+b > 2\/ab (*) b Cho a,b,c không âm Chứng minh :
(a+b)(b+c)(c+d) > 8abc a + b + c > \/ab + \/bc +\/ca \/(a+c)(b+d) > \/ab + \/cd
c Cho n số khơng âm : a1, a2 an có a1a2 an=1.Chứng minh : (a1+a2)(a2+a3) (an-1+an) > 2n
Bài toán 16:
Cho bố số thực a,b,c,d Chứng minh : |ac+bd|< \/(a2+b2)(c2+d2) (**) Aïp dụng : Cho x,y nghiệm phương trình 3x+4y = Chứng minh : x2+ y2 = 49/25
( Khi dạy ý việc khắc sâu hai bất đẳng thưc công cụ (*) (**) )
Bài toán 17:
(6)- Dạng toán cực trị Bài tốn 18:
a Cho M=a+b+c Tìm giá trị nhỏ a2+b2+c2 theo M
( Đề thi HSG tỉnh năm 97-98 )
b Chứng minh với Vx ta ln có : \/3x2 + 6x +12 + \/5x4-10x2+9 > 5 Aïp dụng : Giải phương trình sau :
\/3x2 + 6x +12 + \/5x4-10x2+9 = 3-4x-2x2
( Vơ địch tốn Liên xơ )
c Cho B = \/(a + 4/a2)2 - 8(a+ 2/a)2 +48
Rút gọn B
Tìm giá trị nhỏ B
- Giải số phương trình vơ tỷ cách biến đỗi bậc hai Bài toán 19:
Giải phương trình :
+ + =
\/x+3 + \/x+2 \/x+2 + \/x+1 \/x+1 + \/x
- Giải phương trình cách biến đổi thành tổng bình phương. Bài tốn 20:
Giải phương trình sau :
a \/x-2 + \/y-3 + \/z-5 = 1/2(x+y+z-7) b x\/y-1 + 2y\/x-1 = 3xy/2
c \/x +\/y-1+\/z-2 = 1/2(x+y+z)
(Thi học sinh giỏi lớp 10 Rumani -1977 ) II Hàm số bậc - Phương trình bậc - Hệ phương trình bậc Hàm số bậc :
- Các toán liên quan đến định nghĩa ,nhất định nghĩa giá trị hàm số tại giá trị biến.
Bài toán 21 :
Xác định hàm số y = f(x) biết : a f( x+2) = 2x-1
b f(x-1) = x2 - 3x + 3 Bài toán 22:
Hàm số y = f(x) xác định với x thuộc R biết f(a+b) = f(ab) với a,b f(-1) = -1 Tính f(1999)
(7)Bài toán 23:
Cho hàm số y = |x| + |1-x| a Vẽ đồ thị hàmh số b Tìm giá trị nhỏ
c Biện luận theo m số nghiệm cúa phương trình
Bài tốn 24:
Tìm điểm M (x,y) thỏa : |x| + |y| =
- Bài tập tìm giá trị tham số để đồ thị hàm số thỏa số điều kiện nào - Bài tốn biện luận số nghiệmdựa vào tương giáo đồ thị hàm số (Giáo viên tự chọn )
Phương trình bậc :
- Giải phương trình bậc (chứa tham số chữ )
-Bài toán 25:
Giải phương trình bậc ẩn số x : (Đề đề nghị -Tạp chí THPT số 25) (x-ab)/(a+b) + (x-ac)/(a+c)+(x-bc)/(b+c) = (a+b+c)
3 Hệ phương trình bậc :
- Bài tập rèn luyện kỷ giải hệ phương trình bậc hai ẩn các phương pháp công đại số phương pháp thế, đổi biến (giáo viên chọn giải tập nâng cao SGK )
Bài toán 26:
Giải hệ phương trình sau : 10/\/12x-3 + 5/\/4y+1 = 7/\/12x-3 + 8/\/4y+1 =
- Bài tập giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn số (dạng đặc biệt) cách phối hợp phương pháp cộng phương pháp thế.
Bài toán 27: Giải hệ sau :
a x1 + x2 = b x1 + x2 + x3 = x2 + x3 = x2 + x3 + x4 = x6 + x7 = x6 + x7 + x1 = x7 + x1 = x7 + x1 + x2 =
(TCT 1969) c x - 1/y =
(8)(Chuyên đề bồi dưỡng Đại số - Nguyễn Đức Tấn )
- Bài tập giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn số (dạng đặc biệt ) bằng cách áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau.
Bài toán 28:
Giải hệ sau :
x1 -1 = x2 - = x9 -9
x1 + x2 + x3 + + x9 = 90
- Một số tập giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn số khơng mẫu mực.
Thật cách giải hệ phương trình loại chương trình tốn cấp hai chủ yếu vận dụng phối hợp phương pháp cộng phương pháp thê ú với việc đổi biến thích hợp Tuy nhiên, bước giải có nhiều thao tác biến đổi
Bài toán 29:
Giải hệ sau :
a ax + y + z = b xy/(x+y) = m
x + ay + z = a xz/(x+z) = n (m,n,p = 0) x + y + az = a2 yz/(y+z) = p
(Tuyển toán cấp hai - Lê Hải Châu ) III Phương trình bậc hai :
1 Dạng toán liên quan đến định nghiã nghiệm phương trình bậc nói chung và nghiệm phương trình bậc hai nói riêng.
Bài tốn30:
Cho x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai : ax2 + bx +c =0
Đặt Sn = x1n + x2n với n thuộc Z Chứng minh : aSn + bSn-1 + cSn-2 = p dụng : Khơng khai triễn, tính biểu thức sau :
A = (1+\/2 )6 + (1-\/2 )6 B = +
(1+\/3 )4 (1-\/3 )4 (Tuyển 124 tốn phương trình Sở GD-ĐT T.P HCM)
2. Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai
- Điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm, nghiệm kép, vơ nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện
Bài tốn31:
Với giá trị m phương trình (m-1)x2 - (2m-1) + m+5 = 0 a Có hai nghiệm trái dấu
(9)c Có nghiệm
- Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm, nghiệm kép, vơ nghiệm với các (với ) giá trị tham số.
Bài toán 32:
Chứng minh phương trình :
(x-a)(x-b) +(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = có nghiệm với giá trị a,b,c (Đề thi học sinh giỏi toán Aïo 1974) Bài toán 33:
Cho a,b,c số đo ba cạnh tam giác, chứng minh phương trình sau vơ nghiệm : a2x2 +(a2+b2-c2)+b2 = 0.
(Chuyên đề bồi dưỡng Đại số - Nguyễn Đức Tấn ) 3. Bài tập liên quan đến định lý Vi-et thuận đảo
- Dạng tìm f(x1,x2) mà khơng giải phương trình. Bài tốn34:
Cho phương trình : x2 -2x-15=0 Khơng giải phương trình, tính : a Tổng tích nghiệm
b Tổng nghịch đảo nghiệm c Tổng bình phương nghiệm d Bình phương hiệu nghiệm e Hiệu nghiệm
- Xác định tham số để f(x1,x2) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài toán 35:
Cho phương trình bậc hai : x2 -2(m - 3)x - 2(m-1) =0 (1).
a Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b Tìm giá trị nhỏ tổng bình phương hai nghiệm phương trình (1)
- Lập phương trình có nghiệm liên hệ với nghiệm phương trình cho trước mà khơng giải phương trình.
Bài tốn36:
Cho phương trình x2 -2x-35 =0 (1)
a Tìm tổng bình phương hiệu bình phương hai nghiệm phương trình (1)
b Lập phương trình có nghiệm gấp ba lần nghiệm (1)
(10)1 Phương trình có ẩn giá trị tuyệt đối. Bài toán 37:
Giải phương trình sau : a 3x2-14|x| + = 0 b | x2 - 3x +2 | = x-2
2 Phương trình dạng phân thức. Bài tốn 38:
Giải phương trình sau : a x2 + 1/x2 + x + 1/x = 4 b + = x + + x
3 Phương trình dạng thức (phương trình vơ tỷ)
Ngồi dạng chuẩn giáo viên cần ý đến dạng sử dụng phương pháp đổi biến số, số toán đễ dàng suy nghiệm sau đặt điều kiện cho ẩn
Bài toán 39:
Giải phương trình sau :
a. \/2x+14 - \/x-7 = \/x +5
b \/x-1 + \/3-x = x2 -4x+6
4 Phương trình bậc cao:
- Phương trình trùng phương (Giáo viên tự chọn tập). - Phương trình tích (Giáo viên tự chọn tập ).
5 Một số dạng phương trình bậc cao khác
- Phương trình đối xứng bậc chẵn. Bài tốn 40:
Giải phương trình : 6x4 + 5x3 -38x2 +5x+6 = 0
- Phương trình đối xứng bậc lẻ. Bài toán 41:
Giải phương trình : 3x3+ 13x2+13x+3 = 0.
(11)thể giải theo hường : nhận xét -1 nghiệm ; chia hai vế cho x+1; Giải phương trình bậc hai để xác định nghiệm lại
- Phương trình dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e (Với a+d=b+c) Bài tốn 42:
Giải phương trình : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) =
- Phương trình dạng : (x+a)4 + (x +b)4 = c (Với a-b = 2) Bài tốn 43:
Giải phương trình : (x+2)4 + x4 = 2
V Hệ phương trình bậc hai :
1 Giải hệ phương trình bậc hai phương pháp cộng phương pháp thế. Bài toán 44:
Giải hệ phương trình sau : a x2 + y2 + z2 = 27
xy + xz + yz = 27
b x+ y + z = x2 + y2 + z2 = 12
2 Tách hệ có phương trình hệ phương trình tích các phương trình hệ có chứa giá trị tuyệt đối.
Bài toán 45:
Giải hệ phương trình sau :
a | x | + 3y = b x2 -6y2-xy-2x+11y = 3 2x + |y-1| = x2+ y2 =
3 Giải hệ phương trình bậc dạng mẫu mực: - Hệ phương trình đối xứng loại 1(bậc hai). Bài tốn 46:
Giải hệ phương trình sau : a x2 + y2 = 17
x+y+xy = b x3 + y3 = 2 xy(x+y) =
(12)Bài tốn 47:
Giải hệ phương trình sau : x2 -3x +6 = 2y y2 -3y +6 =2x
(Chuyên đề bồi dưỡng Đại số - Nguyễn Đức Tấn ) - Hệ phương trình đẳng cấp (bậc hai).
Bài tốn 48 :
Giải hệ phương trình sau : 2x2 -xy +3y2 = 13 x2 +4xy -2y = -6
(Chuyên đề bồi dưỡng Đại số - Nguyễn Đức Tấn ) - Một số hệ phương trình bậc hai khơng mẫu mực khác.
Bài tốn 49:
Giải hệ phương trình sau để tìm nghiệm dương : 2x2/(1+y2) = y
2y2/(1+y2) = z 2z2/(1+z2) = x Bài toán 50 :
(13)PHẦN II :
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC CẤP
ĐỊNH HƯỚNG VIỆC DẠY BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
- Đề thi học sinh giỏi Phòng GD&ĐT Quế Sơn từ năm 1997 đến
- Đề thi học sinh giỏi sở GD&ĐT QN-ĐN từ năm 1993 đến
- Đề thi học sinh giỏi tồn quốc năm 1998 (Năm 1999 khơng thi )
- Định hướng công tác dạy - thi bồi dưỡng học sinh giỏi(Trích tạp chí THPT)
- Đề thi đề nghị (Trích tạp chí THPT)
PHẦN III : SƠ LƯỢC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài toán :
Chứng minh \/ số vơ tỷ : Tương tự tốn chứng minh \/ số vô tỉ (SGK Đại số 9)
Bài toán :
Trước giảng cần giảng tập phục vụ : Chứng minh tổng, hiệu, tích, thương số hữu tỉ số hữu tỉ
Gọi A = p/q ; B = m/n số hữu tỉ ( p,q,m,n thuộc Z; q,n,m khác khơng)
Có A + B = (mq + np )/nq
A.B = pm/qn Là số hữu tỉ A/B = pn/qm
Gọi : A số hữu tỉ ; B số vô tỉ Đặt : S = A + B
P = A.B
a Giả sử S số hữu tỉ Ta có B = S-A số hữu tỉ Vơ lí ! Vậy S phải số vô tỉ
b Tương tự giả sử P số hữu tỉ Ta có B = P/A số hữu tỉ Vơ lí Vậy P số vơ tỉ
c Giả sử x số hữu tỉ Dễ dàng chứng minh X3; 3x2; 8x số hữu tỉ 10\/2 số vô tỉ (theo b) nên x3 + 3x2+8x+10\/2 số vô tỉ Dẫn đến số vơ tỉ Vơ lí ! Vậy nghiệm x phương trình số vơ tỉ (Phương trình bậc ba ln có nghiệm thực )
Bài tốn :
Có a,b số hữu tỉ nên a - b = (\/a - \/b)( \/a + \/b ) số hữu tỉ Do
\/a + \/b (1) số hữu tỉ nên (a-b)/( \/a+\/b) = \/a-\/b (2) số hữu tỉ
Cộng (1) (2) 2\/a số hữu tỉ nên \/a số hữu tỉ Tương tự chúng minh
(14)Bài tốn :
Ngồi cách dựng nêu tạp chí THPT dựa vào định lý mở đầu định lý Pitago để có cách dựng sau :
K KA2 = AB.AC
KA = \/AB.AC = \/1(1+\/2
A B 1+ 2 C
Qua tập giáo viên khái quát cách dựng đoạn thẳng \/x dựng đoạn thẳng x
K
A B C
1 x
Qua tập này, hoàn toàn dựng đoạn thẳng \/ ; \/3; \/x mà khơng cần dựa vào tính chất đường chéo hình vng hay đường cao tam giác
Bài toán ngược : cho đoạn thẳng có độ dài x Dựng đoạn thẳng có độ dài x2
Bài toán :
Câu a,b : Biến đổi biểu thức dấu thành bình phương biểu thức
Câu c : Chú ý việc phân tích a+1/2 = a+1/4 + (1/2)2 để đưa biểu thức dấu dạng bình phương tổng
Phối hợp với việc sử dụng đẳng thức a2 - b2 để tập công việc mà giáo viên cần làm
Bài toán :
Rút gọn biểu thức : A = (\/2 +1 )2( \/2 +1)( \/2 -1) = (\/22 +2\/2+1 )( \/22 -1) = \/16 + 2\/8 + \/4 -\/4 -2\/2 - =
(15)= \/ \/m\/m = \/ \/ \/m = \/ m = \/ m
Bài toán :
Thực áp dụng đẳng thức a2 - b2 tính từ cuối Kết qủa : \/2 Bài tốn :
Có : \/ 1+ 2\/5 + = \/ \/5 + Vậy \/ + \/20 = \/\/5 +1
Một số toán so sánh A với B cách so sánh A2 với B2 tính A-B Giáo viên cần sưu tầm thêm dạng tập
Bài toán :
a Thực tính A2 rút gọn A2 = nên A = 2. b Thực tính B2 tương tự.
c Thực tính C3 , ý việc thay biểu thức C để đưa phương trình : C3 + 3C -14 = 0
C3 - + 3C - = 0 (C-2)(C2 +3C+7) = 0
Giải phương trình nghiệm C =
Bài toán 10 :
Tương tự , tính X3 = thay biểu thức X rút gọn để : X3 +3bX - 2a= 0.
Bài toán 11 :
a Thực việc nhóm nhân lượng liên hợp để trục bậc hai
b Thực biến đổi nhân với lượng liên hợp
\/3 + \/2. \/3 + \/2
\/3-\/2 để trục mẫu
Bài tốn 12:
a Tính từ cuối có 6+\/9 = Thực 1999 lần kết b Tương tự tính từ cuối kết :
Bài toán 13 : x
(16)Thực tính từ cuối A = \/ 1+ x -
Bài tốn 14 :
a Có : 1/ (\/ n +\/ n+1) = \/n +1 - \/ n
Thay vào ta A = \/ -\/ +\/ -\/ \/ 25 - \/24 = \/25 - \/ =
b Trục mẫu, rút gọn an = 1/\/ n -1/\/ n+1 S99 = 1/\/ -1/\/ +1/\/ 2-1/\/ 1/\/ 99 -1/\/ 100 = 1-1/10 = 9/10
Bài toán 15 :
a Do a,b khơng âm nên \/ a, \/ b có nghĩa
Có : ï( \/ a - \/ b )2 > 0 a + b -2\/ a. \/ b >0 a + b > 2\/ a.b b Aïp dụng :
a + b > 2\/ ab (1) b +c > 2\/ bc (2) c + a > \/ ac (3)
Nhân (1),(2),(3) vế theo vế (do hai vế không âm ) ta (a+b)(b+c)(c+a) > 8abc
c Bình phương hai vế (khơng âm )ta : (a+c)(b+d) > ab + cd + 2\/ ab. \/ cd
ab +cd +ab+cd > \/ abcd ( Đúng theo a.) d Aïp dụng :
Có : a1 + a2 > 2\/ a1a2
an-1 +an >2\/ an-1an
Nhân vế theo vế ( không âm ) n bất đẳng thức ta : (a1+a2)(a2+a3) (an-1an) > 2n\/ (a1.a2 an)2
(a1+a2)(a2+a3) (an-1an)> 2n Bài toán 16 :
(17)a2d2 + b2c2 > 2\/ a2b2c2d2 theo 15a Suy điều phải chứng minh. Aïp dụng :
Có : \/ (x2+y2)(32+44) > |3x +4y| (x2+y2)25 > 49 x2 +y2 > 49/25 Bài toán 17 :
Thực quy đồng, biến đổi tương đương để điều cần chứng minh
Bài toán 18 :
a Có : M2 = a + b + c +2\/ ab + 2\/ ac + 2\/ bc Nên : M2 < 3(a+b+c)
Vậy giá trị nhỏ a+b+c M2/3 b Có :
\/ 3x2 +6x+12 = \/ 3(x2+2x+1)+9 > (1) \/ 5x4 -10x2 +9 = \/ 5(x4-2x2+1)+4 > (2)
Cộng (1) (2) vế theo vế ta điều phải chứng minh c Aïp dụng :
Có : 3-4x-2x2 = - 2(x+1)2 >5
Kết hợp với b dấu “=” xảy để giải
Bài toán 19 :
Thực trục mẫu, rút gọn đưa phương trình vơ tỉ đơn giản : \/ x+3 - \/ x = để giải nghiệm x =
( Chú ý : Đối với thực thử lại để kết luận nghiệm đơn giản đặt điều kiện )
Baì tốn 20 :
Giải phương trình :
a x+ y + z -2\/ x-2 -2\/ y-3 - 2\/ z-5 -7 =0
(x-2) -2\/ x-2 + + (y-3 ) -2\/ y-3 +1 + (z-5) -2\/ z-5 +1 -3+10-7 =0 (\/ x-2 -1)2 + (\/ y-3 -1) + (\/ z-5 -1)2 = 0
Dễ dàng suy nghiệm từ phương trình dạng tổng bình phương khơng
b x+ y+ z -2\/ x -1 - 2\/ y -2 -\/ z -3 =0 Giải a c Điều kiện : x > 1; y >1
(18)x(y-1 -2\/ y-1 +1 ) + 2y(x-1 -2\/ x-1 + 1) = x (\/ y-1 - 1)2 + 2y(\/ x-1 -1)2 = 0
Cùng với điều kiện , dạng phương trình tổng bình phương khơng
Bài tốn 21:
a Xác định hàm số f(x) biết : f(x+2)+ = 2x -1
Đặt t = x + => x = t-2 ta có f(t) = 2(t-2) -1 = 2t -5 Vậy f(x) = 2x-5 hàm cần xác định
c Giải hoàn toàn tương tự hàm cần xác định : f(x) = x2 - x +1. Bài tốn 22 :
Tại a = có f(b) = f(0) Tại b= có f(a) = f(0)
Vậy f(a) = f(b) với a,b nên f(1999) = f(-1) = -1
Bài toán 23 :
a Vẽ đồ thị hàm số : cần xét đoạn để hàm bậc tương ứng.Vẽ đồ thị hàm đoạn
b Dựa vào đồ thị để tìm giá trị nhỏ Ngồi nhắc lại phương pháp tính giá trị nhỏ dựa vào bất đẳng thức |a| +|b| > | a+b|
c Dựa vào tương giao đồ thị hàm số với đường y = m để biện luận số nghiệm
Bài toán 24:
Thực vẽ đồ thị hàm số |y| = -|x| xét Chú ý |y|< nên xét y đoạn [-2,0] [0,2] Tương tự x
Bài toán 25 :
Xem đáp án trang 33
Bài toán 26 :
Thực đặt ẩn phụ X= 1/\/ 12x- ; Y = 1/\/ 4y +1 ; ĐK :
Hệ phương trình đưa hệ phương trình bậc thơng thường Thực giải sau giải phương trình vơ tỷ đơn giản để tìm nghiệm x,y
Bài tốn 27 :
a
(19)- Tính (x1+x2) +(x3+x4)+ (x5+x6) Từ tính x7 Lần lược tính ẩn cịn lại
b Cách giải tương tự câu a Chú ý việc tính x1 + x6 để tính x7 x2+ x7 để tính x1 dựa vào hai ẩn biết tìm ẩn lại
c Thực giải băng phương pháp
Bài toán 28 :
Aïp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, từ phương trình (1) ta : (x1-1)/9 = (x9-9) = ((x1 + x2 x9)-(1+2 +9 ))/(1+2+ +9)
Thay x1 + x2 x9= 90 để tính tỷ số Sau dễ dàng tính nghiệm
Bài toán 29 :
a Cộng phuơng trình hệ vế theo vế ta : (x+y+z )(a+2) = a2+a+1
Tính x+y+z Cùng với phương trình (1) để tính x, phương trình (2) để tính y, phương trình (3) để tính z
b Biến đổi hệ cho hệ : 1/x + 1/y = 1/m
1/x + 1/z = 1/n 1/y +1/z = 1/p
Dễ dàng giải hệ tìm 1/x, 1/y, 1/z để tìm x,y,z
Bài tốn 30 :
a Do: x1 nghiệm phương trình nên có ax12 + bx1 + c = 0.Nhân hai vế phương trình với x1n-2 để ax1n + bx1n-1 + cx1n-2 = (1)
x2 nghiệm phương trình nên có ax22 + bx2 + c = Nhân hai vế phương trình với x2n-2 để ax2n + bx2n-1 + cx2n-2 = (2)
Cộng (1) (2) vế theo vế để điều cần chứng minh
b Aïp dụng : Có 1+\/2 1-\/2 hai nghiệm phương trình x2 -x +1 = A = S6
Có S6 - S5 + S4 = S5 - S4 + S3 =
S3 -S2 +S1 =
Dễ dàng tính S1 = x1+x2
S2 = x12 +x22 = (x1 + x2 )2 -2x1x2
Lần lược thay vào đẳng thức ( từ ) để lần lược tính S3 , S4, S5 S6
(20)Bài tốn 31:
a Có hai nghiệm trái dấu : x1x2 < => (m+5)(m-1) < Thực xét dấu để tìm m
b Có hai nghiệm dương A >
S = x1 + x2 > P = x1x2 >
c Có nghiệm A =
Bài toán 32 :
Biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai : 3x2 -2(a+b+c)x +(ab+bc+ca) = 0
Lập A’ = 1/2( (a-b)2 +(a-c)2+(b-c)2) > nên phương trình ln có nghiệm.
Bài toán 33 :
Lập A = ( a2+b2-c2)2 - 4a2b2 = (a2+b2-c2 - 2ab)(a2+b2-c2+2ab) = ((a-b)2 -c2 )((a+b)2-c2)) = (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c) Do a,b,c ba cạnh tam giác nên a-b-c<0
a-b+c>0
a+b-c >0
a+b+c >0 A < nên phương trình vơ nghiệm
Bài toán 34 :
a Tổng tích nghiệm dựa vào định lý Viet b 1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/x1x2
c x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 d (x1 - x2 )2 = x12 + x22 - 2x1x2 e x1 - x2 = \/(x1 - x2 )2 Bài toán 35 :
a Lập chhứng minh A > với m
b Lập x12 + x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 theo m tìm giá trị nhỏ biểu thức
Bài toán 36 :
a x1 + x22 = (x1+ x2)2 -2x1x2 (x1 + x22)2 = x14 + x24 + 2x12x22 x14 + x24 = (x1 + x22)2 - 2x12x22 (x12- x22 )2 = x14 + x24 - 2x12x22 x12 - x22 = \/ (x12- x22 )2
b Gọi S tổng hai nghiệm phương trình (1) P tích hai nghiệm phương trình (1)
(21)c Phương trình cần lập có tổng hai nghiệm S/P; tích hai nghiệm 1/P
Bài tốn 37 :
a Giải phương trình với ẩn |x| sau tính x b Điều kiên : x >
Giải hai phương trình : x2-3x+2 = x-2 x2-3x+2 = -x+2 để tìm nghiệm. Bài tốn 38 :
a ĐK : x =/=
Có : x2 + 1/x2 = (x+1/x)2 - 2
Đặt t = x+1/x, phương trình viết thành :
t2 -2 + t = Giải phương trình bậc hai theo t, sau giải phương trình bậc hai theo x để tìm nghiệm
b Thu gọn vế trái cách thu gọn từ + 1/x Quy đồng mẫu đưa phương trình bậc hai để giải Thử lại để kết luận nghiệm
Bài toán 39 :
a Thực giải phương trình vơ tỷ bình thường b Đặt y = x+ 1, phương trình trở thành :
\/ y-2 + \/ 2-y = y2 - 6y - 1 ĐK y> ; y < => y =
y = khơng phải nghiệm phương trình nên phương trình vơ nghiệm
Bài tốn 40 :
x= khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2 ta : ( x2 + 1/x2) + 5( x+1/x) - 38 =
Có x2 + 1/x2 = (x+1/x)2 - 2
Đặt t = x+1/x , giải phương trình bậc hai theo t sau đưa phương trình t = x+1/x phương trình bậc hai để giải
Bài toán 41 :
x = -1 nghiệm phương trình Chia vế trái cho x +1 để biên đổi phương trình :
(x+1)(3x2 + 10x + 3) = 0
Giải phương trình (3x2 + 10x + 3) để tìm nghiệm cịn lại ( có ).
Chú ý : Các phương trình đối xứng bậc lẻ có bậc lớn ba chia cho x + ta phương trình đối xứng bậc chẵn nên hồn tồn giải
Bài toán 42 :
(x+1)(x+7)(x+3)(x+5) = (x2 + 8x + 7)(x2+8x + 15 ) =9
(22)(y - )(y+4 ) = y = 25 y = +
Giải phương trình bậc hai x2 +8x+ 11 = x2 +8x+ 11 = -5 để tìm nghiệm.
Bài tốn 43 :
Đặt y = x + phương trình viết thành : (y+1)4 + (y-1)4 = 2
Khai triễn rút gọn để phương trình trùng phương Giải phương trình trùng phương để tìm nghiệm y.Từ suy x
Bài toán 44 :
a Có : 2x2 +2 y2 + 2z2 = 54 2xy + 2xz +2 yz = 54
nên : (x-y)2 +( x-z)2 + (y-z)2 = => x = y = z từ đẽ dàng giải : x = y = z =
b Có : (x + y+ z )2 = x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz+2yz = 36 => 2xy + 2xz + 2yz = 24
Cùng với phương trình : x2 + y2 + z2 = 12 Giải tương tự a để nghiệm : x= y = z =
Bài toán 45 :
a Tách hệ thành hệ tương ứng với khoảng x,y để giải
b Biến đổi phương trình (1) dạng tích hai thừa số, với phương trình (2) thành lập hai hệ để giải
Bài toán 46 :
a.Đặt S = x+ y; P =xy S2 - 2P = 17 S + P =
Giải hệ tìm S,P X, y ngiêm phương trình x2 Sx+P = 0 b Giải tương tự
Bài toán 47 :
Trừ (1) cho (2) để : x2 - y2 -3(x-y) = -2(x-y) (x-y )(x+y -1) = Tách hệ thành hai hệ : x-y =
(23)Bài toán 48 :
y = suy 2x2 = 13
x2 = -6 Hệ vô nghiệm. Y=/=0 Đặt x = ty hệ phương trình viết : 2t2y2 - ty2 + 3y2 = 13
y2t2 + 4ty2 -2y2 = -6 y2(2t2 - t+3) = 13 y2(t2 +4t-2 ) = -6
(2t2 - t+3) = - (t2 +4t-2 ) 13
25t2 +46t - = Giải phương tình tìm t, thay x = t y vào trong hai phương trình để giải
Bài tốn 49 :
Có: + x > 2x = > y = 2x2 /1+x2 < 2x2/2x = x
Hay : y < x
Tương tự : z < y z < x => x = y = z = 1
Bài toán 50 :
Các xi phải dấu khác
Nếu x1, x2, x1999 nghiệm -x1, -x2 -x1999 nghiệm nên xét nghiệm dương
Có x + 1/x > nên xi = 1/2(xi+1+1/ xi+1)> (1) Cộng phương trình hệ vế theo vế ta : x1 + x2 + x1999 = 1/x1 + 1/x2 + + 1/x1999 (2) Từ (1) (2) suy xi = với i
(24)PHẦN IV : SƠ LƯỢC GIẢI CÁC ĐỀ THI
( Phần Đại số )
I Đề thi cấp huyện : Đề thi năm 1997-1998 :
- Câu (vòng 1) : a Rút gọn biểu thức :
A = \/ - \/ 12 + - 2\/ 13. \/ = \/ -(\/ 12 -1) = \/ -2\/ = \/ -1 b Thực trục mẫu :
= \/ +\/ = - (\/ 2+\/ 3)
\/ -\/ (\/ +\/ 3)( \/ -\/ 3)
C = -(\/ 2+\/ 3)+( \/ +\/ ) .+( \/ 1997 +\/ 1998 ) = \/ 1998 - \/
- Câu (vịng 1) : Phân tích đa thức thành nhân tử a K5 + K + 1
= K5 + K4 +K3 -K4-K3 -K2+K2+K+1 = K3(K2+K+1) -K2(K2+K+1) + (K2+K+1) = (K2+K+1)(K3-K2+1)
b m3 -6m2 +11m - 6
= m3 -m2 -5m2 +5m +6m -6 = m2(m-1) -5m(m-1) + 6(m-1) = (m-1)(m -3m -2m+6)
= (m-1)(m(m-3)-2(m-3)) = (m-1)(m-3)(m-2)
- Câu ( vòng 2):
ab+ac+bc = abc a+b+c
a2c + a2b+abc + b2a+b2c+abc+c2a+c2b = 0 a2(b+c) + ab(b+c) +ac(b+c)+bc(b+c) = 0 (b+c)(a2 + ab+ac+bc) = 0
(b+c)(a+b)(a+c) =
Trong ba thừ số có thừa số nên ba số có hai số đối
(25)b Xem toán 42
2 Đề thi năm 1998-1999 : (Thi vòng )
- Câu :
Đoạn \/ /2 : Dựng đường cao tam giác cạnh =1 Đoạn \/ : Dựng dường chéo hình vng cạnh =
Đoạn \/ : Dựng cạnh huyền tam giác vng có hai cạnh góc vng
\/ \/
Đoạn \/ : Dựng cạnh huyền tam giác vng có hai cạnh góc vng lần lược \/ ,
- Câu : a Tính A :
A2 = 16 + \/ (8+\/ 63 )(8 -\/ 63 ) = 18 A = \/ 18 = 3\/
b Tính B :
B = \/ 13+30\/ +\/ (2\/ 2)2 +1+4\/ 2 c Xem toán 12
- Câu :
ĐK : x,y =/= Đặt X = 1/x; Y = 1/y
Giải hệ phương trình bậc hai ẩn theo X,Y Từ suy x,y II Đề thi cấp tỉnh :
1 Đề năm 1993-1994 :
- Câu (Vòng 1) :
a Có : \/ (x2 - 6x+ 9) + + \/ 2(x2-6x+9) +9 = 5
\/ (x-3)2 + > 2
\/ (x-3 )2 +9 > 3
Dấu “=” xảy x =
b ĐK : a,b =/= x =/= -a-b, x=/=
Quy đồng ,khử mẫu biến đổi thành tích (xem câu 2,vịng ,đề 1997-1998 ) (x-a)(x-b)(a-b) =
Nếu a=b =/= phương trình có vơ số nghiệm
Nếu a=/=b =/= phương trình có nghiệm x= a ; x = b
- Câu (vòng ): a p(x) nguyên với x
Lấy x = p(0) = d nguyên
(26)Lấy x = 8a + 4b + 2c = p(2) -16 -d nguyên (3)
Có 2a+2b+2c nguyên 2b nguyên nên 2a + 4b + 2c nguyên (4) Trừ (3) cho (4) tta 6a nguyên
b p(1) = 14 + a13+b12+c1+d= 1993 (1) p(12) = 124 +a123+b122+c12+d = 1998.(2) Trừ (2) cho (1) ta :
124-14 + a(123-13)+b(122-12)+c(12-1)= 5
Vế trái chia hết cho 11 vế phải không chia hết cho 11 Vậy không tồn đa thức p(x) với hệ số nguyên để p(1) = 1993; p(12)=1998
- Câu 1( vòng 2):
Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình, ta có : x1 + x2 = -a => a2 = x12 +x22 +2x1x2
x1x2 = b+1 => b2 = x12x22 -2x1x2 +1
a2 + b2 = x12(1+x22) +(1+x2) = (1+x12)(1+x22)
x1; x2 số nguyên tố nên 1+x12 > ,thuộc Z nguyên; 1+x22>2, thuộc Z nên tích hợp sô ú
2 Đề năm 1994-1995 :
- Câu :(vòng 1)
a Đặt u = \/ 1/3 + x ; v = \/ 2/3 -x ta hệ : u3 + v2 = (1)
u = 1-v (2) Thay (2) vào (1) ta :
1-3v + 3v2- v3 +v2 = 1 v(- v2 +4v -3) = v =
v2 -4v +3 = v =
v = v =
Giải phương trình để tìm x Thử lại kết luận b Đặt A = 2x2 -2x+3 (1) Phương trình trở thành : 2x/ (A-3x) + 13x/(A+3x) =
2Ax + 6x2 + 13Ax - 39x2 = A2 - 54x2 6A2 - 15Ax -21x2 =
2A2 - 5Ax- 7x2 =0
Giải phương trình bậc hai theo A nghiệm : A1 = 7x/2
A2 = -x
Thay A vào (1) , giải phương trình bậc hai tìm nghiệm
(27)a f(x) - g(x) = - x2 Do x2 > nên giá trị nhỏ f(x) -g(x) 3(khi x = 0)
b x4 + = (x2 + 2)2 - 4x2 = (x2 +2 -2x)(x2+2+2x) x4 +x2 +1 = (x2+1)2 - x2 = (x2 +x+1)(x2-x+1) c Xem câu (vòng 1, năm 1997-1998 )
- Câu (vòng 1) : x + 2y - t = (1) 2x + y + t = 11 (2)
Cộng (1) (2) : x+ y = 5.(3) Lấy (1) -(3) : y - t = -1 => y = t-1 Lấy (2) -(3) : x + t = => x = -t
P = x2 + y + t2 = 36-12t+t2+t2-2t+1+t2 = 3t2 -14t +37 Dễ dàng đưa dạng bình phương để tìm giá trị nhỏ
- Câu (vòng 2):
a Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình có :
x12 + x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = (a-2)2 + 2(a+3) = a2 +
Tại a = phương trình có nghiệm nên tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ a = Giải phương trình với a = để tìm nghiệm
3 Đề năm 1995-1996 :
- Câu (vòng 1) :
VP = ab2c2 - ab2 - ac2 + a + ba2c2 - ba2- bc2+b+ ca2b2-ca2-cb2+b =
=bc(a+b+c) - ab2 - ac2 + ac(a+b+c) - ba2- bc2+ab(a+b+c) - ba2- bc2 +a+b+c = 3abc + a+b+c = 4abc
- Câu ( vòng 1):
Dễ thấy x2 = => x = + \/ nghiệm Cần chứng minh nghiệm
Nếu x2 > ta có \/ x2 +13 > \/ 16 = x4 >
x4 + \/ x2 +13 > 13 Vật phương trình khơng thể có nghiệm x mà x2 >3 ( -\/3>x>\/3 )
Nếu x2 < ta có \/ x2 +13 < \/ 16 = x4 <
x4 + \/ x2 +13 > 13 Vật phương trình khơng thể có nghiệm x mà x2 >3 ( -\/3<x<\/3 )
(Aïp dụng tính chất tăng hai hàm )
- Câu (vòng ):
Gọi x= d nghiệm ta có : ad2 + (b-1)d +c = (1) da+ db+ dc = d (2) Trừ (1) cho (2) ta : ad(d -1) -c(d-1) =
(28)Do d<1 nên d-1 > => ad = c Và a,c dấu (3) Mặc khác ta có : ad2 + (b-1)d + c - (a+b+c) = -1
a(d2 -1) +b(d-1) = d-1 (d-1)((d+1)a + b) = d-1 (d+1)a +b =
a,b dương.(4)
Từ (3) (4) ta a,b,c dấu dương
Do 0<d<1 ad = c nên a > c => a+a+b >a+b+c 2a + b >
4 Đề năm 1996-1997 :
- Câu (vòng ):
a Xem câu 2a vòng năm học 97-98 b Xem toán
- Câu (vòng 1) :
Từ 1/x2 + 1/y2 = 1/z2 => (x2+y2) = 2x2y2 (1) M= (x2+z2) (2y2 -z2) + (y2+ x2)(2x2-z2)
(2x2 -z2)(2y2 -z2)
= x2y2 +2z2(y2+x2) - z2(x2+y2+2z2) 4x2y2 - 2x2z2-2y2z2+z4 Thay (1) vào ta :
M = 2z2(x2+y2) + 2z2(y2+x2) - z2(x2+y2+2z2) z4
= 3( x2 + y2 ) - 2 z2
Có x2 + y2 = (x2 + y2)2 = x2 + y2 + > + xy = 2 z2 2x2y2 2y2 2x2 \/2 x\/2 y Vậy giá trị nhỏ M 3.2-2 =
- Câu (vòng 2):
a Xem câu 2b vịng năm 1993-1994 b Xem tốn
- Câu (vòng 2) : Đề năm 1997-1998 :
- Câu :(vịng 1) Xem tốn 18
- Câu :(vòng 1)
Rút gọn y = | x + | + | x-2| = | + | + | x -3 | Để y nguyên 3/x nguyên x x
suy x = + 1; +3 ( Khi hướng dẫn cho học sinh cần suy luận biểu thức nguyên suy biểu thức lại nguyên biểu thức cuối dãy suy luận 1/x )
(29)a Đặt X = x2 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn bình thường Sau suy x,y
b Đặt X = x2; Y = y2 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn bình thường Sau đó suy x,y
(Đề vòng II bị ) Đề năm 1998-1999 (Thi vòng ):
- Câu : Do xyz = nên :
= x = x + y + yz x + xy + xyz 1+ x + xy = xy = xy
+ z + xz xy + xyz + x2 yz 1+ x + xy P = + x + xy =
1 + x + xy
- Câu :
Thực quy đồng rút gọn biểu thức dấu ngoặc : x + 2\/x - 2x\/x -1 = 2\/x -
(1-x ) ( 1-x\/x ) 1- x\/x
A = + 2\/x - x - x\/x = 1+ x (1-\/x) = + \/x 1- x\/x 2\/x - - x\/x x + \/x + Có x + > 2\/x => x+1+\/x > 3\/x => \/x /(x+\/x+1) < 1/3
- Câu :
x = nghiệm Đặt y = tx ta hệ : 2x2 - 3tx2 + t2y2 = 3
x2 + 2tx2 - 2t2x2 = x2( 2-3t+t2 ) = 3 x2(1+2t-2t2) = 6
(1+2t-2t2) = 2( 2-3t+t2 ) 4t2 -8t +3 =
Giải phương trình bậc hai hai nghiệm x1 = 3/4 ; 1/4
Thay y = 3/4x; y = 1/4x vào phương trình hệ ban đầu Giải phương trình bậc hai tìm x Từ suy y
(30)