[r]
(1)Hớng dẫn chấm toán thpt
Bài Cách giải Điểm
1
(6đ) 1(3điểm)
XÐt hµm sè f x( ) lnx
x
, Tập xác định: x f x( ) ln2 x
x
, f x( ) 0 1 lnx 0 x e Ta cã :
x e
f (x) +
-f(x)
e
0 Do hàm số nghịch biến ( ;e )
1,
x x
tháa m·n:
2
1
1 2 1 2
1
ln ln
( ) ( ) x x ln ln x x
e x x f x f x x x x x x x
x x
Tõ
đó đợc: 20092010 20102009
(3®iĨm)
ViÕt l¹i giíi h¹n vỊ d¹ng:
2
0 3
1 1 1
L= lim - -
-3x 1+4x +1 2x (1+6x) + 1+6x +1
x
XÐt
0
1
1 1 1 1
lim lim f
(0)=-3 3
x x
x
x x x
Víi
1 f(x)=
1 4 x1
2
0 3
1 1 ( ) (0)
lim lim (0)
2 (1 ) 1 6 1 2
x x
g x g
g
x x x x
Víi ( ) 3 2 13
(1 )
g x
x x
Do L=1
0,5 0,5
0,5 1,0 0,5
1,0 1,0
0,5
0,5
2
(4đ) 1 (2 điểm) áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2009 số gồm 2007 số số x2009
(2)1 2009 2009 2009 2.2009 2009
x x
x x
T¬ng tù :
2009 2009
2.2009 2009
1 2009
y y
y y
1 2009 2009 2009 2.2009 2009
z z
z z
Cộng vế vế bất đẳng thức ta đợc:
2009 2009 2009
2 2 3.2007 2( ) 3
2009
x y z
x y z
Dấu xảy x=y=z=1 Do giá trị lớn F (2 điểm)
Ta cã: 2009
1 2008!( 1)! 2008!( 1)!
(2009 ( 2))
(2009 )! (2009 )!2007
k k
k k
k k
C k k
2008 2007!( 1)! 2007!( 2)!
2007 (2008 )! (2009 )!
k k
k k
1
2008 2009
2008 1
2007 k k
k k
C C
LÊy tæng: 1 1 2 1
0 2009 2008 2009 2008
1 2008 1 2008 1
2007 2007 2007
n
k n
k C k C C n C
0,5
0,5 0,5 0,5
1,0 1,0
3
(4đ) Ký hiệu độ lớn mặt góc tam diện đỉnh S nh sau: BSC,CSA ,ASB 180 Ta coi , , 3
góc tam giác Tổng diện tích mặt bên hình chóp là: 1(sin sin sin )
2
Chøng minh: sin sin sin 3
DÊu b»ng x¶y 60
Do 1(sin sin sin ) 3
2
Gọi BC=a, CA=b, AB=c áp dụng định lý Cosin tam giác BSC ta đợc:
2(1 cos ) 4sin2 2sin
2
a a T¬ng tù ta cã: 2sin , 2sin
2
b c
3
( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 3
ABC
p a p b p c p
S p p a p b p c p
0,75 0,5 0,25
(3)Hay
2
(sin sin sin )
2 2
3
ABC
S
Chøng minh: sin sin sin
2 2
ta đợc:
4
ABC
S
Diện tích toàn phần hình chóp không lớn hơn: 3 3
4
Dấu xảy khi: 60 tức tứ diện đều.
0,5 0,25 0,25
4 (4®)
1 (2 ®iĨm)
Theo Vi-et ta cã: mnp=1
Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng:
2 2
2 2
2
2 cos cos cos
np mp mn m n p
np mp mn m n p
(p mcos ncos ) ( sinm nsin ) 0
(ln đúng)
(Víi 60 , 45 , 15)
DÊu b»ng x¶y khi: sin sin
cos cos sin sin sin
m n n m p
p m n
§Ỉt
sin
m k
ta đợc: 4(3 3)
sin sin sin
k
nªn
3 4(3 3)
3
k
n=sin( 45 )3 4(3 3)
3
, m=sin(60 )3 4(3 3)
3
, p=
3 4(3 3)
sin(15 )
3
2 (2 ®iĨm)
Chøng minh: x3 y3 z3 3xyz (x y z x)( y2 z2 xy yz zx)
(1) Cộng vế phơng trình sử dụng (1) ta đợc:
(x y z)(2x2 2y2 2z2 xy yz zx) 0
TH1: x+y+z=0 hƯ trë thµnh
3 3
14(2) 21(3) 7(4)
y xyz z xyz x xyz
Do z=-x-y nên từ (2) (4) ta đợc:
3 2
3 2
( ) 14 ( ) 14
( ) ( )
y xy x y y x y xy
x xy x y x x y xy
Từ ta đợc: y=2x z=-3x Thay vào (2) ta đợc: x3 1 x 1
HÖ cã nghiÖm: (1;2;-3)
0,5 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,5 0,25
0,5
(4)TH2: 2x2 2y2 2z2 xy yz zx 0
(x y)2 (y z)2 (z x)2 2x2 2y2 2z2 0
Ta đợc x=y=z=0 không thỏa mãn hệ cho Tóm lại hệ có nghiệm nhất: (1;2;-3)
(2®)
1 (1 ®iĨm)
Gọi M điểm tứ giác Ta cã:
360
AMB BMC CMD DMA
Do tồn góc có số đo lớn 90
.Giả sử AMB90 M thuộc vào hình trịn đờng kính AB Từ
đó ta đợc điều phải chứng minh 2 (1 điểm)
Ta cã: (1 x y2) xy 1
2
0 (3 )0 (5 )1 (2 1)
n n n
a a a x a a x n a na x
Do ta đợc:
0
0
1
1 2.4 2.4
1; ; ; .;
(2 1) 3.5 n 3.5 (2 1)
n n
a n
a a a a
n a na n
0,25 0,25 0,5