[r]
(1)1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ YÊN BÁI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2010 – 2011
Mơn thi: GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Đối tượng dự thi: Học sinh lớp bậc THCS Thời gian làm 150 phút, khơng kể giao đề
PHÁCH ĐÍNH KÈM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH
Thí sinh điền đầy đủ thơng tin sau:
Số báo danh: ………
Họ tên: ……….………
Ngày tháng năm sinh: ………., Nam (nữ): …………
Nơi sinh: ………
Học sinh lớp … Trường THCS ……… …………
PHẦN DÀNH CHO BAN COI THI
Người coi thi thứ Chữ ký:
Họ tên:………
Người coi thi thứ hai Chữ ký:
Họ tên:………
Số phách
(Do LĐ ban chấm thi ghi)
Thí sinh ý:
- Đọc kỹ yêu cầu, ghi đầy đủ thông tin trước làm làm trực tiếp vào đề thi có phách đính kèm
- Đề thi gồm có 07trang phách, viết hỏng khơng có trang thay - Được sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 500 MS, 570 MS, 500 ES, 570 ES máy tính có tính tương đương hiệu VINACAL Khơng mượn, hay đổi máy tính làm
(2)2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ YÊN BÁI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2010 – 2011
Mơn thi: GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Đối tượng dự thi: Học sinh lớp bậc THCS (Thời gian làm 150 phút, không kể giao đề)
Ngày thi: Ngày … tháng 11 năm 2010 Điểm thi Họ tên chữ ký Giám khảo
GK1: Bằng số: Bằng chữ:
GK2:
Số phách
(Do LĐ ban chấm thi ghi)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thí sinh bắt đầu làm từđây ghi rõ loại máy tính sử dụng: CASIO fx …….……
Nếu khơng nói thêm, lấy tất số kết hình
Câu 1: ( 6 điểm) Tính giá trị biểu thức ghi kết vào ô vuông:
a) 3 3 3
2001 2003 2005 2007 2009 2011
A= + + + + + (Không dùng luỹ thừa)
b) :
1 1
x x x x
B x
x x x x x
− + +
= + −
− − + +
với x = 169,78 x = 123,45
c / C =
2 3
3
cos 55 sin 70 10cotg 50 cotg 65
cos 48 cotg 70 −
(Riêng câu c lấy xác đến chữ sốở phần thập phân)
A = ………
x = 169,78 => B≈ x = 123,45 => B ≈
(3)3
Câu 2: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm phương trình viết dạng phân số::
4
4
1
2
1 9
3
2 4
2
4
1
7
5 1
8
x
+ = +
+ +
+
+ − +
+ +
+
Câu 3: (6 điểm)
Cho: x1003 + y1003 =6,102010 x2006 + y2006 =11,112010 Hãy tính gần giá trị biểu thức: M = 3009 3009
x + y
Tóm tắt lời giải:
Đáp số: M ≈
Câu 4: ( 6 điểm)
Cho đa thức g x( )=8x3−18x2 + +x a/ Tìm nghiệm đa thức ( )g x
(4)4 b/ Tìm hệ số , ,a b c đa thức f x( )= +x3 ax2 +bx+c, biết chia
đa thức ( )f x cho đa thức ( )g x đa thức dư r x( )=8x2 +4x+5 c/ Tính xác giá trị (2008)f
Ghi kết tính vào ô vuông đây:
Câu 5: (5 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax5 + 216x4 + bx3 + 88267x2 + cx + 10395 Biết P(x) có nghiệm
7
−
6
− , số dư chia P(x) cho x + –1155 a) Tìm hệ số a, b, c đa thức P(x)
b) Tính giá trị đa thức P(x) x = 13,32008 (làm tròn đến chữ số thập phân)
c) Giải phương trình P(x) =
d) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử
Điền kết tìm vào vng đây:
Câu 6: ( điểm)
Bố bạn Thắng tặng cho bạn máy vi tính trị giá 5.000.000,00 đồng cách hàng tháng cho bạn tiền với phương thức sau: Tháng bạn Thắng nhận
được 100.000,00 đồng, tháng từ tháng thứ hai trở đi, tháng nhận số tiền tháng trước 20.000,00 đồng
a) Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền nhận hàng tháng với lãi suất 0,6%/tháng, bạn Thắng phải gửi tháng đủ tiền mua máy vi tính?
a) Các nghiệm đa thức g x( ) là:
x1 = ……… ; x2 = ……… ; x3 = ……… …
b) Các hệ số đa thức f x( ):
a = ……… ; b = ……… ; c = ………
c) f(2008)= ………
a) a = ; b = ; c = b) P(13,32008) =
c) x ∈ { } d) P(x) = ………
(5)5 b) Nếu bạn Thắng muốn có máy tính cách chọn phương thức mua trả góp hàng tháng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, bạn Thắng phải trả góp tháng hết nợ ?
Câu 7: (4 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AH ⊥ CD (H ∈ CD), AB = 3,22649 cm , CD = 12,11201 cm, độ lớn góc C D thứ tự 25030’ 43025’ Tính độ dài
đoạn thẳng AH, AD, BC diện tích S hình thang ABCD (Lấy xác đến chữ sốở phần thập phân)
AH ≈ ………
AD ≈ ………
BC ≈ ………
SABCD≈ ………
D C
12,11201 Cm
25°30' 43°25'
H
B A
Câu 8: (6 điểm)
1/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chúng minh tổng bình phương cạnh thứ bình phương cạnh thứ hai hai lần bình phương trung tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba
Chứng minh:
2/ Bài toán áp dụng : Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm đường cao AH = h = 2,75cm
a/ Tính góc A, B, C cạnh BC tam giác
Số tháng cần trả góp:
A
B C
(6)6 b/ Tính độ dài trung tuyến AM (M thuộc BC)
c/ Tính diện tích tam giác AHM
(Góc tính đến phút ; độ dài diện tích lấy kết với chữ số phần thập phân) Điền kết vào ô vuông đây:
!
A≈ ……… !B≈ ……… C! ≈………
BC ≈ ……… AM ≈ ……… SAHM≈ ………
Câu 9: (5 điểm)
Cho dãy số ( un) đ-ợc xác định nh- sau:
1 11
u = ; 2 21
u = ; un+2 =3un+1 −2unvíi mäi * n∈N
a/ Viết qui trình ấn phím liên tục để tính Un+2 theo Un+1 Un
b/ Dùng qui trình tính U21 , U22 , U23 , U24 , U25 , U26 điền kết vào ô vuông
U21= U22= U23=
U24= U25= U26=
Câu 10: (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức : ( ) (n )n
n
13+ - 13- U =
2 với n = 1, 2, 3, ……, k, …
(7)7
U1= U2= U3= U4=
U5= U6= U7= U8=
b/ Lập công thức truy hồi tính Un+2theo Un+1 Un
Un+2=
c/ Viết quy trình ấn phím liên tục tính Un+2theo Un+1 Un
(8)8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ YÊN BÁI
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2010 – 2011
Môn thi: GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Đối tượng dự thi: Học sinh lớp bậc THCS (Thời gian làm 150 phút, không kể giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: ( điểm) Tính giá trị biểu thức ghi kết vào ô vuông: a/ A=20013 +20033 +20053 +20073 +20093 +20113 (Không dùng luỹ thừa)
b/ :
1 1
x x x x
B x
x x x x x
− + +
= + −
− − + +
với x = 169,78 x = 123,45
c/ C =
2 3
3
cos 55 sin 70 10cotg 50 cotg 65
cos 48 cotg 70 −
(Lấy xác đến chữ sốở phần thập phân)
Câu 2: ( điểm)
Tìm nghiệm phương trình viết dạng phân số::
4
4
1
2
1 9
3
2 4
2
4
1
7
5 1
8
x
+ = +
+ +
+
+ − +
+ +
+
A = 48433718556 Cho điểm
x = 169,78 => B≈ −2833,646608 Cho điểm x = 123,45 => B ≈ - 1841,479224 Cho điểm
70847109 1389159 64004388 1254988
x= =
(9)9
Câu 3: (6 điểm)
Cho: x1003 + y1003 =6,102010 x2006 +y2006 =11,112010 Hãy tính gần giá trị biểu thức: M = 3009 3009
x + y
Lời giải Điểm
Đặt a = x1003 -> x2006 = a2 x3009 = a3
b = y1003 -> y2006 = b2 vµ y3009 = b3
=> a +b = 6,102010 vµ a2 + b2 = 11,112010
Ta cã a3+b3 = (a+b)( a2 + b2 – ab )
a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab -> ( )2 ( 2)
2
a b a b
ab= + − +
Từ tính đ-ợcM = 3009 3009
x + y = a3+b3 ≈ - 11,89433091
2,0 ®iĨm 2,0 ®iÓm 2,0 ®iÓm
Câu 4: ( điểm)
Cho đa thức g x( )=8x3−18x2 + +x a/ Tìm nghiệm đa thức ( )g x
b/ Tìm hệ số , ,a b c đa thức bậc ba f x( )= +x3 ax2 +bx+c, biết chia đa thức ( )f x cho đa thức ( )g x đa thức dư r x( )=8x2 +4x+5
c/ Tính xác giá trị (2008)f
a/ 1
x = − ; x2 =2 ; 3
x = 1,0 điểm
b/ Theo giả thiết ta có: f x( )=q g x ( ) 8+ x2 +4x+5, suy ra:
1 1 1 1
5 5
2 4 2 8
(2) (2) 45 45
9 25 27
3 25
16 64
4
f r a b c
f r a b c
a b c
f r
− = − =
− + = +
= = ⇔ + + = −
= = + + = −
Giải hệ phương trình ta được: 23; 33; 23
4
a= b= c=
1,0 điểm
1, điểm
1,0 điểm
(10)10
Câu 5: (5 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax5 + 216x4 + bx3 + 88267x2 + cx + 10395 Biết P(x) có nghiệm
7
−
6
− , số dư chia P(x) cho x + –1155 a) Tìm hệ số a, b, c
b) Tính giá trị đa thức P(x) x = 13,32008 (làm tròn đến chữ số thập phân)
c) Giải phương trình P(x) =
d) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử
Đáp số Điểm
a = 520; b = 65 831; c = 51 609 2,0 điểm
P(1,308) = 449154,81 1,0 điểm
x ∈ 11; 9; 7; 5;
3
− − − − −
1,0 điểm P(x) = (3x + 11)(4x + 9)(5x + 7)(6x + 5)(7x + 3) 1,0 điểm
Câu 6: ( điểm)
Bố bạn Thắng tặng cho bạn máy vi tính trị giá 5.000.000 đồng cách hàng tháng cho bạn tiền với phương thức sau: Tháng bạn Thắng nhận
được 100.000 đồng, tháng từ tháng thứ hai trở đi, tháng nhận số tiền tháng trước 20.000 đồng
a/ Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền nhận hàng tháng với lãi suất 0,6%/tháng, bạn Thắng phải gửi tháng đủ tiền mua máy vi tính?
Giải:
Nhập: 100000 SHIFT STO A (A: số tiền góp tháng thứ D) 100000 SHIFT STO B (B: số tiền góp hàng tháng)
SHIFT STO D (D: biến đếm)
Viết lên hình: D = D + : B = B + 20000 : A = A × 1,006 + B
Bấm “=” liên tiếp A vượt 5.000.000 D số tháng phải gửi tiết kiệm
b/ Nếu bạn Thắng muốn có máy tính cách chọn phương thức mua trả góp hàng tháng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, bạn Thắng phải trả góp tháng hết nợ?
Số tháng cần gửi:: 18 tháng Cho điểm
(11)11
Giải:
Tháng thứ nhất, sau góp cịn nợ: 4.900.000 đồng Nhập: 4900000 STO A
100000 STO B STO D
Tháng sau góp: B = B + 20.000 cịn nợ: A = A.1,007 – B Viết lên hình:
D D + : B = B + 20000 : A = A × 1,007 – B
Bấm “=” liên tiếp D = 19 (ứng với tháng thứ 19 phải trả góp xong cịn nợ: 84.798)
Bấm tiếp “=” D = 20 ⇔ A âm
Như vậy: cần góp 20 tháng hết nợ Tháng cuối cần góp: 84798×1,007 = 85392 (đồng)
Câu 7: ( điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AH ⊥ CD (H ∈ CD), AB = 3,22649 cm , CD = 12,11201 cm, độ lớn góc C D thứ tự 25030’ 43025’ Tính độ dài
đoạn thẳng AH, AD, BC diện tích S hình thang ABCD (Lấy xác đến chữ sốở phần thập phân)
Mỗi ý đúng cho điểm
AH ≈ 2,8178 cm (2,817760426) AD ≈ 4,0998 cm (4,099760232) BC ≈ 6,5452 cm (6,545151675) SABCD≈ 21,6101 cm
2
(21,61010915)
D C
12,11201 Cm
25°30' 43°25'
H
B A
Gợi ý cách làm: Kẻ AK //BC => CK = AB = 3,22649 => DK= CD – AB từ ta qui tính độ dài AH ∆ADK biết cạnh DK góc kề cạnh theo
công thức 0 0
cot 43 25' cot 25 30'
CD CK
AH
g g
− =
(12)12
Câu 8: (6 điểm)
1/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chúng minh tổng bình phương cạnh thứ bình phương cạnh thứ hai hai lần bình phương trung tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba
HD
Chứng minh (2 điểm) :
2 a
b = +HM +AH
2
0,5 điểm
2
2 a
c = -HM +AH
2
0,5 điểm
( )
2
2 a 2
b +c = +2 HM +AH
2 0,5 điểm
2 2
a
a b +c =2m
2
+ 0,5 điểm
2/ Bài toán áp dụng : Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm đường cao AH = h = 2,75cm
a/ Tính góc A, B, C cạnh BC tam giác b/ Tính độ dài trung tuyến AM (M thuộc BC)
c/ Tính diện tích tam giác AHM
(góc tính đến phút ; độ dài diện tích lấy kết với chữ số phần thập phân.) Tính tốn (4 điểm)
!
B = 57o48’ 0,5 điểm
!
C = 45o35’ 0,5 điểm
!
C = 76o37’ 0,5 điểm
BC = 4,43 cm 0,5 điểm
AM = 2,79 cm điểm
SAHM = 0,66 cm
1 điểm Lời giải chi tiết
1/ Giả sử BC = a, AC = b, AB = c, AM = ma.Ta phải chứng minh:b2 + c2 = ma2 +
2
2
a
Kẻ thêm đường cao AH (H thuộc BC), ta có: AC2 = HC2 + AH2 ⇒ b2 =
2 a HM +
+ AH
2
AB2 = BH2 + AH2 ⇒ c2 =
2 a HM −
+ AH
(13)13 Vậy b2 +c2 =
2
2
a
+ 2(HM2 + AH2) Nhưng HM2 + AH2 = AM2 =
a
m Do b2 + c2 = 2
a m +
2
2
a
(đpcm) 2/
a) sin B = h
c =
2, 75 3, 25 ⇒
!
B = 57o47’44,78” b) sin C = h
b =
2, 75 3,85 ⇒
!
C = 45o35’4,89”; !A = 180o – (B! +C! )⇒ !A= 76o37’10,33” BH = c.cos B; CH = b.cos C ⇒ BC = BH + CH = c.cos B + b.cos C
⇒ BC = 3,25 cos 57o48’ + 3,85 cos 45o35’ = 4,426351796 ≈ 4,43cm b) AM2 =
2 2
2( )
4
b +c −BC ⇒
AM2 = 2
2( )
2 a +b −BC = 2,791836751 2,79cm
c) SAHM =
1
2AH(BM – BH) = 2.2,75
1
4, 43 3.25 cos 57 48 '
o
−
= 0,664334141 0,66cm
2
Câu 9: (5 điểm)
Cho dãy số ( un) đ-ợc xác định nh- sau:
1 11
u = ; 2 21
u = ; un+2 =3un+1−2unvíi mäi
* n∈N
a/ Viết qui trình ấn phím liên tục để tính Un+2 theo Un+1 Un
Nhập: a b
c abc SHIFT STO A a bc abc SHIFT STO B
ALPHA B - ALPHA A SHIFT STO A ALPHA A - ALPHA B SHIFT STO B
▲ SHIFT ▲ sau ấn liên tiếp dấu = để tính số hạng dãy
Qui trình viết cho điểm
b/ Dùng qui trình tính U21 , U22 , U23 , U24 , U25 , U26 điền kết vào ô vuông
U21= 873814 U22= 17476271
3
U23= 3495254
U24=
1 6990507
3
U25=13981014 U26= 279620271
3
(14)14
Câu 10: (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức : ( ) (n )n
n
13+ - 13- U =
2 với n = 1, 2, 3, ……, k, … a/ Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
U1 = ; U2 = 26 ; U3 = 510 ; U4 = 8944 ; U5 = 147884
U6 = 2360280 ; U7 = 36818536 ; U8 = 565475456 1 điểm
b/ Lập cơng thức truy hồi tính Un+2theo Un+1 Un
Công thức : Un+2 = 26Un+1 – 166Un 2 điểm c/ Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+2theo Un+1 Un
26 SHIFT STO A x 26 - 166 x SHIFT STO B Lặp lại dãy phím
x 26 - 166 x ALPHA A SHIFT STO A x 26 - 166 x ALPHA B SHIFT STO B ▲ SHIFT ▲ sau ấn phím = liên tiếp để tính
các số hạng dãy
2 điểm
- Hết -
Bài thi chấm theo thang điểm 50, điểm toàn điểm phần cộng lại khơng làm trịn số
Giám khảo chấm điểm trực tiếp mực đỏ vào bên lề thi
Trong trình chấm, giám khảo cần phần trình bày cụ thể học sinh
để có cách cho điểm sát hơn, giá trị nguyên sốđã yêu cầu làm tròn phải cho điểm, số thập phân chép đầy đủ hình cho phép sai khơng chữ số tận
Chú ý: Một số loại máy tính có độ xác cao nên dải số hiển thị kết nhiều máy fx 500 MS, cần ý loại máy h/s sử dụng ghi
http://www.fineprint.com