sở giáo dục và đào tạo quảng ninh kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2011-2012 Đề thi chính thức môn : Toán ( bảng A ) H v tờn, ch ký ca giỏm th s 1 Ngy thi : 26/10/2011 Thi gian lm bi : 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) ( thi ny cú 01 trang) Bi 1 (5 im): 1) Tỡm trờn th (C) ca hm s 1 2 x y x hai im A v B sao cho di on thng AB bng 26 v ng thng AB vuụng gúc vi ng thng y = x . 2) Tỡm cỏc nghim thc ca h phng trỡnh: 32 1 x y x y x y x y Bi 2 (3 im): Tam giỏc ABC vuụng A, cú ã ABC a= . Tớnh t s ca bỏn kớnh ng trũn ngoi tip v ng trũn ni tip tam giỏc ABC theo . Xỏc nh t s ú t giỏ tr nh nht. Bi 3 (6 im): Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, cỏc na ng thng Bm, Dn vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v v cựng mt phớa vi mt phng y. Ly im M thuc Bm v im N thuc Dn. t BM = x, DN = y. a, Tỡm h thc gia x, y hai mt phng (ACM) v (ACN) vuụng gúc vi nhau. b, Chng minh rng khi x, y thay i nhng luụn tha món iu kin nờu phn a, on vuụng gúc chung ca AC v MN cú di khụng i. Bi 4 (3 im): Tỡm s nguyờn dng n nh nht sao cho trong khai trin ca nh thc New ton (1 + x) n cú hai s hng liờn tip m t s cỏc h s ca nú bng 7 15 Bi 5 (3im): Cho ba s thc dng x, y, z tha món iu kin 21xy xz Chng minh rng : 3 4 5 4 yz zx xy x y z . Khi no du ng thc xy ra ? Ht H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: www.VNMATH.com sở giáo dục và đào tạo quảng ninh h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2011-2012 môn toán bảng A. đề chính thức Bi S lc li gii im Bi 1a 2,5 im Vỡ AB vuụng gúc vi : y = x nờn AB cú dng y = x + m Gi honh ca A,B ln lt l a v b => A(a; m a) , B(b; m b) Ta cú 2 22 ( ) ( ) 2( )b a a b b aAB = => AB 2 = 2(b a) 2 = 24 (b a) 2 = 12 (a + b) 2 4ab = 12 (1) 0,5 Mt khỏc phng trỡnh honh im chung ca (C) v d l : 2 1 ( ) ( 3) 2 1 0 2 x m x f x x m x m x ; 2 x cú A, B phõn bit thỡ 2 2 5 0 (2) 0 mm f (2) 1 0f m (*) 0,5 Vi /k (*) theo Vi-et ta cú 3 21 a b m ab m th vo (1) c m 2 2m 7 = 0 1 2 2 1 2 2 m m 0,5 Vi m = 1- 22 => A(2- 2 - 3 ; 1 + 3 - 2 ) B(2- 2 3 ; -1- 2 - 3 ) 0,5 Vi m = 1+ 22 => A(2+ 2 + 3 ; 1 - 3 + 2 ) B(2+ 2 3 ; -1+ 2 + 3 ) 0,5 Bi 1b 2,5 im iu kin: 0 30 xy xy (*) t 3xy = a ; xy = b => H tr thnh : 2 (1) 1 (2) ab b x y ù += ù ỡ ù + - = ù ợ 0,5 Ta cú : 22 2 2 2 2 2 ab ab x b a b x a b x ù ù += += - ù ù ù < = > = > = ỡỡ ùù -= -= ùù ợ ù ợ 0,5 Th vo (2) ta c : 2 1 <=> 2 (3) 22 xx x y y x y - + - = < = > = = Th (3) vo (1) ta c 1 3 1x y x y y y+ + - = < = > + = 0,5 t 30yt= ta c : 2 3 21 2 3 3 0 21 3 2 ) ) t tt t ộ ờ = ờ ờ + - = < = > ờ - ờ = ờ ở (loại (nhận 0,5 Vi 21 3 5 21 22 ty = = > = v 5 21x =- (tha món iu kin * ) 0,5 www.VNMATH.com Vy h cú nghim 5 21 5 21 2 ; ổử -ữ ỗ ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ Bi 2 3 im Gi bỏn kớnh cỏc ng trũn ngoi tip v ni tip tam giỏc ABC l R v r. Ta cú : 2R = BC = BH + HC BH = 2 r cot a ; HC = 42 r cot( ) pa - => 2 2 4 2 R r rcot cot( ) a p a = + - 2R r H A C I B 0,5 => 1 2 2 4 2 cot cot R r a p a ộự ổử ữ ỗ ờỳ ữ = + - ỗ ữ ờỳ ỗ ữ ỗ ốứ ờỳ ởỷ 0,5 = 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 ccos ossin( ) ( ) sin sin sin( ) a p a p a a a p a - + - - 0,5 1 21 4 cos( ) p a = 1 21 4 cos( ) p a = 0,5 => R r nh nht khi 1 4 os()c p a -= tc l khi 4 p a = (vỡ 0 2 p a<< ) 0,5 Khi ú 1 21 21 R r = = + - 0,5 Bi 3a 3 im m n K H C A B D N M AC HM AC HN ù ^ ù ^ ỡ ù ^ ù ợ AC (BDMN) => ã MHN=> l gúc gia hai mp(ACM) v mp (ACN). 0,75 Doú ã 2 ( ) ( )ACM ACN MHN p ^ < = > = ã ã BMH DHN< => = 0,75 BMH DHN<=> D D: BM BH DH DN < = > = 0,75 2 2 2 2 2 2 a x xy a y a < = > = < = > = 0,75 Bi 3b 3 im T H k HK MN , theo trờn AC (BDMN) => AC HK .Vy HK l ng vuụng gúc chung ca AC v MN . 0,75 Ta cú BHKM v DHKN l cỏc t giỏc ni tip => ã ã ã ã HKB HMB HKD HND ù = ù ù ỡ ù = ù ù ợ 0,75 www.VNMATH.com Mà theo trên ta có · · HMB HND= nên · · · · 2 HKB HKD DHN HND p + = + = 0,75 HK = 12 22 a BD = H cố định còn HK không đổi ( có thể dùng biến đổi đại số dể chứng minh HK = 2 2 a ) 0,75 Bài 4 3 điểm Hai số hạng liên tiếp của khai triển là : 1 C vµ C kk nn + theo giả thiết ta có : 1 17 15 11 C C ! !( )! ! ( )!( )! k n k n n k k n k n n k k n k + + - = = = - + - - 1 => 22 15 1 32 77 kk nk ++ = = + + 1 Để lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt khi k ** n ++ ÎÎZZ thì số nguyên dương k nhỏ nhất để 1 7 * k + + Î Z là k = 6 Từ đó tìm được giá trị của n = 21. 1 Bài 5 3 điểm Ta có : 2 . 2 yz xz yz xz z x y x y (1) 0,5 2 2 4 (2) xy yz xy yz yy z x z x . 0,5 2 3 6 (3) xz xy xz xy xx y z y z 0,5 Cộng (1), (2), (3) ta có : 3 4 5 2 4 6 2 ( ) 2( ) yz zx xy z y x x z x y x y z 0,5 2 2 4 4 2 4xz xy xy xz 0,5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 21 yz xz xy x y z x y z xy xz 1 3 x y z 0,5 Các chú ý khi chấm: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết,lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thông nhất chi tiết nhưng không được quá số điểm dành cho câu, phần đó. 3.Có thể chia điểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. 4. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm. Không làm tròn điểm 5. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. www.VNMATH.com . im Bi 1a 2,5 im Vỡ AB vuụng gúc vi : y = x nờn AB cú dng y = x + m Gi honh ca A, B ln lt l a v b => A( a; m a) , B(b; m b) Ta cú 2 22 ( ) ( ) 2( )b a a b b aAB = => AB 2 . = x, DN = y. a, Tỡm h thc gia x, y hai mt phng (ACM) v (ACN) vuụng gúc vi nhau. b, Chng minh rng khi x, y thay i nhng luụn tha món iu kin nờu phn a, on vuụng gúc chung ca AC v MN cú di. ) sin sin sin( ) a p a p a a a p a - + - - 0,5 1 21 4 cos( ) p a = 1 21 4 cos( ) p a = 0,5 => R r nh nht khi 1 4 os()c p a -= tc l khi 4 p a = (vỡ 0 2 p a& lt;< ) 0,5