SKKNVAN DUC

Khi ứng dụng phần mềm GSP để giải quyết một bài toán về quỹ tích cho học sinh thì việc lý luận trở nên đơn giản vì tất cả các yếu tố chuyển động và sự thay đổi theo của các yếu tố hì[r]

(1)

Trang Tên đề tài:

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER ’S SKETCHPAD ( VIẾT TẮT GSP ) MINH HỌA CÁC BÀI TOÁN

VỀ QUỸ TÍCH BẬC THCS

Biên soạn : Phạm Văn Đức

Trường THCS Tam Hiệp TP Biên Hòa – Đồng Nai

A Lý chọn đề tài :

Trong năm gần , định hướng đổi phương pháp dạy học thống theo tư tưởng tích cực hóa hoạt động học tập học sinh hướng dẫn giáo viên Đổi phương pháp dạy học là mục tiêu lớn ngành giáo dục đặt giai đoạn , trở thành yêu cầu và là nhiệm vụ cấp thiết đội ngũ thầy cô giáo Ngày khoa học công nghệ thông tin phát triển , dần làm thay đổi cách thức dạy và học theo phương châm :

a) Tích cực hóa q trình dạy và học qua việc làm cụ thể giáo viên , việc ứng dụng công nghệ thông tin giảng dạy hiệu thay lý luận nhiều

b) Tích cực hóa q trình học tập làm cho người học hứng thú , hưng phấn , hiệu , hiểu bài bài nhanh , nhớ bài lâu

Trước , để giải bài tốn về quỹ tích phương pháp truyền thống cho học sinh hiểu là việc làm khó khăn, học sinh khơng thể phân tích hết tất trường hợp xảy bài tốn Giáo viên khơng thể vẽ hình minh họa lúc trường hợp xảy hình Do , đa số học sinh không hiểu bài

(2)

Trang

vẫn giữ nguyên tính hình dựng Do học sinh nhìn hình góc độ

Trước đây, dùng phương pháp truyền thống để giải bài tốn về quỹ tích đa số học sinh khơng hiểu bài; khơng hình dung đường quỹ tích; tỉ lệ học sinh hiểu bài và làm bài đạt từ 20% đến 30% Khi ứng dụng phần mềm GSP để giải bài toán về quỹ tích cho học sinh việc lý luận trở nên đơn giản tất yếu tố chuyển động và thay đổi theo yếu tố hình học khác thể đầy đủ, học sinh tiếp thu bài dễ dàng ; tỉ lệ học sinh hiểu bài và làm bài đạt từ 60% đến 70% Các học sinh yếu tập trung , thích xem khơng làm bài

Để bước GV tiếp cận và đưa ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy Tôi xin giới thiệu tất bài tốn về quỹ tích lớp và sách giáo khoa và số bài nâng cao soạn phần mềm GSP 4.06 để q thầy trực tiếp giảng dạy mơn Tốn THCS có điều kiện tham khảo thêm

B Giới thiệu :

Geometer ’s Sketchpad ( viết tắt GSP ) là phần mềm dùng để nghiên cứu dạy và học Tốn , đặc biệt mơn hình học giúp tạo hình ảnh động trực quan

a) Chương trình Geometer ’s Sketchpad viết Nicholas Jackiw năm 1995 và ứng dụng rộng rãi trường phổ thông Úc , Mỹ

b) Giáo viên sử dụng phần mềm này để hỗ trợ giảng dạy, giúp cho tiết dạy hiệu sinh động

2 Ứng dụng:

Đề tài giới hạn việc giải bài tốn về quỹ tích bậc THCS, gồm bài tốn về quỹ tích lớp , lớp và số bài toán nâng cao

3 Cách sử dụng :

(3)

Trang

- Sử dụng bài tích hợp sẵn đề tài để sử dụng Các bài tốn xếp từ dễ đến khó, tiện lợi cho giáo viên tham khảo và bồi dưỡng học sinh giỏi

C Tài liệu tham khảo :

- Sách giáo khoa Toán lớp và lớp NXB Giáo Dục năm 2006

- Bài tập nâng cao và số chuyên đề Toán (Tác giả Bùi Văn Tuyên ) - Nâng cao và phát triển Tốn ( Tác giả Vũ Hữu Bình )

- Những bài toán tổng hợp về đường tròn lớp (Tác giả Nguyễn Tiến Quang)

************************

Hướng dẫn sử dụng :

1/ Copy thư mục QUY TICH vào máy Ví dụ : vào ổ D: QUY TICH

2/

(4)

Trang

rộng hết hình ở góc bên phải ( Để tiện sử dụng Click phải chuột , chọn send to / desktop để gởi biểu tượng màn hình quản lý )

3/ Mở file : chọn file ( góc bên trái ) / open / D: / QUY TICH / chọn bài “ Lop 8” “ lớp 9”

4/ Mỗi lớp có file chứa đủ bài tập cho lớp Mỗi bài tập nằm góc bên trái màn hình Giả sử mở BT 71 lên màn

5/ Tiến hành bước dạy theo ý GV Riêng tơi gói gọn sau: - Cho HS đọc tựa bài lần ( có màn hình )

- Vẽ hình ( Click chuột vào biểu tượng VE HINH ( góc bên trái màn hình ) Xuất hình vẽ

- GV mơ tả hình vẽ theo đề bài , nhấn mạnh trọng tâm - … nhiều bước khác ……

- Câu b hỏi ?( HS: điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào ?)

- ………

(5)

Trang

- HS phát trực quan phát biểu đường vạch của điểm O. - GV hướng dẫn HS chứng minh và kết luận :

- Câu c hỏi ?

(6)

Trang

- Mổi bước sẵn theo yêu cầu bài Biểu tượng cuối là đường quỹ tích

- GV click chuột vào biểu tượng “bài giải” bên đề bài đầy đủ tất

 Chú ý :

- Click chuột vào biểu tượng “ HINH VE” , “BAI GIAI” , “ DUONG QUY TICH” lần , lần hai ẩn , …

- Click chuột vào biểu tượng “di chuyển , quỹ tich” lần chạy , lần dừng , lần lại chạy …… chọn vị trí thích hợp hình - GV trỏ chuột vào điểm hình vẽ để thay đổi góc nhìn

(7)

Trang

(8)

Trang

PHẦN I : CÁC BÀI TOÁN TRONG SÁCH GIÁO KHOA LỚP 8 1/ BT 68/102 Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách

đến d cm Lấy điểm B thuộc đường thẳng d Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B Khi điểm B di chuyển đường thẳng d điểm C di chuyển đường nào?

Giải

d D

C H

A

B

Kẻ AH  d và CD  d Dễ dàng ta thấy AHBCDB( cạnh

huyền , góc nhọn), CD = AH = cm

Khi điểm B di chuyển đường thẳng d điểm C di chuyển đường thẳng d’ song song với đường thẳng d ; d’ cách d khoảng cm

2/ BT 70/103 Cho góc vng xOy, điểm A thuộc tia Oy cho OA =

cm Lấy B là điểm thuộc tia Ox Gọi C là trung điểm AB Khi điểm B di chuyển tia Ox điểm C di chuyển đường nào?

Giải

(9)

Trang

Gọi I là trung điểm OA

Ta có OI = OA : = : = ( cm ) CB = CA ( gt ); OI = IA nên CI là đường trung bình ABO , suy CI //

BO và CI  OA

Khi điểm B di chuyển tới điểm O C di chuyển tới điểm I

Vậy điểm B di chuyển tia Ox điểm C di chuyển tia Ot song song với tia Ox và cách Ox khoảng (cm)

y x

t

I C

A O

B

3/ BT 71/103 Cho tam giác ABC vuông A Lấy M là điểm

thuộc cạnh BC Gọi MD là đường vng góc kẻ từ M đến AB , ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm DE

a/ Chứng minh ba điểm A , O , M thẳng hàng

b/ Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào?

c/ Điểm M vị trí nào cạnh BC AM có độ dài nhỏ nhất?

Giải

a/ Chứng minh ba điểm A, O , M thẳng hàng

Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có góc vng) O là trung điểm đường chéo DE nên O là trung điểm đường chéo AM , ba điểm A , O , M thẳng hàng

K Q

P

H

O

E D

B C

A

(10)

Trang 10

b/ Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào?

Gọi P , Q là trung điểm AB và AC Kẻ AH  BC, K là giao điểm PQ và AH

Khi điểm M di chuyển đến điểm B điểm O di chuyển đến điểm P Khi điểm M di chuyển đến điểm Q điểm O di chuyển đến điểm Q Dễ thấy PQ là đường trung bình tam giác ABC ; KH = AH :

Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường trung bình PQ ( khơng tính điểm P ; Q ) tam giác ABC PQ cách BC khoảng KH = AH :

c/ Điểm M vị trí điểm H AM có độ dài nhỏ ( Đường vng góc có độ dài nhỏ nhất)

NÂNG CAO LỚP 8

Bài 1: Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC Vẽ DE // AC ; DF //

AB ( E AB ; F AC) Gọi O là trung điểm EF Khi điểm D di dộng cạnh BC điểm O di động đường nào ?

Giải

Tứ giác EFDE là hình bình hành suy trung điểm O đường chéo EF là trung điểm đường chéo AD

Vẽ đường cao AH, vẽ OK  BC Dễ thấy OK AH

2

 ( không đổi )

Điểm O cách đường thẳng BC cho trước khoảng không đổi AH2 nên O nằm đường thẳng a // BC và cách BC khoảng

K H

O

F E

A

(11)

Trang 11

AH

2

Giới hạn: Khi D trùng với B O trùng với trung điểm M AB Khi D trùng với C O trùng với trung điểm N AC Vậy D di động cạnh BC điểm O di động đường trung bình MN tam giác ABC

*********************

Bài 2: Cho góc vng xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cho OA = 2cm

Điểm N di động cạnh Oy Vẽ tam giác AMN vuông cân A cho M nằm góc vng xOy Hỏi điểm M di động đường nào?

Giải Vẽ MH  Ox

MHA AON MH AO (cm)

    

Vậy M di động đường thẳng d // Ox và cách Ox là cm

Giới hạn: Khi N trùng với O M trùng với K ( K là đỉnh tam giác AOK vuông cân A ; K nằm góc vng)

Vậy điểm M di động tia gốc K song song với Ox ( tia này không cắt Oy )

x y

H M

A O

K N

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân A Từ điểm H cạnh BC vẽ

một đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AB , AC I và K Gọi E là trung điểm BI , F là trung điểm CK Khi H di động BC trung điểm O EF di động đường nào ?

(12)

Trang 12

 

ABC vuông cân A nên B C 45

  

Các tam giác HIB ; HKC vuông cân

HE AB ; HF AC

   Tứ giác

AFHE là hình chữ nhật suy trung điểm O EF là trung điểm AH Vậy O di động đường trung bình MN ABC

O N

M F

E

I K

C A

B H D

*********************

Bài : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ về

một phía AB tam giác đều AMD , BME Trung điểm I DE di chuyển đường nào?

Giải Gọi C là giao điểm AD và

BE

Ta có ABC đều và cố định Vì

CDME là hình bình hành, I là trung điểm DE nên là trung điểm CM Từ chứng minh I di chuyển đoạn thẳng PQ (P , Q theo thứ tự là trung điểm AC , BC )

Q P

K C

I

E

D

(13)

Trang 13

PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN TRONG SÁCH GIÁO KHOA LỚP 9

QUỸ TÍCH (ĐƯỜNG TRỊN)

Lời giải bài tốn quỹ tích (tìm tập hợp điểm) gồm hai phần :

Phần thuận Chứng minh điểm M có tính chất cho thuộc hình H

Phần đảo Chứng minh điểm thuộc hình H đều có tính chất cho Đơi phần thuận ta tìm hình H’ chứa hình H Khi ta cần dựa vào giả thiết để giới hạn hình H’ thành hình H tiến hành phần đảo

Lưu ý phần đảo bài tốn quỹ tích thực là bài tốn dựng hình

Để chứng minh quỹ tích điểm M là đường tròn ta thường dùng hai cách :

(14)

Trang 14

1/ BT 44/86 Cho ABC vng A, có cạnh BC cố định Gọi I là giao điểm ba đường phân giác Tìm quỹ tích điểm I A thay đổi

Giải a/ Phần thuận:

I là giao điểm ba đường phân giác suy :

 B C 

BIC 180 135

2 

  

BC cố định I nhìn đoạn BC góc 1350 khơng đổi , suy I chạy cung chứa góc 1350 dựng đoạn BC

b/ Phần đảo:

 Lấy điểm I’ thuộc cung chứa góc 1350 dựng đoạn BC

Nối I’B ; I’C

 Trên nửa mặt phẳng BC chứa cung BC Kẻ tia Bx cho

 

xBI' I' BC và tia Cy

sao cho yCI' I'CB 

135

I

B O C

A x y 2 135 I'

B O C

A

 Gọi A là giao điểm Bx và Cy Ta có B C 180 135 2  2  0 450

  

2

BAC 180  (2B 2C ) 90 

Vậy I’ là giao điểm ba đường phân giác tam giác vuông cạnh huyền BC

(15)

Trang 15

2/ BT 45/86 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm quỹ tích

giao điểm O hai đường chéo hình thoi Giải

a/ Phần thuận :

Vì O là giao điểm hai đường chéo AC và BD hình thoi ABCD Suy AOB 90



Điểm O nhìn đoạn AB cố định góc 900 nên O chạy đường tròn đường kính AB ( Không kể điểm A và B )

O

C

B A

D

b/ Phần đảo:

Lấy điểm O’ thuộc nửa đường tròn đường kính AB Suy AO' B 90



Trên tia đối tia O’A lấy điểm C cho O’C = O’A Trên tia đối tia O’B lấy điểm C cho O’D = O’B

 Tứ giác ABC’D’ là hình thoi ( có hai đường chéo vng góc và cắt trung điểm đường )

c/ Kết luận : Quỹ tích giao điểm O hai đường chéo là đường tròn đường kính AB ( không kể hai điểm A và B )

********************

3/ BT 48/87 Cho hai điểm A , B cố định Từ A vẽ tiếp tuyến với

đường tròn tâm B có bán kính khơng lớn AB Tìm quỹ tích tiếp điểm

(16)

Trang 16

a/ Phần thuận :

Kẻ AC ; AD là hai tiếp tuyến đường tròn bán kính

r AB ACB ADB 90 

   

Vậy C và D chạy đường tròn đường kính AB

b/ Phần đảo : D

C

O

A B

M

Lấy điểm C’ thuộc đường tròn đường kính AB Suy AC' B =900

 AC' BC'

Vậy AC’ là tiếp tuyến đường tròn tâm B bán kính BC' AB

c/ Kết luận : Quỹ tích tiếp điểm là đường tròn đường kính AB ********************

4/ BT 50/87 Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là điểm chạy

trên đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = MB a/ Chứng minh AIB không đổi

(17)

Trang 17

H G

I

A B

M

a/ Chứng minh AIB khơng đổi

Tam giác vng BMI có tg(BIM ) MB

MI

  Suy BIM  26057’ không

đổi

Vậy AIB  26057’ không đổi. b/ * Phần thuận :

Khi điểm M chuyển động đường tròn đường kính AB I chuyển động

I nhìn AB góc AIB  26057’ khơng đổi nên I thuộc hai cung tròn chứa góc 26057’ dựng đoạn AB.

Tuy nhiên M A cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến GAH Khi điểm I G I H

Vậy I thuộc hai cung GmB và Hm ' B

 Phần đảo : ( Tự chứng minh )

* Kết luận : Quỹ tích I là hai cung tròn GmB và Hm ' B

5/ BT 98/105 Cho đường tròn (O) và điểm A cố định đường tròn

Tìm quỹ tích trung điểm M dây AB điểm B di động đường tròn

Giải a/ Phần thuận :

(18)

Trang 18 OM AB

AOM 90

 

M nhìn đoạn AB cố định góc 900 nên M thuộc đường tròn đường kinh AO

b/ Phần đảo :

Lấy điểm M’ thuộc đường tròn đường kính AO AM 'O 90

 Tia AM’

cắt đường tròn O B Vì OM’AB nn

M’ là trung điểm dây AB

c/ Kết luận : Quỹ tích trung điểm M là đường tròn đường kính AB

E M O B A ********************

6/ BT 13/135 Cho đường tròn (O) , cung BC có số đo 1200 , điểm A di chuyển cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Hỏi điểm D di chuyển đường nào?

Giải a/ Phần thuận :

Khi A di chuyển cung lớn BC điểm D di chuyển

 Tam giác ACD có AC = AD nên tam giác ACD cân

     0

BAC 60 ( sñBC )

2 ADC ACD 30 BDC 30

 

  

 

Điểm D ln nhìn BC cố định

(19)

Trang 19

chuyển cung 300 dựng đoạn BC

b/ Phần đảo :

Lấy điểm D’ thuộc cung 300 dựng đoạn BC. Nối BD’ cắt (O) A

Tam giác ACD’ có góc ngoài

      

BAC 60 ; AD'C 30 ACD' 30

 ACD' caân taïi A  AD' = AC

c/ Kết luận : Quỹ tích điểm D là cung chứa góc 300 dựng cạnh BC. ********************

PHẦN III: NHỮNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP NÂNG CAO

Bài toán : Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm di động đường tròn Gọi D là hình chiếu B AM và P là giao BD với CM

a Chứng minh tam giác BPM cân

(20)

Trang 20

a Tam giác BPM cân

Ta chứng minh điều này theo hai trường hơp, điểm D ngoài đoạn AM

* Khi D ngoài đoạn AM ta có:  

DMB ACB (cùng bù góc

AMB)

  

DMP AMC ABC (cùng chắn cung AC)

 DMB DMP

M di dong, quy tich D P

D

O A

B C

M

Vậy tam giác BMP cân MD vừa là đường cao vừa là phân giác * Khi D đoạn AM ta có :

  

DMB BMA BCA (cùng chắn cung AB)

  

DMP AMC ABC (cùng chắn cung AC)  DMP DMB  ∆BMP cân

b Quỹ tích D

Phần thuận Do AB cố định và ADB= 900 nên D chạy đường tròn đường kính AB

Giới hạn Khi M trùng với A D khơng xác định, D  A

Phần đảo Lấy D là điểm đường tròn đường kính AB và DA

Ta phải chứng minh có điểm M đường tròn (O) cho D là hình chiếu B AM Muốn ta nối AD cắt đường tròn (O) M

Vì BDA= 900 nên D là hình chiếu B AM

Kết luận Quỹ tích điểm D, hình chiếu B AM, M di

Y

P

D

C B

O A

(21)

Trang 21

********************

Bài : Cho cung AB cố định tạo bán kính OA, OB vng góc với nhau, điểm I chuyển động cung AB Trên tia OI lấy điểm M cho OM tổng khoảng cách từ I đến OA và đến OB Tìm quỹ tích điểm M

L i gi i :ờ ả

Phần thuận Kẻ IH OA IK, OB Điểm M thuộc tia OI có tính chất :

OM = IH + IK (1)

Kẻ BEOI Ta có OBE = OIK (cạnh huyền – góc nhọn) nên

OE = OK = IH, BE = IK (2)

Từ (1) và (2) suy Om = OE + BE, EM = EB

Tam giác EMB vuông cân nên

 450



EMB Điểm M nhìn OB cố định góc 450 nên M di chuyển cung chứa góc 450 dựng OB (phần cung nằm góc AOB)

E

M

K H

A

O B

I

Giới hạn Vì điểm M nằm góc vng AOB nên M di chuyển cung AmB, phần cung chứa góc 450 dựng OB (phần cung nằm góc AOB)

Phần đảo Lấy điểm M cung AmB nói Kẻ

, ,

BE OM IH OA IK OB Ta chứng minh OM = IH + IK Thật vậy,  450



OMB nên EMB vuông cân, suy EM = EB

OBE = OIK ( cạnh huyền – góc nhọn) nên OE = OK = IH, BE = IK Do EM = IK

(22)

Trang 22

Kết luận Quỹ tích điểm M là cung AmB, phần cung chứa góc 450 dựng OB (phần nằm góc AOB).

***************************** Bài : (Phát điểm cố định để tìm quỹ tích )

Cho tam giác ABC cân A điểm M, N theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho AM = CN Tìm quỹ tích tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

L i gi i :ờ ả

Phần thuận Đường tròn (O) qua điểm cố định là A Ta chứng minh là (O) còn qua điểm cố định khác

Gọi giao điểm khác A (O) với đường cao AH ( cố định) là K Ta có AMKN là tứ giác nội tiếp nên AMK CNK Ta lại có:

 

1  

    

A A KM KN KM KN

Q P

K

O

N A

B C

M

Do AMK = CNK (c.g.c) A1 C 1 A 2 C 1

     Kthuộc đường trung

trực AC Vậy K là điểm cố định, là giao điểm đường trung trực ABC

Đường tròn (O) qua điểm cố định A và K nên O nằm đường trung trực d AK

Giới hạn Khi MA NC, OQ, giao điểm d với đường trung

trực AC Khi MB NA, OP, giao điểm d với đường trung

trực AB

Như O di chuyển đoạn thẳng PQ Phần đảo Bạn đọc tự chứng minh

(23)

Trang 23

Bài 4: Hình thoi ABCD có cạnh AB cố định O là trung điểm AB; CO và BD cắt P Chứng minh điểm P chạy đường tròn

Lời giải :

Gọi giao hai đường chéo hình thoi là I Trong tam giác ABC, CO và BI là hai trung tuyến nên P là trọng tâm Bởi kẻ PQ // AC ( Q nằm AB) :

BQ AB =

PB BI =

2

Điều này chứng tỏ Q là điểm cố định Hơn :

I Q P O C B A D   

QPB AIB 900

Do P nằm đường tròn đường kính BQ ( khơng kể điểm B, Q)

Bài : Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là điểm di động

đường tròn; H là hình chiếu C AB Trên OC lấy OM = OH a Điểm M chạy đường nào ?

b Kéo dài BC đoạn CD = CB Điểm D chạy đường nào ? Lời giải :

a Điểm M chạy đường nào ?

Ta có OMA = OHC ( c g c)

Từ suy

  

OMA OHC 900

Vậy M chạy đường tròn đường kính OA

I

K D

M H

A O B

(24)

Trang 24

b Điểm D chạy đường nào ?

Do C nằm đường tròn đường kính AB nên ACCB Khi CD = CB nên ta có ADC = ABC

Suy AD = AB = 2R

Do điểm A cố định nên điểm D chạy đường tròn tâm A bán kính AB = 2R

*************************

Bài : Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax,

By cho Ax // By

a Nêu cách dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với AB, Ax và By

b Gọi D, E là tiếp điểm đường tròn (I) với Ax, By Chứng minh tổng AD + BE khơng phụ thuộc vào vị trí Ax, By

c Tìm quỹ tích tâm I Ax, By thay đổi Lời giải :

1

x

y

H

E D

I

A B

a Giả sử (I) tiếp xúc với đường AB, Ax, By dựng Các tiếp điểm là H, D, E

Do DI = HI nên I nằm tia phân giác góc xAB Tương tự I nằm tia phân giác góc yAB Vậy I là giao điểm tia phân giác này

b Theo tính chất tiếp tuyến xuất phát từ điểm ta có :

(25)

Trang 25

AD + BE = AH + HB = AB

Đẳng thức này chứng tỏ tổng không phụ thuộc vào vị trí Ax, By c Ta có :

   

1 1 1 1 1 ( ) 90

2 2 2

 

     

A B xAB yBA xAB yBA

Do  900



AIB Vậy điểm I nằm nửa đường tròn dường kính AB ( khơng kể hai điểm A, B)

Phần đảo bài toán dành cho bạn đọc bài tập ***************

Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là dây cung Kẻ tiếp tuyến Ax, kẻ đường phân giác góc CAx cắt đường tròn tai E và cắt BC kéo dài D

a Chứng minh tam giác ABD cân và OE // BD

b Gọi I là giao điểm AC và BE Chứng minh DI AB

c Khi C di động nửa đường tròn (O) D chạy đường nào? Lời giải :

a Tam giác ABD cân và OE // BD

Ta có :  0

1 90 ( 90 )

 

  

ADB A do C

và 

2 90 

 

DAB A Do A1 A2

 

 nên ADBDAB tức là

tam giác ABD cân B

Trong tam giác cân ABD đường cao BE đồng thời là đường trung tuyến, E là trung điểm AD Khi OE là đường trung bình tam giác ABD và ta phải chứng minh điều đó,

2 x D' D I E

A O B

(26)

Trang 26

b Chứng minh DI AB

Trong tam giác ABD, BE và AC là hai đường cao, chúng cắt I Bởi OI là đường cao thứ ba, DI AB

c Do câu a DB = AB = 2R nên D nằm đường tròn tâm B, bán kính 2R

Giới hạn Khi C tiến tới trùng với B D tiến tới vị trí D’ (BD’ = 2R) tia By  AB Bởi D di động cung phần tư đường tròn ADD’

*************************

Bài : Cho điểm C thay đổi nửa đường tròn đường kính AB Trên cạnh CB dựng hình vng CBMN nằm về phía ngoài tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M, N

Lời giải :

Quỹ tích điểm M

Phần thuận Kẻ ByAB, MN kéo dài cắt By D Ta nhận thấy :

1

B B (Cùng phụ góc ABD)

Đồng thời CB = MB nên ta có ∆ABC = ∆DBM Từ DB = AB, nghĩa là điểm D cố định Điểm M nhìn BD góc 900 nên M nằm nửa đường tròn đường kính BD (khơng kể điểm B)

Phần đảo Trên đường tròn đường kính BD lấy điểm M tuỳ ý khác B Ta phải chứng minh M là đỉnh hình vng CBMN, C nằm nửa đường tròn đường kính AB

2

x y

1 D

N

M

N'

B O A

(27)

x I

K

M Trang 27

Kẻ Bt BM ,cắt nửa đường tròn C Kéo dài AC cắt MD N Khi

đó ta có CBMN là hình chữ nhật Đồng thời :

B B (góc có hai cạnh tương ứng vng góc) nên tam giác ABC và DBM

Từ CB = BM, nghĩa là CBMN là hình vng Kết luận : Bạn đọc tự phát biểu

Quỹ tích điểm N Dễ thấy ANB = 450

Bởi N nằm cung góc nhìn AB góc 450.

Giới hạn : Khi C tiến tới A N tiến tới N’ (AN’ = AB) nằm đường thẳng Ax vng góc với AB Do

 ' 450 

 

AN B ANB

Nên tứ giác ABNN’ nội tiếp Từ suy  ' 900



BNN và N nằm nửa đường tròn đường kính BN’(khơng kể điểm B)

**************

Bài : Cho nửa đường tròn đường kính AB, K là điểm cung AB, M là điểm di động cung BK Trên AM lấy điểm N cho AN = BM Chứng minh :

a Tam giác MNK vuông cân

b Đường thẳng vng góc với AM N ln qua điểm cố định Từ suy N chạy cung tròn cố định

Lời giải :

(28)

Trang 28

a Tam giác MNK vuông cân

Theo giả thiết hai tam giác AKN và BKM có :

AK = BK ; AN = BM ; KAM KBM (cùng chắn cung KM)

Bởi : ∆AKN = ∆BKM  KM = KN Hơn KMN =

2 sđ AK= 45

0

Do tam giác NKM vuông cân

b Điểm N chạy cung tròn cố định

Kẻ tiếp tuyến Ax nửa đường tròn Giả sử đường thẳng vng góc với AM N cắt Ax I Ta có : IAN ABM (cùng chắn AM )

Từ suy ∆AIN = ∆BAM, IA = AB Vậy I là điểm cố định Rõ ràng N chạy cung tròn (ANK ) đường kính AI.

Xét duyệt BGH Biên soạn

Phạm Văn Đức

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	0,96 MB