Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ (Nâng Cao) I Phương pháp biến đổi tương đương
1 Kiến thức cần nhớ:
2
2 2
2
1
3 ,
5 ,
n
n n
n
n n n n
n n
a a a b a b ab
a b a b a b a b a b
a b a b a b
2 Các dạng bản:
* Dạng 1:
2
0 g x f x g x
f x g x
(Không cần đặt điều kiện f x 0)
* Dạng 2: f x g x xét trường hợp:
TH1:
0 g x
f x
TH2:
2
( ) g x
f x g x
* Dạng 3:
2
( ) 0 f x f x g x g x
f x g x
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2
x x
x (ĐH Khối D – 2006)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4x12 2x10 1 2 x2
b) Tương tự với dạng: * f x g x * f x g x Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 6 1 2 0
x x x
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2mx 1 m 2
có nghiêm
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
2x mx 3 x có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x2 mx 2 2x 1
3 Các kỹ năng:
a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế không âm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x (ĐH Khối A – 2005)
Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 2 2
x x x x x
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx x2 4 0
có nghiệm
b Chuyển phương trình – bất phương trình tích:
- Đặt nhân tử chung, đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình:
7 x x Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a
2
2
1
x
x x
b
2 3 2 3 2 0
x x x x
ĐS: a 1x<8, b ; 2 3;
2
Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x 8 m x 2
(1)
Một số dạng chuyển thành tích:
- Dạng: ax b cx d a c x- b d-
m
Ta biến đổi thành: m ax b( cx d )ax b cx d Ví dụ: Giải phương trình: 3
5 x
(2)- Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình: x 1 3x 2 1 3x2 3x 2
ĐS: x=0, x=1
Ví dụ: Giải phương trình: x 1 x 1 4x3 x2 ĐS: x=0, x=1
- Dạng:au+bv=ab+uv (ub)(va)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3 2
x x x x x x ĐS: x=0, x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 x2 3x 3 2x x2 3 2x2 2x
ĐS: x=0
- Dạng:a3b3 (ab)(a2+ab+b2)=0 a=b
Ví dụ: Giải phương trình: 2 9 x x2 2 2x3 33 x x 22 ĐS: x=1
c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai 0 1, i n pt tương đương với: A1 0, A20, An 0. Ví dụ 1: Giải phương trình:4x2 3x 3 4x x 3 2x 1
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x y2 y 2 4x2 y
d Sử dụng lập phương:
Với dạng tổng quát 3a 3b 3c
ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức a b 3a3b3 3ab a b
đó phương trình tương đương với hệ
3 3
3
3 a b c a b abc c
Giải hệ ta có nghiệm phương trình
Ví dụ: Giải bất phương trình 3x 1 3x 2 32x 3
ĐS: 1; 2;
2 x x x e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu:
- TH1: Mẩu ln dương ln âm ta quy đồng khử mẩu:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2
2 16 7
3
3
x x
x
x x
(ĐH Khối A2004)
- TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp:
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a x 3 x2 4 x2 9
b
2
51
1
x x x
Bài tập
Bài 1: Giải phương trình sau:
a x 2 x 1 x x 1 x2 x 0
b 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x 3
Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2x 1 2x 2 x2.
Bài 3: Giải phương trình 10 3 x x 2
Bài 4: Giải phương trình 1 2 1
3 x x x x
Bài 5: Giải phương trình 2x 6x2 1 x 1
Bài 6: Giải phương trình sau: x2 1 x 1
x 232x 1
3 32x 2 x 2 39x
x13 x 1 x32
5 1 2
4 x
x x
3
4 x x x Bài 7: Giải bất phương trình sau:
a 1 4x2 3 x
b x23x2 x26x5 2x2 9x7
c x2 x 2 x2 2x 3 x2 4x 5
Bài 8: Giải phương trình:
a 3x 1 3x2 3 x 3 x2 x b 4
3 x
x x
x
c
3
4 x 4x
x
d 2 x 3 9x2 x 4
phương trình