Không gian với cơ sở σ WHCP

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHƠNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ-WHCP Sinh viên thực hiện: TRẦN THỊ THU HIẾU Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHƠNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ-WHCP Sinh viên thực hiện: TRẦN THỊ THU HIẾU Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Chuyên ngành: Sư phạm Toán Lớp: 14ST ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp 14ST ủng hộ giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tác giả Trần Thị Thu Hiếu MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 1.3 Cơ sở sở lân cận không gian topo 14 1.4 Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ 1.5 Tiên đề đếm thứ hai 1.6 Ánh xạ liên tục 16 16 16 1.7 Một số định nghĩa 16 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ -wHCP 19 2.1 HỌ HCP, wHCP 19 2.2 Mối quan hệ họ WHCP họ HCP 27 2.3 Một số định lý không gian với sở σ-wHCP 36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích chuyên ngành tốn học Lý thuyết giải tích vơ phong phú Phần giải tích cổ điển tiêu biểu nghiên cứu vấn đề mang tính chất lý thuyết Đã có nhiều vấn đề nhiều người quan tâm : σ − HCP κ-mạng giới thiệu Gutherie đặc trưng không gian khả metric Sau đó, L.Foged giới thiệu đặc trưng không gian Lasnev Zinqiu Yun đưa mối quan hệ ℵ-không gian không gian với κ-mạng σ -HCP ; Ytanka giới thiệu đặc trưng không gian g -đếm thứ với κ-mạng σ -HCP Bên cạnh định lí metric hóa tính chất không gian σ wHCP vấn đề thu hút nhiều quan tâm Đầu năm 1950, Nagata Smirnov chứng minh: Không gian topo khả metric có sở hữu hạn địa phương.Vào năm 1975, Burke;Engelking Lutzer cho thấy rằng: Không gian topo khả metric có có sở σ -wHCP Do đó, thấy tầm quan không gian sở yếu σ họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu, góp ý hướng dẫn tận tình thầy Lương Quốc Tuyển,chúng định chọn vấn đề nghiên cứu là: Không gian với sở σ -wHCP" Đề tài nghiên cứu nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau : (1) Họ bảo tồn bao đóng di truyền (được viết tắt HCP, họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu (được viết tắt wHCP) (2) Mối quan hệ họ HCP wHCP (3) Định lí: Ánh xạ đóng khơng gian với sở σ -wHCP ánh xạ phủ compact (4) Định lí: Một không gian topo với sở σ -wHCP D-khơng gian Trong khóa luận chúng tơi nghiên cứu chứng minh lại số kết họ HCP, học WHCP số không gian đặc biệt κ-không gian, không gian Frechet, không gian dãy Với mục đích nghiên cứu trên, khóa luận chia làm chương với nội dung sau: Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương đưa số hệ thống lý thuyết để phục vụ cho tồn khóa luận Chương 2.Không gian với sở σ -wHCP Trước tiên giới thiệu họ HCP, họ WHCP họ σ -HCP, σ -wHCP thông qua định nghĩa Sau chúng tơi đưa số định lý,bổ đề, hệ quả, mệnh đề thể hiên tính chất họ HCP, họ WHCP mối quan hệ chúng Trong chương này, chứng minh hai định lí quan trọng Định lí ánh xạ đóng không gian với sở σ -wHCP ánh xạ phủ compact Định lí Khơng gian topo với sở σ -wHCP D- không gian Trong tồn khóa luận, cho khơng gian X ,Y ta hiểu X ,Y khơng gian topo quy ước tất ánh xạ liên tục, toàn ánh tất khơng gian T1 , quy cịn khái niệm, thuật ngữ khác khơng nói thêm hiểu thơng thường Để hồn thành đề tài giúp đỡ nhiều người Đầu tiên cho phép bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Lương Quốc Tuyển hướng dẫn tận tình suốt trình nghiên cứu đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo tổ Giải tích,Khoa Tốn, nhiệt tình giảng dạy Cuối cùng, cảm ơn tất bạn bè, đặc biệt bạn lớp 14ST động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót nội dung hình thức Vì vậy, tơi mong nhận lời bảo quí báu thầy góp ý bạn đọc Đà Nẵng,tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Thu Hiếu CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức topo đại cương, khái niệm tính chất chương chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo kiến thức topo đại cương, nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Sau ký hiệu sử dụng toàn luận văn N = {1, 2, }, ω = N ∪ {0} 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (1) ∅, X ∈ τ ; (2) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ ; α∈Λ (3) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ Khi đó, 1) τ gọi topo X 2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo 3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở 4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét Từ Định nghĩa ta suy 1) ∅, X tập hợp mở; 2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; 3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Định nghĩa 1.1.2 Giả sử τ1 , τ2 topo tập hợp X Ta nói τ1 mạnh τ2 hay τ2 yếu τ1 τ2 ⊂ τ1 Ví dụ 1.1.3 Giả sử X tập hợp, τ1 họ gồm tất tập X τ2 = {∅, X} Khi đó, • τ1 , τ2 topo X • τ1 mạnh τ2 • Trong (X, τ1 ), tập vừa đóng vừa mở Lúc này, ta nói τ1 topo rời rạc τ2 topo thô X Ví dụ 1.1.4 Giả sử (X, d) không gian metric τ = {A ⊂ X : A tập mở (X, d)} Khi đó, τ topo X ta nói τ topo sinh metric d Đặc biệt, X = R metric d khoảng cách thông thường R, nghĩa d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R, ta nói τ topo thơng thường R Định nghĩa 1.1.5 Giả sử A tập khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.6 Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Chứng minh (1) Giả sử X = {a, b, c} τ = ∅, X, {a}, {b, c} Khi đó, τ topo X {a, b} lân cận a {a, b} ∈ / τ (2) Giả sử U tập hợp mở x ∈ U Khi đó, ta lấy V = U , V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Điều chứng tỏ U lân cận x Bổ đề 1.1.7 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, giao hữu hạn lân cận A lân cận A n Ui Chứng minh Giả sử U1 , U2 , , Un lân cận A U = i=1 Khi đó, với i = 1, 2, , n, tồn Vi ∈ τ cho A ⊂ Vi ⊂ Ui n Vi , V ∈ τ Như vậy, ta đặt V = i=1 A ⊂ V ⊂ U Điều chứng tỏ U lân cận A Nhận xét 1.1.8 Giao họ tùy ý gồm lân cận A khơng lân cận A Chứng minh Giả sử R tập hợp gồm số thực với topo thông thường τ , 1 An = − , n n với n ∈ N 28 Do đó,tồn x ∈ X cho {Aα : α ∈ J} \ x∈ {Aα : α ∈ J} Vì X không gian Frechet nên tồn dãy S⊂ {Aα : α ∈ J} hội tụ đến x Khi đó,ta chọn họ đếm {Aαn : n ∈ N} ⊂ {Aα : α ∈ J} {Aαn : n ∈ N} chứa dãy {xn : n ∈ N} S , Aαn phân biệt Aαn chứa phần tử xn Từ tính chất wHCP P x ∈ {xn : n ∈ N} suy cho x∈ {xn : n ∈ N} ⊂ Điều mâu thuẫn với x ∈ / {Aα : α ∈ J} {Aα : α ∈ J} Vậy P họ HCP X (2) ⇒ (3) Nhờ Bổ đề 2.1.2 (3) ⇒ (4) Theo Nhận xét 2.1.2 (4) ⇒ (1) Giả sử P khơng họ wHCP Khi đó, tồn tai λ ⊂ Λ α ∈ Λ tồn xα ∈ Pα cho {xα : x ∈ Λ } = {xα : α ∈ Λ } Mặt khác, P ⊂ P nên (∗) mâu thuẫn với tính chất wHCP P Vậy P họ wHCP X 29 Hệ 2.2.2 Giả sử X không gian Frechet P họ tập X Khi khẳng định sau tương đương (1) P họ σ -wHCP; (2) P họ σ -HCP; (3) P = {P : P ∈ P} họ σ -HCP; (4) P = {P : P ∈ P} họ σ -WHCP Chứng minh Suy trực tiếp từ Đinh lý 2.2.1 Bổ đề 2.2.3 Không gianX khả metric X thỏa mãn tiên đề đếm thứ có k -lưới đóng σ -HCP Hệ 2.2.4 Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian metric; (2) X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ có k−lưới đóng σ -HCP; (3) X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ có k− lưới đóng σ -wHCP Chứng minh (2) ⇒ (3) Nhờ hệ 2.2.2 (1) ⇐⇒ (3) Nhờ bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.5 Khơng gian quy X khả metric X có sở σ -HCP Hệ 2.2.6 Đối với không gian quy X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian metric; (2) X khơng gian Frechet có sở σ -wHCP; (3) X có sở σ -HCP 30 Chứng minh (1) ⇒ (2) Vì X khơng gian metric nên X không gian Frechet với sở σ -hữu hạn địa phương Hơn nữa, họ σ -hữu hạn địa phương họ σ -wHCP Vậy X không gian Frechet với sở σ -wHCP (2) ⇒ (3) Nhờ Hệ 2.2.2 (3) ⇒ (1) Nhờ Bổ đề 2.2.5 Mệnh đề 2.2.7 Giả sử P phủ gồm tập đóng khơng gian dãy X Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) P hữu hạn địa phương; (2) P điểm-hữu hạn HCP; (3) P điểm-hữu hạn wHCP Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử ngược lại P không điểm-hữu hạn HCP Khi đó, tồn x ∈ X cho {P ∈ P : x ∈ P có vơ hạn phần tử Do đó, ta suy tồn lân cận U x cho {P ∈ P : P ∩ U = ∅} họ vô hạn Điều mâu thuẫn với tính hữu hạn địa phương P Vậy P điểm-hữu hạn HCP (2) ⇒ (3) Giả sử P họ HCP X cho với x ∈ X ta ln có {P ∈ P : x ∈ P } họ có hữu hạn phần tử Khi đó, theo Nhận xét 2.1.1, ta suy P họ wHCP X cho với x ∈ X ta ln có {P ∈ P : x ∈ P } có hữu hạn phần tử Vậy P điểm-hữu hạn wHCP (3) ⇒ (1) Giả sử ngược lại, P không phủ hữu hạn địa phương X Khi đó, tồn x ∈ X cho với lân cận U x ta có 31 {P ∈ P : P ∩ U = ∅} họ vơ hạn Vì P hữu hạn theo điểm x nên họ {P ∈ P : x ∈ P } có hữu hạn phần tử Đặt F = P \ {P ∈ P : x ∈ P } F) = ∅, với lân cận U x Do đó, x ∈ F Mặt khác, x ∈ / F nên F khơng đóng X Hơn nữa, X khơng gian dãy nên tồn dãy S ⊂ F ,hội tụ đến y ∈ / F Khi đó, với P ∈ F , P đóng, S → y y ∈ / P nên P chứa nhiều hữu hạn phần tử dãy S Vì , ta chọn dãy phân biệt {xk : k ∈ N} S họ đếm {Pk : k ∈ N} ⊂ F} cho với k ∈ N Pk chứa phần tử xk dãy {xk : k ∈ N} Từ tính chất wHCP P suy U ∩ ( y∈ {xk : k ∈ N} ta suy y∈ {xk : k ∈ N} ⊂ Điều mâu thuẫn với u ∈ / F F Vậy P họ hữu hạn địa phương X Hệ 2.2.8 Giả sử P phủ wHCP gồm tập đóng khơng gian dãy X Khi đó: D = {x ∈ X : P khơng hữu hạn địa phương x} đóng rời rạc X Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.7 ta suy D = {x ∈ X : P không điểm-hữu hạn x} Áp dụng tiếp Bổ đề 2.1.5 suy điều phải chững minh 32 Bổ đề 2.2.9 Giả sử X không gian dãy P = {Pα : α ∈ Λ} họ wHCP Khi đó, P lưới, P : α ∈ Λ} họ HCP Chứng minh Giả sử ngược lại P không họ HCP Suy tồn J ⊂ Λ α ∈ J , tồn Aα ⊂ Pα cho {Aα : α ∈ Λ} = {Aα : α ∈ J} Do đó, {Aα : α ∈ J} tập khơng đóng X Vì X khơng gian dãy nên tồn dãy phân biệt {xn : n ∈ N} ⊂ {Aα : α ∈ Λ} hội tụ đến x∈X\ {Aα : α ∈ J} Đặt K = {x} {xn : n ∈ N} Khi đó, với n ∈ N, K \ {xn } tập đóng X nên Un = X \ (K \ {xn }) lân lận mở xn Mặt khác, P lưới nên n ∈ N, tồn Pn ∈ P cho xn ∈ Pn ⊂ Un Từ tính chất wHCP P x∈ {xn : n ∈ N} suy x ∈ {xn : n ∈ N} ⊂ Điều mâu thuẫn với x ∈ / Vậy P họ HCP {Aα : α ∈ J} {Aα : α ∈ J} 33 Hệ 2.2.10 Giả sử X không gian dãy P lưới X Khi đó, P wHCP P HCP Chứng minh (1) Điều kiện đủ Hiển nhiên (2) Điều kiên cần Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} họ wHCP X Khi theo Bổ đề 2.2.9 suy P = {Pα : α ∈ Λ} họ HCP Khi hiển nhiên P họ HCP X Ta có định lý sau để trả lời cho câu hỏi (2) mục Đinh nghĩa 2.1.1 Định lí 2.2.11 Giả sử P họ gồm tập X Khi đó, P họ HCP, P họ wHCP Chứng minh Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} họ HCP không gian X Ta cần chứng minh P = {Pα : α ∈ Λ} khơng họ wHCP Khi đó,tồn Λ ⊂ Λ α ∈ Λ , tồn xα ∈ Pα cho {xα : α ∈ Λ } khơng đóng X Do đó, tồn x ∈ X cho x ∈ {xα : α ∈ Λ \ {xα : α ∈ Λ } Vì xα ∈ / x với α ∈ / Λ nên tồn lân cận mở Uα xα Vα x cho Uα ∩ Vα = ∅ Mặt khác, xα ∈ Uα ∩ Pα ⊂ Uα ∩ Pα với α ∈ Λ , nên x ∈ {xα : α ∈ Λ } ⊂ {Uα ∩ Pα : α ∈ Λ } Hơn nữa, Uα ∩ Pα ⊂ Pα với α ∈ Λ nên từ tính chất HCP P ta suy {Uα ∩ Pα : α ∈ Λ } = kéo theo {Uα ∩ Pα : α ∈ Λ } {Uα ∩ Pα : α ∈ Λ } tập hợp đóng X Do đó, 34 {Uα ∩ Pα : α ∈ Λ } = {Uα ∩ Pα : α ∈ Λ } (∗) Cuối cùng, x ∈ {Pα ∩ Pα : α ∈ Λ } nên từ (∗) ta suy tồn α ∈ Λ cho x ∈ Uα ∩ Pα Từ suy Vα ∩ Uα ∩ Pα = ∅ kéo theo Uα ∩ Vα = ∅ Điều dẫn đến mâu thuẫn Uα ∩ Vα = ∅ Vậy P họ wHCP Bổ đề 2.2.12 Giả sử X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ P họ gồm tập X Khi đó, P họ wHCP, P họ HCP Chứng minh Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ } họ wHCP Ta cần chứng minh P họ HCP Thật vậy, giả sử ngược lại P khơng họ HCP Khi đó, tồn Λ ⊂ Λ với α ∈ Λ , tồn Hα ⊂ Pα cho {Hα : α ∈ Λ } = {Hα : α ∈ Λ } Suy tồn x ∈ X cho x∈ {Hα : α ∈ Λ } \ {Hα : α ∈ Λ } Vì X khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên tồn dãy {xn } ⊂ {Hα : α ∈ Λ } cho xn hội tụ đến x Khơng tính tổng quát ta giả sử xn = xm với n = m x = xn với n ∈ N Đặt K = {x} {xn : n ∈ N Nếu tồn α ∈ Λ cho K ∩ Hα vơ hạn x ∈ K ∩ Hα ⊂ Hα 35 Điều dẫn đến mâu thuẫn Nếu α ∈ Λ cho K ∩ Hα hữu hạn,thì tồn α1 ∈ Λ n1 ∈ N cho xn1 ∈ Hα1 Vì K ∩ Hα1 hữu hạn nên tồn n2 > n1 α2 ∈ Λ \ {α1 } cho xn2 ∈ Hα2 Theo phương pháp quy nạp,ta chọn dãy {xnk } ⊂ {xn } dãy phân biệt {Hαk : k ∈ N} ⊂ {Hα : α ∈ Λ } cho xnk ∈ Hαk Cuối cùng, P họ wHCP nên ta suy x ∈ xnk : k ∈ N} = {xnk : k ∈ N} Điều dẫn đến mâu thuẫn với x = xn , với n ∈ N Vậy P họ HCP Hệ 2.2.13 Giả sử X k−không gian P = ∞ n=1 Pn họ gồm tập đóng X Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) P họ σ -wHCP (2) P họ σ -HCP Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.2.13 ∞ Hệ 2.2.14 Giả sử X không gian dãy P = Pn họ gồm n=1 tập đóng X Khi đó, khẳng định sau tương đương ∞ (1)P = Pn họ σ -wHCP n=1 ∞ (2)P = Pn họ σ -HCP n=1 Chứng minh Nhờ Hệ 2.2.14 Nhận xét 1.7 36 2.3 Một số định lý không gian với sở σ -wHCP Trong mục này,chúng chứng minh hai định lý quan trọng nêu đầu chương Định nghĩa 2.3.1 Một tập hợp P không gian X gọi lân cân dãy X dãy {xn } hội tụ đến x, tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P Định nghĩa 2.3.2 Giả sử P = {Px : x ∈ X} phủ không gian X thỏa mãn điều kiên (a) (b) sau với x ∈ X (1) Px lưới x, nghĩa với lân cận mở U x X , tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ U Khi đó, Px gọi lưới x với x ∈ X (2) Nếu P1 , P2 ∈ Px , tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 Khi đó, ta có định nghĩa sau đây: (1) P sở yếu X G ⊂ X , G mở X với x ∈ G tồn P ∈ Px cho P ⊂ G Khi đó, Px gọi sở lân cận yếu x X tập hợp Px lân cận yếu x (2) Không gian X g -khả metric (sn-khả metric) X có sở yếu (tương ứng,sn-lưới) σ -hữu hạn địa phương Định nghĩa 2.3.3 (V anDowen, 1979) Không gian topo X D-không gian cho họ tập mở X có dạng {G(x) : x ∈ X} với x ∈ X ,x ∈ G(x),tồn tập đóng rời rạc D X cho ∪{G(x) : x ∈ D} phủ X 37 Định nghĩa 2.3.4 Giả sử f : X → Y ánh xạ Khi đó, (1)f ánh xạ compact , f −1 (y) tập compact X với y ∈Y (2)f ánh xạ phủ-compact, với tập compact Y ảnh tập compact Y ảnh tập compact X (3)f ánh xạ phủ-dãy, dãy hội tụ Y ảnh dãy hội tụ X Định lí 2.3.5 Cho f : X → Y ánh xạ đóng, P = {Pn : n ∈ N} họ σ -wHCP Khi đó,f (P) = {f (P) : p ∈ P} họ σ -wHCP ∞ Chứng minh Giả sử P = Pn họ σ -wHCP X , n=1 Pn = {Pα : α ∈ Λn } họ wHCP với n ∈ N Với n ∈ N, đặt ∞ Pn∗ Pn∗ ∗ = f (Pn ),P = n=1 Ta chứng minh Pn∗ họ wHCP Y Thật vậy, giả sử ngược lại tồn n ∈ N cho Pn∗ khơng họ wHCP Y Khi đó, Pn∗ không họ wHCP nên tồn J ⊂ Λn với α ∈ J tồn yα ∈ f (Pα ) cho {yα : α ∈ Λn } = {yα : α ∈ Λn } (∗) Mặt khác, với α ∈ Λn ,tồn xα ∈ Pα cho f (xα ) = yα Bởi Pn họ wHCP nên ta có {yα : α ∈ Λn } = {yα : α ∈ Λn } Suy f ( {xα : α ∈ J}) = Do f ánh xạ đóng nên {f (xα ) : α ∈ J} {yα : α ∈ J} tập đóng Y Vì 38 {yα : α ∈ J} = {yα : α ∈ J} (∗) Điều mâu thuẫn với (∗) Vậy Pn họ σ -WHCP Y Định lí 2.3.6 Không gian với sở σ -wHCP D-không gian Chứng minh Giả sử B = ∪{Bn : n ∈ ω}-cơ sở σ -wHCP; {G(x) : x ∈ X} phủ mở X : x ∈ G(x); ∀x ∈ X Vì B -cơ sở nên ∀x ∈ X, ∃B(x) ∈ B : x ∈ B(x) ⊂ G(x) ⇒ {B(x) : x ∈ X} phủ mở X Đặt Bn = {B(x) : B(x) ∈ Bn } ⇒ B n ⊂ Bn ⇒ B n họ wHCP,với n ∈ ω Bây giờ, xây dựng tập đóng, rời rạc D ⊂ X ∀B ∈ B , ∃xB ∈ B : B(xB ) = B Đặt D1 = {xB : B ∈ B } ⇒ D1 đóng rời rạc (wHCP) D2 = {y ∈ X : X \ ∪{B(x) : x ∈ D1 }, B(y) ∈ B } D3 = {y ∈ X : y ∈ \ ∪ {B(x) : x ∈ D1 ∪ D2 }, B(y) ∈ B } n−1 Dn = {y ∈ X : y ∈ X \ ∪{B(x) : x ∈ Di }, B(y) ∈ B n } i=1 n ∗ Nếu ∃n ∈ ω : X = ∪{B(x) : x ∈ Di } i=1 n ⇒ Đặt D = Di với D đóng, rời rạc X = ∪{B(x) : x ∈ D} i=1 n ∗ Nếu n ∈ ω : X = ∪{B(x) : x ∈ Di } i=1 39 n Đặt Dn+1 = {y ∈ X \ ∪{B(x) : x ∈ Di , B(y) ∈ B n+1 } i=1 ∞ Đặt D = Di Khi đó: i=1 ⊕ X = ∪{B(x) : x ∈ D} Thật vậy,lấy x ∈ X suy x ∈ G(x) ⇒ ∃B(x) ∈ B : x ∈ B(x) ⊂ G(x) ⇒ ∃n ∈ ω : B(x) ∈ Bn ⇒ B(x) ∈ B n n−1 ·x∈ / ∪{B(x) : x ∈ Di } ⇒ x ∈ Dn ⊂ D i=1 n−1 · x ∈ ∪{B(x) : x ∈ Di } i=1 n−1 ⇒ ∃y ∈ Di ⊂ D : x ∈ B(y) i=1 ⇒ x ∈ ∪{B(y) : y ∈ D} ⊕ D hữu hạn địa phương (với x ∈ X ,tồn lân cận V x:{d ∈ D : d ∈ Vx } hữu hạn ⇒ V ∩ D hữu hạn Thật vậy, với z ∈ X ; gọi m ∈ ω nhỏ nhất:z ∈ B(xz ), xz ∈ Dm Khi đó, m V = B(xz \ Di ∪ {xz } i=1 lân cận mở z z ∈ X = ∪{B(x) : x ∈ D} ⇒ ∃xz ∈ D : z ∈ B(xz ) Mặt khác, xz ∈ D ⇒ ∃m ∈ ω : xz ∈ Dm Chọn m nhỏ z ∈ B(xz ).Chứng minh:z ∈ / m i=1 Di · z ∈ Di , i < m ⇒ xz = z(z ∈ B(z)) ⇒ i = m (mâu thuẫn) · z ∈ Dm 40 41 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau Tìm hiểu chứng minh số tính chất họ HCP wHCP, tìm hiểu khơng gian với sở σ -wHCP số không gian đặc biệt như:k -khơng gian,khơng gian dãy Tìm hiểu chứng minh số định lý quan trọng không gian với sở σ -wHCP D-không gian Do hạn chế thời gian kiến thức nên số kết khóa luận trích dẫn dạng bổ đề,khơng chứng minh có thích tài liệu tham khảo 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] C.Liu D.Lugwing (2017), “Space with σ -wHCP Bases”, Topology proceeding, Department of Mathematics and Statistics Auburn University,Alabama 36849,USA, Auburn University, tr 559-565 [2] I Ikeda, C Liu and Y Tanaka (2002), Quotient compact images of metric spaces, and related meters, Topology and its Applications 122, 237-252 [3] S Lin (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Chinese Science Press, Beijing [4] Y Tanaka, Y Ge (2006), Around quotient compact images of metric spaces, and symmetric spaces, Houston Journal of Mathematics 32, 99–117 ... ánh xạ đóng khơng gian với sở σ -wHCP ánh xạ phủ compact Định lí Khơng gian topo với sở σ -wHCP D -không gian 2.1 HỌ HCP, wHCP Mục dành cho việc trình bày tính chất không gian HCP wHCP Định nghĩa... 1.7 Nhận xét Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai⇒ Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất⇒ Không gian Frechet⇒ Không gian dãy ⇒ k -khơng gian 19 CHƯƠNG KHƠNG GIAN VỚI CƠ SỞ σ- WHCP Trước tiên... (∗) Vậy Pn họ σ -WHCP Y Định lí 2.3.6 Khơng gian với sở σ -wHCP D -không gian Chứng minh Giả sử B = ∪{Bn : n ∈ ω} -cơ sở σ -wHCP; {G(x) : x ∈ X} phủ mở X : x ∈ G(x); ∀x ∈ X Vì B -cơ sở nên ∀x ∈