giao an dia ly 6

[r]

Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp Bài tập 1: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với:

.M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ) Bài tập Chứng minh đẳng thức sau:

a) ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a + b ) x + ab;

b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x3 + ( a + b + c ) x2 + (ab + bc + ca) x + abc. Bµi tËp 3: Cho a + b + c = 2p

Chứng minh đẳng thức: 2bc + b2 + c2– a2 = 4p ( p – q ) Bài tập 4:

Cho biÓu thøc: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x2 TÝnh M theo a,b,c biÕt r»ng x =

2

a +

b +

c

Bµi tËp Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chøng minh r»ng: x =y = z

HD  2 2 2 

            

y z x y z x y z xy yz zx

x

0

2 2

      

 x y z x y z

Bµi tËp Cho x + y = a + b, x2 + y2 = a2 + b2; Chøng minh r»ng: x3 + y3 = a3 + b3.

Bµi tËp Cho a + b = m, a – b = n ; TÝnh ab vµ a3 - b3 theo m vµ n. Bµi tËp Cho x+ y =

Tính giá trị biểu thức: A = x2 + 2xy + y2 -4x - 4y + 1. Bài tập Cho a2 + b2 + c2 = m Tính giá trị biểu thức sau theo m: A = ( 2a + 2b - c )2 + ( 2b + 2c - a )2 + ( 2c + 2a - b )2. Bài tập10 Chứng minh đẳng thức sau:

a) ( a + b + c )2 + a2 + b2 + c2 = ( a + b)2 + ( b + c)2 + ( c + a)2; b) x4 + y4 + ( x + y )4 = ( x2 +_xy + y2 )2

Bµi tËp 11

Cho a2 - b2 = 4c Chứng minh đẳng thức ( 5a – 3b + 8c ) ( 5a – 3b – 8c ) = ( 3a – 5b )2

Bµi tËp 12 Chøng minh r»ng nÕu: ( a2 + b2) ( x2 + y2) = ( a x + by )2 Với x,y khác

x a

= by Bµi tËp 13

Chøng minh r»ng nÕu: ( a2 + b2 + c2) ( x2 + y2 + z2) = ( a x + by + cz )2 Với x,y,z khác

x a

= y b

= z c

Bµi tËp 14 Cho ( a + b )2 = 2( a2 + b2 ) Chøng minh r»ng: a = b.

HD ( a + b )2 = 2( a2 + b2) a22abb22a22b2a2 2abb2 0a b20a b0ab. Bµi tËp 15 Chøng minh r»ng a = b = c có điều kiện sau:

a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca; b) ( a + b + c )2 = ( a2 + b2 + c2 ); c) ( a + b + c )2 = (ab + bc + ca ).

Bài tập 16 Tính giá trị biểu thức: a4 + b4+ c4, biÕt r»ng a + b + c = vµ: a) a2 + b2 + c2 = ; b) a2 + b2 + c2 =1.

Bµi tËp 17 Cho a + b + c = Chứng minh a4 + b4+ c4 biÓu thøc: a)2 ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ); b) 2(ab + bc + ca )2; c)

2 ) (a2 b2 c2

 

Bài tập 18.Chứng minh đẳng thức:

b) a3b3c3 3abcabca2b2c2  ab bc ca;

Bµi tËp 19 Cho a + b + c = chøng minh r»ng a3b3 c3 3abc. Bµi tËp 20 Cho x + y = 0, x y = b tính giá trị biểu thức sau theo a, b

a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 d) x5 + y5

Bµi tËp 21

a)Cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 +3xy; b)Cho x - y = TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: x3 - y3 -3xy;

c)Cho x + y = vµ x2 + y2 = 10 Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 ;

d) Cho x + y = a x2 + y2 = b Tính giá trị cđa biĨu thøc: x3 + y3 theo a, b.

Bµi tËp 22 Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: A = a3 + b3 +3ab(a2 + b2) + a2b2 (a + b) Bµi tËp 23 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: B= a3 + b3 + c(a2 + b2) - abc

Bµi tËp 24 Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nÕu; a2(b c) b2(c a) c2(a b)

   



Bµi tËp 25 Chøng minh r»ng nÕu a2 + b2 = 2ab th× a = b.

HD.a2 b2 2ab a2 b2 2ab a b2 a b a b

             

Bµi tËp 26 Chøng minh r»ng nÕu a3 + b3 + c3 = 3abc vµ a, b, c số dơng a = b = c.

HD 3 3 3 3 3 3 3 3 0

 

        

b c abc a b a b ab c a b ab abc

a

  

     

) ( ) ( ) ( 2 2 2

0

0

0

3

0 ) (

3 )

( ) ( ) ( ) (

3 )

(

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

3

3

c b a a

c c b b a bc

ac ab c b a

bc ac ab c b a bc

ac ab c b a

c b a

bc ac ab c b a c b a ab

c bc ac b ab a c b a

c b a ab c

c b a b a c b a c

b a ab c b a

                

       

 

     

   

          

       

   

          

  

Bµi tËp 27 Chøng minh r»ng nÕu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd vµ a, b, c, d số dơng a = b = c = d. Bµi tËp 28 Chøng minh r»ng nÕu mabcth× (am bc)(bm ac)(cm ab) (a b)2(b c)2(c a)2

 

   



Bµi tËp 29 Cho 2 1

 b

a , 2 1

 d

c ,acbd 0, chøng minh r»ng: abcd 0 Bµi tËp 30 Cho biÕt x, y, z # 0, vµ  2 2 2 2

2

c b a z y x

cz by ax

    

 

.Chøng minh r»ng:

z c y b x a





Bµi tËp 31 Cho biÕt axbycz0 tÝnh 2 2 2

2

2 ( ) ( )

) (

cz by ax

y x ab x

z ca z y bc A

 

    



Bµi tËp 32 Cho biÕt abc0, a, b, c # TÝnh 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b a c

ca a

c b

bc c

b a

ab B

       



HD a b c a b c (a b)2 ( c)2 a2 2ab b2 c2 a2 b2 c2 2ab

                   

T¬ng tù ta cã:b2 c2 a2 2bc;c2 a2 b2 2ca

    

 

 , thay vào B ta đợc:

2 2 2

2

        

    

ca ca bc bc ab ab B

Bµi tËp 33 Cho biÕt 11 2; 12  12  12 2

c b a c b

a Chøng minh r»ng: abc abc

HD 1 1 12 12 12 1

2

    

 

          

 

     

ca bc ab c

b a c

b a c

abc c b a ca

bc ab ca

bc ab ca

bc

ab     

 

 

       

 

  

    

 

  

 2 1 1 1 1

Bµi tËp 34 Cho biÕt   0 c z b y a x

vµ   2 z c y b x a

Tính giá trị biểu thức: 2 2 2

z c y b x a





HD.B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã: 2

2 2 2

    

 

          

 

     

zx ca yz bc xy ab z

c y b x a z

c y b x a z

c y b x a

   



  

    

xyz cay bcx abz z

c y b x a

2 2 2 2

Mµ   0   0 abzbcxcay0

xyz cay bcx abz c

z b y a x

2

4 22 22 22

2 2 2

              

z c y b x a xyz z

c y b x a

Bµi tËp 35 Cho (a b c)2 a2 b2 c2

   

 vµ a, b, c # Chøng minh r»ng:

abc c

b a

3 1

3

3   

HD ( )2 2 2 2 2 2 2

                

b c a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a

c b a c

b a

1 1 1

     

 ; lËp ph¬ng hai vÕ ta cã:

3

1

1

             



c b

a

1

1 1 1 1 1 3 1

3 3

3 3

3 3 2

3

abc c b a

c ab c

b a b a ab c

b a c ab b a b a

   

           

 

      

  

Bµi tËp 36 Cho

b c c a a b a c c b b a

   

 chøng minh ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng

Bài tập 37 Cho a, b, c khác đôi 1110 c b

a Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

a)

ab c ac b bc a M

2

1

1

2

2

    

 ;

b)

ab c

ab ac

b ca bc

a bc N

2

2 2

2

    

 ;

c)

ab c

c ac b

b bc a

a P

2

2

2

2

2

    



HD.a) ab bc ca ab bc ca bc ab ca ca ab bc

c b

a  0   0   ;   ;  

1 1

; thay vào M ta đợc:

0 ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( (

) )( (

1 )

)( (

1 )

)( (

1

) ( ) (

1 )

( ) (

1 )

( ) (

1

1

1

1

1

1

2

2

2

   

        

 

  

 

  

 

           

             

            

    

a c c b b a

b a a c c b b a a c c b

b a a

c c b b a

a c c

b a c b a

c b

a c c b c

b b a a

c b a

c b a c b c b a c b a b b a c b a a

ca bc ab c bc ab ac b ca ab bc a ab c

ac b

bc a

M

b)Tơng tự câu a thay abbcca0 abbc ca,bcab ca,caab bc, thay vào P ta đợc:

ca bc ab c

c bc

ab ac b

b ca

ab bc a

a ab

c c ac b

b bc a

a P

                

 2

2

2

2

2

2

2

2

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 c b a c b c c b a c b a b b c a b c a a a               ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 2 2 c a c b c c b b a b b a c a a c a c b c b c b a b b a c a a                   ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( )

( 2

2 b a c a c b b a c c a c b b a c a b c b b a c a c b a                ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) ( )

( 2 2 2

2 c b b a c a b c a c c b a b c b a c b b a c a b a c a c b c b a                  

  1

) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) ( ) ( ) )( )( ( ) )( ( ) )( )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( 2 2 2                                            c b b a c a c a b a c b c b b a c a c b c b a a c b c b b a c a bc ac ab a c b c b b a c a c b bc c b c b a c b a c b b a c a b c c b a c a b c b a

c)Tơng tự câua,b thayabbcca0 abbc ca,bcab ca,caab bc vào P phân tích thành nhân tử ta đợc:

) )( ( ) )( ( ) )( ( 2

2 2

2 b c a c

ab c b b a ca c a b a bc ab c ab ac b ca bc a bc P                ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( )

( 2 2

b a c a c b ab b a a c c a c b bc b a c a c b b a ab c a c b b a c a ca c b c a b a c b bc                          

    1

) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) ( ) ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) ( ) )( )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( )( ( ) ( 2 2 2                                                   b a a c c b c a b a c b b a a c c b b a c b a a c b b a a c c b ac bc ab a c b b a c a c b ac ab a bc c b b a c a c b c b c b a c b a c b bc b a c a c b a c ab c a b a c b bc

Bài tập 38 Cho a, b, c số đôi khác

b a c a c b c b a     Tính giá trị biểu thức: M =

                    a c c b b a

HD a b c b c a c a b

c b a c b a b a c a c c b b a b a c a c b c b a , , 2 ) (                          

1   

                                            c b a c b a a b c a b c a c a c c b b b a a c c b b a M

Bµi tËp 39.Cho a.b c = 1, vµ

c b a c b

a  1 11.Chøng minh r»ng ba số a,b,c tồn số Bài tËp 40 Chøng minh r»ng nÕu xyzavµ

a z y x 1 1  

 tồn ba số x, y, z b»ng a

HD.Theo bµi ta cã:  

z y x xyz zx yz xy z y x z y

x   

      

1 1

1

  

 

x x y z y x  y z x y x z x y y z z x z y xz yz xy x z y y z xz z y yz y z xy z y x xyz xz yz z y xy xyz z x y x xyz xz yz xyz xyz z y xy z x xyz y x xyz z y x zx yz xy                                                          ; ; ) )( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2

Do vËy ba số x,y,z phải a Bài tập 41 Các biểu thức xyzvà

z y x 1 

 giá trị đợc hay khơng Bài tập 42 Tính giá trị biểu thức

BiÕt r»ng: 2abycz,2baxcz,2caxby vµ abc0

HD.Từ 2abycz,2baxcz,2caxby cộng vế với vế ta đợc: 2(abc)2(axbycz) c

c b a z c z c

b a cz c c b a cz by ax c b

a                   

 (2 )

Thay tơng tự ta đợc:

b c b a y a

c b a

x2   , 2   Thay vào M ta đợc:

2 2

               

c b a

c c b a

b c b a

a z

y x M

Bµi tËp 43 a) cho a.b.c = Rót gän biÓu thøc:

2 2

2      

 

c ac

c b

bc b a

ab a

M ;

b) cho a.b.c = Rót gän biĨu thøc:

1

1      

 

c ac

c b

bc b a

ab a

N

Bµi tËp 44 Cho

c b

b a c a

 

 , a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # Chøng minh r»ng:

c c b b a a

1 1

1

   



Bµi tËp 45 Cho, a # 0, b # 0, c # Rót gän c¸c biĨu thøc sau: a)

ab c ca b bc a

A   b) 2 2 2

2

2

2

2

2

b a c

c a

c b

b c

b a

a B

       



Bài tập 46 Tính giá trị biểu thức sau, biÕt r»ng abc0



A 

  

 

        



 

   

a c

b c b

a b a

c b

a c a

c b c

b a

Bµi tËp 47 Chøng minh r»ng nÕu (a2 bc)(b abc) (b2 ac)(a abc)

 

số a, b, c a b khác

thì

c b a c b

a  1 11

Bµi tËp 48 Cho   0,   0,   0

z c y b x a z y x c b

a Chøng minh r»ng: 2 0

  bx cx

ax

HD abc0 abc;bca;acb cxy bxz ayz xyz

cxy bxz ayz z

c y b x a

        

 0

     

           

   

  

 

        

2

2

2

2

2

2

2 ; ;

) (

y x c x z b z y a cx bx ax

y x z x z y z y x z y x z

y x

2

2

2

2 2ayz az bz 2bzx bx cx 2cxy cy

ay        



) (

) (

2 ) ( ) ( ) (

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

cz by ax cz

ax by cxy bzx ayz b

a z c b x c a y

cxy bzx ayz bz az cx bx cy ay

          

     

  

    

0

) (

2 2 )

( 2 2 2 2 2

2 2

       

   

    

bx cx ax by cz ax bx cx ax bx cx ax bx cx

ax

Bµi tËp 49 Cho

x xz z

yz y

xy 1 1

   

Chøng minh r»ng: x = y = z hc x2y2z2 = 1. HD

x z z y y x x xz z yz y

xy 1 1 1

          

;Trừ vế với vế ta đợc: xy

y x x y x z xz

x z z x z y yz

z y y z y

                                                1 ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( 2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x z y x x z z y y x z y x x z z y y x x z z y y x z y x x z z y y x z y x x z z y y x x z z y y x xy y x xz x z yz z y x z z y y x

Bµi tËp 50 Cho 1

   

 a b

c a c b c b a

Chøng minh r»ng:

2 2     

 a b

c a c b c b a .

HD Nh©n hai vÕ cđa 1    

 a b

c a c b c b a

với abc ta đợc:

0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2                                                    b a c a c b c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a b a c b a c a c c a b a c b c b c b a c b a c b a b a b a c c a c c a b b c b c b a a

Bµi tËp 51 Cho 0

   

 a b

c a c b c b a

Chøng minh r»ng:

) ( ) ( ) ( 2 2 2     

 a b

c a c b c b a HD Bình phơng hai vế ta đợc:

2           

 a b

c a c b c b a ) ( ) ( ) ( 2 2 2                       c b a b a c b a c a c b a c b c b a b a c a c b c b a

  ( )  ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2                       c b b a ca b a a c bc a c c b b a b a c a c b c b a      

   ( ) ( )

) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2                             a c c b b a a c ca c b b a a c c b bc b a a c c b b a b a b a c a c b c b a    

 

) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2                       b a a c c b a c ca c b bc b a b a b a c a c b c b a  

 

) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2                       b a a c c b bc a c c b ca b a b a b a c a c b c b a  

 

) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2                        b a a c c b b a c b a b a c b a b a b a c a c b c b a   

 

) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2                      b a a c c b c cb ca ab b a b a c a c b c b a   

 

) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2                      b a a c c b c b c c b a b a b a c a c b c b a  

 

) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2                      b a a c c b a c c b b a b a c a c b c b a ) ( ) ( ) ( 2 2 2         b a c a c b c b a ) ( ) ( ) ( 2 2 2        b a c a c b c b a

Bµi tËp 52 Cho a x

x1  TÝnh giá trị biểu thức sau theo a: a) 12

x

x  ; b) 13

x

x  ; c) 14

x

x  ; d) 15

x

Bµi tËp 53 Cho a, b, c tho¶ m·n a, b, c # 0, vµ abbcca0 TÝnh

abc

a c c b b a

P(  )(  )(  ) HD

b ac c a ca c a b ca

bc

ab  0 (  )    , t¬ng tù ta cã:

c ab b a a

bc c

b  ,   ; Thay vào P ta đợc:

1

)

)( )( (

2 2

2 2

  

        

c b a

c b a abc

b ac a

bc c

ab abc

a c c b b a

P

Bài tập 54 Cho a, b, c thoả m·n (ab)(bc)(ca) # vµ

b a

c a c

b c b

a a c

c c b

b b a

a

          

2 2 2

Chøng minh r»ng: a = b = c

HD 2 2 2 2 2 2 0

                     

 c a

b a c

c c b

a c b

b b a

c b a

a b a

c a c

b c b

a a c

c c b

b b a

a

0 2 2 2

         

a c

b c c b

a b b a

c a

, mà (ab)(bc)(ca) # nên để 2 2 2 0        

a c

b c c b

a b b a

c a

, Th× a2  c2 0,b2  a2 0,c2  b2 0 ab,bc,ca v× (ab)(bc)(ca) # nên a = b = c Bài tập 55 Cho x, y, z # 0, vµ xyzxyz vµ 11 1

z y

x

Tính giá trị biểu thức: 2 1

z y x

P  

HD 1 1 32 12 12 12 1

2

    

 

          

 

     

zx yz xy z

y x z

y x z

y x

3

1 1

1 1

2 2

2

2 

  



  

        

 

  

  

xyz z y x z

y x zxy

y yzx

x xyz

z z

y x

1

3

3 1

2

2 

          



  

     

xyz xyz xyz

z y x z

y x P

Bµi tËp 56.Rót gän biĨu thøc a)

) )( (

1 )

)( (

1 )

)( (

1

b c a c c b a b c a b a A

        

b)

) )( (

1 )

)( (

1 )

)( (

1

b c a c c c b a b b c a b a a B

        

c)

) )( ( ) )( ( ) )(

( c a c b

ab c

b a b

ac c

a b a

bc C

        

d)

) )( ( ) )( ( ) )( (

2

2

b c a c

c c

b a b

b c

a b a

a D