Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
31
Dung lượng
2,86 MB
Nội dung
VẤN ĐỀ MIN,MAX Câu Email: phunghang10ph5s@gmail.com Cho D ABC cạnh 3, M điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp D ABC Đặt P = MA2 - MB - MC Gọi a, b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Khi đó, giá trị biểu thức T = 4a + b là: A B C D 12 Lời giải Họ tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng Chọn B Gọi O, R tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp D ABC Ta có: P = MA2 - MB - MC uuur uur uuur uuu r uuur uuu r = MO + OA - MO + OB - MO + OC uuur uur uuu r uuu r =- MO + 2.MO OA - OB - OC + OA2 - OB - OC uuur uur uuur uuur uur =- R + 2.MO OA - OA ' =- R + 2MO.2OA uuur uur uuur uur =- R - 4.OM OA =- R - R cos OM ; OA ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) uuur uur Pmin =- R cos OM ; OA = � M trùng A ( ) uuur uur Pmax = R cos OM ; OA =- � M trùng A ' điểm đối xứng A qua O ( ) � T = 4a + b = 4.2 R +( - R ) = R D ABC cạnh � R = � T = R = Họ tên tác giả : Trần Văn Ngờ Tên FB: Tran Van Ngo Tth Câu Email: vanngodhqn@gmail.com Cho ABC số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: x y z k , k �R Giá trị lớn P xy cos C yz cos A zx cosB là: A k B k2 C k Lời giải Chọn B r r r u uuur uuur uuur Đặt vectơ BX , CY , AZ tương ứng x , y , z hình vẽ D k2 r u r r Ta có: x y z ru r u rr r r �0 � x y z x y yz xz �0 � k xy cos 1800 C yz cos 1800 A xz cos 1800 B �0 k2 � k xy cos C yz cosA zxcosB �0 � xycosC yzcosA zxcosB � k2 Vậy Max P Câu Cho hai điểm A, B �( I ;6) M �( I ;3) , thỏa mãn : � AIB 60o Khi A , B , M thay đổi tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA MB ? B A C 13 D Lời giải ur ur ur ur ur ur ur | v | ur | u | ur Bổ đề : Cho hai véc tơ u v khác véc tơ , ta ln có : | u v | | ur u ur v | |u | |v | Chứng minh : Bình phương vơ hướng vế phải ta : ur ur ur ur ur ur 2 urur ur ur � | v | ur | u | ur � �| v | ur � �| u | ur � | v | ur | u | ur ur ur �| ur u ur v | � �ur u � �ur v � ur u ur v v u 2.u v u v | v | � �| u | � �| v | � | u | | v | �| u | ur ur ur ur | v | ur | u | ur Từ suy : | ur u ur v | | u v | (đpcm) |u | |v | Áp dụng vào toán cân hệ số : Chúng ta ghi nhớ cơng thức để áp dụng nhanh vào toán cân hệ số đường tròn mặt cầu sau : uu r uuur uur uuur Ta có : P MA 2MB | IA IM | 2| IB IM | IA IB 6, IM uu r uuur r uuur uu r uuur uu r IA uuur IM uu IM IA | | IM IA | | IM IA | Trong : | IA IM | | IM IA uuur uu r uur uuur uuur uu r uur uuur uur uu r Suy : P 2| IM IA | 2| IB IM | �2 | IM IA IB IM | | IB IA | 4 Có : r � uur uu r 2 � uur uu o | IB IA | IB IA IA IB cos 60 4.6 2.6.6 117 � | IB IA | 13 � � 4 2 � � Câu Suy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin 13 � chọn đáp án C Cho tứ giác ABCD , M điểm tùy ý điểm I, J, K cố định cho đẳng thức thỏa mãn uuur uuur uuur uuuu r uuuu r với điểm M: MA MB MC 3MD k MK Giá trị k A k = B k = C k = D k = Lời giải Chọn D uuur uuur uuur uuuu r uuuu r Vì MA MB MC 3MD k MK thỏa mãn với M Do đó, đẳng thức với M �K uuu r uuur uuur uuur uuur r Tức là: KA KB KC 3KD k KK uuu r uuur uuur uuur Gọi G trọng tâm ABC � KA KB KC 3KG uuur uuur r � 3KG 3KD � K trung điểm GD Mặt khác: Câu uuur uuur uuur uuuu r MAuu uu MB MC MD r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur ( MK KA) ( MK KB) ( MK KC ) 3( MK KD) uuu r uuur uuur uuur uuuu r ( KA KB KC 3KD) 6MK uuuu r MK �k 6 Cho tam giác ABC vng A Gọi góc hai đường trung tuyến BD CK Giá trị nhỏ cos 4 A B C D 4 Lời giải Chọn A r uuur uuu r uuu r uuu ( BA BC ) (CA CB) Ta có: 2 cos BD.CK BD.CK uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur2 uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r BA.CA BA.CB BC.CA BC.CB ) BA.CA BC (CA BA) BC ) 4.BD.CK 4.BD.CK uuur2 uuu r uuu r 2 BC BC (Vì tam giác ABC vng A nên BA.CA 0) 4.BD.CK 2.BD.CK uuur uuur BD.CK Mặt khác, Cauchy �AB BC AC � �AC BC AB � 2.BD.CK � BD CK � � � � 4 � � �� BC AB AC BC 5BC BC 4 BC cos � Suy ra, BC Câu Dấu “=” xảy BD = CK hay ABC vuông cân A Cho hai điểm cố định G G ' trọng tâm tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' Giá trị nhỏ biểu thức P AA ' BB ' CC ' A GG ' B 3GG ' C 2GG ' Lời giải Chọn B D GG ' G ' trọng uuuuu r uuuuu r uuuuu r r G ' A ' G ' B ' G ' C ' Do G tâm ABC , A ' B ' C ' nên uuu r uuu r uuur r GA GB GC Ta có: uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur AA ' BB ' CC ' ( AG GG ' G ' A ') ( BG GG ' G ' B ') (CG GG ' G ' C ') uuuu r uuu r uuu r uuur uuuuu r uuuuu r uuuuu r 3GG ' (GA GB GC ) (G ' A ' G ' B ' G ' C ') uuuu r 3GG ' uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r Mặt khác, P AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' �AA ' BB ' CC ' uuuu r GG ' 3GG ' uuur uuur uuuu r Dấu “=” xảy AA ', BB ', CC ' hướng Họ tên: Nguyễn Đức Hoạch – email: nguyenhoach95@gmail.com Mail: nguyennga82nvc@gmail.com Câu FB: Nguyễn Nga Nvc �A B = C �B A = 600 Với Cho hình thang A1B1C1D1 có A1B1 / / C1D1, A1B1 = 3a,C1D1 = 2a, D 1 1 1 uuuu r uuuu r uuuur điểm G1 di động cạnh A1B1 ta xác định điểm F1 cho G1F1 = G1C1 +G1D1 Tìm độ uuuu r dài nhỏ G1F1 A 2a B a C 3a D 3a Lời giải Chọn B Gọi Z = A1B1 �C1D1 , từ giả thiết suy tam giác ZA1B1 cạnh 3a Gọi H 1, I a trung điểm A1B1,C1D1 , suy H 1, I cố định H 1I = ZH = Từ giả thiết ta có tứ giác G1D1F1C1 hình bình hành, nên G1F1 = 2G1I �2H 1I = a uuuu r Vậy độ dài nhỏ G1F1 a Nguyễn Văn Công- Trường THPT Kinh Môn II Câu Gmail: nguyencongkm2@gmail.com Cho tam giác ABC vuông A; BC = ; CA = b; AB = c điểm M di động Biểu thức F= 8MA b MB2 c MC đạt giá trị lớn A B 12 C 16 D 24 Lời giải uur uur uur r Xét điểm I thỏa mãn: 8IA b IB c IC (1) ( Dựng đường cao AH, dựng I cho A trung điểm IH ; I thỏa (1)) Bình phương hai vế (1) ý uur uur 2IA.IB IA IB2 AB2 ; uur uur 2IB.IC IB2 IC2 BC2 uur uur 2IC.IA IC2 IA AC2 biến đổi ta kết 8.IA b IB2 c2 IC 3b c uuuu r2 uuur uuur F 8MA b MB2 c MC2 8MA b MB c2 MC uuu r uur uuu r uur uuu r uur 8(MI IA) b (MI IB) c (MI IC) 4MI 8.IA b IB2 c IC 4MI 3b 2c 2 �b c � �3b c �3 � � 12 � � 2 Họ tên tác giả : Vũ Viên Tên FB: Vũ Viên Câu Email: tieplen@gmail.com Cho ABC có cạnh 2a Gọi d đường thẳng qua A song song BC , điểm M di uuur uuur uuuu r động d Tìm giá trị nhỏ MA 2MB MC A 2a B a C a D Lời giải M A I K C B Chọn B uu r uur uuur uur r uur uur uur r Xét điểm I cho: IA IB IC � IA IA AB IC uu r uuur uuur r uur uuur uuu r r � IA AB AC � IA AB CB a uuu r uuur uu r BA BC uuur � IA BK (với K trung điểm AC ) � I điểm thứ hình bình hành AIBK uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uur Ta có: MA 2MB MC MI IA MI IB MI IC uuu r uu r uur uur uuu r MI IA IB IC 2MI 2MI M �d � Min đạt LM d Khi đó: � MAB � IAB � 60� � MAI ABK 60� 30� 30� IM 2�� IA sin װ30 װ 2.BK sin 30 (2 a) 2 sin 30 a2 a Họ tên tác giả: Phạm Khắc Thành Email: phamkhacthanhkt@gmail.com Câu 10 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC điểm M Đặt a BC , b CA, c AB Tìm giá trị nhỏ biểu thức T A 3 B MA MB MC a b c C 3 D Lời giải Chọn B Theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có: 4ma2 � 2 c b2 � a2 b2 c2 a2 4ma2 3a 3ama ama b2 c a 2 Gọi G trọng tâm tam giác ABC đó: uuur uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r MA MA.GA MA.GA 3 3 � 2 MG GA GA MG GA GA2 2 2 2 2 b c a a a.GA b c a b c a 3 Từ suy ra: uuuu r uuu r uuu r uuur MA MB MC 3 � �2 MG GA GB GC GA2 GB GC � � � a b c b c a uuu r uuur uuur r 2 2 2 Lại có GA GB GC GA GB GC a b c MA MB MC 3 � � �2 a b c � Đẳng thức xảy tam � a b c b c a � � giác ABC đồng thời M trùng với trọng tâm tam giác ABC Do Mail: thuytrangmn@gmail.com Chủ đề: Vectơ Câu 11 Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' CC' cos B A B A' �BC , C' �AB Tìm C Lời giải: D giá trị nhỏ Chọn A A C’ G C A’ B uuur r uuu r r Đặt BC a , BA c ta có: uuur r r uuur r r AA' a c CC' c a 2 �1 r r � �1 r r � Do AA' CC' nên � a c � � c a � �2 � �2 � rr r r 2 r2 r2 r r � ac a c a c � a c 5 rr + Nếu ac cosB rr a.c rr cos B r r � Dấu đẳng thức xảy + Nếu ac �0 a.c Vậy giá trị nhỏ cosB r r a c , đạt dược tam giác ABC cân B Họ tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê Email: hongle.ad@gmail.com Câu 12 Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a Tìm điểm M để vecto uuur uuur uuuu r aMA bMB cMC có độ dài nhỏ A M trùng với trọng tâm G tam giác ABC B M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC C M trùng với trực tâm H tam giác ABC D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Lời giải Chọn B Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC uuur uuur DB AB c c � DB DC , mà hai vecto DC , DB ngược DC AC b b uuur uuur uuur r uur uur uur uur r c uuur hướng nên ta có DB DC � bDB cDC � b IB ID c IC ID b uur uur uur r hay bIB cIC b c ID (*) Theo tính chất phân giác trong: Mặt khác DB c DB c ac � � DB DC b BC b c bc IA BA c b c b c � aIA b c ID ID BD ac a uu r uur uu r uur Mà IA, ID ngược hướng nên aIA b c ID uur uur uu r r Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA uuur uuur uuuu r Vậy độ dài aMA bMB cMC nhỏ M trùng I Họ tên: Ngô Gia Khánh Địa mail: ngkhanh4283@gmail.com Câu 13 Cho tam giác ABC tam giác cạnh a , M điểm di động đường thẳng AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức T = MA + MB + MC + MA - MB + MC là: A MinT = 2a B MinT = 2a C MinT = a D MinT = 5a Lời giải uuur uuur uuur uuur +, Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có: MA + MB + MC = MG +, Dựng hình bình hành ABCD , ta được: uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur BA = CD � MA - MB + MC = BA + MC = CD + MC = MD uuur uuur uuur uuur uuur uuur +, Khi T = MA + MB + MC + MA + MB - MC = 3( MG + MD ) �3GD ( Vì G,D nằm khác phía với đường thẳng AC) Dấu xảy M giao điểm GD đường thẳng AC hay M trung điểm AC + Nhận xét GD = BM = a = 2a 3 Vậy MinT = 2a Email: vntip3@gmail.com Câu 14 Cho ABC A ' B ' C ' có trọng tâm G G ' cố định GG ' a Khi giá trị nhỏ T AA ' BB ' CC ' là: A T a B T 2a C T 3a D T 4a Lời giải Chọn C Ta có: uuuur uuur uuuu r T AA ' BB ' CC ' uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur AG GG ' G'A ' BG GG ' G'B ' CG GG ' G'C ' uuuur 3GG ' Vậy T AA ' BB ' CC ' uuuur uuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur AA ' BB ' CC ' �AA ' BB ' CC ' GG ' 3GG ' 3a uuuur uuur uuuu r Giâ trị nhỏ T 3a AA ', BB ', CC ' phương (Họ tên tác giả : Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan) Mail: thongbui1987@gmail.com Câu 15 Cho tam giác ABC với cạnh AB x, AC y ; x y Gọi AD đường phân giác uuur uuu r uuur góc A Biết biểu thị vectơ AD m AB n AC Tính S m n A S 2 B S C S D S Lời giải Chọn C Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có uuur DB AB x x DB x � uuur � điểm D chia đoạn thẳng BC theo tỉ số k DC AC y y y DC uuu r x uuur AB AC uuur r y uuu x uuur y AB AC � m n Nên ta có: AD x x y x y 1 y Câu 16 Cho ABC có AB ; AC Phân giác AD góc AD a a , với a, b �� tối giãn Tính S a 2b AI b b A S 10 B S 14 C S 24 yx x y � cắt trung tuyến BM I BAC Biết Lời giải: Chọn C D S 27 uuu r uuuu r uur uur uuur r IB AB � IB 3IM � AB AM AI 1 IM AM uuu r uuur uuur uuur uuur r DB AB � DB 3DC � AB AC AD DC AC uuu r uuuu r uur uuu r uuuu r uur � � AB AM AI AB AM 10 AI � � r uuur uuur � �uuu r uuur uuur Từ 1 ta có hệ � uuu AB AC AD AB AC AD � � Ta có: uuuu r uuur uur uuur uuur uur AD 10 � AM AC 10 AI AD � AD 10 AI � AD 10 AI � AI � a 10, b � S 10 2.7 24 Họ tên tác giả : Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi Email: lehongphivts@gmail.com Câu 17 Cho tứ giác ABCD có AD BC vng góc với AB , AB , AD a , BC b Gọi E điểm thuộc cạnh CD Biết � AEB 90�, giá trị lớn T ab B 16 A C D 64 Lời giải Chọn B Vì E điểm thuộc cạnh CD nên tồn k � 0;1 cho uuur uuur r k EC k ED uuur uuur uuu r uuur uuur uuur Khi đó, k BC k BD BE k AC k AD AE Suy uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BE AE k BC AC k k BC AD k k BD AC k BD AD uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur k BC AB BC k k ab k k BA AD AB BC k BA AD AD k 2b k k ab k k 82 ab k a kb k a 64k k uuu r uuur Do � AEB 90�� BE AE � kb k a k k � k Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có � b 1 k 1 k a k Đẳng thức xảy chẳng hạn a b k 0,5 ab k 1 k b a 8 1 k k ab 16 � 97 � 97 Vậy MinP � �2 2� � 18 � � Chọn đáp án B Phuongthao.nguyenmaths@gmail.com Câu 26 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho uuur uuur uuuu r uuur BH HC Điểm M di động nằm BC cho BM xBC Tìm x cho độ dài uuur uuur vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ A B C D Lời giải (Họ tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Chọn B uuur uuur uuur uuur uuur Dựng hình bình hành AGCE Ta có MA GC MA AE ME uuur uuur uuur Kẻ EF BC F �BC Khi MA GC ME ME �EF uuur uuur Do MA GC nhỏ M �F Gọi P trung điểm AC , Q hình chiếu vng góc P lên BC Q �BC Khi P trung điểm GE nên BP BE uuur uuur BQ BP hay BF BQ Ta có BPQ BEF đồng dạng nên BF BE uuur uuur Mặt khác, BH HC uuur uuur PQ đường trung bình AHC nên Q trung điểm HC hay HQ HC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy BQ BH HQ HC HC HC BC BC 6 uuur uuur uuur Do BF BQ BC uuur uuur Câu 27 Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đơi đáy AB Lấy điểm E cho 3BC DE đồng thời thỏa mãn CA CE Giá trị nhỏ góc � ABC nằm khoảng ? A (95o;100o) B (100o;106o) C (106o;115o) Lời giải: D (115o;120o) B A D C E uuur uuu r uuur Gọi � ABC Ta có: AC AB BC � AC AB BC AB.BC.cos (1) uuu r uuur uuur uuu r uuur CE CD DE 2 AB BC � CE AC AB BC AB.BC.cos Lại có: (2) Lấy (2) – (1) vế theo vế ta : AB BC 15 �3 AB BC � AB BC AB.BC.cos � cos � ��2 BC 32 AB �8 BC 32 AB � Suy ra: �118,96o � GTNN nằm khoảng (115o;120o) � chọn đáp án D uuu r uuur uuur uuur Câu 28 Cho hình thang ABCD có AB DC , AC 8, BD , góc tạo hai véc tơ AC BD 120o Khi giá trị ( AD BC ) bằng: A 13 B 14 C 15 10 D Lời giải: A D B C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur Ta có: AC AB BC BD BC CD Suy ra: AC BD (2 AB CD) 3BC 3BC Bình phương vô hướng hai vế ta được: BC AC BD AC BD.cos120o 4.82 62 4.8.6.cos120o � BC 14 Tương tự ta có: uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có: AC AD DC BD BA AD Suy ra: AC BD (2 BA BC ) AD AD Bình phương vơ hướng hai vế ta được: AD AC BD AC.BD.cos120o 82 4.62 4.8.6.cos120o � AD 14 � chọn đáp án B uuu r uuur Câu 29 Cho hình thang ABCD có AB DC , AC 9, BD Giá trị biểu thức ( BC AD ) bằng: 80 A 15 B C 12 D 14 Suy ra: ( AD BC ) Lời giải: A B C D uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur Ta có: AC AB BC BD BC CD Suy ra: AC BD (2 AB CD) 3BC 3BC Bình phương vơ hướng hai vế ta được: uuur uuur BC AC BD AC BD (1) Tương tự ta có: uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có: AC AD DC BD BA AD Suy ra: AC BD (2 BA BC ) AD AD Bình phương vơ hướng hai vế ta được: uuur uuur AD AC BD AC BD (2) AC BD 92 62 Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta : BC AD 15 � Chọn đáp án 3 A 2 14 � chọn đáp án B � 60o AB, AC biết Biểu thức P k MA MB MC đạt giá Câu 30 Cho tam giác ABC có BAC trị nhỏ ( AB AC ) với giá trị thực k �k0 Giá trị k0 nằm khoảng Suy ra: ( AD BC ) ? A (0;1) B ( ; 2) C (1; ) D (2;3) Lời giải: ur ur ur ur ur ur ur v ur ur ur ur Ta có: | u | | v | �u v �| u |�u ur và: u v � | u | | v | Áp dụng vào này, ta có : | v| uuu r uuur uuu r uuur uuur AB uuuu r AC uuur uuu r AB uuur uuur AC P k MA MB MC �k MA MB MC k.MA ( MA AB) ( MA AC ) AB AC AB AC uuu r uuur uuu r uuur uuur � P �k MA AB AC MA( AB AC ) �k MA AB AC MA | AB AC | AB AC AB AC uuu r uuur � AB AC � k | | � AB AC � P �MA � AB AC � � uuu r uuur � AB AC � P �MA � k | | � AB AC �AB AC AB AC � � uuu r uuur uuu r uuur � AB AC � AB AC k | | ��0 � k �| | Suy ra: � AB AC � AB AC � Giả thiết cho Sử dụng bình phương vơ hướng uuur uuur uuur uuur uuu r uuur AB AC �AB � �AC � AB AC | | � � � � 2.cos 60o AB AC �AB � �AC � AB AC uuu r uuur AB AC Suy ra: k �| | k0 Vậy ta chọn đáp án B AB AC để biết: tính: Email: hongle.ad@gmail.com Câu 31 Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a Tìm điểm M để vecto uuur uuur uuuu r aMA bMB cMC có độ dài nhỏ A M trùng với trọng tâm G tam giác ABC B M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC C M trùng với trực tâm H tam giác ABC D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Lời giải Họ tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê Chọn B Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC uuur uuur DB AB c c � DB DC , mà hai vecto DC , DB ngược DC AC b b uuur u u u r u u u r u u u r r u ur uur uur uur r c hướng nên ta có DB DC � bDB cDC � b IB ID c IC ID b uur uur uur r hay bIB cIC b c ID (*) Theo tính chất phân giác trong: Mặt khác DB c DB c ac � � DB DC b BC b c bc IA BA c b c b c � aIA b c ID ID BD ac a uu r uur uu r uur Mà IA, ID ngược hướng nên aIA b c ID uur uur uu r r Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA uuur uuur uuuu r Vậy độ dài aMA bMB cMC nhỏ M trùng I Email: nguyentuyetle77@gmail.com Câu 32 Cho tam giác ABC cạnh a điểm M thay đổi Giá trị nhỏ biểu thức P MA2 3MB MC là: A 14a B 14a C 26a D 26a Lời giải Họ tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có: P 2( MG GA)2 3( MG GB )2 4( MG GC ) uuuu r uuu r uuu r uuur = MG 2MG (2GA 3GB 4GC ) uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur MG 2MG (2GA 2GB 2GC GB 6GC ) uuuu r uuu r uuur MG MG (CB 5GC ) GC uuuu r uuu r uuur uuu r uuur MG 2MG (CB 5GC ) (CB 5GC ) 42GC uuu r uuur uuu r uuur a2 (Vì (CB 5GC ) CB 10CB.GC 25GC 43 43GC ) uuuu r uuu r uuur p ( MG CB 5GC ) 42GC �42GC 14a uuuu r uuur uuu r Dấu “=”xẩy � MG 5GC CB uuuu r uuur uuu r Vậy P 14a M điểm thỏa mãn MG 5GC CB Họ tên tác giả : Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm Email: dvtam0189@gmail.com Câu 33 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ B C vng góc với Tính giá trị nhỏ cosA A B C D Lời giải Chọn D Gọi M , N trung điểm AC, AB Ta có: uuuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur BM AM AB; CN AN AC uuuur uuur Theo giả thiết BM CN nên ta có BM � CN hay uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuur AM AB �AN AC � AB � AC AM � AN AM � AC AN � AB uuuur uuur uuuu r uuur Mà AM AC AN AB nên suy uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB � AC AB � AC AB2 AC � AB � AC AB2 AC Áp dụng định nghĩa tích vơ hướng, kết hợp Bất đẳng thức Cosi ta có uuur uuur uur u uuur AB � AC AB2 AC 2 AB2.AC cos A cos AB; AC � AB.AC AB.AC AB.AC Dấu " " xảy AB AC hay tam giác ABC cân A Vậy cos A Họ tên : Cấn Việt Hưng Email: thuyhung8587@gmail.com FB: Viet Hung uuur uuur uuur uuur Câu 34 Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho MA MB MA MB Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH ? a a A B C a D 2a 2 Lời giải: Chọn A uuur uuur uuuu r Gọi N đỉnh thứ hình bình hành MANB Khi MA MB MN uuur uuur uuur uuur uuuu r uuu r Ta có MA MB MA MB � MN BA hay MN AB Suy MANB hình chữ nhật nên � AMB 90o Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB MH lớn H trùng với tâm O hay max MH MO AB a 2 Họ tên tác giả : Phương Xuân Trịnh Tên FB: : Phương Xuân Trịnh Email: phuongtrinhlt1@gmail.com Câu 35 Cho tam giác ABC vng A Gọi góc hai trung tuyến BD CK Giá trị nhỏ cos là: A B C D Lời giải Chọn B Ta có: uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuur BD CK AD AB AK AC AD AC AK AB (do AB AC ) 1 AB AC BC 2 Mặt khác: BD.CK �BD CK BA BC AC 2CA2 2CB AB AB AC BC BC 4 Do đó: cos cos uuur uuuu r BD CK BD.CK BC BC � BD.CK 5BC � BD CK � ABC vuông cân A Vậy cos vanphu.mc@gmail.com uuur uuur Câu 36 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H chân đường cao kẻ từ A cho CH HB Điểm M di uuuu r uuu r uuur uuur động BC cho CM x.CB Tìm x cho độ dài vecto MA GB đạt giá trị nhỏ A B C D Lời giải Chọn B uuur uuu r uuur uuur uuur Dựng hình bình hành AGBE Ta có MA GB MA AE ME uuur uuur uuur uuu r uuur � GB EF M F � MA GB ME ME �EF MA Gọi P trung điểm AB Khi P trung điểm GE CP CE Gọi Q hình chiếu vng góc P BC uuur uuur CQ CP � CF CQ CF CE uuur uuur uuur uuur Mặt khác PQ đường trung bình AHB nên HQ HB Theo giả thiết CH HB uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy CQ CH HQ HB HB HB uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r Từ giả thiết HB CB Do CQ HB CB CB � CF CQ CB CB 6 3 Ta có CPQ CEF đồng dạng nên ( Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu) Họ tên tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai Email: maimai1.hn@gmail.com uuur uuur uuur uuur Câu 37 Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho MA MB MA MB Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH ? a a A B C a D 2a 2 Lời giải Chọn A uuur uuur uuuu r Gọi O trung điểm AB Khi MA MB 2MO uuur uuur uuur uuur uuuu r uuu r Ta có MA MB MA MB � MO BA hay MO AB Suy MAB vuông M o � nên AMB 90 Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB AB a MH lớn H trùng với tâm O hay max MH MO 2 Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo Email: nghianguyennhan78@gmail.com Câu 38 Cho AD BE hai phân giác tam giác ABC Biết AB , BC CA uuur Khi DE bằng: r uuu r r uuu r r uuu r r uuu r uuu uuu uuu uuu A CA CB B CA CB C CA CB D CA CB 5 5 5 Lời giải Chọn A AD phân giác tam giác ABC nên uuur uuu r CD � CD CB CB 10 uuu r uuu r CE � CE CA Tương tự: CA 9 uuur uuu r uuur uuu r uuu r Vậy DE CE CD CA CB CD AC CD � DB AB CD DB � uuur uuur uuur uuur Câu 39 : Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho MA MB MA MB Gọi H hình chiếu M lên AB Tính độ dài lớn MH ? a a A B C a D 2a 2 Lời giải Chọn A uuur uuur uuuu r Gọi N đỉnh thứ hình bình hành MANB Khi MA MB MN uuur uuur uuur uuur uuuu r uuu r Ta có MA MB MA MB � MN BA hay MN AB Suy MANB hình chữ nhật nên � AMB 90o Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB MH lớn H trùng với tâm O hay max MH MO Họ tên tác giả : Hồng Tiến Đơng AB a 2 Tên FB: tiendongpt Email: dongpt@c3phuctho.edu.vn uur uur r Câu 40 Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích S điểm I , O thỏa mãn IB IC ; uuu r uur r OA OI Cắt miếng gỗ theo đường thẳng qua O , đường thẳng qua M , N cạnh AB, AC Khi diện tích miếng gỗ chứa điểm A thuộc đoạn: S S� S S� 3S S � S 3S � � � � � A � ; � B � ; � C � ; � D � ; � �4 � �3 � �8 � �4 � Lời giải Chọn A N //BC , suy ra: O trung điểm M � N� Từ O kẻ M �� NN � MM � 1� NN � MA OM � � x, � �x � � 1 � Ta có: NA MA 2� NA MM �ON � � NN � xNA � AN AN � xNA � NA AN � 1 x MM � xMA � M � A MA xMA � MA M� A 1 x S AMN AM AN AM AN Ta có: S AB AC AM � AN � x ABC � 1� 0; suy ra: �� f x� Xét hàm số: f x x � 4 � 2� � S S AMN S Đỗ Công Dũng Email: congdung812@gmail.com Câu 41 Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R Tìm giá trị lớn BC AB AC A B C D Lời giải Chọn D Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng hình bình hành ABMC uuu r uuuu r uuur uuuu ruuur Ta có OA OM MA � OA2 OM MA2 2OM MA 1 uuuu r uuur Tương tự ta có : OB OM MB 2OM MB uuuu r uuur OC OM MC 2OM MC 3 Lấy 3 – 1 vế ta có: uuuu r uuur uuur uuur R OM MB MC MA2 2OM MB MC MA ( tứ giác ABMC hình bình uuur uuur uuur hành nên MB MC MA ) Khi R OM MB MC MA2 OM MB MC MI �AB AC BC � OM MB MC � � � � 2 OM MB MC AB AC BC mà MB AC , MC AB nên R OM AB AC BC � BC AB AC R OM �R Vậy giá trị lớn BC AB AC Đẳng thức xảy M O � AB AC R � BC 3R Áp dụng định lý cosin tam � 1200 Hay tam giác ABC cân A có BAC � 1200 giác ABC có BAC Họ tên tác giả : Nguyễn Tân Quang Tên FB: Nguyễn Tân Quang Email: quangmath@gmail.com Câu 42 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M điểm nằm cạnh AB Tính giá trị nhỏ uuur uuur uuuu r biểu thức MA MB MC theo a A a B a C a D 2a Lời giải Chọn B uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r Ta có MA 2MB MC MA MC 2MB 2MN MB MI MI , N , I trung điểm AC , BN Do I cố định Kẽ IH vng góc với AB Ta có MI �HI Tính BN a a � IH BI sin 300 Email: themhaitotoanyp1@gmail.com Câu 43 Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với đỉnh A, C) Trên đường thẳng AB, BC, lấy điểm P Q cho MP // BC, MQ // AB Gọi N giao hai đường thẳng AQ CP Giả sử DN m DA n DC Tìm giá trị lớn m + n A B C D Lời giải Đặt AM BQ BP k k 1 k , k 0;1 AC BC AB Có DN DA AN DA x AQ DA x AB BQ DA x DC kx DA 1 kx DA x DC , (1) Mặt khác DN DC CN DC yCP DC y CB BP DC y DA y k 1 DC y DA 1 yk y DC , (2) k x y 1 kx k k 1 Từ (1) (2), ta có ky y x y 1 k k k 1 Do DN 1 k k DA DC k k 1 k k 1 mn 1 , k 0;1 k k 1 1 3 k 2 max m n , đạt k = hay M trung điểm AC (Fb: Lưu Thêm) Họ tên: Lê Thị Lan FB: Lê Lan Email: lelanqx2@gmail.com Câu 44 : Cho tam giác ABC có G trọng tâm Gọi H chân đường cao hạ từ A cho uuur uuur uuuu r uuur BH HC Điểm M di động nằm BC cho BM xBC Tìm x cho độ dài uuur uuur vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ A B C Lời giải D Chọn B uuur uuur uuur uuur uuur Dựng hình bình hành AGCE Ta có MA GC MA AE ME uuur uuur uuur Kẻ EF BC F �BC Khi MA GC ME ME �EF uuur uuur Do MA GC nhỏ M �F Gọi P trung điểm AC , Q hình chiếu vng góc P lên BC Q �BC Khi P trung điểm GE nên BP BE uuur uuur BQ BP hay BF BQ Ta có BPQ BEF đồng dạng nên BF BE uuur uuur Mặt khác, BH HC uuur uuur PQ đường trung bình AHC nên Q trung điểm HC hay HQ HC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy BQ BH HQ HC HC HC BC BC 6 uuur uuur uuur Do BF BQ BC Tác giả: Nguyễn Văn Hưng Facebook: Nguyễn Hưng Câu 45 Cho tam giác ABC có BC a, AC b, AB c nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R M điểm thuộc đường tròn (O) Gọi N , n giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB MC Khi giá trị N n A 12R B 4R 9R a b c C 2R 9R a b c D 8R 9R a b c Lời giải Chọn B Ta có: uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur P MO OA MO OB MO OC uuuu r uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuur 6R MO OA OB OC 6R MO OA OB OC cos uuu r uuu r uuur 6R R OA OB OC cos Vậy : uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur 6R R OA OB OC �P �6R R OA OB OC ` uuu r uuu r uuur � N n 4R OA OB OC uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu ruuur uuu r uuur Mà : OA OB OC 3R OAOB OBOC OAOC uuu r uuu r OA2 OB (OA OB) 2 3R 2.� 9R a b c 2 � N n 4R 9R a b c Họ tên tác giả : Nguyễn Xuân Giao Tên FB: giaonguyen Email: giaohh2@gmail.com Câu 46 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O ,bán kính R , M điểm đường trịn Giá trị lớn biểu thức S MA2 2MB 3MC B R 21 A R 21 D 2 R 21 C R 21 Lời giải Chọn C uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur Ta có S MA 2MB 3MC MO OA MO OB MO OC uuuu r uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuur S 2MO OA 2OB 3OC MO OA 2OB 3OC cos uuu r uuu r S R CA 2CB cos uuuu r uuu r uuu r Trong MO, CA 2CB Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R nên có cạnh R uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r2 uuu r uuu r uuu r2 CA 2CB CA 4CA.CB 4CB 15R 4.CA.CB.cos 600 21R � CA 2CB R 21 S R 21.cos S R 21 uuuu r uuu r uuu r Dấu xảy cos � MO, CA 2CB chiều Vậy MaxS R 21 Email: anhtu82t@gmail.com Câu 47 Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức P cos A cos B cos 2C A Pmin 4 B Pmin C Pmin 2 3 D Pmin 5 Lời giải Họ tên: Đồng Anh Tú Facebook: Anh Tú Chọn A Gọi O , R tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC uuu r uuu r uuur Ta có: (2OA OB OC ) �0 uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur � 4OA2 3OB OC 4OA.OC 3OA.OB 3OB.OC �0 � R 4OA.OC.cos B 3OA.OB.cos 2C 3OB.OC.cos A �0 � 8R R cos B 3R cos 2C 3R cos A �0 � 600 , C � 750 � cos A cos B cos 2C �4 Dấu xẫy � A 450 , B Vậy Pmin 4 ... nhỏ biểu thức P MA MB ? B A C 13 D Lời giải ur ur ur ur ur ur ur | v | ur | u | ur Bổ đề : Cho hai véc tơ u v khác véc tơ , ta ln có : | u v | | ur u ur v | |u | |v | Chứng minh... a � � giác ABC đồng thời M trùng với trọng tâm tam giác ABC Do Mail: thuytrangmn@gmail.com Chủ đề: Vectơ Câu 11 Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' CC' cos B A B A' �BC , C' �AB Tìm... uuur uuu Ta có OD OC CD AC AB � OD � AC AB � AC AB AC AB �2 � OD 25 97 97 5.3 � MD OD OM 2 2 � 97 � 97 Vậy MinP � �2 2� � 18 � � Chọn đáp án B Phuongthao.nguyenmaths@gmail.com