Đang tải... (xem toàn văn)
Trong phần này giới thiệu một số dạng BĐT lấy từ các kỳ thi IMO mà cách giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số trong BĐT cauchy. Thực chất kỹ thuật này cũng chí[r]
(1)GV: Nguyễn Việt Hải
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
(Theo cách gọi chung giới BĐT cơsi có tên BĐT AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means).)
Ví dụ
Với Chứng minh (Chứng minh toán cách áp dụng cosi cho hai số)
Bài giải
BĐT cho tương đương với
Ta có (đpcm)
Ta có tốn mạnh VD2 Ví dụ
Với Chứng minh: Bài giải
BĐT cần chứng minh tương đương với (đpcm) Ví dụ
Với Chứng minh: Ví dụ
Với Chứng minh: Bài giải
BĐT tương đương với Ta có
Bất đẳng thức AM-GM:
Với số thực dương ta có BĐT
(2)GV: Nguyễn Việt Hải Cộng BĐT ta suy đpcm
Ví dụ (BĐT Nesbitt)
Chứng minh với số thực khơng âm ta có
Bài giải
Bài tốn giải nhiều cách, là cách giải tương ứng Xét biểu thức sau
Ta có N + K = Mặt khác áp dụng BĐT AM-GM
Suy hay
Tương tự giải tốn sau Ví dụ (BĐT Nesbitt biến)
Chứng minh với số thực không âm ta có
Bất đẳng thức AM-GM suy rộng
(3)GV: Nguyễn Việt Hải BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giả sử số thực dương cho Chứng minh
với số nguyên dương k ta có bất đẳng thức:
Bài (IMO Shortlist 1998) Với số thực dương có tích CMR
Bài Cho số thực dương Chứng minh
Bài Với Chứng minh
Áp dụng giải toán sau:
4.1 Với Chứng minh rằng:
4.2 Với Chứng minh rằng:
Bài Cho Chứng minh rằng:
1
2
3
Tổng quát: Ta có (Với ) Các em lưu ý
sự liên hệ số mũ Áp dụng BĐT để giải số toán sau Ví dụ: Chứng minh rằng:
Bài Cho Chứng minh rằng:
a
b
Bài Cho Chứng minh rằng:
Bài
a Cho Chứng minh rằng:
b Cho
Chứng minh rằng:
c Cho
(4)GV: Nguyễn Việt Hải
Bài Cho Chứng minh rằng:
Bài 10 Cho Chứng minh rằng:
Bài 11 Cho
Là hoán vị số Chứng minh rằng:
Bài 12
a Chứng minh rằng:
b Cho ,
Chứng minh rằng:
KỸ THUẬT TÁCH VÀ GHÉP BỘ SỐ
Trong năm gần đây, thấy có nhiều dạng BĐT đề thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia nhiều nước giới Rất nhiều toán BĐT xuất phát từ phép biến đổi biểu thức đối xứng theo kiểu (đặc thù) khác
Trong phần giới thiệu số dạng BĐT lấy từ kỳ thi IMO mà cách giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép điều chỉnh hệ số BĐT cauchy Thực chất kỹ thuật kỹ thuật thứ tự điều chỉnh hệ số theo trình gần theo nhóm
Tính chất Với Ta có:
…
Bài Cho Chứng minh rằng:
Giải Ta có
Từ ta suy đpcm
Bài Cho Chứng minh rằng:
Giải
Áp dụng BĐT cauchy ta có:
(5)GV: Nguyễn Việt Hải Suy
Bài (MO Romanian) (Cho Chứng minh rằng:
Giải Đặt Ta có:
Mặt khác:
Suy đpcm Bài tập tương tự:
1 Cho Chứng minh rằng:
2 Cho Chứng minh rằng: Cho Chứng minh rằng:
4 Cho hai số dương Chứng minh rằng:
5 Cho Chứng minh rằng:
Tổng quát: Với Hãy tìm GTNN biểu thức sau: