[r]
(1)CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.Hệ phương trình đối xứng loại 1:
2 2 3
4 2
2 2 2 3 4
5( ) 19 / / 18
1/ ;2 / ;3/ ;4 /
3 35 12 ( )
5 17 ( ) 78
5/ ;6 / ;7 / ;8 /
7 13 ( )( ) 280 97
x y xy x xy y x y y x x y
x y xy x y x y xy x y
x y xy x y x y x y xy
x y xy x y xy x y x y x y
II.Hệ phương trình đối xứng loại 2:
2 2
2
2 2
2
2 2
2
13
1/ ;2 / 2;3/ 1;4 / ;5/
13
2
xyz x y z
xy z x y z x yz x
x x y yzt y z t
yz x y z x y zx y
ztx z t x
y y x
zx y z x y z xy z
txy t x y
III.Hệ phương trình đẳng cấp:
2 2 3 3 3
2 2 2 2 5 2
2 11 ( )(2 3)
4 5 17 2
x xy y x xy y x y x y x y xy x y
x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y
IV.Hệ phương trình vơ tỉ:
2 2
2
2 2
30 8 2
128
35 128 16
x y y x x y x y x y x x y xy S P P
x y
x x y y x y x y S P
2
3
2 2
3 3
2(1)
2
2( ) 3( )
; ; ;
2
6
x y x y
x y x y
x y x y xy
y x y x
x y x y x y
( bp (1) )
2
3 20 /
20 2
; ; ; ( )
3 23
136 16 /
x y x y y x x y x y
x y x y x y x y
x y
x y x y x y x y x y x y
V Giải HPT pp đánh giá:
2 2
2
2
2 2
2
1 1/ 1 2 /(1 ) 2 /(1 )
2
1; 1/ 1; /(1 ) ; /( 1) ;
2
1/ /(1 ) /( 1)
1
12
x y yz
x y x y x x y x x y
z y xz
y z y z y y z y y y z
x z yx
z x z z x z z z z x
z x
x y z
(2)2 2
2 2
3 4 2
1 ( 1)
1
1
; ;
1 1 4
xy z
z xy
x y x y z
x y x y z x yz xy x yz xy
VI Một số HPT khác:
2 2 3
3
2 2 2
6 ( ) ( ) ) 7 1/ 1/
; ; ; ;
2
( ) 10 ( )( ) 15
2
x y x y
x x y y
y x y x x y x y x x y y
x y x y
y x
x x y y x y x y x y x y
xy
2
2 2 2
(3 )( 1) 12 ( 2)(2 ) ( )(1 1/ )
18
; ; ;
( 1)( 1) 72 ( )(1 1/ ) 49
x x y x x x x y x y xy
x y x y
xy x y x x y x x y x y x y
2 2 2
2 2 2
2 9
6 ( )( ) 45
7 ; 189 189; ( )( ) 63
( )( ) 54
14
x y z x u v
x y z x y x y z
xy yz zx x y z x u v y z x y z
z x x y z
x y z xz y xv u
5 6( ) 24( ) ( )
7 12( ); 24( ); ; 5; ( )
3 4( ) 4( ) ( )
xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz
yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz
xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy
2 2 2
2 3
2 /( 1) 1
1
2 2( 1)
x y x y y x x x
y
x x y x y
2 2 2
2
2
1/ 1/
2
2 2
1
x y x y x y
x y
x y xy
x y xy
3
3
16
, 8
3
x y
x y x y x y x y
x y
2
2
4
4
32
( 32 ) ( 32 ) 21 12 12 16;
32 24
x x y
x x x x y y VT x y
x x y
4 2 2 2
3 2
1 ( 1)
1
1 ( 1)( 1)
x x y x y x x y x y x x
x y xy
x y x xy xy x
2
2 2 2
2 2
1/ / ( ) 6
6 1;2 (1/ 2;1)
2 2;1 (1;2)
1/ 5
1
x y x y yz z y SP
y xy x S y
P z
x y z y S P
x y x
3 3 3 3
2
1 19 1/ 19 19 / 16 /
;
/ /
1/ / ( )
6
x y x x y z y xy x y
xy y x
x y x y zy z y
y xy x
(3)2
2
2 2
2
8 64
1 18
4
9 10 9 10
1
x y x y xy
x x y x y y x y x
y
x y x y
x x y x y y x y
2
2
2
1 1(1)
(1) (2)
1 1(2)
x y y
x y x x x
y x x
2
2
3
2
1 ( 2)( 2)
1 ( 6) 2 6 4
x x
x x x x x x
x x x
2
2
( 8)( 2)(1)
(2) 4; ( 2; 6);(19;99);(0; 4);(2;2);(5; 1) (8 ) 16 16 0(2)
y x x
y x x
y x y x x
2
2 2
2
3
(1 ).5 (1)
(1) 5 2.2
5
4 ln( ) 0(2)
x y x y
x y x y x y
x y x y
y x y x
Thay vào (2) ta được:
3 2 2 2
( ) ln( 1) '( ) (2 1) /( 1) (2 3) /( 1)
f y y y y y f y y y y y y y y y y y
Nên pt có nghiệm dn y = - Vậy hpt có nghiệm dn ( 0; - )
2
1 5(1) 5
(1) ( 5) ( 1)
2 80(2)
x x x y y y
f y f x y x x y
x y x y
2
2
2
21
21 1
21
x y y
x y x x x x
y x x
2
2
5 30 25 5 6
3
42 ( ; 0) 42 (42 ) 60 27
30 25 42 28 ( )
5 9
2
42 (42 )
42
x x
x y x y x y x y x
x y
y x L
x y x y
y x y x y y y
x y
2 4
6 2 2 3
2
2 (1 )
1 (1 ) 1 ( ) ( ) (2 )
x y x y y x x
y x x x y x y xy x
x y x y x
3 2
(x y ) x y &x y 1&x y x y
VII Biện luận hệ phương trình:
1/ Tìm gt m để hpt sau có nghiệm: x y xy m2 2 (1)
x y m
Giải: Đặt S = x + y; P = xy S P m&S2 2P m S2 2S 3m 0 ' 3m 0 m 1/ 3
Để
(1) có nghiệm S2 4P S2 2P 2P m 2P m 2(m S) m 2S m 2 3m 1 0
Để (1)
(4)2/ Giải bl hpt:
2
2
x xy y mx
y xy x my
Giải: Trừ vế pt ta được: (x y x y )( 1 m) 0
a/ x y 3x2 m x( 1) 0 x0;(m1) /
b/ y m 1 x x2 (m 1)x m 1 0. (m 1)(m 5)
Kết luận: +/ < m < 5: hpt có nghiệm x y 0;x y (m1) /
+/ m 1 m5: hpt có nghiệm: x y 0;x y (m1) / 3;( ; )
2
m m
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2
2
1(1)
3 (2)
x xy y
x xy y m
Giải: Đặt x ty (1) :y t2( t 1) 1
(3) Vì t2 t với t nên (3) ln có nghiệm Từ hpt ta suy ra:
2 2
(t 3t2) /(t t 1)m (m 1)t (3 m t m) 0 (4)
+/ m = 1: t = 1/2 hpt có nghiệm +/ m 1: (4) có 3(m4)(m 6) Từ ta suy hpt có nghiệm 4m6
4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1
1 1
x y
x y y x x y m
Giải: hpt cho tđ với: 2 3( ,2 0)
/
( 1) ( 1)
u v u v S
P m
u v v u u v m
hpt có nghiệm 0m27 /
5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm nhất:
2
2
4
y x x ax
x y x ay
Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( ; )x y0 có nghiệm ( ; )y x0 để hpt có nghiệm
3
0 0 0
x y x x ax Vậy hpt có nghiệm dn 25 4 a 0 a25/
b/ đk đủ: hpt tđ với
2
2
4
( ) 3( )
x y y ay
x y x xy y x y a
Do pt x2 xy y2 3(x y) a 0
2 ( 3) 3 0
x y x y y a có x (y 3)2 4(y2 3y a )3y26y 9 4a 0 y
' 12(3 ) 0
y a
a > 25/4
Với x = y hpt trở thành x x( 5x a) 0
Do a25 / 4 25 4 a0 nên pt có nghiệm x =
hpt có nghiệm x = y = Vậy với m < 25/4 hpt cho có nghiệm 6/ Giải biện luận hpt: x y xy a
x y a
(5)a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) ( 4a/3; a/3) b/ a 0: hpt có nghiệm ( a; 0)
MỘT SỐ BÀI TẬP: 1/ Chứng minh hpt sau ln có nghiệm:
2
2
4
3
x xy y k
y xy
2/ Tìm GT m để hpt sau có nghiệm: 4(13/ 7)
x y
m
x y m
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm nhất:
3 2
3 2
7
x y x mx
y x y my
có nghiệm ( m > 16 )
4/Cminh với m, hpt sau ln có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm nhất: 22 1( 1)
( )
x y xy m
m xy x y m m
5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2
2
3 11 59 3897 59 3897
4
2 17
x xy y
m
x xy y m
6/ Cho hpt:
2 9
(2 1)
x y
m x my m
Tìm m để hpt có nghiệm ( ; ) & ( ; )x y1 x y2 cho BT sau đạt
GTLN: A(x1 x2)2(y1 y2)2 ( A bình phương độ dài dây cung ĐT đ tròn tạo thành )