Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng r r r • Vectơ n ≠ vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng (α ) • Chú ý: r r Nếu n VTPT mặt phẳng (α ) k n (k ≠ 0) VTPT mặt phẳng (α ) Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT r r r r r Nếu u, v có giá song song nằm mặt phẳng (α ) n = [u , v] VTPT (α ) II Phương trình tổng qt mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ Nếu mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = có r VTPT n( A; B; C ) • Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ r r n( A; B; C ) khác VTPT là: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ Nếu D = mặt phẳng (α ) qua gốc tọa độ O Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Ox Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oy Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oz Nếu A = B = 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxy ) Nếu A = C = 0, B ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxz ) Nếu B = C = 0, A ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oyz ) Trang 1/40 Chú ý: Nếu phương trình (α ) khơng chứa ẩn (α ) song song chứa trục tương ứng x y z Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( α ) : + + = Ở (α ) cắt a b c trục tọa độ điểm ( a;0;0 ) , ( 0; b; ) , ( 0; 0;c ) với abc ≠ III.Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α ) tính: | Ax0 + By0 + Cz0 + D | d ( M , (a )) = A2 + B + C IV Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Góc ( α ) ( β ) bù với góc hai VTPT uur uu r nα nβ uur uu r cos ( ( α ) , ( β ) ) = cos nα , nβ = uur uu r = nα nβ ( ) uu r uu r nα , nβ Tức là: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 V Một số dạng tập viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước Phương pháp giải Cách 1: Thực theo bước sau: uur VTPT ( β ) nβ = ( A; B; C ) uur uur ( α ) // ( β ) nên VTPT mặt phẳng ( α ) nα = nβ = ( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Cách 2: Mặt phẳng ( α ) // ( β ) nên phương trình ( P ) có dạng: Ax + By + Cz + D′ = (*), với D′ ≠ D Vì ( P ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nên thay tọa độ M ( x0 ; y0 ; z0 ) vào (*) tìm D′ Trang 2/40 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm A , B , C không thẳng hàng Phương pháp giải uuu r uuur Tìm tọa độ vectơ: AB, AC uu r uuu r uuur Vectơ pháp tuyến ( α ) : nα = AB, AC Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C ) uur Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT nα Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M vng góc với đường thẳng ∆ Phương pháp giải r Tìm VTCP ∆ u ∆ uur uur Vì ( α ) ⊥ ∆ nên ( α ) có VTPT nα = u∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có uur VTPT nα Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆ , vng góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải uur Tìm VTPT ( β ) nβ uu r Tìm VTCP ∆ u∆ uur uur uu r VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = nβ ; u∆ Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải uur Tìm VTPT ( β ) nβ uuu r Tìm tọa độ vectơ AB uur uur uuu r VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = nβ , AB Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆ song song với ∆ ′ ( ∆ , ∆ ′ chéo nhau) Phương pháp giải uur uu r Tìm VTCP ∆ ∆ ′ u∆ u∆ ' uur uur uur VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = u∆ , u∆′ Lấy điểm M ∆ Trang 3/40 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆ điểm M Phương pháp giải uu r uuuu r Tìm VTCP ∆ u∆ , lấy điểm N ∆ Tính tọa độ MN uur uu r uuuu r VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = u∆ ; MN Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng cắt ∆ ∆′ Phương pháp giải uur uu r Tìm VTCP ∆ ∆ ′ u∆ u∆ ' uur uur uur VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = u∆ ; u∆ ' Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa song song ∆ ∆′ Phương pháp giải uur uu r Tìm VTCP ∆ ∆ ′ u∆ u∆′ , lấy M ∈ ∆, N ∈ ∆′ uur uu r uuuu r VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = u∆ ; MN 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M song song với hai đường thẳng ∆ ∆ ′ chéo cho trước Phương pháp giải uur uu r Tìm VTCP ∆ ∆ ’ u∆ u∆ ' uur uur uur VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = u∆ ; u∆′ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) cho trước Phương pháp giải uur uur Tìm VTPT ( P ) ( Q ) nP nQ uur uur uur VTPT mặt phẳng ( α ) là: nα = nP ; nQ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) song song với mặt phẳng ( β) cách ( β ) : Ax + By + Cz + D = khoảng k cho trước Phương pháp giải Trang 4/40 Trên mặt phẳng ( β) chọn điểm M Do ( α ) // ( β) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( ( α ) , ( β) ) = d ( M , ( β) ) = k để tìm D′ Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (α) ( β) : Ax + By + Cz + D = cho trước cách điểm M song song với mặt phẳng khoảng k cho trước Phương pháp giải Do ( α ) // ( β) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( M , ( α ) ) = k để tìm D′ Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Phương pháp giải Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu ( S ) Nếu mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) M ∈ ( S ) mặt uuu r phẳng ( α ) qua điểm M có VTPT MI Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện tốn tìm VTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = ( D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d ( I , ( α ) ) = R để tìm D Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆ tạo với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước góc ϕ cho trước Phương pháp giải uu r Tìm VTPT ( β ) nβ uur Gọi nα ( A′; B′; C ′) uu r uu r (nα ; nβ ) = ϕ uu r ⇒ nα Dùng phương pháp vô định giải hệ: uu r uur nα ⊥ u∆ VI Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Các ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua r điểm A(1; 0; −2) có vectơ pháp tuyến n(1; −1; 2) Lời giải r Mặt phẳng ( P) qua điểm A(1; 0; −2) có vectơ pháp tuyến n(1; −1; 2) có phương trình là: 1( x − 1) − 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ x − y + z + = Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − y + z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M (0;1;3) song song với mặt phẳng (Q) : x − z + = Lời giải Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x − z + = nên mặt phẳng ( P) có phương trình dạng: x − z + D = ( D ≠ 1) Trang 5/40 Mặt phẳng ( P ) qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0 − 3.3 + D = ⇔ D = (thỏa mãn D ≠ ) Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; −2), B (1;1;1), C (0; −1; 2) Lời giải uuu r uuur uuu r uuur Ta có: AB = (0;1;3), AC = ( −1; −1: 4) ⇒ AB, AC = (7; −3;1) r Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) ta có r uuur uuu r uuur r n ⊥ AB r uuur nên n phương với AB, AC n ⊥ AC r ( ABC ) là: Chọn n = (7; −3;1) ta phương trình mặt phẳng 7( x − 1) − 3( y − 0) + 1( z + 2) = ⇔ 7x − 3y + z − = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua t x= điểm O vng góc với đường thẳng d : y = −1 + 2t z = + t Lời giải uu r Đường thẳng d có vectơ phương là: ud = (1; 2;1) Mặt phẳng (α ) vng góc với đường thẳng d nên (α ) có vectơ pháp uu r uu r tuyến là: nα = ud = (1; 2;1) Đồng thời (α ) qua điểm O nên có phương trình là: x + y + z = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa x= −t đường thẳng d : y = −1 + 2t vng góc với ( β ) : x + y − z + = z = + t Lời giải uu r Đường thẳng d qua điểm A ( 0; −1; ) có VTCP là: ud = (−1; 2;1) uu r Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = ( 1; 2; −1) Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d vng góc với ( β ) nên (α ) có uur uu r uur vectơ pháp tuyến là: nα = ud , nβ = ( −4;0; −4 ) = −4 ( 1; 0;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + z − = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A(1;2; −2), B (2; −1;4) vng góc với ( β ) : x − y − z + = Lời giải uuu r Có AB = ( 1; −3;6 ) uu r Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = ( 1; −2; −1) Trang 6/40 Mặt phẳng (α ) chứa A , B vng góc với ( β ) nên (α ) có vectơ pháp uur uuu r uur tuyến là: nα = AB, nβ = ( 15;7;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: 15 x + z + − 27 = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa x =1 x −1 y z − = = đường thẳng d1 : y = − 2t song song với đường thẳng d : 2 z =1 + t Lời giải ur Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) uu r Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) ur uu r Ta có u1 , u2 = (−6;1; 2) r Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: r ur ur uu r n ⊥ u1 r r nên n phương với u1 , u2 r uu n ⊥ u2 r Chọn n = (−6;1; 2) r Mặt phẳng ( P) qua điểm M (1;1;1) nhận vectơ pháp tuyến n = (−6;1; 2) có phương trình: − 6( x − 1) + 1( y − 1) + 2( z − 1) = ⇔ −6 x + y + z + = Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P) thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: −6 x + y + z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa x =1 đường thẳng d : y = − 2t điểm M (−4;3; 2) z =1 + t Lời giải uu r Đường thẳng d qua điểm N (1;1;1) vectơ phương ud (0; −2;1) uuuu r MN = ( 5; −2; −1) Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d điểm M nên (α ) có vectơ pháp uur uu r uuuu r tuyến là: nα = ud , MN = ( 4;5;10 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + y + 10 z − 19 = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa x =1 x = + 3t đường thẳng d1 : y = − 2t d : y = − 2t z =1 + t z = 1+ t Lời giải Trang 7/40 ur Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) uu r Đường thẳng d qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u2 (3; −2;1) ur uu r uuuuuur Ta có u1 , u2 = ( 0;3;6 ) , M 1M = ( 0; 0;0 ) uuuuuur ur uu r Do M 1M u1 , u2 = nên đường thẳng d1 , d cắt Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d cắt nên (α ) có vectơ pháp uur ur uu r tuyến là: nα = u1 , u2 = ( 0;3;6 ) = ( 0;1; ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: y + z − = Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa x =1 x=4 đường thẳng d1 : y = − 2t d : y = − 4t z =1 + t z =1 + t Lời giải ur Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) uu r Đường thẳng d qua điểm M ( 4;3;1) vectơ phương u2 ( 0; −4; ) ur uu r r uuuuuur Ta có u1 , u2 = , M 1M = ( 3; 2;0 ) ur uu r r Do u1 , u2 = nên đường thẳng d1 , d song song Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d song song nên (α ) có vectơ uur ur uuuuuur pháp tuyến là: nα = u1 , M 1M = ( −2;3;6 ) = − ( 2; −3; −6 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x − y − z + = Ví dụ 11 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm d2 : x =1 A(1;0; −2) ( P) song song với hai đường thẳng d1 : y = − 2t z =1 + t x −1 y z −1 = = 2 Lời giải ur Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) uu r Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) ur uu r Ta có u1 , u2 = (−6;1; 2) r Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: r ur ur uu r r n ⊥ u1 r nên n phương với u1 , u2 r uu n ⊥ u2 r Chọn n = (−6;1; 2) ta phương trình mặt phẳng ( P ) là: − 6( x − 1) + 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ −6 x + y + z + 10 = Trang 8/40 Ví dụ 12 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M(−1; −2;5) vng góc với hai mặt phẳng (Q ) : x + y − 3z + = ( R) : x − y + z + = Lời giải uur uu r VTPT (Q) nQ (1; 2; −3) , VTPT ( R) nR (2; −3;1) uur uu r r Ta có nQ , nR = (−7; −7; −7) nên mặt phẳng ( P) nhận n(1;1;1) VTPT ( P) qua điểm M(−1; −2; 5) nên có phương trình là: x + y + z − = Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = cách (Q) khoảng Lời giải Trên mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = chọn điểm M(−1; 0; 0) Do ( P ) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − z + D = với D ¹ | - 1+ D | éD =- = Û | - + D |= Û ê ê 12 + 22 + (- 2) ëD = 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − = x + y − z + 10 = Ví dụ 14 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = ( P) cách điểm M(1; −2;1) khoảng Lời giải Do ( P ) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − z + D = với D ¹ |1- - + D | éD =- = Û | - + D |= Û ê Vì d ( M , ( P)) = Û ê 12 + 22 + (- 2) ëD = 14 Vì d (( P), (Q )) = Û d ( M , ( P)) = Û Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − = x + y − z + 14 = Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + = tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + x − y − 2z − = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (- 1; 2;1) bán kính R = (- 1) + 22 +12 + = Do ( P ) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − z + D = với D ¹ | - 1+ - + D | =3 Vì ( P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I , ( P)) = R = Û 12 + 22 + (- 2) éD =- 10 Û |1 + D |= Û ê ê ëD = Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − 10 = x + y − 2z + = Trang 9/40 Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) đường thẳng d có phương trình ( P) : x + y − z + = d : x +1 = y + = z − Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng ( P) góc 600 Lời giải 2 Giả sử mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = ( A + B + C ≠ ) Chọn hai điểm M ( −1; −1;3) , N ( 1; 0; ) ∈ d Mặt ( Q) phẳng chứa d nên M , N ∈( Q) A ( −1) + B ( −1) + C.3 + D = C = −2 A − B ⇒ ⇒ A.1 + B.0 + C.4 + D = D = A + 4B Suy mặt phẳng có phương trình Ax + By + ( −2 A − B ) z + A + B = có uur VTPT nQ = ( A; B; −2 A − B ) ( Q ) tạo ⇒ với mặt phẳng A + 2B + A + B A2 + B + (2 A + B ) 12 + 22 + ( −1) = cos(600 ) = ( P) góc 600 ⇔ A = (4 ± 3) B Cho B = ta A = (4 ± 3) Vậy có phương trình mặt phẳng ( ) 3) x + y + ( −9 − ) z + 32 + 14 (4 − 3) x + y + −9 + z + 32 − 14 = (4 + =0 Trang 10/40 Phương pháp tự luận uuur uur AB = ( 1;3; −5 ) , nQ = ( 1;1; ) A ( 2; −1; ) Mặt phẳng ( α ) qua có vectơ pháp uuu r uur AB, nQ = ( −10; −6;8 ) = −2 ( 5;3; −4 ) có phương trình: x + y − z + = Vậy x + y − z + = tuyến Phương pháp trắc nghiệm uur uur uur uur Do ( α ) ⊥ ( Q ) ⇒ nα nQ = , kiểm tra mp ( α ) có nα nQ = Vậy chọn A Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( α ) qua M ( 0; −2;3) , Câu 28 song song với đường thẳng d : (β) :x+ y−z =0 x − y +1 = = z vng góc với mặt phẳng −3 có phương trình: A x − y − z − = C x + y + z + = B x − y + z − = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận uu r uur Ta có ud = ( 2; −3;1) , nβ = ( 1;1; −1) uur uu r uur Mặt phẳng ( α ) qua M ( 0; −2;3) có vectơ pháp tuyến nα = ud , nβ = ( 2;3;5 ) ⇒ ( α ) : x + y + 5z − = Phương pháp trắc nghiệm uur uur nα = k nQ ( α ) / / ( d ) ⇔ uur uur Do kiểm tra mp ( α ) thỏa hệ nα nQ = ( α ) ⊥ ( Q ) Vậy chọn A Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ giao điểm M mặt Câu 29 phẳng ( P ) : x + y + z − = với trục Ox ? B M 0, , ÷ C M ( 3, 0, ) D M ( 2, 0, ) Hướng dẫn giải: Gọi M ( a, 0, ) điểm thuộc trục Ox Điểm M ∈ ( P ) ⇒ 2a − = ⇔ a = A M ( 0, 0, ) Vậy M ( 2, 0, ) giao điểm ( P ) , Ox Phương pháp trắc nghiệm 2 x + y + z − = Giải hệ PT gồm PT (P) (Ox): y = ; bấm máy tính z = Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( a ) mặt phẳng qua hình chiếu A ( 5; 4;3) lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng ( a ) là: A 12 x +15 y + 20 z - 60 = B 12 x +15 y + 20 z + 60 = Trang 28/40 x y z D + + - 60 = Hướng dẫn giải Gọi M , N , P hình chiếu vng góc điểm A trục Ox, Oy , Oz Ta có: M ( 5;0;0) , N ( 0; 4;0) , P ( 0;0;3) C x y z + + =0 Phương trình mặt phẳng ( a ) qua M ( 5;0;0) , N ( 0; 4;0) , P ( 0;0;3) là: x y z + + = Û 12 x +15 y + 20 z - 60 = Vậy 12 x +15 y + 20 z - 60 = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) qua hai điểm Câu 31 r A( 5; - 2;0) , B ( - 3; 4;1) có vectơ phương a ( 1;1;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: A x + y - 14 z = C x + y - 14 z - = uuu r Ta có: AB ( - 8;6;1) B x - y - = D - x - y - 14 z + = Hướng dẫn giải Mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A ( 5; - 2;0) , B ( - 3; 4;1) có vectơ r uuu r r r AB , aù phương a ( 1;1;1) nên có VTPT là: n = é ê ú= ( 5;9; - 14) ë û r Mặt phẳng ( α ) qua điểm A ( 5; - 2;0) có VTPT n = ( 5;9; - 14) có phương trình là: x + y - 14 z - = Vậy x + y - 14 z - = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có mặt phẳng song Câu 32 song với mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z = 12 ? A B Khơng có C D Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P) có dạng: x + y + z + D = ( D ≠ −6) +) Do mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z = 12 nên d ( I ;(Q)) = R với I tâm cầu, R bán kính mặt cầu Tìm D = D = −6 (loại) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt Câu 33 phẳng ( P ) : x − y + 4x − = , ( Q ) − x + y − 8z + = , ( R ) : 3x − y + 12 z − 10 = , ( W ) : x − y + z − 12 = Có cặp mặt phẳng song song với A.2 B C.0 Hướng dẫn giải: a b c d = = ≠ Hai mặt phẳng song song a' b' c' d ' −2 −3 ⇒ ( P ) P( Q ) = = ≠ Xét ( P ) ( Q ) : − −8 D.1 Trang 29/40 Xét ( P ) ( R ) : ⇒ ( Q ) P( R ) −2 −3 ⇒ ( P ) P( R ) = = ≠ −6 12 −10 −2 = ≠ −8 −2 −8 = ≠ Xét ( Q ) ( W ) : −8 −6 12 ≠ Xét ( R ) ( W ) : = −8 Vậy có cặp mặt phẳng song song Trong không gian với hệ trục tọa Xét ( P ) ( W ) : Câu 34 độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : 3x + ( m − 1) y + z − = , ( β ) : nx + ( m + ) y + z + = Với để ( α ) song song ( β ) giá trị thực m, n A m = 3; n = −6 B m = 3; n = C m = −3; n = D m = −3; n = −6 Hướng dẫn giải: m −1 4 = ≠ ⇔ m = −3; n = Để ( α ) song song ( β ) ⇒ = n m + 2 −2 Vậy m = −3; n = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng Câu 35 ( P ) : x + my + ( m − 1) z + = , ( Q ) : x − y + 3z − = phẳng ( P ) , ( Q ) vng góc B m = − A m = Để Câu 36 mặt C m = 2 Hướng dẫn giải: ( P) ,( Q) phẳng r uur ⇒ n p nQ = ⇔ 1.2 + m ( −1) + ( m − 1) = ⇔ m = Vậy m = Trong không gian với hệ trục tọa độ ( α ) : x − y + 2z − = , ( β ) : x − y + 2z − = ( α ) , ( β ) ? A d ( ( α ) , ( β ) ) = Lấy Giá trị số thực m để hai mặt d ( ( α ) ,( β ) ) = d ( M ,( β ) ) = mặt + ( −2 ) + 2 = vng góc Khoảng cách hai mặt phẳng 11 C d ( ( α ) , ( β ) ) = Hướng dẫn giải: thuộc Oxyz Cho hai mặt phẳng B d ( ( α ) , ( β ) ) = M ( 1, 0,1) D m = phẳng D d ( ( α ) , ( β ) ) = (α) Ta 5 Vậy d ( ( α ) , ( β ) ) = Trang 30/40 có Câu 37 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi mặt phẳng ( Q) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P) qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A x + y − z − = B x − y − z + = C x + y + z + = D x − y − z − = Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y , z ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) Điểm M ' ( − x, y , − z ) điểm đối xứng M qua trục tung ⇒ ( Q ) : − x + y + z + = mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng ( P ) Câu 38 Vậy x − y − z − = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 5z − = Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A ( P ) : x − y − z − = B ( P ) : x − y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x − y + z + = Hướng dẫn giải Gọi M ( x, y , z ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) Điểm M ' ( x, − y , z ) điểm đối xứng M qua trục tung ⇒ ( Q ) : x + y + z − = mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng ( P ) Vậy ( P ) : x + y + z − = Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ( a ) mặt phẳng qua điểm A ( 2; - 1;5) vng góc với hai mặt phẳng ( P ) : x - y + z + = ( Q ) : x - y + z +1 = Phương trình mặt phẳng ( a ) là: A x + y + z - = C x + y + z +10 = B x - y - z - 10 = D x + y - z + = Hướng dẫn giải uur Mặt phẳng (P) có VTPT nP = ( 3; −2;1) uur Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ = ( 5; −4;3) Mặt phẳng ( a ) vng góc với mặt phẳng ( P ) : 3x - y + z + = , uur uur uur ( Q) : 5x - y + 3z +1 = nên có VTPT nP = nP , nQ = ( −2; −4; −2 ) Phương trình mặt phẳng ( a ) là: x + y + z - = Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trục Oy cách hai mặt phẳng: ( P ) : x + y − z + = ( Q ) : x − y + z − = là: A M ( 0; −3; ) B M ( 0;3;0 ) C M ( 0; −2; ) D M ( 0;1;0 ) Hướng dẫn giải Ta có M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m; ) Trang 31/40 Giả thiết có d ( M , ( P ) ) = d ( M , ( Q ) ) ⇔ m +1 = −m − ⇔ m = −3 Vậy M ( 0; −3; ) Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( α ) mặt phẳng qua G ( 1; 2;3) cắt trục Ox, Oy , Oz điểm A, B, C (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác ABC Khi mặt phẳng ( α ) có phương trình: A x + y + z + 18 = C x + y + z − = B x + y + z − 18 = D x + y + z + = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Gọi A ( a; 0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) giao điểm mặt phẳng ( α ) trục Ox, Oy , Oz x y z Phương trình mặt phẳng ( α ) : + + = ( a, b, c ≠ ) a b c a 3 =1 a = b Ta có G trọng tâm tam giác ABC ⇒ = ⇔ b = 3 c = c = 3 x y z ⇒ ( α ) : + + = ⇔ x + y + z − 18 = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( α ) mặt phẳng song song với Câu 42 ( β ) : 2x − y + 4z + = Phương trình mặt phẳng ( α ) mặt phẳng cách điểm A ( 2; −3; ) khoảng k = là: A x − y + z − = x − y + z − 13 = B x − y + z − 25 = C x − y + z − = D x − y + z − 25 = x − y + z − = Hướng dẫn giải Vì ( α ) / / ( β ) ⇒ ( α ) : x − y + z + m = ( m ≠ 3) Giả thiết có d ( A, ( α ) ) = ⇔ m = −14 32 + m =3⇔ m = −50 Vậy ( α ) : x − y + z − = , ( α ) : x − y + z − 25 = Câu 43 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình d1 : x−2 y −2 z −3 x −1 y − z −1 = = = = , d2 : Phương trình mặt −1 phẳng ( α ) cách hai đường thẳng d1 , d là: A x − y − z = C x + y + 3z + = B x − y − z + = D 14 x − y − z + = Hướng dẫn giải Trang 32/40 uur Ta có d1 qua A ( 2; 2;3) có ud1 = ( 2;1;3) , d qua B ( 1; 2;1) có uuu r ud = ( 2; −1; ) uuur uur uur AB = ( −1;1; −2 ) ; ud1 ; ud2 = ( 7; −2; −4 ) ; uur uur uuur ⇒ ud1 ; ud2 AB = −1 ≠ nên d1 , d chéo uur uur uur Do ( α ) cách d1 , d nên ( α ) song song với d1 , d ⇒ nα = ud1 ; ud2 = ( 7; −2; −4 ) ⇒ ( α ) có dạng x − y − z + d = Theo giả thiết d ( A, ( α ) ) = d ( B, ( α ) ) ⇔ d −2 69 = d −1 69 ⇔d = ⇒ ( α ) :14 x − y − z + = Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( 1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , ( b > 0, c > ) mặt phẳng ( P ) : y − z + = Xác định b c biết mặt phẳng ( ABC ) vng góc với mặt phẳng ( P ) khoảng cách từ O đến ( ABC ) Câu 45 1 ,c = 2 1 1 C b = , c = D b = , c = 2 2 Hướng dẫn giải x y z Phương trình mặt phẳng ( ABC ) có dạng + + = ⇔ bcx + cy + bz − bc = b c c − b = b=c ( ABC ) ⊥ ( P ) −bc 1⇔ b2 Theo giả thiết: 1⇔ = = d ( O, ( ABC ) ) = 2 3 b + 2b ( bc ) + c + b 1 ⇔ 3b = b + 2b ⇔ 8b = 2b ⇔ b = ⇒ c = 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng ( a ) qua điểm M ( 5; 4;3) A b = B b = 1, c = cắt tia Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình là: A x + y + z - 12 = B x + y + z = x + y + z 50 = C D x - y + z = Hướng dẫn giải Gọi A( a;0;0) , B ( 0; a;0) , C ( 0; 0; a ) ( a ≠ ) giao điểm mặt phẳng ( a ) tia Ox, Oy , Oz x y z Phương trình mặt phẳng ( a ) qua A, B, C là: + + = a a a Mặt phẳng ( a ) qua điểm M ( 5; 4;3) Þ a = 12 x y z + + = Û x + y + z - 12 = 12 12 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng chứa trục Oy Câu 46 tạo với mặt phẳng y + z + = góc 600 Phương trình mặt phẳng (P ) là: Ta có Trang 33/40 x − z = A x + z = x − y = x − z −1 = x − 2z = B C D x + y = x − z = x + z = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Oy nên có dạng: Ax + Cz = ( A2 + C ≠ 0) uuur uuur n ( P ) n( Q ) 0 (P ) y + z + = cos 60 = u u ur uuur +) Mặt phẳng tạo với mặt phẳng góc 60 nên n( P ) n(Q ) A=C A2 + C = C ⇔ A2 − C = ⇔ A2 + C A = −C x − z = Phương trình mặt phẳng (P ) là: x + z = ⇔ Câu 47 C = ⇔ Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Oy nên loại đáp án B, C +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện góc phương trình thứ đáp án A thấy thỏa mãn Trong không gian với hệ toạ độ cho hình cầu Oxyz , ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Phương trình mặt phẳng ( α ) chứa trục Oz 2 tiếp xúc với ( S ) A ( α ) : x − y + = B ( α ) : x + y = C ( α ) : x − y = D ( α ) : x − y = Hướng dẫn giải: 2 Mặt phẳng ( α ) chứa trục Oz có dạng : Ax + By = ( A + B ≠ ) Ta có : d ( I , ( α ) ) = ⇔ A + 2B A2 + B =1 ⇔ AB + B = ⇔ A + B = Chọn A = 3, B = −4 ⇒ ( α ) : 3x − y = Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A ( 1, 2, −1) , B ( −2,1, ) , C ( 2,3, ) Điểm G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( OGB ) ? 174 174 D 29 29 Hướng dẫn giải 1 1 Do G trọng tâm tam giác ∆ABC ⇒ G , 2, ÷ 3 3 r uuur uuu r 13 r Gọi n vtpt mặt phẳng ( OGB ) ⇒ n = OG ∧ OB = − , − , ÷ 3 3 A 174 29 B 174 29 C 174 Phương trình mặt phẳng ( OGB ) : x + y − 13z = ⇒ d ( A, ( OGB ) ) = 29 Trang 34/40 Câu 49 Trong không ( S ) : ( x − 1) gian với hệ toạ độ Oxyz , + ( y − ) + ( z − 3) = 16 Phương trình mặt phẳng 2 cho (α ) hình cầu chứa Oy cắt hình cầu ( S ) theo thiết diện đường trịn có chu vi 8π A ( α ) : x − z = B ( α ) : x + z = C ( α ) : x + z + = D ( α ) : x − z = Hướng dẫn giải: ( 2 Phương trình mặt phẳng ( α ) : Ax + Cz = A + C ≠ ) Ta có : 2π r = 8π ⇔ r = Mà ( S ) có tâm I ( 1, 2,3) , R = Do R = r = ⇒ I ∈ ( α ) ⇔ A + 3C = Chọn A = 3, C = −1 ⇒ ( α ) : x − z = Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz cắt mặt cầu ( x − 1) + ( y + 2) + z = 12 theo đường trịn có chu vi lớn Phương trình (P ) là: A x − y + = B y − = C y + = D y + = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu ( x − 1) + ( y + 2) + z = 12 theo đường trịn có chu vi lớn nên mặt phẳng (P ) qua tâm I (1; −2;0) Phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng Oxz có dạng : Ay + B = Do ( P ) qua tâm I (1; −2;0) có phương trình dạng: y + = Câu 51 Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D +) Mặt phẳng (P ) qua tâm I (1; −2;0) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình loại đáp án B,C Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Gọi (α ) mặt phẳng chứa trục Oy cách M khoảng lớn Phương trình (α ) là: A x + z = B x + z = C x − 3z = D x = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận M +) Gọi H , K hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α ) trục Oy Ta có : K (0; 2;0) d ( M , (α )) = MH ≤ MK Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) lớn mặt phẳng (α ) qua K vng góc với MK K H Oy Trang 35/40 Câu 52 Phương trình mặt phẳng: x + 3z = Trong không gian với hệ trục ( S ) : ( x − 1) toạ độ Oxyz , cho mặt cầu + ( y − ) + ( z − 3) = , điểm A ( 0;0; ) Phương trình mặt phẳng ( P ) 2 qua A cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện hình trịn ( C ) có diện tích nhỏ ? A ( P ) : x + y + 3z − = B ( P ) : x + y + z − = C ( P ) : 3x + y + z − = D ( P ) : x − y + z − = Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1, 2,3) , R = Ta có IA < R nên điểm A nằm mặt cầu Ta có : d ( I , ( P ) ) = R − r Diện tích hình trịn ( C ) nhỏ ⇔ r nhỏ ⇔ d ( I , ( P ) ) lớn Do d ( I , ( P ) ) ≤ IA ⇒ max d ( I , ( P ) ) = IA Khi mặt phẳng ( P ) qua A nhận uu r IA làm vtpt ⇒ ( P) : x + y + z − = Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N ( 1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P) cắt trục Ox, Oy , Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y − z + = C ( P ) : x − y − z + = D ( P ) : x + y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi A ( a; 0;0 ) , B ( 0; b; ) , C ( 0;0; c ) giao điểm ( P) với trục Ox, Oy , Oz x y z + + = 1( a, b, c ≠ ) a b c 1 1 a + b + c =1 N ∈( P) Ta có: NA = NB ⇔ a − = b − ⇔ a = b = c = ⇒ x + y + z − = NA = NC a −1 = c −1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ⇒ ( P) : Câu 54 ( P) qua hai điểm A(1;1;1) , B ( 0; 2; ) đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM = 2ON A ( P ) : x + y − z − = B ( P ) : x + y − z − = C ( P ) : x − y − z + = D ( P ) : 3x + y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi M ( a; 0; ) , N ( 0; b;0 ) giao điểm ( P ) với tia Ox, Oy ( a, b > ) Trang 36/40 uuuu r r Do OM = 2ON ⇔ a = 2b ⇒ MN ( −2b; b; ) = −b ( 2; −1;0 ) Đặt u ( 2; −1; ) r r uuu r r Gọi n môt vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) ⇒ n = u, AB = ( −1; 2;1) Phương trình măt phẳng ( P ) : x − y − z + = Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A ( 1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;3) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) qua A, B đồng thời cách C , D A ( P1 ) : x + y + z − 15 = 0; ( P2 ) : x − y − z + 10 = B ( P1 ) : x − y + z − = 0; ( P2 ) : x + y + z + 10 = C ( P1 ) : x − y + z − = 0; ( P2 ) : x + z − = D ( P1 ) : x + y + z − 20 = 0; ( P2 ) : x + y + 3z − 10 = Hướng dẫn giải: Trường hợp 1: CD P( P ) uur uuu r uuur nP = AB ∧ CD = ( −6; −10; −14 ) = −2 ( 3;5; ) ⇒ ( P ) : 3x + y + z − 20 = Trường hợp 2: ( P ) qua trung điểm I ( 1;1; ) CD uur uuu r uur nP = AB ∧ AI = ( 1;3;3) ⇒ ( P ) : x + y + 3z − 10 = Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;1;3) ; B ( 3; 0; ) ; C ( 0; −2;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B cách C khoảng lớn ? A ( P ) : x + y + z − 11 = B ( P ) : 3x + y + z − 13 = C ( P ) : x − y + 3z − 12 = D ( P ) : x + y − = Hướng dẫn giải: Gọi H , K hình chiếu C lên mp ( P ) doạn thẳng AB Ta có : CH = d ( I , ( P ) ) ≤ CK ⇒ d ( C , ( P ) ) lớn H ≡ K Khi mặt phẳng uur uuur uuur uuu r Ta có n p = AB, AC ∧ AB = ( −9, −6, −3) ( P) qua A, B vuông với mặt phẳng ( ABC ) ⇒ ( P ) : x + y + z − 11 = Trang 37/40 Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( a ) qua điểm M ( 1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( a ) có phương trình là: x y z B + + - = C x + y + z - 10 = D x + y + z +14 = Hướng dẫn giải Cách 1:Gọi H hình chiếu vng góc C AB , K hình chiếu vng góc B AC M trực tâm tam giác ABC M = BK Ç CH AB ^ CH ü ïï Ta có : ý Þ AB ^ ( COH ) Þ AB ^ OM (1) (1) AB ^ CO ùùỵ A x + y + z - 14 = Chứng minh tương tự, ta có: AC ^ OM (2) Từ (1) (2), ta có: OM ^ ( ABC ) uuur Ta có: OM ( 1; 2;3) Mặt phẳng ( a ) qua điểm M ( 1; 2;3) có uuur OM ( 1; 2;3) nên có phương trình là: VTPT ( x - 1) + ( y - 2) + 3( z - 3) = Û x + y + z - 14 = Cách 2: +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) ( a, b, c ≠ ) x y z Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: + + = a b c uuuu r uuur AM BC = r uuur uuuu +) Do M trực tâm tam giác ABC nên BM AC = Giải hệ điều kiện M ∈ ( ABC ) ta a, b, c Vậy phương trình mặt phẳng: x + y + z − 14 = Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G (1;4;3) Viết phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC ? x y z x y z x y z x y z = A + + = B + + C + + = D + + = 16 12 12 12 16 12 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a; 0; 0), B(0; b;0), C (0;0; c) xO + x A + xB + xC xG = y + y A + yB + yC +) Do G trọng tâm tứ diện OABC nên yG = O yO + y A + yB + yC zG = suy a = 4, b = 16, c = 12 Trang 38/40 x y z + + = 16 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Mặt phẳng (P ) Câu 59 qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là: A x + y + z = B x + y + z − 18 = C x + y + z − 14 = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P ) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C nên A(a; 0; 0), B(0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c > ) +) Vậy phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: x y z + + =1 a b c +) Mặt phẳng (P ) qua M nên + + = a b c Phương trình mặt phẳng (P ) Ta có = Câu 60 + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 162 a b c abc +) Thể tích khối tứ diện OABC V = abc ≥ 27 Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ = = = suy a = 3, b = 6, c = a b c x y z Phương trình mặt phẳng (P ) + + = hay x + y + z − 18 = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương ( P) trình ( S ) : ( x − 1) x + y + 2z −1 = ( Q ) : x + y − z − = mặt cầu + ( y + ) + z = Mặt phẳng ( α ) vuông với mặt phẳng ( P ) , ( Q ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) A x + y − = 0; x + y + = C x − y + = 0; x − y − = B x − y − = 0; x − y + = D x − y + = 0; x − y − = Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + z = có tâm I ( 1; −2;0 ) bán kính R = uur Gọi nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) r uur r uur ur Ta có : nα = nP ∧ n Q ⇒ nα = ( −6;3; ) = −3 ( 2; −1; ) = −3n1 2 Lúc mặt phẳng ( α ) có dạng : x − y + m = Do mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ⇒ d ( I , ( α ) ) = ⇔ m+4 = m =1 ⇔ m = −9 Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) : x − y + = x − y − = Trang 39/40 Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = , điểm A ( 1;0; ) , B (−1; 2;0) ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = 25 Viết phương trình mặt 2 phẳng ( α ) vuông với mặt phẳng ( P ) , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính r = 2 A x + y + z + 11 = 0; x + y + z − 23 = B x − y + z + 11 = 0; x − y + z − 23 = C x − y + z − 11 = 0; x − y + z + 23 = D x + y + z − 11 = 0; x + y + z + 23 = Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = có tâm I ( 1; 2;0 ) bán kính R = uur Gọi nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( α ) r uur uuu r uur ur Ta có : nα = nP , AB ⇒ nα = ( 4; 4;6 ) = ( 2; 2;3) = 2n1 2 Lúc mặt phẳng ( α ) có dạng : x + y + z + m = Gọi J hình chiếu I lên mặt phẳng ( α ) Ta có : R = r + IJ ⇒ IJ = 17 ⇒ d ( I , ( α ) ) = 17 ⇔ + m = 17 ⇔ m = 11 m = −23 Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) : x + y + z + 11 = x + y + z − 23 = Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho điểm A ( 1;1; −1) , B ( 1;1; ) , C ( −1; 2; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Lập phương trình mặt phẳng (α) qua A , vng góc với mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng BC I cho IB = IC biết tọa độ điểm I số nguyên A ( α ) : x − y − z − = B ( α ) : x + y − z − = C ( α ) : x + y − z − = D ( α ) : x + y + z − = Hướng dẫn giải : uur uur I ( −3;3; −6 ) IB = IC uur ⇒ Do I , B, C thẳng hàng IB = IC ⇒ uur IB = −2 IC I − ; ; − ÷ Vì tọa độ điểm I số nguyên nên I ( −3;3; −6 ) Lúc mặt phẳng ( α ) qua A, I ( −3;3; −6 ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) ⇒ ( α ) : 2x − y − 2z − = Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) x + y + z − = , ( Q ) : x + y + z − = Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua A ( 1; 0;1) chứa giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) ? A ( α ) : x + y + z − = B ( α ) : x + y + z − 16 = C ( α ) : x + y + z − 17 = D ( α ) : x − y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi M , N điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) Trang 40/40 x+ y + z −3= M , N thỏa hệ phương trình : 2 x + y + z − = y + z = −4 y = −3 ⇒ M (7; −3; −1) ⇔ Cho x = ⇒ 3 y + z = −13 z = −1 y + z = −3 y = −1 ⇔ ⇒ N ( 6; −1; −2 ) Cho x = ⇒ 3 y + z = −11 z = −2 Lúc mặt phẳng ( α ) chứa điểm A, N , M ⇒ ( α ) : x + y + z − 16 = Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho đường thẳng d : x = y − = z −1 x −1 y z +1 = = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) vng góc với d1 ,cắt Oz A cắt d B ( có tọa nguyên ) cho AB = d2 : A ( α ) :10 x − y + z + = B ( α ) : x − y + z + = C ( α ) : x − y + z + = D ( α ) : x − y + z + = Hướng dẫn giải Do mặt phẳng ( α ) vng góc với d1 ⇒ x − y + z + m = Mặt phẳng ( α ) cắt Oz A ( 0;0; − m ) , cắt d B ( m + 1, 2m, m − 1) uuur ⇒ AB = ( m + 1, 2m, 2m − 1) ⇒ 9m − 2m + = ⇔ 9m − 2m − = ⇔ m = 1, m = − Vậy mặt phẳng ( α ) : x − y + z + = Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A ( 1;1;1) , B ( 2;0; ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; ) Trên cạnh AB, AC , AD lấy điểm B ', C ', D ' thỏa : ( B ' C ' D ') AB AC AD + + = Viết phương trình mặt phẳng AB ' AC ' AD ' biết tứ diện AB ' C ' D ' tích nhỏ ? A 16 x + 40 y − 44 z + 39 = C 16 x − 40 y − 44 z + 39 = B 16 x + 40 y + 44 z − 39 = D 16 x − 40 y − 44 z − 39 = Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có : = ⇒ AB AC AD AB AC AD + + ≥ 33 AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' V AB ' AC ' AD ' 27 AB ' AC ' AD ' 27 27 ≥ ⇒ AB ' C ' D ' = ≥ ⇒ VAB 'C ' D ' ≥ VABCD VABCD AB AC AD 64 AB AC AD 64 64 Để VAB 'C ' D ' nhỏ AB ' AC ' AD ' = = = AB AC AD uuuu r uuu r 7 7 ⇒ AB ' = AB ⇒ B ' ; ; ÷ 4 4 Lúc mặt phẳng ( B ' C ' D ') song song với mặt phẳng ( BCD ) qua 7 7 B ' ; ; ÷ 4 4 Trang 41/40 ⇒ ( B ' C ' D ') :16 x + 40 y − 44 z + 39 = Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + y − 2z − = , ( Q ) : x − y + z − = Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa giao tuyến ( P ) , ( Q ) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x + y + z + = B x + y + z − = C x + y − z − = Hướng dẫn giải D x + y + z − = Chọn M ( 6;0; ) , N ( 2; 2; ) thuộc giao tuyến ( P ) , ( Q ) Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) giao điểm ( α ) với trục Ox, Oy , Oz x y z + + = 1( a, b, c ≠ ) a b c =1 a ( α ) chứa M , N ⇒ 2 + + =1 a b c ⇒ (α ) : Hình chóp O ABC hình chóp ⇒ OA = OB = OC ⇒ a = b = c Vây phương trình x + y + z − = Trang 42/40
Ngày đăng: 02/05/2021, 15:00
Xem thêm:
