Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ======o0o====== CAO THỊ NGUYỆT GIAO THOA COULOMB –HADRON TRONG MƠ HÌNH EIKONAL LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - CAO THỊ NGUYỆT GIAO THOA COULOMB–HADRON TRONG MÔ HÌNH EIKONAL Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS: NGUYỄN NHƢ XUÂN Hà Nội – 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB 1.1 Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác 1.2 Pha eikonal gần eikonal CHƢƠNG : HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ 2.1 Hệ số dạng điện từ công thức cho pha………………… 11 2.2 Hệ số dạng xung lượng truyền nhỏ……… 13 CHƢƠNG : PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB CẢI BIẾN 3.1 Phép khai triển Born eikonal……………………… 16 3.2 Biểu thức pha kể thêm hệ số dạng 17 KẾT LUẬN 22 PHỤ LỤC A PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS… 23 PHỤ LỤC B CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH 26 SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ B.1 Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần 26 B.2 Phương pháp hàm Green 34 B.3 Phương pháp chuẩn cổ điển 41 B.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal 43 B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal 43 B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần 44 B.5 Sơ đồ mối liên hệ phương pháp toán tán xạ 45 PHỤ LỤC C HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLON………………………… 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết tán xạ tồn toán, hạt thực tế tham gia đồng thời hai hay nhiều tương tác khác Ví dụ, tương tác hạt nhân hạt mang điện, tương tác hạt nhân, cần phải xét tương tác Coulomb hạt va chạm [2] Sử dụng phép gần chuẩn cổ điển học lượng tử, Bethe thu công thức cho tán xạ thế, với góc tán xạ nhỏ proton lên hạt nhân, có tính đến giao thoa biên độ tán xạ Coulomb biên độ tán xạ hạt nhân [17] Biên độ tán xạ đàn tính ký hiệu F C N biểu diễn cách hình thức dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [17]: F C N F C F N ei (0.1) F C - biên độ tán xạ hồn toàn Coulomb, F N - biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan với tương tác mạnh), 1/137,036 số cấu trúc, pha tương đối - lệch pha dẫn tương tác Coulomb tầm xa Sử dụng mơ hình tán xạ thế, Bethe có kết cụ thể cho pha [17] 2ln 1,06 / qa (0.2) q xung lượng truyền, cịn a tham số đặc trưng cho tương tác tầm xa hạt nhân Cơng thức (0.2) nhóm thực nghiệm sử dụng để đánh giá phần thực biên độ tán xạ hạt nhân phía trước Phần thực biên độ tán xạ cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [16], hay dáng điệu tiệm cân tiết diện tán xạ toàn phần [10], hay việc kiểm nghiệm mơ hình lý thuyết khác cho tương tác mạnh Những tiến khoa học công nghệ cho đời máy gia tốc lượng cao cung cấp cho hội nghiên cứu thực nghiệm trình tán xạ đàn tính pp pp lượng khối tâm ngày cao, đặc biệt xác định tiết diện tán xạ tồn phần q trình này, liên quan đến phần ảo biên độ tán xạ trước tỉ số phần thực phần ảo biên độ tán xạ, suy từ định lý quang học Lưu ý rằng, tiết diện tán xạ suy từ nguyên lý lý thuyết tán xạ lượng tử dễ dàng so sánh với thực nghiệm [28] Để xác định biên độ tán xạ phía trước thơng thường người ta sử dụng giao thoa với biên độ giao thoa Coulomb Nếu tiến hành chuẩn hóa biên độ tán xạ Coulomb theo công thức d dt sp cm (0.3) biên độ tán xạ Coulomb (cho hạt tích điện dấu) Fc s q2 (0.4) với q xung lượng truyền khối tâm Nếu giả thiết xung lượng nhỏ coi lượng tán xạ pp pp điểm cao: s M p2 Chúng ta xét trình tán xạ hạt – hạt trước, sau ngoại suy kết trình tán xạ hạt phản hạt Trong vùng xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ cổ điển tham số hóa dạng: F N Ae Bq /2 (0.5) : B 1015 GeV 2 Theo định lý quang, biên độ tán xạ toàn phần bằng: TOT 4 pcm s ImFN q (0.6) Với lượng siêu cao, tiết diện tán xạ tồn phần xấp xỉ 40 mb Im A 4GeV 2 s biên độ tán xạ đàn tính Coulomb hadron gần xung lượng truyền q GeV Phần lớn, biên độ tán xạ ảo Từ việc xác định giao thoa biên độ tán xạ Coulomb biên độ tán xạ hadron, thu pha giao thoa trình Biểu thức (0.4) mô tả biên độ tán xạ Coulomb cách đơn giản gần Born Tuy nhiên, thực tế biên độ tán xạ Coulomb đặc trưng pha Coulomb liên quan đến chất lực Coulomb Hơn khơng thực mơ tả biên độ tán xạ giao thoa Coulomb hadron Nó biểu diễn biên độ tán xạ đơn lẻ cho loại tương tác Biên độ tán xạ Coulomb vùng xung lượng truyền nhỏ biên độ tán xạ hadron vùng xung lượng truyền lớn Thậm chí vùng tương tác mạnh hadron, việc tìm biên độ tán xạ chúng liên quan đến toán trao đổi photon “mềm” có xung lượng ảo Rõ ràng có ảnh hưởng tương tác điện từ đến biên độ tán xạ hadron Giao thoa Coulomb chất hạt nhân West Yennie [17] xem xét lại khơng dựa lý thuyết tán xạ mà hồn toàn dựa vào giản đồ Feynman lý thuyết trường lượng tử Họ thành cơng việc tìm biểu thức tổng quát cho biểu thức pha theo số hạng biên độ tán xạ đàn tính hadron: W-Y ln s q2 dq '2 F N (q '2 ) '2 1 s | q q | F N (q ) (0.7) Bằng cách tham số hóa thích hợp cho biên độ tán xạ hadron dạng: F N exp(-Bq2 / ) , suy ra: W Y ln Bq / O Bq (0.8) với 0, 577 số Euler West Yennie xem xét vài vấn đề khác bổ tương tác điện từ với tương tác mạnh hadron Họ xét đến xạ photon thực yếu tố quan trọng tán xạ p lại bỏ qua vấn đề tán xạ pp Các giản đồ Feynman họ xem xét, bao gồm phân kỳ hồng ngoại họ nhấn mạnh bỏ qua giản đồ cho đóng góp vào pha mà Một điểm cần lưu ý cần phải tính đến đóng góp giản đồ phân cực chân không lực tương tác Coulomb [4] Nó dẫn đến phụ thuộc số tương tác điện từ vào bình phương xung truyền q2 : (q ) 1 q2 ln 3 4me2 (0.9) Kết làm tăng khoảng 50% giá trị số tương tác khoảng q2 quan tâm Mục đích Luận văn Thạc sỹ khoa học xem xét lại vấn đề kèm theo việc xác đinh lại pha khuôn khổ mô hình eikonal Nó cung cấp tồn tranh vật lý trình tán xạ đưa cách nhìn khác biệt so với tính tốn West Yennie [8] Bản luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu dẫn phụ lục Chƣơng 1: Mơ hình eikonal giao thoa Coulomb Ở ta xuất phát từ mơ hình eikonal cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), pha eikonal tính từ biên độ tán xạ Born Trong mục 1.1 ta tính biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb tương tác hạt nhân sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal ta vận dụng gần eikonal cho tương tác Coulomb Chƣơng 2: Hệ số dạng điện từ Để vấn đề giao thoa Coulomb hiểu rõ hơn, chương kể thêm hệ số dạng điện từ nuclon Về mặt vật lý, nuclon khơng phải hạt điểm quan niệm trước đây, mà có cấu trúc Cấu trúc xác định hệ số dạng điện từ ( bao gồm hệ số dạng điện hệ số dạng từ, xem phụ lục C) Trong Luận văn ta bỏ qua spin hạt, nên hệ số dạng điện từ đơn giản hàm số Trong mục 2.1 nghiên cứu cải biến biên độ tán xạ Coulomb tính đến hệ số dạng điện từ, ta thu biểu thức tổng quát cho pha Việc cụ thể hóa dạng hệ số dạng xem xét mục 2.2 Chƣơng 3: Pha biên độ tán xạ Coulomb cải biến Kể hệ số dạng nuclon làm thay đổi biên độ tán xạ Coulomb Ở ta xem xét phép khai triển hỗn hợp Born – eikonal cho biên độ tán xạ tính pha biên độ tán xạ Coulomb cải biến Trong mục 3.1 ta xem xét phép khai triển hỗn hợp Born – eikonal cho biên độ tán xạ cụ thể hóa trường hợp hồn tồn Coulomb Việc kể thêm bổ hệ số dạng hạt tìm biểu thức cho pha xem xét mục 3.2 Trong phần kết luận ta hệ thống hóa kết thu thảo luận việc mở rộng nghiên cứu cho toán lý thuyết trường lượng tử Phần phụ lục A đưa số tính tốn bổ sung cho pha biên độ tán xạ dạng Gauss Trong phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên độ tán xạ từ cách giải khác phương trình Schrodinger học lượng tử Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử c metric Feynman Các véctơ phản biến tọa độ x x0 t , x1 x, x y, x3 z t , x véctơ tọa độ hiệp biến x g x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z t , x , g g 1 0 1 0 0 1 0 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến Chƣơng MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB Trong chương ta xuất phát từ mơ hình eikonal cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), pha eikonal tính từ biên độ tán xạ Born Trong mục 1.1 ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb tương tác hạt nhân sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal ta vận dụng gần eikonal cho tương tác Coulomb trình bầy mục 1.2 1.1 Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tƣơng tác Mơ hình eikonal thuận tiên sử dụng xem xét tán xạ hạt với góc tán xạ nhỏ dựa phép gần đúng, coi quĩ đạo hạt tán xạ thẳng (còn gọi gần quĩ đạo thẳng) Trong quĩ đạo pha trình tán xạ b chứa tồn thơng tin q trình tán xạ F q2 s iq b e2i (b ) 1 d be 4 i (1.1) Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ vùng lượng cao tổng quát, với ý nghĩa, khơng dựa vào chế tương tác cụ thể Tất động lực học trình mơ hình eikonal xác định, cho trước dạng cụ thể pha (b) Pha phụ thuộc vào tham số va chạm b lượng khối tâm Ở lượng siêu cao pha (b) xác định biểu thức: b d 2 s qeiq.b FBorn q (1.2) Ở bỏ qua phụ thuộc s biên độ tán xạ Born Khi đó, biên độ tán xạ eikonal vùng lượng lớn là: Feik q s d 2beiq.b e2i (b ) 1 4 i (1.3) Chúng ta giả thiết có pha eikonal, C N , tương ứng với trình tán xạ: tán xạ Coulomb tán xạ hạt nhân, biên độ tán xạ đầy đủ là: F N C q s iq.b 2i ( C ( b ) N ( b )) d be e 1 4 i (1.4) Nếu bỏ qua lực hạt nhân biên độ tán xạ Coulomb có dạng: F C q2 s iq.b 2i C ( b ) d be e 1 4 i (1.5) Cón bỏ qua lực tương tác Coulomb có biên độ tán xạ hadron hạt nhân: F N q2 s iq.b 2i N ( b ) d be e 1 4 i (1.6) Kết hợp biểu thức trên, viết lại biểu thức biên độ tán xạ (1.4) dạng F N C b F C q F N q C N s d 2beiq.b e2i (b ) 1 e2i (b ) 1 4 i c N i q q' b s iq' b 2i b e e2i b 1 F q F q d be e 4 i C N F C q2 F N q2 (1.7) i d q ' F C q '2 F N q q ' s Biểu thức (1.7) biểu thức tổng quát hóa biên độ tán xạ eikonal tán xạ nuclon hạt nhân có trộn lẫn loại tương tác, tương tác Coulomb tương tác hạt nhân 1.2 Pha eikonal gần eikonal Để áp dụng biểu thức cho toán sau, cần lấy biên độ tán xạ Coulomb gần eikonal Từ biểu thức (1.2) (0.4), đưa vào khối photon khối lượng nhỏ để khử phân kỳ hồng ngoại: C b d 2 s s qeiq.b 2 q (1.8) 1 d qeiq.b K (b ) ln b O(b ) 2 2 q số hạng dạng O(b ) bỏ qua khối lượng photon đưa vào tiến tới không Như thay (1.8) vào (1.5) ta có: F C q 4 i d be s iqb 2i ln 12 b e 1 10 r r ur Các điều kiện biên hàm f (r ) G (r , r ') xác định từ điều kiện biên r hàm y (r ) Phương trình tích phân (B.2.2) gọi phương trình LippmanSchwinger Các nghiệm phương trình (B.2.3) (B.2.4) là: r r r r r i k r - i k r , f (r ) = A0e + B 0e r r ù é ik rr - rr ' - ik r - r ' r r ê ú ê e e ú, G (r , r ') = A + B r r r r ê ú 4p ê r - r ' r- r'ú êë ú û (B.2.5) (B.2.6) (B.2.6) ý A+B =1 Sử dụng phương trình (B.2.5) (B.2.6), nghiệm phương trình Lippman-Schwinger (B.47) viết lại dạng: r r ù é ik rr - rr ' - ik r - r ' ê e ú r r e ê ò d r ' êA r r + B r r úúU (r )y (r ') (B.2.7) ê r- r' r- r'ú ú ëê û ur Theo điều kiện biên hàm sóng y (r ) phải bao gồm hai thành phần: thành ur r r r r y (r ) = A0e i k r + B 0e - i k r 4p phần sóng tới sóng phẳng truyền theo chiều dương trục z thành phần cịn lại sóng cầu tán xạ Vì B0= B = (B.2.7) viết lại dạng: ur r r y (r ) = A0e i k r 4p r r ik r - r ' r r e d r ' U ( r )y (r ') r r ò r- r' (B.2.8) Như phân tích trên, biên độ tán xạ thu miền tiệm cận hàm sóng Trong phần lớn toán mà xem xét, U(r) xác định thể tích hữu hạn khơng gian máy đo (detectors) hiệu ứng tán xạ đặt xa vùng có chứa U(r) Từ đó, kết luận r ' = r suy gần sau: r ur éỉ ư2 ù r r ' ê r 'ữ ỳ r- r' = r+ O ờỗỗ ữ ữ ữỳ r ờỗố r ứ ỳ ỷ T (B.2.9), viết lại biểu thức (B.2.8) dng: 38 (B.2.9) y rđ Ơ r r r (r ) = A0e i k r 4p r ur r ik (r - r rr ' ) r d r ' e U ( r ') y ( r ') ò r rr e ikr r , y r đ Ơ (r ) = e i k r + f ( q, f ) r r r rr - ikr f ( q, f ) = d r ' e U (r ')y (r ') , 4p ò (B.2.10) Đặt Ao = 1, suy ra: (B.2.11) với (B.2.12) r r r hiểu biên độ tán xạ hạt trường V(r), k = k Bức r tranh minh hoạ cho biến đổi phức tạp rõ hình 1: y b' x Hình 1: Minh hoạ rõ ràng biến r k'k r ' đổi phức tạp sử dụng tính r ur r tốn Chú ý r , k ' k ur cực toạ độ cầu r ' cực toạ độ trụ k, z r r = (r sin q cos f , r sin q sin f , r cos q) ur k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q) r k = (0, 0, k ) ur r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ') r ur Thông thường, thực tế coi f ( q, f ) hàm k , k ' r ur viết f ( q, f ) = f (k, k ') Để ý rằng, thông tin liên quan tới f ( q, f ) r chứa đựng miền tiệm cận Y(r ) đóng góp tới f ( q, f ) phương trình (B.2.12) lại đến từ miền mà khác khơng Với điều kiện cần thiết U 1 = Trong miền = ka = E U/E (U / E )2 giới hạn đó, biên độ tán xạ viết dạng : 39 k f ( q, f ) = 2p uur ur - i k '.b ' ò d b 'e ur ée i c (b ') - 1ù êë ú û (B.2.13) đây: ur 2m c (b ') = 2k h ur dz ' U ( b ', z ') ò +¥ (B.2.14) - ¥ Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại công thức cho biên độ tán xạ: f ( q, f ) = - 4p r r rr - ikr d r ' e V ( r ') y ( r ') ị Và từ phương trình Schrodinger (B.1.3): r r ur éÑ + k ùy (r ) = U (r )y (r ) ú ëê û r r r r r Ta đặt: y (r ) = e i k r f (r ) chọn k dọc theo hướng z Khi phương trình viết lại dạng: r ù r r é ¶ ê2ik - U (b, z )úf (b, z ) = - Ñ 2f (b, z ) (B.2.15) ê ¶z ú ë û r r sử dụng ký hiệu r º (b, z ) Chúng ta viết nghiệm phương trình (B.2.15) dạng: r r f (b, z ) = h(b, z ) - r ur ur '2 d b ' dz ' G ( b , z , b ', z ') Ñ f ( b ', z ') ị ị e +¥ (B.2.16) - ¥ r h(b, z ) thoả mãn phương trình: r ù r é ¶ ê2ik - U (b, z )úh(b, z ) = ê ¶z ú ë û r ur Và hàm Ge (b, z , b ', z ') thoả mãn: (B.2.17) r ù r ur r ur r ur é ¶ (2) ê2ik ú - U (b, z ) Ge (b, z , b ', z ') = d (b - b ')d(z - z ') ê ¶z ú ë û Nghiệm phương trình (B.2.17) (B.2.18) là: 40 (B.2.18) z r duU (b,u ) r 2ik ị - ¥ h(b, z ) = e (B.2.19) r r Với điều kiện biên h(b) = h(b, z ® - ¥ ) = Và z r ur (2) r Ge (b, z , b ', z ') = d (b 2ik (2) r = d (b 2ik (2) r = d (b 2ik (2) r = d (b 2ik r ur r ur 21ik ò du U (b,u ) b ')d(z - z ')e z ' - ¥ r z r ur r ur 21ik ò du U (b,u )+ ò du U (b,u ) - ¥ b ')d(z - z ')e z ' ur r b ')d(z ur r b ')d(z - 2ik - ¥ r du U (b,u ) 2ik z ur ò ò z ')e z ' e - ¥ ur r r - z ')h(b, z )h (b, z ) (B.2.20) r du U (b,u ) Thay (B.2.19) (B.2.20) vào (B.2.16), ta thu được: r r é f (b, z ) = h(b, z ) êê1 2ik ëê ù r ỉ r - ỗỗẹ + ả ữ ỳ ữ dz ' h ( b , z ) f ( b , z ') ỳ ũ ỗố b ả z '2 ữ ữ ỗ ứ ỳ - Ơ ỷ z (B.2.21) Phng trình viết lại dạng sau: r r é f (b, z ) = h(b, z ) ờờ1 + ờở ur ổr ỗỗb, z ', ẹ b, ả ữ ữ dz ' K + ữ ũ ữ ỗố ả z ' ứ - Ơ z uur ả z ' ổr ữ ỗ ữ ũ dz '' K + ũ dz ' K ỗb, z ', ẹ b, ữ ỗố ả z 'ữ ứ z - Ơ - Ơ ự ur ổr ỳ ỗỗb, z '', ẹ b, ả ữ ữ + ữ ỳ ữ ỗố ả z '' ứ ỳ ỷ (B.2.22) ổr ur ả ữ õy biu thc ca K ççb, z , Đ b, ÷ tác động lên hm g(z) bt k cho bi: ữ ữ ỗố ảz ø r ỉr ur ¶ -1 r ổ ỗỗẹ + ả ữ ữ ữ K ççb, z , Đ b , ÷ g ( z ) = h ( b , z ) f ( b , z )g(z ) (B.2.23) ỗốỗ b ả z ữ ữ ữ ỗố ảz ữ 2ik ứ ø r r r r r Thay chuỗi f (b, z ) (B.2.23) vào dạng hàm y (r ) = e i k r f (r ) cuối ta viết lại biểu thức biên độ tán xạ dạng: f (q, f ) = f (0) (q, f ) + f (1) (q, f ) + f (2) (q, f ) + đây: 41 (B.2.24) f ( q, f ) = 4p ur ur r uur ur i ( k - k ').r ' d b ' dz ' e U ( b ', z ) h ( b ', z ') ò ò f ( q, f ) = 4p ò d b ' ò dz ' e f ( q, f ) = 4p ur ur r uur ur i ( k - k ').r ' d b ' dz ' e U ( b ', z ') h ( b ', z ') ò ò (0) (1) (2) +¥ (B.2.25) - ¥ +¥ z' ur ur ur U (b ', z ')h(b ', z ') ò dz '' K (b ', z ") r uur ur i ( k - k ').r ' - ¥ (B.2.26) - ¥ +¥ - ¥ z" ur ur ´ ò dz '' K (b ', z ") ò dz ''' K (b ', z ''') z' - Ơ (B.2.27) - Ơ r ổr ur ả ö ÷ º K ( b , z ) cho biểu thức gọn Biểu thức mũ thay K ỗỗb, z , ẹ b , ữ ữ ữ ỗố ảz ứ ca cỏc hm e cú th tính sau với ý vectơ sử dụng minh hoạ hình ur k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q) r k = (0, 0, k ) ur r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ') rr k r ' = kz ' r r k '.r ' = kb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') + kb ' sin( q) sin( f ) sin( f ')kz ' co s( q) r ur r i(k - k ').r ' = ikz '- ikb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') - kb ' sin( q) sin(f ) sin(f ') - kz ' co s(q) r i (k r i (k - ur r k ').r ' = ikz '[1 - co s( q)] - ikb ' sin( q)[cos(f ) cos(f ') + sin(f ) sin( f ')] ur r (B.2.28) q k ').r ' = ikz '.2 sin - ikb ' sin( q) cos(f - f ') Ta quan tâm tới hàm f (0) ( q, f ) khai triển Từ (B.2.19), (B.2.25) (B.2.26) ta viết: 42 f ( q, f ) = 4p (0) r ur r uur ur i ( k - k ').r ' d b ' dz ' e U ( b ', z ') h ( b ', z ') ò ò +¥ - ¥ z' = - 4p +¥ ị d b ' ị dz 'e ur du U (b ',u ) r 2ik ò - ¥ U (b ', z ')e (B.2.29) q - ikb ' sin( q) cos( f - f ')+ ikz ' sin 2 - ¥ ta xét trường hợp mômen xung lượng vào lớn góc tán xạ nhỏ Khi ta áp dụng gần sau: - ikb ' sin( q) cos(f - f ') + ikz '.2 sin ỉqư q ÷ » - ikb ' q cos(f - f ') + ikz '.2 ỗỗ ữ ữ ỗố2 ữ ø Xét gần bậc theo q ta nhận biểu thức: - ikb ' sin( q) cos(f - f ') + ikz '.2 sin q » - ikb ' q cos(f - f ') (B.2.30) Bây ta viết lại (B.2.29) sau: z' ur du U (b ',u ) r 2ik ò (0) - ikb ' q cos( f - f ') - ¥ (B.2.31) f ( q, f ) = d b ' ò d f 'e ò dz '.U (b ', z ')e 4p ị - ¥ 2p +¥ Chúng ta cần ý phép xấp xỉ (B.2.30) cho phép đưa ngồi tích r phân theo z (B.2.31) cách thay tích phân ị duU (b ', u ) Sau +¥ - ¥ tính tích phân, ta được: ur ¥ 2p k - ikb ' q cos( f - f ') é i c (b ') f ( q, f ) = b ' db ' ò d f '.e e - 1ù ê ú ò ë û 2p i ur ur k ¥ c (b ') = dz ' U ( b ', z ') E ò0 (0) (B.2.32) (B.2.33) Như đề cập trên, hàm đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc f ta bỏ f ' tích phân Do vậy, biên độ tán xạ bậc không sử dụng phương pháp hàm Green viết lại dạng: f (0) ( q) = k i ị ¥ b ' db ' J (kb ' q) éêe i c (b ') - 1ù ú ë û sử dụng đồng thức: 43 (B.2.34) J (t ) = 2p ò 2p d f e - it cos f (B.2.35) B.3 Phƣơng pháp chuẩn cổ điển Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (B.1), nghiệm phương trình có dạng : y = e iS(x)/ h (B.3.1) Thế vào phương trình Schrodinger ta : é h2 ¶ ù iS/ h êúe + U ( x ) = Ee iS/ h ê 2m ¶ x ú ë û h S ''+ S '2 = E - U 2m i 2m h 2k Trong giới hạn cổ điển h ® thay E = ta có: 2m S '(x )2 h 2k = - U (x ) 2m 2m (B.3.2) Tích phân biểu thức S = h z òU k2 - - L 2m U ( b2 + z '2 )dz '+ const h (B.3.3) Từ suy hàm sóng có dạng: y = e ikze 3/ (2p ) - im z òU( h k b2 + z '2 )dz ' (B.3.4) - L Và biên độ tán xạ viết: f (k ', k ) = é im ´ exp êê- êë h k 2m 4p h r r rr - ik ' x ' 2 ikx ' ò d x ' e v( b + z )e ù ú U ( b + z ' ) dz ' ú ò ú - L û z' 2 Đưa vào hệ tọa độ trụ ta có: d 3x ' = bdbd f bdz ' Hơn r r r r r (k - k ')x ' = (k - k ')(b + z ' zˆ ) 44 (B.3.5) r r rr r r r r = (k - k ')z ' zˆ + kb - k ' b ; - k ' b (B.3.6) r r r r Khi k ^ b (k - k ').zˆ : O ( q2 ) bỏ qua góc lệch q nhỏ Xét tán xạ mặt phẳng xz, ta có: r r k '.b = (k sin qxˆ + kcosqzˆ ).(b cos f bxˆ + b sin f byˆ ) = k sin qxˆ b cos f bxˆ + k sin qxˆ b sin f byˆ + kcosqzˆ b cos f bxˆ + kcosqzˆ b sin f byˆ (B.3.7) = k sin qxˆ b cos f bxˆ ; kbq cos f b (vì xˆ xˆ = 1; xˆ yˆ = 0; zˆ.xˆ = 0; zˆ.yˆ = q nhỏ nên sin q » q ) Vậy biểu thức f(k’.k) sau đơn giản hóa là: 2m f (k ', k ) = 4p h +¥ é im ´ ò dzV exp êê- êë h k - ¥ ¥ 2p ò bdb ò d f e - ikbqcosf b b z (B.3.8) ù ò U ( b + z ' )dz 'úúú - L û 2 Sử dụng tính chất hàm Bessel ta có: 2p ị df e - ikbqcosf b b (B.3.9) = 2p J (kbq) Đối với thành phần sau f(k’,k) ta đặt - L = - ¥ V(x) định xứ nên khơng có đóng góp bên ngồi –L é im ị dzU exp êêê- h 2k - ¥ ë +¥ ù i h 2k é im ú ò Udz 'úú= m exp êêê- h 2k - L û ë z z= ¥ ù ò Udz 'úúú - L ûz = - ¥ z (B.3.10) Thay (B.2.31) (B.2.32) vào (B.2.30) ta được: 2m f (k ', k ) = 4p h é im i h 2k êbdb p J ( kb q ) exp ê ò m êë h k ¥ é im = - ik ị bdb.J (kbq) exp êê- êë h k ¥ 45 ù Udz ò úúú - ¥ û ¥ z= ¥ ù Udz ' ị úúú - L ûz = - ¥ z ¥ = - ik ị bdb.J (kbq) éêexp 2iD (b) - 1ù ú ë û (B.3.11) Với D (b) º - ¥ m 2k h ò U( b2 + z )dz - ¥ Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là: k i f (0) ( q) = ị ¥ bdbJ (kbq) éêe i c (b) - 1ù ú ë û B.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ theo sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal Trong mục này, biểu thức tán xạ phép gần eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần giới hạn tán xạ lượng cao ngược lại B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal Như tính tốn trên, biên độ tán xạ thu phương pháp sóng riêng phần có dạng: f(q) = ¥ (2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl - 1ùû å 2ik l= (B.4.1) Với toán tán xạ lượng cao, coi (ka ) : lmax lớn thay cho việc lấy tổng theo l tích phân theo l f(k, q) = ¥ dl(2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl (k) - 1ù ò û 2ik Tiếp theo, đặt b = (B.4.2) (2l + 1) suy dl = kdb , b gọi thông số va 2k chạm Với k – lớn, q - nhỏ kbq có giới hạn, đa thức Legendre trở thành hàm Bessel bậc khơng: ỉ qư k- high Pl (cos q) ắ ắ ắ ắđ J ỗỗ(2l + 1) sin ÷ ÷ q- small ÷ è 2ø Hơn viết: 2dl (k) = 2dkb (k) = c (k, b) , 46 (B.4.3) (B.4.4) hàm eikonal miền giới hạn tương tác Và đó, biểu thức biên độ tán xạ thu dạng: ¥ ỉ q ưé ic (k,b) f(k, q) = - ik ũ bdb.J ỗỗ(2l + 1) sin ữ e - 1ù ÷ û è øë 2÷ (B.4.5) ổq q Khi gúc q nh thỡ sin ỗỗ ÷ ,ta có: ÷» ÷ è2 ø ỉq 2k ỉq 2l + ỉq (2l + 1) sin ỗỗ ữ = (2l + 1) sin ỗỗ ữ = 2k sin ỗỗ ữ ữ ữ ữ ữ ÷ è2 ø 2k è2 ø è2 ÷ ø 2k Thay biểu thức vào công thức (B.4.5), nhận được: f(s, t) = k ¥ bdbJ 0(kb q) éëeic (b) - 1ù ò û i (B.4.6) Một lần nữa, biên độ tán xạ eikonal bậc không lại thu B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần Biên độ sóng eikonal viết sau: f(q) = Đặt Ta có b= k ¥ bdbJ 0(kb q) éëeic (b) - 1ù ò û i (2l + 1) suy db = dl k 2k kb q = Khi góc q nhỏ (B.4.7) (2l + 1) 2b (B.4.8) (2l + 1) q q q = (2l + 1) » (2l + 1)sin 2 (B.4.9) k= (2l + 1) (2l + 1) bq = q 2b ỉq q ằ sin ỗỗ ữ ữ ữ , lỳc ny ta có: è2 ø kb q = Với k – lớn, q - nhỏ kbq có giới hạn, đa thức Legendre trở thành hàm Bessel bậc khụng: ổ q k- high J ỗỗ(2l + 1) sin ữ ắ ắđ Pl (cos q) ữ q- small ữắ ắ ố 2ứ (B.4.10) Hn na chỳng ta viết: c (k, b) = 2dkb (k) = 2dl (k) 47 (B.4.11) Thay (B.4.8), (B.4.10) (B.4.11) vào (B.4.7) ta được: k ¥ bdbJ 0(kb q) éëeic (b) - 1ù ị û i f(q) = k ¥ (2l + 1) dlPl (cos q) éëe2dl (k) - 1ù ò û i 2k k = = ¥ dl(2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl (k) - 1ù ò û 2ik (B.4.12) Với toán tán xạ lượng cao, coi (ka ) : lmax lớn thay cho việc lấy tích phân theo l tổng theo l (B.4.12) trở thành: f(q) = ¥ dl(2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl (k) - 1ù ò û 2ik (B.4.13) Ta lại thu biên độ sóng riêng phần B.5 Sơ đồ mối liên hệ phƣơng pháp tốn tán xạ Phƣơng trình Schrodinger f ( ) Phương pháp Sóng riêng phần (2l 1)(e 2il 1)Pl (cos ) 2ik l0 Phương pháp Hàm Green Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới: (r) e cầu phân kỳ ikz in e out (r) f ( , ) r ikr (2l 1)(e2il 1)Pl (cos ) 2ik l0 Hàm sóng Hàm sóng Hai sóng dạng: phẳng tới (r) A e cầu phân kỳ ik.r in out (r) 4 e ik r r ' d r ' r r ' Một sóng dạng: eiS(x)/ U(r) (r ') Biên độ tán xạ Biên độ tán xạ f ( ) Phương pháp Chuẩn cổ điển f (0) ( ) k bdbJ0 (kb ) ei (b) 1 i 0 48 Biên độ tán xạ f (0) ( ) k b'db'J (kb' ) ei (b') 1 i 0 PHỤ LỤC C HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLON Tán xạ đàn tính tán xạ khơng đàn tính electron lên hadron- proton neutron - cho ta thông tin đặc biệt quý giá cấu trúc hadron Trong gần bậc theo tương tác điện từ, tán xạ electron lên nucleon mô tả giản đồ Feymann Và biên độ tán xạ có dạng pN , pe | S1 | pN , pe1 e2u pe u pe1 u pN pN , pN u pN (C.1) q1 u pN , u pN - spinor Dirac đầu cuối nucleon, u pe1 , u pe spinor Dirac đầu cuối tương ứng electron, pN , pN đỉnh mô tả tương tác nucleon với photon tất bậc theo tương tác mạnh, q pe pe1 pN pN1 Ta tham số hóa đỉnh tương tác pN , pN Lưu ý, pN , pN mặt ma trận, mặt khác vector Nếu ma trân, thiết phải tổ hợp tuyến tính 16 ma trận Dirac (C.2) I - ma trận đơn vị Nếu pN , pN véctơ , phải hình thành I , , , 5 , từ véctơ pN , pN ma trận (C.2) Như vậy, pN , pN tổ hợp đại lượng p pN pN , q , p , q , (C.3) , 5 , q , p Các hệ số đại lượng hàm số vô hướng xung lượng pN , pN , có nghĩa hàm số q Sự bảo toàn chẵn lẻ tương tác điện từ tương tác yếu loại bỏ tổ hợp ma trận ( u pN 5u pN1 - giả vô hướng , u pN 5 u pN1 giả véc tơ ) Còn số hạng q bất biến chuẩn q u pN u pN1 với triệt tiêu (C.4) Cuối cùng, p q q p 2M (C.5) Như vậy, kết cuối ta có 49 pN , pN 1` F1 q 2M F2 q q (C.6) M khối lượng nucleon, - moment từ dị thường nucleon( đơn vị magneton hạt nhân) Các hàm vô hướng F1,2 q xung lượng truyền gọi hệ số dạng Lưu ý, F1 0 Q, F2 0 1, Thay cho hệ số dạng F1,2 q thường dùng hệ số dạng GE q , GM q q2 F2 q 4M GM q F1 q F2 q GE q F1 q Ưu việt hệ số dạng GE q , GM q chỗ GE q xác định phân bố điện tích, cịn GM q moment từ 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Quang Khang, A X Đavuđov (1974), Cơ học lượng tử, tập II, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, trang 468 Tiếng Anh A Martin (1982), “What we learn from proton-antiproton diffractive scattering at the CERN colliders”, Z Phys C - Particles and Fields 15, 91,185-191 Ann (1979), “The interplay between spin effects and Coulombichadronic interference has been investigated by N.H Buttimore”, E Gotsmann, Phys 121, 285 E Leader (1978), “Spin–dependent phenomena induced by electromagnetic – hadronic interference at high energies”, Phys Rev D 18, 694 Eds M Abramowitz, I Stegun (1970), “Handbook of Mathematical Functions”, National Bureau of Standards (Eq (11.4.I6) For an introduction, see J.D Jackson (1973), “Introduction to haronic interactions at high energies” In: Proceedings of the Fourteenth Scottish Universities Summer School in Physics, eds R.L Crawford, R, Jennings, London: Academic Press 1974 G.B West, D.R Yennie (1968), “Coulomb interference in High-Energy pp and scattering”, Phys, Rev 172, 1413 - 1422 (1968) Related discussions for high energy hadron-hadron scattering are given by J Rix, R.M Thaler, Phys Rev 152, 1357 (1966) H A Bethe (1958), “Scattering and Polarization of Protons by Nuclei”, Annals of Physics 3, 190-240 10 Hohler et all (1965), Phys Letters 18, 181 11 J.F Germond, C Wilkin (1977), “Why are the diffraction Minima in and Scattering from 12C so different ? ”, Phys Lett 68B, 229–233 51 12 L.S Brown (1982), “Elementary hadronic processes and heavy ion interactins”, J.S Godfrey: unpublished; J.S Godfrey: Yale University thesis, unpublished 13 M.M Islam (1967), “Bethe’s Formula for Coulomb-Nuclear Interference”, Phys Rev 162, 1426-1428 14 M.P Locher (1967), “Relativistic treatment of structure in the Coulomb interference problem”, Nucl Phys B 2, 525–531 15 Nguyen Suan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan (2011), “Functionl Integration and High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moments in Quantum Field Theory”, arXiv:0368084[hep-th] 16 P Soding (1965), “The Lagacy of Leon Van Hove”, Phys Letters 18, 285 17 R J Eden (1967), “High Enrgy Collissions of Elementary Particles”, Cambridge Univ Press, Cambridge 18 See, for example, W.K.H Panofsky in (1968), “Proceedings of the Heidelberg International Conference on Elementary Particles”, ed H Filthuth, p 376 Amsterdam: North Holland 19 T.T Wu, C.N Yang (1965), “Statistical physics, High Energy, condensed Matter and mathematical physics” , Phys Rev 137, B708 20 V Franco (1973), “Coulomb and hadronic Scattering in elastic high-enery nucleon collisins”, Phys Rev D7, 215-218 52 ... nhỏ 24 KẾT LUẬN Trong Luận văn Thạc sỹ khoa học này, sử dụng mơ hình eikonal để phân tích giao thoa Coulomb cho toán tán xạ Coulomb tán xạ hạt nhân cách hệ thống với giả thuyết : i/ Pha eikonal. .. tính tốn West Yennie [8] Bản luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu dẫn phụ lục Chƣơng 1: Mô hình eikonal giao thoa Coulomb Ở ta xuất phát từ mơ hình eikonal cho biên độ tán xạ... TỰ NHIÊN - CAO THỊ NGUYỆT GIAO THOA COULOMB? ? ?HADRON TRONG MƠ HÌNH EIKONAL Chun ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
Ngày đăng: 04/05/2021, 09:32
Xem thêm:
