1 góc và KHOẢNG CÁCH

CHỦ ĐỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Góc hai đường thẳng không gian �Định nghĩa: O Trong không gian cho đường thẳng a , b Từ điểm ta vẽ đường thẳng a� , b�lần lượt song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc đường thẳng a� b�khơng thay đổi Do ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a� b� qua điểm song song với a b �Cách xác định góc hai đường thẳng: Để xác định góc đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại r r r r u ;v   Nếu u vectơ phương đường thẳng a v vectơ phương đường thẳng b a  b � �  � 90 � 180 �   90 �   � 180 � góc đường thẳng và Nếu đường thẳng a b song song trùng góc chúng 0� Góc hai đường thẳng góc có số đo 0�� �180� �Phương pháp tính góc hai đường thẳng: Để tính góc hai đường thẳng không gian ta cần nhớ công thức sau: 2 �  AB  AC  BC cos BAC AB AC – Định lý hàm số cosin tam giác ABC :   BA2  BC  AC CA2  CB  AB cos � ACB  2.BA.BC 2.CA.CB Tương tự ta có: uuur uuur �   AB  AC  BC  AB AC  AB AC cos BAC Chú ý công thức đặc biệt: uuur uuur – Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc hai vectơ AB CD dựa vào công thức uuu r uuu r uuu r uuu r AB CD uuu r uuu r AB.CD cos AB; CD  uuu r uuu r � cos  AB; CD   uuu r uuu r AB CD AB CD cos � ABC    Từ suy góc hai đường thẳng AB CD SA   ABC  Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , SA  a Gọi M , N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Lời giải: a AM  CE  Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy AE //CM � � AN ; CM  � AN ; AE   Khi     2 Mặt khác SC  SA  AC  2a � độ dài đường trung tuyến AN a SC AN   a AE  CM  2 Do ABC nên CM  AM � AMCE hình chữ nhật � CE   SAE  � CE  SE Khi CE  AE mà CE  SA SEC vuông E có đường trung tuyến EN  SC  a AN  AE  NE 3   � cos   AN AE 4 Ta có: uuur uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuu r uuur AN  AS  AC ; CM  AM  AC  AB  AC 2 Cách 2: Ta có: uuur uuuu r uuu r uuur �1 uuur uuur � uuur uuur 2 AN CM  AS  AC � AB  AC � AB AC  AC  a cos 60� a  3a 2 �2 � 4 Khi �  cos NAE   AN    SC a  a; CM  � cos = 2 3a a a  Lại có Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng cơng cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp toán trở nên dễ dàng nhiều! Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  AB  a; AC  a BC  a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải: Cách 1: Gọi M , N , P trung điểm SA, SB AC �MP //SC � � � SC; AB   � MP; MN  Khi �MN //AB AB a SC a MN   ; MP   2 2 Ta có Mặt khác SAC vuông BP  Suy S � SP  AC a  2 BA2  BC AC a   a � BP  2 PN  PS  PB SB a   a � NP  4 MN  MP  NP � cos NMP    � NMP �  120��   � SC ; AB   60� 2.MN MP Khi uuu r uur uur uuur uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur uuu r AB  SB  SA � AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC Cách 2: Ta có:    1 a2 2 2 2 SB  SC  AC  SA  SC  AB     2  2 a 2 cos  SC; AB    �  SC ; AB   60� a.a Suy AB  x1 , CD  x2 ; AC  y1 , BD  y2 , BC  z1 , AD  z2 Tính góc hai Ví dụ Cho tứ diện ABCD có đường thẳng BC AD Lời giải: uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r BC.DA  BC DC  CA  CB.CD  CB.CA   Ta có 1   CB  CD  BD    CB  CA2  AB    AB  CD  BD  CA  2 uuur uuu r BC DA x12  x22  y12  y22 cos  BC; DA    BC DA z1 z Khi �   � BC; AD  � � � �   AB; CD  � �    AC ; BD  � Đặc biệt: Nếu AB  CD  x; AC  BD  y BC  AD  z ta đặt � ta có: cos = x2  y2 z2 ; cos = y2  z x2 ; cos = z  x2 y2 SA   ABCD  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh 2a , SB  a Gọi M trung điểm AB N trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN Lời giải: �Cách 1: Do SA   ABCD  2 Ta có: SA  SB  AB  a Gọi E trung điểm AD I trung điểm AE Dễ thấy BNDE hình bình hành MI đường trung bình tam giác ABE Khi DN //BE //MI Ta có: AM  a; AI  AE a  2 SM  SA2  AM  2a ; SI  Mặt khác: 5a SM  MI  SI 10 5a � cos SMI    cos � SM ; DN  MI  AI  AM  Do 2.SM MI uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r SM DN  SM SN  SD  SM SN  SM SD �Cách 2: Ta có: 1   SM  SN  MN    SM  SD  MD  2 AC MN  a 2 2 2 2 2 2 Mặt khác: SN  SA  AN  SA  AB  BN  6a , , SD  5a , MD  5a 2  Do uuur uuur SM DN  2a � cos  SM ; DN    2a SM DN  2a 10  a 2.a SA   ABCD  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a; AD  a , SA  2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Lời giải: a) Do � BC //AD � � SD; BC   � SD; AD   SDA AD �  AD  � cos SDA  SD AD  SA2 SAD vuông A b) Gọi M , K trung điểm AB SA MK đường trung bình tam giác SAB Khi MK //SB , mặt khác MC //AI Suy SB; AI   � MK ; CM  � SB SA2  AB a 3a   ; MC  MB  BC  2 2 ; Ta có: KC  KA2  AC  2a MK  KM  MC  KC 1 � cos KMC   � cos � SB; AI   2.KM MC 5 Khi uur uur uur uur uur uur uur uur uur SB AI  SB SI  SA  SB.SI  SB.SA Cách 2: Ta có: 1   SB  SI  BI    SB  SA2  AB  2 25a 3a SB  5a ; SI  SA2  AD  DI  ; AI  AD  DI   IB Do   uur uur SB AI a2 uur uur a SB AI  � cos  SB; AI     SB AI a 3a Suy 2) Góc đường thẳng mặt phẳng a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng phẳng  P  P ta nói góc đường thẳng a mặt 90�(hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng gọi góc đường thẳng a mặt phẳng  P  P  P  góc a hình chiếu a�của (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90� b) Phương pháp xác định tính góc: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng  P  ta làm sau: Cách tìm hình chiếu a�của a mặt phẳng Tìm giao điểm M �a � P   A �M  xác định hình  P  Khi đó, a�là đường thẳng Tìm điểm A tùy ý đường thẳng a chiếu vng góc H A mặt phẳng qua hai điểm A M Ta có:   � a;  P    � AMH � HM cos   � AM � AH � �tan   MH � � AH d  A;  P   sin    � d A;  P   AM AM Xét tam giác vng AMH ta có: � (trong  khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  ) Bài tập xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng Loại 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy  ABC  Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy Như HA hình chiếu vng góc SA Vậy  ABC   ABC  � SA;  ABC    � SA; HA  SAH � Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB  a; BC  a Biết SA   ABC  , SB tạo với đáy góc 60�và M trung điểm BC a) Tính cosin góc SC mặt phẳng  ABC  b) Tính cosin góc SM mặt phẳng  ABC  Lời giải: a) Do �  60� SA   ABC  � � SB;  ABC    SBA � Do SA  AB tan SBA  a tan 60� a � AC  AB  BC  2a; � SC;  ABC    SCA Ta có: �  cos SCA Khi đó: b) Do AC  SC AC SA2  AC 2a  3a  4a �  SA   ABC  � � SM ;  ABC    SMA  �a � a AM  AB  BM  a  � �2 � � � � Ta có: cos   Khi 2 AM AM 133   2 SM 19 SA  AM SA   ABCD  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD  2a Biết đường thẳng SB tạo với đáy góc 45� a) Tính cosin góc tạo cạnh SC, SD mặt đáy  ABCD  b) Gọi I trung điểm CD, tính tan góc tạo SI mặt phẳng  ABCD  Lời giải: a) Gọi O trung điểm AD � OABC hình thoi cạnh a Do �  45� SA   ABCD  � � SB;  ABCD    SBA Do SA  AB tan 45� a � AC  AD  CD  a � cos � SC ;  ABC    cos SCA  AC AC a 3    SC SA2  AC a  3a �  cos � SD;  ABCD    cos SDA AD SA  AD 2  �a � a 13 AI  AC  CI  3a  � �  �2 � b) Ta có: �  SA  tan � SI ;  ABCD    tan SIA AI 13 Do Loại 2: Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao � CO  a  AD � ACD vng C Tìm góc cạnh bên SB mặt phẳng  SHA  với  SHA    ABH  BK  SH � BK   SHA  Dựng BK  AH , có Suy K hình chiếu vng góc B mặt phẳng Vậy  SAH  � SB;  SAH    � SB; SK   BSK � Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có tạo với đáy góc 60� Tính cosin góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng  SAB  ; SC mặt phẳng  SAD  b) SD mặt phẳng  SAC  AB  a, AD  a 3, SA   ABCD  Biết SC Lời giải: �  60� SA   ABCD  � � SC ;  ABCD    SCA a) Do 2 Lại có: AC  AB  AD  2a � SA  AC tan 60� 2a �SB  SA2  AB  a 13 � � 2 �SD  SA  AD  a 15 � SC  SA2  AC  4a � � Khi CB  SA � � � CB   SAB  � � SC ;  SAB    CSB � CB  AB Do � Mặt khác Tương tự �  cos CSB SB 13  SC � CD   SAD  � � SC ;  SAD    CSD �  cos CSD SD 15  SC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt uuur uuur đáy điểm H thuộc cạnh AB cho HB  2 HA Biết AB  3, AD  SH  Tính tan góc tạo bởi: a) SA mặt phẳng  SHD  b) SB mặt phẳng Lời giải: 2 � �SA  SH  AH  AH  1, HB  � � 2 � �SB  SH  HB  2 a) Ta có:  SHC  Dựng AE  DH � AE   SHD  � � SA;  SHD    � ASE AE  Mặt khác Suy AH AD AH  AD 37 AE  SA 185 tan � ASE  b) Dựng  BF  HC � BF   SHC  BF  � � SB;  SHC    BSF Khi  , BH BC BH  BC 2  10 �  BF  tan � SB;  SHC    tan BSF SB 10 Ta có: B C D có đáy ABCD hình chữ nhật có AB  2a, AD  2a , Ví dụ Cho hình lăng trụ ABCD A����  ABCD  trùng với tâm O hình chữ nhật ABCD, biết hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng BD  C mặt phẳng  A� cạnh bên AA�tạo với đáy góc 60� Tính cosin góc tạo với A� Lời giải: 2 Ta có: AC  AB  BC  4a � OA  2a  OC Do A� O   ABCD  � � A� O;  ABCD    � A� AO  60� � A� O  OA tan 60� 2a Dựng CH  BD � CH   A� BD  �� � � A� C ;  A� BD    CA H CH  Ta có: BC.CD BC  CD a , A� C  OA '2  OC  12a  4a  4a Suy �� cos CA H A� H  A� C A� C  HC 16a  3a 13   A� C 4a Loại 3: Góc đường cao mặt bên Tìm góc đường cao SH mặt phẳng  SAB  Dựng HE  AB, HF  SE Ta có: AB  SH � AB   SHE  � AB  HF Mặt khác HF  SE � HF   SAB  � F H mặt phẳng  SAB  hình chiếu vng góc � � SH ;  SAB    � HF ; SF   HSF  Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SA  a vng góc với đáy Tính góc SA mặt phẳng  SBC  Lời giải: Từ A kẻ AK vng góc với BC K AK  BC � BC   SAK  Ta có: SA  BC Kẻ AH  SK , H �SK Mà BC  AH Suy AH   SBC  � � SA;  SBC    � ASH  � ASK Tam giác SAK vuông A, có SA  AK  a � tam giác SAK vuông cân A nên � ASK  45� Vậy SA;  SBC    45� � SA   ABCD  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB  a, AD  2a, SA  2a Tính tan góc SA mặt phẳng  SBC  ,  SBD   SCD  Lời giải: �BC  AB � BC   SAB  � BC  SA � Do Dựng AM  SB � AM   SBC  � M hình chiếu vng góc  SBC  � SA;  SBC    � ASM  � ASB    Khi đó: Do tan   AB  SA � SA;  SCD    � ASD   Tương tự ta có:  tan   AD 1 SA �BD  AE � BD   SAE  � BD  AF � BD  SA AE  BD , AF  SE � Dựng ta có: Mặt khác Khi AF  SE � AF   SBD  � � SA;  SBD    � ASF  � ASE tan � ASE  AE AE  SA , AB AD AB  AD 2  2a AE � tan � ASE   SA 5 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  AB  2CD  2a SA   ABCD   SBC  ,  SCD  Biết SC tạo với đáy góc 60� Tính tan góc SA mặt phẳng  SBD  A Lời giải: 2 Ta có: AC  AB  BC  a Do �  60� SA   ABCD  � � SC ;  ABCD    SCA Suy SA  AC tan 60� a �BC  SA � BC  AM � BC  AB AM  SB � Dựng , có AM   SBC  � M Do phẳng  SBC  Suy ra: Ta có: hình chiếu A mặt SA;  SBC    � ASM  � ASB � tan � ASB  AB a   SA a 6 Gọi I trung điểm AD � ABCI hình vng cạnh a � CI  AD  a � ACD vng C Khi CD  SA � � CD   SAC  � CD  AC � Dựng � AN  SC � � SA;  SCD    � ASN  ASC Ta có: tan � ASC  AC a   SA a �AE  BD � �  SA;  SBD    � ASF  � ASE � AF  SE � Dựng AE  Mặt khác AB AD AB  AD  2a AE 30 � tan � ASE   SA 15 B C có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc B�lên Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A��� mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H cạnh AB, đường cao B�  H mặt phẳng  BCC � thẳng B� Lời giải: B� H 3a Tính cosin góc đường H �BC  B� � E ta có: �BC  HE suy Dựng HE  BC , HF  B� BC  HF � HF   B� BCC � B� H ;  BCC � B�  � �  �� ��  HB F  HB E �  a sin 60� a HE  HB sin HBE Ta có: �� cos HB E Do B� H  B� E B� H B� H  HE 2  Loại 4: Góc cạnh bên mặt bên (Nâng cao) Tính góc cạnh bên SC mặt phẳng Ta có công thức: sin   SC ;  SAB      0�� �90�   SAB  Đặt � d  C ;  SAB   SC Từ suy giá trị cos  tan  đề yêu cầu Chú ý: Để hiểu nội dung bạn phải nắm kiến thức khoảng cách, chưa rõ sau học xong khoảng cách quay lại nghiên cứu nội dung nhé! Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AD  2a, AB  a Tam giác SAD cân S thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳng SB tạo với đáy góc 30� Tính sin góc tạo bởi: a) SA mặt phẳng  SBC  b) SD mặt phẳng  SAC  Lời giải: Gọi H trung điểm AD ta có: SH  AD Lại có:  SAD    ABCD  � SH   ABCD  2 Ta có: HA  a; HB  HA  AB  a Do �  30� SH   ABCD  � � SB;  ABCD    SBH Suy SH  HB tan 30� a a) Do AD // BC � AD //  SBC  Do d  A;  SBC    d  H ;  SBC   �HE  BC � HF   SBC  Dựng �HF  SE ta có: BC  HF từ suy � d  H ;  SBC    HF  d  A;  SBC   2 Ta có: SA  SH  SA  a  SD d  A;  SBC   1 a   � HF  � sin � SA;  SBC     2 SH HE SA Mặt khác: HF b) Dựng Do HN  AC � AC   SHN  HI  SN � HI   SAC  , dựng d  D;  SAC   DA 2 � d  D;  SAC    2d  H ;  SAC    HI HA d  H ;  SAC   DM  AC � DM  Dựng d  D;  SAC   sin � SD;  SAC    Ta có: 2a a � HN  � HI  SD  a a  HN SH HN  SH  a � d  D;  SAC    a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB  a 3; AD  a , tam giác SBD tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo SA mặt phẳng  SBC  Lời giải: Gọi O trung điểm BD ta có: SO  BC mặt khác  SBD    ABC  � SO   ABC  BD  AB  AD  2a � SO  Ta có: Dựng BD  a OE  BC , OF  SE � OF   SBC  d  D;  SBC    2d  O;  SBC    HF Ta có: HE  � OF  Suy Do a AB  2 SH OE SH  OE d  A;  SBC    a a 21  7 2a 21 2 Mặt khác SA  SO  OA  a sin � SA;  SBC    d  A;  SBC   SA  42 B C có đáy tam giác vuông A với AB  a; AC  a , hình Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A��� H  a Tính cosin góc tạo chiếu vng góc A�lên mặt đáy trùng với trung điểm H BC Biết A� A�  B với mặt phẳng  ACC � A� Lời giải: E Dựng HE  AC HF  A� H �AC  A� � AC  HF � HF   AA� C � AC  HE Ta có: � Khi d  H ;  A� AC    HF d B;  AA� C    2d  H ;  AA� C  Lại có BC  HC nên  Mặt khác ME đường trung bình tam giác ABC nên ME  AB a  2 HF  Khi đó: Suy HE A� M HE  A� M d  B;  AA� C    a 2a ; BC  AB  AC  2a B  A� H  HB  a Lại có A� Suy sin � A� B;  A� AC    sin   d  B;  A� AC   BA�  57 � cos    sin   9 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh MN  BD Lời giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD �IN // AC � BD  IN � AC  BD Ta có: � (1) �IM // BE � IM  PO � Mặt khác �BE  PO (*) Mà PO  BD (**) (Do BPD tam giác cân P có đường trung tuyến PO) Từ (*) (**) ta có: BD  IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD   IMN  � BD  MN ... (trong  khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  ) Bài tập xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng Loại 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy  ABC  Gọi H hình chiếu vng góc S mặt... 2) Góc đường thẳng mặt phẳng a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng phẳng  P  P ta nói góc đường thẳng a mặt 90�(hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng gọi góc. ..  P  góc a hình chiếu a�của (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90� b) Phương pháp xác định tính góc: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng  P  ta làm sau: Cách tìm