PHUONG TRINHdoc

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...[r]

PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ (Nâng Cao) I Phương pháp biến đổi tương đương

1 Kiến thức cần nhớ:

   

   

2

2 2

2

1

3 ,

5 ,

 

 

    

       

   

n

n n

n

n n n n

n n

a a a b a b ab

a b a b a b a b a b

a b a b a b

2 Các dạng bản:

* Dạng 1:      

  2 

0 g x f x g x

f x g x

 



  

 



(Không cần đặt điều kiện f x 0)

* Dạng 2: f x  g x  xét trường hợp:

TH1:    

0 g x

f x

 

 

 



TH2:

  2 

( ) g x

f x g x

   

  

* Dạng 3:      

  2 

( ) 0 f x f x g x g x

f x g x

 



   



 

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2

   

 x x

x (ĐH Khối D – 2006)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4x12 2x10 1  2 x2

b) Tương tự với dạng: * f x  g x  * f x  g x  Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 6 1 2 0

    

x x x

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2mx 1 m 2

    có nghiêm

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình

2x mx 3 x có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x2 mx 2 2x 1

   

3 Các kỹ năng:

a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế không âm.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x (ĐH Khối A – 2005)

Ví dụ 2: Giải phương trình:  1  2 2

   

x x x x x

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx x2 4 0

    có nghiệm

b Chuyển phương trình – bất phương trình tích:

- Đặt nhân tử chung, đẳng thức

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình:

7 x  x  Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a

 

2

2

1

x

x x

 

  b  

2 3 2 3 2 0

x  x x  x 

ĐS: a 1x<8, b ;  2 3; 

2

 

   

 

  

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x 8 m x 2

    (1)

Một số dạng chuyển thành tích:

- Dạng: ax b cx d a c x-  b d- 

m



   

Ta biến đổi thành: m ax b(   cx d )ax b   cx d  Ví dụ: Giải phương trình: 3

5 x

- Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0

Ví dụ: Giải phương trình: x 1 3x 2 1 3x2 3x 2

       ĐS: x=0, x=1

Ví dụ: Giải phương trình: x 1 x  1 4x3 x2 ĐS: x=0, x=1

- Dạng:au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0

Ví dụ 1: Giải phương trình:

3 2

x  x x  x x  x ĐS: x=0, x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 x2 3x 3 2x x2 3 2x2 2x

        ĐS: x=0

- Dạng:a3b3 (ab)(a2+ab+b2)=0  a=b

Ví dụ: Giải phương trình: 2 9 x x2 2 2x3 33 x x 22 ĐS: x=1

c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai 0 1,  i n pt tương đương với: A1 0, A20, An 0. Ví dụ 1: Giải phương trình:4x2 3x 3 4x x 3 2x 1

     

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x y2 y 2 4x2 y

    

d Sử dụng lập phương:

Với dạng tổng quát 3a 3b 3c

  ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức a b 3a3b3 3ab a b  

đó phương trình tương đương với hệ

3 3

3

3 a b c a b abc c

  

 

  

 

Giải hệ ta có nghiệm phương trình

Ví dụ: Giải bất phương trình 3x 1 3x 2 32x 3

     ĐS: 1; 2;

2 x x x e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu:

- TH1: Mẩu ln dương ln âm ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:    

2

2 16 7

3

3

x x

x

x x

 

  

 

(ĐH Khối A2004)

- TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp:

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a x 3 x2 4 x2 9

    b

2

51

1

x x x

 





Bài tập

Bài 1: Giải phương trình sau:

a x 2 x 1 x x 1 x2 x 0

       b 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3

      

Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2x 1 2x 2 x2.

    

Bài 3: Giải phương trình 10 3  x  x 2

Bài 4: Giải phương trình 1 2 1

3 x x x x

    

Bài 5: Giải phương trình 2x 6x2 1 x 1

   

Bài 6: Giải phương trình sau: x2 1 x 1

   x 232x 1

3 32x 2 x 2 39x

    x13 x 1 x32

5 1 2

4 x

x x

     3

4 x x  x   Bài 7: Giải bất phương trình sau:

a 1 4x2 3 x

 

 b x23x2 x26x5  2x2 9x7

c x2 x 2 x2 2x 3 x2 4x 5

       

Bài 8: Giải phương trình:

a 3x 1 3x2 3 x 3 x2 x b 4

3 x

x x

x

  

 c

3

4 x 4x

x

   

d 2 x 3 9x2 x 4

phương trình