[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái trêng THCS Nam hà Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán lớp
( Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề)
Bµi1: Cho P(x) =
3
1
2
x x
x x x
a ) Rót gän P(x)
b) Giải phơng trình P(x)= Bài 2: Tính
a) A = 4 2 3 1 3
b) B = (
10 10
5 10
2
)
Bài 3: Tìm giá trị nguyên x, y thoả mÃn phơng trình
x 2 + 3x +2 = y2 + y +1
Bµi 4: Cho a +b + c + d = Chøng minh r»ng:
a 3 + b3 + c3 + d3 = (ac – bd ) ( b + d )
Bµi 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Điểm M nằm hai điểm A
B Hai tia CM DA cắt N Điểm P nằm hai điểm A D cho chu vi tam gi¸c AMP b»ng 2a
a ) Chøng minh 2 12 12
a CN
CM
b ) TÝnh gãc MCP ?
Đáp án -biểu chấm thi HSG Toán
Trờng THCS Nam Hà- Năm học 2009- 2010
(2)a, P(x) = ) )( ( ) )( 2 ( x x x x x = 2 2 x x x
b, Ta cã 2x2 – 2x + = 2( x2- x + 1/4) +1/2 = 2( x- 1/2)2 +1/2 > x
=> P(x) ≠ x ≠ vµ x ≠ -3/2
Vậy phơng trình P(x) = vô nghiệm
Bài 2: ( điểm)
a) A = 4 2 3
3
1 = ( 31)2 1 3 = ( 3 1)( 3 1)
=
2
b) Ta cã:
10 21 10 ) 10 )( 10 ( ) 10 ( ) 10 ( 2 10 5 10
VËy B = 3( )
10 21 21 10 ( ) 10 10 21 10
Bài 3: ( điểm)
Phơng tr×nh x 2 + 3x +2 = y2 + y +1
<=> ( x+1)( x + 2) = y( y+ 1) +
NhËn xét: Với giá trị nguyên x, y vế trái số chẵn, vế phải số lẻ Vậy phơng trình vô nghiệm
Bài 4: (2 ®iĨm)
Tõ a + b + c + d = <=> a + c = - (b + d)
<=> a3+ c3 + 3ac( a + c) = -b3 – d3- 3bd(b +d)
<=> a 3 + b3 + c3 + d3 = -3ac (a +c) – bd ( b + d )
= 3ac (b + d) – 3bd (b +d) = 3( b + d) (ac – bd)
VËy víi a + b + c + d = th× a 3 + b3 + c3 + d3 = (ac – bd ) ( b + d ) Bài 5: ( điểm) N
a) CBM vuông B => CM2 = CB2 + MB2 ( ®lÝ Pi ta go)
Hay CM2 = a2 +MB2
CM2 CN2 = a2 CN2 + MB2 CN2 (1)
MỈt kh¸c AN// BC (gt ) A M B K =>
MC MN MB
MA
=> MA MC = MB MN (*)
L¹i cã: AM // DC ( gt ) P =>
CN MN CD
AM
=> AM CN = CD MN
Hay AM CN = a MN (**) D C Tõ (*) (**) => MA MC MN a = MB MN AM CN
MC a = MB CN Thay vµo (1) ta cã: CM2 CN2 = a2 CN2 + MC2 a2
CM2 CN2 = a2 ( CM2 + CN2) =>
2
1
CM + CN
1
= 12
a ( §PCM)
b) Trên tia đối MB lấy K cho BK = DP Ta có : PCD = KCB ( c.g.c) => C1 = C2 ; CK = CP
Tõ C1 = C2 => C1 + BCP = C2 + BCP = 900 => KCP = 900
Tõ BK = DP ; PM = 2a – AM – AP => PM = BM + PD => PM = KM => KMC = PMC (c.c.c) => MCP = KCM = 900/ = 450
(3)