Phan tich DTTNT

NhiÒu khi trong viÖc gi¶i bµi to¸n chøng minh ®¼ng thøc , chøng minh mét biÓu thøc cã mét tÝnh chÊt nµo ®ã ..... Chøng minh bÊt ®¼ng thøc..[r]

Th viện SKKN Nguyễn Đình Thắng http://violet.vn/dongquang2

A/ đặt vấn đề.

I/ LÝ luËn chung

Hiện nhà trường việc ôn tập bồi dưỡng cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi quan tâm thích đáng trở thành mũi nhọn mục tiêu phấn đấu chất lượng Đối với mơn Tốn cơng việc quan tâm đặc biệt

Việc bồi dưỡng học sinh giỏi có thuận lợi : Giáo viên có trình độ chuyên môn, trách nhiệm, học sinh ham học , thông minh, sách tham khảo phong phú Bên cạnh thuận lợi nêu bỏ ngỏ mặt phương pháp bồi dưỡng, ôn luyện cho học sinh chủ động phát huy mặt tích cực nhằm nâng cao chất lượng dạy học Chất lượng học tập học sinh phải thể kết làm Do việc giải toán không dừng lại yêu cầu như: xác mặt kiến thức , logic, suy luận mà cịn địi hỏi có tìm tịi, khai thác toán nhiều mức độ khác Việc khai thác có tác dụng làm cho học sinh nắm vững, khắc sâu kiến thức Nắm vấn đề có tính khái qt

II/ Lí chọn đề tài

Phân tích đa thức thành nhân tử chiếm thời lượng kiến thức lớn nội dung chương trình đại số bậc trung học sở Học sinh bắt đầu làm quen với dạng toán từ năm học lớp sử dụng suốt năm học cuối cấp bậc trung học sở sau Giải toán "phân tích đa thức thành nhân tử" việc làm có ích nội dung chương trình ứng dụng vào việc: Giải phương trình, bất phương trình bậc cao, chứng minh đẳng thức,bất đẳng thức,

Trong chương trình đại số 8, học sinh tiếp xúc số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: Đặt nhân tử chung, sử dụng đẳng thức, nhóm thích hợp hạng tử Xong nhiều với phương pháp trình bày sách giáo khoa học sinh khó thực toán nâng cao Hơn số đề thi học sinh giỏi cấp bậc trung học sở nội dung kiến thức lại vượt nội dung sách giáo khoa Mặt khác chưa thoả mãn ham muốn khám phá học sinh giỏi tốn

vµo làm việc trình bày nhiều hạn chế toán nâng cao

Vì lí tơi chọn đề tài " Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng "

B/néi dung

i C¸c kiÕn thøc liªn quan

1.1 Đa thức phân tích đa thức khơng phân tích được Trong vành đa thức R[x] với R trường số thực,đa thức bậc dương f(x,y z) gọi phân tích có ước khơng tầm thường với hệ số trường

Ngược lại đa thức có ước tầm thường gọi đa thức bất khả quy(hay gọi đa thức nguyên tố)

VÝ dơ

Ví dụ 1: Các đa thức bậc khơng phân tích Ví dụ 2: Đa thức x2

+1 khơng phân tích trường số thực phân tích trường số phức :

x2 + = x2 - (-1) = x2 -i2 = (x-i)(x+i) VÝ dô 3: §a thøc x2

-2 khơng phân tích trường số hữu tỉ lại phân tích trng s thc, vỡ:

Định lý:

Đa thức f(x) trường số k cho trước biểu diễn dạng tích đa thức khơng phân tích trường số phân tích tức :

f(x) = f1(x)f2(x) fk(x) (Trong fi(x) (i=1,k) khơng phân tích được)

* Chó ý: Các đa thức bất khả quy quy ước gọi đa thức không phân tích

Ví dụ: Ta coi phân tích đa thức:3x2-5x-2 cách:

Việc phân tích đa thức thành nhân tử nhiều cần áp dụng việc tìm nghiƯm cđa ®a thøc

1.2 NghiƯm cđa đa thức Định nghĩa: ) )(x -(x -x

-x2   

Cho f(x)  k[x], k trường Số a (a k) gọi nghiệm đa thức f(x) f(a)=0

Từ định nghĩa ta có tính chất sau: Định lí 1: ( định lí BơZu)

Giả sử K trường, f(x) K[x], cK Khi f(c) dư phép chia f(x)

cho (x-c) Hệ 1:

Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x-a f(a)=0 HƯ qu¶ 2:

Nếu đa thức f(x) ( bậc lớn 1) có nghiệm x=a trường K phân tích trường

:

Định lí 2: ( Định lý đại số học cổ điển ) Mọi đa thức với hệ số phức có nghiệm số phức

*Trong đề tài trường K xét trường số ta có mt s tớnh cht sau:

Định lý 3:

Trong vành R[x] có đa thức bậc đa thức bậc có dạng : ax2+bx+c với =b2-4ac<0 không phân tích

Hệ qu¶:

Mọi đa thức bậc lẻ với hệ số thực có nghiệm thực Nghĩa là: Mọi đa thức bậc lẻ hệ số thực phân tích trường số thực

*Chó ý: §a thức bậc có phân tích

1.3 Các đẳng thức đáng nhớ

a (a+b)2=a2+2ab+b2

b (a-b)2=a2-2ab+b2 c a2-b2 =(a-b)(a+b)

d a3-b3 = (a-b) (a2+ab+b2)

e an-bn =(a-b)(an-1+an-2b+ +abn-2+bn-1) g a3+b3 = (a+b) (a2-ab+b2)

h an+bn =(a+b)(an-1-an-2b+ -abn-2+bn-1)

II Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp dựa trực tiếp vào luật phân phối : a(b+c)=ab+ac

1.1VÝ dô

a 2x2+x=x(2x+1): Đặt x làm nhân tử chung b A= 2ax2+4bx2y+2x2(ax-by)

Đặt 2x2 làm nhân tử chung ta có : A= 2x2(ax+2by+ax-by)=2x2(2ax+by)

1.2 Bµi tËp vËn dơng.

Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 12x2-18xy2-30y3

b 16x2(x-y)-10y(y-x)

2 Phương pháp dùng đẳng thức

áp dụng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi tổng, hiệu thành tích

2.1 VÝ dơ : a x2-4 =x2-22=(x-2)(x+2)

b x2+2xy+y2-25=(x+y)2-52=(x+y+5)(x+y-5)

2.2 Bài tập vận dụng.

Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (x-y)2-(y-z)2

b x3-36x2y+54xy2-27y3 C 4a2b2-(a2+b2-c2)2

3 Phương pháp nhóm hạng tử

Phương pháp thường dùng cho đa thức cần phân tích thành nhân tử chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức mà sau nhóm hạng tử hoăc biến đổi sơ nhó3m lại xuất đẳng thức có nhân tử chung

3.1 VÝ dô :

a xy-yz-y+z= (xy-xz)- (y-z )= x(y-z)- (y-z) = (y-z)(x-1)

= (x+y)2- (z-1)2= (x+y-z+1)(x+y+z-1) 3.1 Bµi tËp vËn dụng.

Phân tích đa thức sau thành nhân tö a 5x2-5xy-10x+10y

b.x3-x2y-x2z-xyz c.2x2+2y2-x2z+z-y2z-2 d.(a2+b2)xy+(x2+y2)ab

4.Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử thêm bớt hạng tử

Phương pháp nhằm biến đổi đa thức tạo hạng tử thích hợp để nhóm sử dụng đẳng thức:

4.1 VÝ dô: a 5x2+6xy+y2

Cách 1: tách 6xy thành 5xy +xy có:

5x2 + 6xy + y2 = (5x2+ 5xy)+ (xy + y2 ) = 5x( x+y)+ y( x+y) = (5x+y)(x+y)

C¸ch 2: Thêm 4x2 vào 5x2 bớt 4x2 ta có : 5x2 + 6xy + y2

= 9x2+ 6xy+y2- 4x2

= (9x2+ 6xy+y2)- 4x2

= 3x+y)2-(2x)2= (5x+y)(x+y) 4.2 Bµi tËp vận dụng

1.Phân tích đa thức sau thành nhân tử a P = ab(a-b)+bc(b-c)+ac(a-c)

b x3+3x2-4 c x5+x+1 d.x7+x2+1

2 Tìm số tự nhiên n để biểu sau số nguyên tố: a n3-4n2+4n-1

b n3+6n2+9n-2

5 Phương pháp dùng phép chia đa thức

Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)khi khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) thương phép chia: f(x): g(x) )

Xét ví dụ : Phân tích đa thức 5x2 + 6xy + y2 thành nhân tư (sư dơng phÐp chia ®a thøc)

Coi đa thức đa thức biến x (y tham sè) XÐt f(-y) = 5y2+6y2+y2 =

Vậy f(-y) = nên đa thức f(x) chia hÕt cho (x+y)

Thực chia đa thức : 5x2 + 6xy + y2 cho x+y thương : 5x+y Vậy 5x2 + 6xy + y2 = (5x+y)(x+y)

* Đối với đa thøc f(x)= anx n

+an-1x n-1

+ +a 1x+a0 có nghiệm hữu tỉ p/q p ­íc cđa a0 ,q lµ ­íc cđa an

5.1 Ví dụ :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4-2x3+x2-4

Đa thức có nghiệm hữu tỉ nghiệm ước cđa ¦(4) = -+ 4; -+2; -+1

Thấy x=-1 nghiệm nên : x4-2x3+x2-4= (x+1)(x3-3x2+4x-4) Mà g(x) = x3-3x2+4x-4 cã x=2 lµ nghiƯm

Do vËy g(x) = (x-2)(x2-x+2)

Víi ®a thøc : x2-x+2 cã  = 1-8 = -7 < nên đa thức không phân tích R

Do vËy: x4-2x3+x2-4 = (x+1)(x-2)(x2-x+2) 5.2 Bµi tËp vËn dụng

Phân tích đa thức sau thành nh©n tư a 2x3-5x2+8x-3

b 2x3+5x2+5x+2 c.1+6x-6x2-x3

6.Phương pháp dùng ẩn số phụ

Dựa vào đặc điểm đa thức cho ta đưa vào nhiều biến để đa thức trở thành đơn giản Phương pháp thường sử dụng để đưa đa thức bậc đa thức bậc mà ta phân tích dựa vào tìm nghiệm đa thức bậc

6.1 VÝ dụ

Ví dụ a: f(x) = (2x2+3x+5)2+5(2x2+3x+5)+6 Đặt : 2x2+3x+5 = t ta cã f(t) = t2+5t+6

Dễ dàng phân tích f(t) = (t+2)(t+3) từ ta có : f(x) = (2x2+3x+7) (2x2+3x+8)

Suy f(t) = t2-16-9 = t2-25 = (t-5)(t+5) Do vËy : f(x) = (x2+8x-16) (x2+8x-6) 6.2 Bµi tËp vận dụng.

Phân tích đa thức sau thành nh©n tư a (x2+x)2+4x2+4x=12

b 6x4-11x2=3

c (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-24 Giải phương trình:

a (x2+2x+3)2-9(x2+2x+3) +18 = b (x-1)(x+1)(x+3)(x+5) =

7 Phương pháp hệ số bất định

Phương pháp hệ số bất định thường sử dụng để xác định đa thức biết số điều kiện định

Phương pháp vận dụng trực tiếp tính hẳng đẳng hai đa thức :

Ta cho hệ số đơn thức đồng dạng hai đa thức đẳng để biết phương trình mà ẩn số hệ số cần xác định

Giải hệ thống phương trình ta tìm hệ số đa thức cần xác định

7.1 VÝ dô 1:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3-5x2+8x-3 phương pháp hệ số bất định

Giả sử : 2x3-5x2+8x-3 phân tích dạng : (ax+b)(cx2+dx+e) Thực phép nhân : (ax+b)(cx2+dx+e)

= acx3+(ad+bc)x2+(ae+bd)x+be Đồng hệ số đồng dạng ta :

ac = ad+bc = -5 ae+bd =

be = -3 Gi¶i ta : a=2;b=-1 ;c=1 ,d=-2 ;e=3 Vậy : 2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3)

7.2 Bµi tËp vËn dơng

Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp hệ số bất định

a 3x2-22xy-4x+8y+7y2+1 b x4+6x3+11x+6x=1

8 Phương pháp xét giá trị riêng 8.1 ví dụ

Ta xÐt toán sau:

Phân tích đa thức thành nhân tử : P = ab(a-b)+bc(b-c)+ac(a-c) Nếu thay a bëi b ta cã: P = 0+bc(b-c)-bc(b-c) =0

Do vËy P chia hÕt cho a-b Do vai trß a,b,c đa thức P nên P chia hÕt cho (a-b)(b-c)(c-a)

Đa thức P đa thức (a-b)(b-c)(c-a) có bậc tập hợp biến nên :

P =k (a-b)(b-c)(c-a) (k số)

Ta cho biến nhận giá trị riêng: a=2; b=1; c=0 ta được: 2.1.1+0+0= k.1.1(-2) => k=-1

VËy P=(a-b)(b-c)(c-a) 8.2 Bµi tËp vËn dơng

Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng

III./øng dơng cđa việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán

1 Gii phng trỡnh bc cao Xét đa thức: f(x)= anx

n +an-1x

n-1

+ + a1x+a0(n  3) Để tìm nghiệm đa thức f(x) ta giải phương trình : anxn+a

n-1x

n-1+ + a

1x+a0 =0

Đối với phương trình bậc lớn ta khơng có cơng thức tìm nghiệm chương trình ph thụng

Vậy ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử có bậc bậc mà ta tìm nghiệm công thức:

f(x) = f1(x).f2(x) fk(x) cã f(x)=0 fi(x)=0 (i=1,2, ,k) 1.1 VÝ dô

VÝ dô a:

Giải phương trình: x3+3x2-4=0

Đa thức: x3+3x2-4 tổng hệ số nên có nghiệm x=1 tức đa thức x3+3x2-4 chia hết cho x-1 Thực phép chia: x3+3x2-4 cho x-1 ta thương x2+4x+4 hay (x+2)2

Nên phương trình: x3+3x2-4=0  (x-1) (x+2)2=0 x-1=0 x=1

 x+2=0  x=-2

Vậy phương trình cho có nghiệm x1 =1; x2=-2 ,

VÝ dô b :

Giải phương trình : (x2+x)2+4x2+4x-12=0 Đặt: x2+x= t ta có phương trình: t2+4t-12=0

Phân tích đa thức t2+4t-12 thành nhân tử ta được: t2+4t-12=(t+6)(t-2) ta có phương trình : (x2+x+6)( x2+x-2)=0

Tiếp tục phân tích đa thức x2+x-2thành nhân tử ta được: x2+x-2=(x-1)(x+2)

Vy phng trỡnh cho viết sau: (x-1)(x+2)(x2+x+6)=0  x=1 x=-2 1.2 Bài tập đề nghị

Giải phương trình sau a 5x2-4(x2-2x+1)-5=0 b x4-4x34x-1

2 Giải bất phương trình bậc cao Giả sử giải bất phương trình :

anx n

+an-1x n-1

+ + a1x+a0  (n 2) Ta phân tích đa thức f(x)= anxn+a

n-1x

n-1+ + a

1x+a0 thành nhân tử : f1(x);f2(x); ;fk(x) ta có bất phương trình f1(x).f2(x) fk(x) 

Đưa giải bất phương trình dạng tích cách xét dấu Ta xét số ví dụ sau :

2.1 VÝ dơ

VÝ dơ a:

Giải bất phương trình : x2+5x+6

Ta phân tích đa thức x2+5x+6 thành nh©n tư

x2+5x+6 = (x2+2x)+(3x+6)= x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3) Ta có bất phương trình : (x+2)(x+3)>0

Bất phương trình tương đương với : x+2>0 x>-2

x+3>0 x>-3

  x>-2 x+2<0 x<-2 x<-3 x+3<0 x<-3

Vậy bất phương trình có nghiệm x>-2 x<-3

VÝ dơ b:

Giải bất phương trình : x4-5x3+7x2-5x+6<0 Ta có : x4-5x3+7x2-5x+6 = x4-5x3+6x2+x2-5x+6 = x2(x2-5x+6)+ (x2-5x+6) = (x2-5x+6)(x2+1)

Phân tích đa thức x2-5x+6 thành nhân tử ta : (x2-5x+6) = (x-2)(x-3)

Vậy bất phương trình cho tương đương với bất phương trình sau: (x-2)(x-3)(x2+1) <

 ( x-2)(x-3) < (v× x2+1>0x)

x-2>0 x>2 x-3<0 x<3

   2<x<3 x-2<0 x<2

x-3>0 x>3

2.2 Bài tập đề nghị.

Giải bất phương trình a x2-7x+10<0

b x4-5x+1>0

3 Các toán chứng minh đẳng thức ,biểu thức

Nhiều việc giải toán chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức có tính chất ta sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi đẳng thức biểu thức

Ta xÐt mét sè vÝ dô sau : 3.1 VÝ dô

VÝ dô a:

Chøng minh r»ng : (a+b+c)3-(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(a+c)

Ta biến đổi vế trái cách phân tích đa thức sau thành nhân tử : (a+b+c)3-(a3+b3+c3) = (a+b)3+c3+3(a+b)c (a+b+c)- a3-b3-c3

= a3+b3+c3+3ab(b+a)+3 (a+b)(a+b+c)c- a3-b3-c3 = 3(a+b)(ab+bc+ac+c2)

= 3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] =3(a+b)(b+c)(a+c) VËy: (a+b+c)3-(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(a+c)

VÝ dô b: Chøng minh nÕu a+b+c=0 thì: a3+b3+c3=3abc Giải

Do a+b+c=0 => c= -(a+b) nên a3+b3+c3 = a3+b3- (a+b)3 Ta phân tích đa thức a3+b3- (a+b)3 thành nhân tử

Ta cã a3+b3- (a+b)3 = a3+b3-a3-3a2b -3ab2-b3 = -3ab(a+b)

= -3ab(-c) = 3abc

VËy : a3+b3+c3 = 3abc víi a+b+c = VÝ dô b:

Chøng minh r»ng  x  Z th× biĨu thøc :

P = (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + số phương Giải

Ta phân tích đa thức P thành nhân tử P= (x-1)(x-6)(x-3)(x-4) +

= (x2-7x+6) (x2-7x+12) + = [(x2-7x+9)-3][ (x2-7x+9)+3]+9 = (x2-7x+9)2-9+9

Do xZ nªn (x2-7x+9)Z => (x2

-7x+9)2 bình phương số nguyên

Vậy P số phươngxZ Ví dụ c:

Chøng minh r»ng víi x,ynguyªn biĨu thøc:

M=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y4 số phương Giải:

M= x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y4 = (x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4

= [(x2+5xy+5y2)-y2][(x2+5xy+5y2)+y2] +y4 = (x2+5xy+5y2)2-y4+y4

= (x2+5xy+5y2)2

Do x,yZ nªn x2+5xy+5y2Z

Suy M = (x2+5xy+5y2)2.là số phương Ví dụ d

Chøng minh r»ng nÕu: a+b+c=0 th×: a3+b3+c3=3abc Chøng minh:

Ta biến đổi vế trái cách phân tích vế trái thành nhân tử: (a+b+c)3- (a3+b3+c3)= ( a+b )3+c3+3(a+b)c (a+b+c)-a3-b3-c3 = a3+b3+c3+3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c- a3-b3-c3

= 3(a+b)(ab+bc+ac+c2) = 3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] =3(a+b)(b+c)(a+c)

Vậy (a+b+c)3- (a3+b3+c3)= 3(a+b)(b+c)(a+c) 3.2 Bài tập đề nghị

1 Gi¶ sö a,b,c  Z chøng minh r»ng:

[(a-c)2+(b-d)2](a2+b2)-(ad-bc)2 số phương Chứng minh nếu:

th×:

4.Chøng minh tÝnh chia hÕt Ta xÐt mét sè vÝ dô sau :

41 VÝ dô VÝ dô a :

Chøng minh A =n3-n chia hÕt cho  n Z

2003 2003

2003 2003

) (

1

1

c b a c

b

Gi¶i:

Ta có n3-n = n(n2-1) = n(n-1)(n+1) n  Z nên A tích số nguyên liên tiếp A chia hết cho

VÝ dô b:

Chøng minh M = m3(m2-7)2-36m chia hÕt cho 5040 víi  m lµ sè nguyên

Giải :

Ta có M = m3(m2-7)2-36m = m [m(m2-7)]2-62 = m[m(m2-7)-6] [m(m2-7)+6]

= m(m3-7m-6) (m3-7m+6)

Ta có (m3-7m-6)= m3-9m+2m-6 = m(m2-9)+2(m-3) = (m-3)[m(m+3)+2] =( m-3)(m2+3m+2)=(m-3)[m(m+2)+(m+2)] = (m+1)(m+2)(m-3) Tương tự ta có: m3-7m+6 = (m-1)(m-2)(m+3) Vậy M = (m+1)(m+2)(m+3)m(m-1)(m-2)(m-3)

Do m Z nên M tích số nguyên liên tiếp M chia hết cho: 2.3.4.5.6.7=5040

VËy M chia hÕt cho 5040

VÝ dô c : Chøng minh r»ng biÓu thøc A sau :

Có giá trị nguyên với n Z Giải

Ta cã :

Mµ: n3+3n2+2n= n(n2+3n+2)=n[n(n+2)+(n+2)]=n(n+1)(n+2)

Do n số nguyên nên n(n+1)(n+2) tÝch cđa ba sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho (2,3)=1

Suy ra: n(n+1)(n+2) chia hÕt cho 2.3=6 hay n(n+1)(n+2) =6k (kZ)

Suy A= k mµ k lµ số nguyên nên biểu thức có giá trị nguyên nZ(đpcm)

4.2 Bi ngh

1 Chøng minh r»ng ®a thøc : z2+y(2x-y)-x2 chia hÕt cho

6

3

n n n

 

6

2

2 3

n n n n n

n  

  

6 6

3

k n n n

®a thøc : x-y+z

2 Chứng minh đa thức :(a2+3a+1)2-1 chia hết cho 24 với  a  Z Chứng minh hiệu bình phương số lẻ chia hết cho Cho : x+y=1; x3+y3=a; x5+y5=b Chứng minh : 5a(a+1)=9b+1 Chứng minh : 20+21+ +25n-2 +25n-1

chia hết cho 31 n  Z+ 5 Chứng minh bất đẳng thức

Ta xét số ví dụ việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào chứng minh bất đẳng thức sau:

5.1 VÝ dô VÝ dô a:

Chứng minh rằng: Nếu a,b, c độ dài ba cạnh tam giác : A=(b2+c2-a2)2-4b2c2 ln âm

Chứng minh :

Ta phân tích đa thức A thành nhân tử

Ta có A= (b2+c2-a2)2-4b2c2=(b2+c2-a2)2- (2bc)2

= (b2+c2-a2-2bc) (b2+c2-a2+2bc) = [(b2-2bc+c2)-a2][(b2+2bc+c2)-a2]

= [(b-c)2-a2][(b+c)2-a2]2

= (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a) VËy A= ( b-c-a) (b-c+a) (b+c-a) (b+c+a)

Do a.b.c độ dài ba cạnh tam giác nên b-c-a <

b-c+a >0  A< (§PCM) b+c-a >0

b+c+a>0 VÝ dô b:

Chøng minh : P= (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+9 không âm x R Gi¶i :

Ta cã : P= (x-1)(x-6)(x-4)(x-3)+9 = (x2-7x + 6) (x2-7x + 12) +9

Đặt: (x2-7x + 9)= t Ta có P= (t-3)(t+3)+9= t2-9+9=t20  t VËy:P= (x2-7x + 9)2  víi x (§PCM)

5.2 Bài tập đề nghị:

a Chøng minh r»ng:

y/xz(x+z)+1/y(x+y)(x+z)(1/x+1/y) b Chøng minh r»ng :

(ac-bc)2 (a2

-b2)(c2-d2)

6 Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa mét biĨu thøc Ta xÐt mét sè vÝ dô sau :

6.1 VÝ dô

Tìm giá trị lớn nhỏ biÓu thøc sau: N= (x2+3x+2) (x2+7x+12)+2003

Gi¶i:

Trước hết phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2+3x+2) (x2+7x+12)

Ta có (x2+3x+2)= (x2+2x)+(x+2)=x(x+2)+(x+2)= (x+2)(x+1) (x2+7x+12) = x2+4x+3x+12=x(x+4)+3(x+4)=(x+3)(x+4) Khi ú N=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+2003

=(x+1)(x+4)(x+3)(x+2)+2003 = (x2+5x+4) (x2+5x+6)+2003

Đặt (x2+5x+5)=t Ta cã N= (t-1)(t+1)+2003= t2-1+2003= t2+2002 VËy t2 0 víi t  N2002

Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ 2002 t=0 hay (x2+5x+5)=0 khi:

6.2 Bài ngh

Bài

a Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: (x+1)(x+2)(x+5)(x+6) +15

b Tìm giá trị lớn biĨu thøc sau: (1-x)(x-2) (x-3)(x-4) -3

Bµi

Tìm số k lớn thoả mãn bất đẳng thức: (x2+10x+24)(x2+8x+15)  k

7 Giải phương trình nghiệm ngun : 7.1 Ví dụ a:

Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mÃn : x+y=xy Gi¶i :

Ta cã xy=x+y  xy-x-y+1=1 x(y-1)-(y-1)=1 (x-1)(y-1)=1 Do x,y nguyªn nªn ta cã :

x-1=1 hc x-1=-1

2 5   x

y-1=1 y-1=-1 Suy (x=2;y=2) hc (x=0;y=0)

Vậy cặp số nguyên (x,y) cần tìm (2;2) (0;0) 7.2 Bài tập đề nghị.

Bµi

Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn phương trình sau; a x2=y2+2

b xy-3x-2y-7=0 c xy+2x+y= -2 Bµi

Giải phương trình nghiệm nguyên: {{x+2}-3}=1

Rút gọn biểu thức : Xét phân thức đại số :

Trong f(x,y, z) ; g(x,y, ,z) 0 đa thức chứa biến x,y, ,z

Để rút gọn biểu thức A ta thường phân tích đa thức f(x,y, z) ; g(x,y, ,z) thành nhân tử

Chia c¶ : f(x,y, z) ; g(x,y, ,z) cho nhân tử chung 8.1 VÝ dơ

VÝ dơ 1:

Rót gän biĨu thøc :

Gi¶i : TX§: xy

VÝ dơ 2:

Cho a,b,c số thực đôi khác rút gọn:

Gi¶i :

Ta phân tích mẫu thành nhân tử:

a2+ac-b2-bc=(a2-b2)+(ac-bc)=(a-b)(a+b)+c(a-b)= (a-b)(a+b+c) Tương tự: b2+ab-c2-ac= (b-c)(a+b+c)

c2+bc-a2-ab = (c-a)(a+b+c)

Do mẫu chung : MC=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) Vậy :

8.2 Bài tập đề nghị Bài 1: cho a,b,c  :

H·y tÝnh:

Bµi :chøng minh r»ng: c2+2(ab-ac-ac)=0 ,b  0, a+c  th× :

) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 2

2 ac b bc c a b ba c ac a b c bc a ab

a c b A                0 ) ( ) ( ) (         MC MC c b b a a c A 2 c ab b ac a bc

M  

Iv mét sè bµi tËp vËn dơng Bµi 1:

Cho biểu thức A=a4-6a3+27a2-54a+32 a phân tích đa thức A thành nhân tử

b Chng minh rng A luụn số chẵn ( a  Z) Hướng dẫn:

a A= a4-6a3+27a2-54a+32

= a4-a3-5a3+22a2+5a2-22a-32a-32 = a3(a-1)-5a2(a-1)+22a(a-1)-32(a-1) = (a-1)(a3-5a2+22a-32)

Mµ a3-5a2+22a-32= a3-2a2-3a2+6a+16a-32 = a2(a-2)-3a(a-2)+16a(a-2) = (a-2)(a2-3a+16)

Xét a2-3a+16 có =9-4.6=-15<0 ú a2

-3a+16 không phân tích R Vậy A=(a-1)(a-2)(a2-3a+16)

b Do aZ nên (a-1)(a-2) tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho

Suy A chia hÕt cho  A=2k (kZ) VËy A lµ sè chẵn với aZ Bài 2:

Chng minh với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thì: N= 2a2b2+2b2c2 +2a2c2-a4-b4-c4 ln dương

Hướng dẫn :

Cã N= 4a2b2-(a4+2a2b2+b4)+2b2c2+2a2c2-c4 =4a2b2-(a2+b2)2+2c2(b2+a2)-c4

=(2ab)2-(a2+b2-c2)2=(2ab- a2-b2+c2)(2ab+ a2+b2-c2) =[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2]

=(c-a+b)c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

Ta thấy a,b,c độ dài ba cạnh tam giác theo bất đẳng thức tam giác suy bốn nhân tử dương Vậy N>0

Bµi

Trong mặt phẳng cho ba điểm A,B,C phân biệt đặt AB=c; AC=b; BC=a Chứng minh : Nếu phương trình ẩn x sau:

b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0 có nghiệm kép ba điểm A,B,C thẳng hàng : Hướng dẫn :

Do A,B,C ph©n biƯt suy AC 0  b20 Cã =(b2+c2-a2)2-4b2c2

áp dụng tập phần ta có = (a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a) Do a+b+c  nên xảy ba trường hợp :

Hc (b+c-a)=0 a=b+c BC=AC+AB Anằm B,C (a+b-c)=0 c=a+b AB=BC+AC Cnằm B,A hoặc(b-c-a)=0  b=a+c  AC=BC+AB  B n»m gi÷a A,C VËy A,B,C thẳng hàng

Bài 4:

Cho ®a thøc P = (x+y)(y+z)(x+z) a.ph©n tÝch đa thức P thành nhân tử

b.Chứng minh : x,y.z nguyên (x+y+z) chia hÕt cho th× Q = (P-3xyz) chia hÕt cho

Hướng dẫn:

a Cã P = [(x+y+z)-z][ (x+y+z)-y][ (x+y+z)-x] + xyz

= (x+y+z)3- (x+y+z)2 (x+y+z) + (x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz+xyz =(x+y+z) (xy+yz+xz)

b Do: (x+y+z) :  P :

§Ĩ chøng minh Q : ta Chøng minh 3xyz :  xyz :

ThËt vËy: (x+y+z) : 6 (x+y+z) :  (x+y+z) số chẵn x,y,z lẻ ba số x,y,z chẵn xyz số chẵn xyz :

VËy: 3xyz : Bµi

Chứng minh : (n5-5n3+4n) chia hết cho 120  n Z Hướng dẫn:

Ta cã:

n5-5n3+4n = n(n4-5n2+4n) = n[(n4 4n2)-(n2-4)] = n[n2(n2-4)-(n2-4)] = n(n2-4)(n2-1) = n(n-1)(n-2)(n+1)(n+2)

Do nZ n(n-1)(n-2)(n+1)(n+2) tích năm số nguyên liên tiÕp nªn chia hÕt cho 2.3.4.5=120

VËy: n5-5n3+4n chia hÕt cho 120 Bµi

Chứng minh rằng: a+b+c+d =0 : a3+b3+c3+d3=3(ac-bd)(b+d) Hướng dẫn

Tõ gi¶ thiÕt : a+b+c+d =0 a+c=- (b+d)(a+c)3= -(b+d)3  a3

+c3+3(a+c)ac=-b3-c3-3(b+d)bd thay a+c=-(b+d) ta được: a3+b3-3(b+d)ac=-b3-c3-3(b+d)bd

C/ KÕt luËn

Trong đề tài chứng tỏ khả vận dụng quan điểm hoạt động vào lĩnh vực cụ thể là: Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng

Đề tài tơi trình bày phương pháp giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử dựa nguyên tắc: Đảm bảo tính khoa học, tính logic, tính sư phạm tính hiệu

Trong trình trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chúng tơi ý đến phương diện sau :

- Phù hợp với trình độ khác học sinh từ trung bình đến giỏi

- Phù hợp với quan điểm hoạt động học tập tức phân chia hoạt động từ thấp đến cao,từ đơn giản đến phức tạp Từng bước nâng cao yêu để đạt tới hoạt động vận dụng tổng hợp ,phức tạp Phát huy lực tư toán học cho học sinh

Trên sở kinh nghiệm năm dạy học vận quan điểm hoạt động vào việc phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Những nội nghiên cứu tơi trước hết bổ ích cho thân tài liệu tham khảo tốt cho bạn đồng nghiệp cho học sinh Đương nhiên kết đề tài có sức thuyết phục chúng minh chứng thực nghiệm sư phạm Đó ý định tác giả đề tài

Lời cuối xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp đóng góp ý kiến q báu cho đề tài này.Đặc biệt chân thành cảm ơn tổ Tốn lý Trường THCS Đơng n - Quốc Oai -Hà Nội trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành đề tài

Đông Yên ,ngày :10-01-2010 Người thực hiện:

Nguyễn Đình Thắng