Bài giảng Đồ họa máy tính: Đường cong và bề mặt I cung cấp cho người học các kiến thức: Biểu diễn các đối tượng cong, mô tả một đường cong và bề mặt, bài toán xấp xỉ tổng quát, một số ràng buộc,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Đồ họa máy tính Đường cong bề mặt I 2/17/17 Biểu diễn đối tượng cong • • Bằng tham số Qua ẩn phương trình 2/17/17 Tại lại dùng tham số? l l Các đường cong tham số linh hoạt Chúng không cần phải hàm – Đường cong có nhiều giá trị ứng với tọa độ x Số lượng tham số thường cho thấy chiều vật thể (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) l 2/17/17 Mô tả đường cong bề mặt l l Mơ hình hóa đối tượng cách xác với sai số cho phép Mơ hình theo kiểu phác thảo gần 2/17/17 Bài toán xấp xỉ tổng quát l Hàm g xấp xỉ tốt với tính chất sau: Hàm g gần f theo tính chất Các hệ số ci 2/17/17 Bài toán xấp xỉ tổng quát l Cho tập cố định hàm φ1, φ2, …, φk, tìm hệ số ci cho: k g ( x) = å ciji ( x) i =1 phép tính xấp xỉ hàm f(x) Hàm φi thường gọi hàm sở (basic function) 2/17/17 Xấp xỉ bình phương tối thiểu l Hàm g(x, c1, c2, …, ck) mà tối thiểu E (c1 , c2 , , ck ) = å ( f ( x j ) - g ( x j ; c1 , c2 , , ck ) ) s j =1 gọi xấp xỉ bình phương tối thiểu (least squares approximation) hàm f(x) 2/17/17 Một số ràng buộc Những ràng buộc nội suy: g(xj) = f(xj) với số điểm xj cố định Kết hợp điều kiện (1) với điều kiện độ trơn, ví dụ điều kiện đạo hàm g f đồng điểm xj Các ràng buộc tính trực giao (f - g) • φi = với i Những ràng buộc hình dạng trực quan, ví dụ độ cong đường cong bề mặt 2/17/17 Đường cong tham số p : [a, b] ® R , p(u ) = ( p1 (u ), p2 (u ), , pm (u )) m với hàm thành phần pi p hàm giá trị thực thông thường với biến thực 2/17/17 Mô tả đường cong l Điểm điều khiển: – l Knots: – l Các đoạn cong qua điểm điều khiển Đường cong xấp xỉ (Approximating spline): – 10 Các điểm nằm đường cong Đường cong nội suy (Interpolating spline): – l Là tập điểm ảnh hưởng đến hình dạng đường cong Các điểm điều khiển ảnh hưởng đến hình dáng đoạn 2/17/17 Các đường cong B-Spline Knot Control point m = (P0 P9) m-1 knots m+1 control points m-2 curve segments 37 2/17/17 Các đường cong B-Spline Knot Control point P1 P3 Q3 P0 38 P2 2/17/17 Các đường cong B-Spline Knot Control point P1 P3 P4 Q4 P2 39 2/17/17 Các đường cong B-Spline l l Với i ³ , có knot Qi-1 Qi t = ti Điểm khởi tạo t3 tm+1 knot Ví dụ sau mô tả đường cong với điểm điều khiển P0 … P9: Knot Điểm điều khiển m=9 (10 điểm điều khiển) m-1 knots m-2 knot intervals 40 2/17/17 Các đường cong B-Spline l Đoạn Q3 xác định điểm P0 đến P3 với khoảng t3 = đến t4 = Knot Điểm điều khiển P1 P3 m=9 (10 điểm điều khiển) m-1 knots m-2 knot intervals Q3 P0 41 P2 2/17/17 Các đường cong B-Spline l Đoạn Q4 xác định điểm P1 đến P4 khoảng t4 = đến t5 = Knot Điểm điều khiển P1 P3 P4 m=9 (10 điểm điều khiển) m-1 knots m-2 knot intervals Q4 P2 42 2/17/17 Các đường cong B-Spline l l Có thể thấy khoảng t3 đến t4 khoảng đoạn có xuất hàm B-Spline t9 đến t10 khoảng cuối 43 m m+1 2/17/17 t Tạo đường cong X(t) Bên trái đường cong sinh t 44 t 2/17/17 Chúng ta đường cong tạo nên tổng có trọng số đường BSplines Độ mịn đường cong B-Spine? l l 45 Độ mịn tăng dần theo bậc đường Bspline Chúng ta làm giảm độ liên tục đường cong cách có nhiều knot trùng với nhau, ví dụ ti = ti+1= ti+2 = … 2/17/17 Đường B-Splines với nhiều knots điểm B0,4(t) B1,4(t) B2,4(t) B3,4(t) t i=0,1,2,3 46 2/17/17 Ví dụ tính liên tục B-Spline P0 P2 Với điểm điều khiển cho đoạn P1 47 P3 2/17/17 Ví dụ tính liên tục B-Spline P0 P2 P1 48 P4 P3 2/17/17 Ví dụ tính liên tục B-Spline P0 P3 Hai knot trùng Chỉ có tính liên tục C1 P1=P2 49 P4 2/17/17 Ví dụ tính liên tục B-Spline P0 P4 Ba knot trùng Chỉ có tính liên tục C0 P1=P2=P3 50 2/17/17 Tổng kết l l 51 Các đường cong bậc Các đường cong B-splines 2/17/17 ... pi(x), để v? ?i i chạy từ đến n-1, ta có: pi ( xi ) = yi pi ( xi +1 ) = yi +1 v? ?i i chạy từ đến n-1 ta có: pi' ( xi ) = pi' -1 ( xi ) pi'' ( xi ) = pi' '-1 ( xi ) 25 2/17/17 B? ?i toán n? ?i suy spline... đoạn [xi, xi+1] g? ?i nhịp (span) Một nút xi thỏa mãn ? ?i? ??u kiện xi-1 < xi = xi+1 = = xi+d-1 < xi+d xi coi nút d b? ?i S g? ?i đường spline tuyến tính, bậc hai hay bậc ba có bậc 1, hay 2/17/17 B? ?i toán... cong B-Spline Knot Control point P1 P3 P4 Q4 P2 39 2/17/17 Các đường cong B-Spline l l V? ?i i ³ , có knot Qi-1 Qi t = ti ? ?i? ??m kh? ?i tạo t3 tm+1 knot Ví dụ sau mơ tả đường cong v? ?i ? ?i? ??m ? ?i? ??u khiển