Chusng I
CAC PHEP BIEN HINH TRONG MAT PHANG 40 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC
Trong mặt phẳng cho một qui tắc f, với một điểm M bằng qui tắc đã cho,
ta dựng được một điểm duy nhất M; khi đĩ ta nĩi M' là ảnh của M trong phép biến đổi f và kí hiệu M + ML Điểm M được gọi là tạo ảnh hoặc
nghịch ảnh của M' Nếu theo quy tắc f mọi điểm M của mặt phẳng biến
thành điểm M' sao cho với điểm Mì: và M'; khác nhau là ảnh của các diém M, va M, theo quy tac f thi M, và M; phải khác nhau khi đĩ ta nĩi f là một phép biến hình trong mặt phẳng
Cho một hình H và một phép biến đổi f, tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi đĩ lập thành một hình H được gọi là ảnh của H và ki hiéu f: H + H’
Phép biến đổi f gọi là đồng nhất, nếu VM; f M -› M Phép biến đổi f gọi la 1 - 1, néu YM; f: M > M' và M là một nghịch ảnh duy nhất ứng với M Điểm O được gọi là điểm bất động của phép biến đổi f, nếu f: O -› O,
Cho hai phép biến đổi f và g, nếu với điểm M bất kì £ M -» M và g:M' >
M”, thì ta nĩi phép biến đổi biến M ¬ M" là tích của f và g và kí hiệu g f-
M + M' Hai phép biến đổi f và g gọi là bằng nhau nếu ảnh của mọi
điểm M trong các phép biến đổi f và g trùng nhau và kí hiệu f = g Phép biến đổi f được gọi là cĩ ngược nếu VM; £ M -— M, thì tổn tai một phép
biến đổi f: M' -> M Điều đĩ cĩ nghĩa là f s f là phép đồng nhất
41 CÁC PHÉP DỜI HÌNH VÀ DÙNG CHÚNG ĐỂ GIẢI TỐN
Định nghĩa: Phép biến đổi f được gọi là phép đời hình nếu khoảng cách
giữa hai điểm bất kì A, B bằng khoảng cách giữa hai ảnh của chúng trong phép biến đổi đĩ
Nếu f: A > A’, B > B’, thi A'B’ = AB
Trong phần này ta chỉ để cập đến các phép đối xứng tâm, đối xứng qua một đường thẳng, phép quay, phép tịnh tiến và tích của các phép biến đổi
đĩ Ta sẽ vận dụng các phép dời hình đã nêu để giải tốn
42 TĨM LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Định nghĩa: Cho trước điểm O Phép biến đổi Z,: O > O va bién M bat ki
> >
Trang 2„ xứng Z4 lập thành một hình H_ được gọi là hình đối xứng với H qua O Nếu H' và H trùng nhau, thì ta nĩi H là hình cĩ tâm đối xứng
Các tính chất
Ù Nếu A, B' là ảnh của A, B trong phép đối xứng „thì A' - -AB
i0 Phép đối xứng Z„ biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điêm thang hang, đường thắng (d) thành đường thắng (đ) (đ) hoặc (đ) trùng với (dì, gĩc xƠy thành gĩc xOy' = xĨy và các cạnh của chúng cùng phương, đường trịn (O; R) thành đường trịn (O; R)
iii) Phép đối xứng 2„ cĩ ngược và đĩ là phép đối xứng Z,
43 DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI TỐN Chứng minh các tính chất hình học
Vi du 1 Cho 3 phép đối xứng Za 2 2c
Ching minh rằng: Z = 2Z¿ * Z¡ * ZA là phép đối xứng tâm Giải
Trước hết ta chứng minh rằng Z cĩ điểm bất động Thật vậy; giả sử O là điểm bất động của Z, khi đĩ ta cĩ: > 3 Za: O —ˆO' => OA=Ao, > 3 2,030" => O'B = BO’" > > ZO" +20 = ƠC = CO
Từ các kết quả đĩ ta suy ra: BO = BA+ BC và đây la dpem Bay gid ta
chứng minh Z là phép đối xứng Giả sử M là điểm bất kì khác O, ta cĩ: " 2Z4:O >O, MSM > > = O'M' = - OM, Zy: O' +O", M'—+M" > > =_ OM'=-OM, Z%:0">+0, M'+M™ > > => OM” = -O"M" ‘ ot a
Từ các kết quả đĩ ta suy ra: OM”” = -OM
Vi dụ 2 Chứng mình rằng một đa giác phẳng khơng thể cĩ đúng hai tâm đối xứng
Giải “
Trang 3biến đổi Z = Z„ s Z„ * Z„ theo ví dụ 1, Z là phép đối xứng biến H thành I1 > >
Ki hiéu O, la tam của phép đối xứng Z, ta cĩ O,= 2ØO Điều đĩ trải với giả thiết
Dựng hình
Ví dụ 3 Cho hai đường trịn O¡ và ƠƯ„ cắt nhau tại điểm A Hay dung mot
đường tháng (d) qua A và cắt ca hai đường trịn thành hai dây bằng nhau
Giới
Giả sử (d) cắt O¡ tại M¿ và cắt O, tại M; sao cho
AM; = AM,, khi đĩ phép đối xứng ZA: Mi + M¿,
thi bién O, -» O' di qua M, va M, 1a giao diém cua
O va On ~ Ne
© Cách dựng: Dựng ảnh O' của O¡ trong phép déi xtmg Z, Gọi M; là giao điểm của O' va Oy Dựng đường thẳng đi qua AM Đĩ là đường thẳng phải dựng
e Biện luận: Bài tốn cĩ nghiệm khi O và O;„ cĩ điểm chung và võ nghiệm khi chúng khơng cĩ điểm chung Nếu O' và O; tiếp xúc trong
tại A thì bài tốn vơ nghiệm Nếu O' và O, cĩ hai điểm chung phân
biệt bài tốn cĩ một nghiệm Nếu hai đường trịn trùng nhau, bài tốn
cĩ vơ số nghiệm Tìm tập hợp điểm
Vi du 4 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho ảnh của M trong phép đối xứng qua trung điểm các cạnh tam giác nam.trén đường trịn ngoại tiếp
Giải
Kí hiệu A,, B,, C, la trung điểm các cạnh BC, CA, AB M,, Mz, M; la ảnh của M trong các phép đối xứng qua 3 điểm tương ứng và chúng thuộc
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Rị ràng:
> > > > > >
MB=M,C, MB=M,A => M,C =M,A
= ttt gide M,|CAM; 1a hình chữ nhật MB 1 AC Tuong ts: MC L AB M la true tam tam gidc
«Biện luận: Nếu tam giác ABC nhọn, thì tập M là một điểm Nếu tam
giác khơng nhọn, thì tập M rồng Phép đối xứng tâm trong hệ trực chuẩn
Ví dụ õ Trong hệ tọa độ xOy cho điểm A(x; y„) Lập cơng thức của phép biến đổi Za
Trang 4Giai Giá sử M(x; y) là điểm bất kì, M(X: y) là ảnh của M trong phép biển đơi Z4 Theo định nghĩa ta cĩ > > AM' AM = XxX'-xX,=xX,-x VÀ V-W,=Y,-ÿ => x! = 2x, -X và v Ví dụ 6 Tìm ảnh của đường thăng (d): vẽ 3X trong phép đổi xứng tâm AQ); =1), Giải Nếu (đ) là ảnh của (đ) trong phép đổi xứng Z¿, thì (d') // (d) va phuong trình của (d) cĩ đạng:
y = 2x + m Goi Ở là anh của O(0; 0), khi đĩ: ØGŒ: -2) Vì (d) di qua O nén (đ) đi qua O' va
đo đĩ m= -6
Phương trình của (đ) cĩ dạng: y = 2x - 6
44 CÁC BÀI TỐN TỰ GIẢI
1 Ch› 3 phép đối xứng Z4, 2 Z¿ (A, B, C là 3 điểm phân biệt)
Trang 52 Chiing minh rang tich cua mét sé lé cdc phép đối xứng tâm là một phép déi xting tam
Hướng dẫn: Dùng phương pháp quy nap va xem lai vi du 1 3 Cho doan AC va B la trung điểm của ÁC Chứng mình ràng
Zoe Ze Zy = Ln
Hướng dẫn: Dat Z = Zee Zy, ¢ Zy; theo két quả trong ví dụ 1, Z 1A phép
đối xứng tâm va tâm đối xứng đĩ được xác định bởi hệ thức: > => © BO=z BA+ BC Vì B là trung điểm của AC, nên — : BO=0 = B=O hay Z
4 Cho hai điểm phân biệt A va B Goi A’ la điểm đổi xứng của A qua B: Zy: A > A’ Ching minh rang: Zy ® 2® 2\ ® =
Hướng dẫn: Xem cách giải ở ví dụ 1
5 Cho hình bình hành ABCD và hình bình hành A;B,C,D: nội tiếp trong
hình bình hành ABCD sao cho A; £ AB B, ý DC €¡ ‹ CD Dị š DA Ching minh rang giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành đĩ
trùng nhau
Hướng dẫn: Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình bình hành
ABCD Phép dối xứng Z,: Ay > A’ By -> BY khi dé: Ao ec CD Bc DA va AT //= AB Mat khae C,D, //= AB, do dé: C\D, 2= AB, Do AC; và BD, khơng song song, nén: C,D, = AB
6 Đường trịn O cắt các cạnh BC, CA, AB của VABC tương ứng tại các điểm A; va Ay, B, va Bu, C¡ và C Chứng mình rằng nếu các đường thăng di qua A, B,C, tuong ứng vuơng gĩc với các cạnh tam giác chia cic diem đĩ
đồng quy thì các đường thắng đi qua ABC vuơng gĩc với các cạnh tạm giác chứa các điểm đĩ cũng dịng quy
Hướng dẫn: Ki hiệu x là đường thang qua À, và x L BC, v là đường
thắng qua Bị và y ¡ AC, z là đường thắng qua €¡ và z L AB
Ro rang Z,: x => x' di qua A, va x 1 BC: vy -» y' di qua B¿ và y1 ÁC: 2= z đi qua C¿ và 2` L AB, Ta kí hiệu S la diém chung của 3 đường thắng x.y.z: 8 là ảnh của § trong phép đối xứng Z„ khi đĩ 8' thuộc đĩng thời :3
dudng thang x’, y', 2’
% Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm trên một dường thắng và
AB = CD Chứng mình rằng XA + XD > XB + XC đúng với mọi điểm X
Hướng dẫn: Gọi O là trung điểm của AD phép đối xứng: Z„: X -> X: do vậy: XA = X'D XB =X'C
Trang 65
6
Chứng minh rằng nếu một lục giác lơi cĩ các cập cạnh đối song song và
bảng nhau, thì nĩ cĩ một tâm đơi xứng
Chứng mình rằng nếu một đa giác cĩ tâm đơi xứng thì đa giác đĩ cĩ số
chân cạnh
Dựng hình
„ Cho ngủ giác đều A¿A¿A.A¿A¿, Hãy dựng tâm của phép đối xứng Z =2
Hướng dẫn: Xem ví dụ 1, tam của phép biến đơi 2 là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp ngũ giác tại A; và A; ZAi * án ®2A¿ ® Ai , Cho hai điểm phân biệt A, B Hãy dung tam của phép đối xứng ZLa=ZyeZy eZ Hướng dẫn: Xem ví dụ 1
Dung tam giác ABC, biết 3 trung điểm của 3 cạnh tam giác
Cho gĩc xOy và điểm M nằm trong gĩc đĩ Hãy dựng dường thang d di qua M và cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho M là trung điểm của AB
Hướng dẫn: Nếu M là trung điểm của AB và O' là điểm đối xứng của O qua M, thì tứ giác OAOTB là hình bình hành
Cho gĩc xOy và hai điểm A € nằm trong gĩc đĩ
Hay dựng điểm B e Ĩx và D e Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành a oO Cc Hướng dân: Gọi 8S là trung điểm của AC và nếu ABCD là hình bình hành thì Z4: B > D do đĩ: Ox > OX' Điều đĩ chứng tĩ D là giao điêm Đ cua Oy va O°
Trang 7y > y chia D va D Ia giao điểm của v' và d Theo
Tuong tu Z,: B>D
gia thiết x' cắt z và v' cắt đ, nên bài tốn luơn cĩ nghiệm duy nhât
7 Cho đường trịn O, đường thăng (d) khơng cĩ điểm chung với Ở và diễm P Hay dung hình bình hành sao cho hai đỉnh liên tiếp thuộc O, hai dinh cịn lại thuộc (d) và nhận P là giao điểm các đường chéo, | Hướng dẫn: Gia sti ABCD là hình bình hành đã dựng, trong dĩ A, B thuộc O; C, D thuộc (d) và P làm tâm đối xứng Rõ ràng phép đối xứng Zp C > A, D - B va do do (d) > (d’) chứa hai điểm A và B
8 Dựng tam giác ABC, biết các trung tuyến mụ, mị va C = u
Hướng dẫn: Giả sử ABC là tam giác thỏa màn
điều kiện bài tốn Kí hiệu AM = mụ, thuộc cung chứa gĩc œ dựng trên dãy AM Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC G' là điểm đối xứng của G qua M, /
khi đĩ GC là ảnh của GB trong phép dối xing Za, ZG
li
nên ŒC = 3 m, va C thude cung tron tam G' ban
z 2 S4 cân ‘
kính r= 2 mụ, © 18 giao của hai cưng trịn
9 Cho đường trịn O và hai dây cùng AB, CD khơng cĩ điểm chung Trên
day CD ta lấy điểm I, hay dung điểm X trên đường trịn O sao cho các
dây XA và XB cắt dây CD thành một đoạn MN nhận I làm trung điểm
Hướng dẫn:
Nếu XA, XB cắt dây CD thì X thuộc cung CD
và gĩc AXB xác định, dat AXB =a
Phép đối xứng Z;: M > N do do bién AX > AX’ di qua N va A’X' // AX => A'NB = 180°-a =P =>
N là giao điểm của CD và cung chứa gĩc [3 dựng trên đoạn AB; X là giao điểm của BN và đường trịn O
10 Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đĩ Kí hiệu ABC la
ảnh của ABC trong phép đối xứng Z„ và T là phản chưng của hai miễn tam
giác ABC và ABC
Trang 8Hướng dẫn: T là một đa giác cĩ số chân ¢
cạnh và tối đa bằng 6
Trường hợp T là bình bình hanh Gi, su A
nam trong tam gide ABC kéo dai AA’ cat BC
tại M và dựng hình bình hành AEAP (E :
AB F © AC), tit bat dang thie: B A c
atT < dt AEMF < iat ABC
Dau bằng trong bất đảng thức khi A' trùng với trung điểm của BC và do đĩ O là trung điểm của trung tuyến kẻ từ A
Trường hợp A',B',C' nằm ngồi tam giác ABC,
T cĩ đạng lục giác mà các cập cạnh đối song
song và bằng nhau
"Trường hợp này dt T lớn nhất §¡ + S + § A
nhỏ nhất (xem hình trên) Kí hiệu S la diện tích tam giác ABC, ta co:
và dùng bất đẳng thức Bunhiacốpski Đăng thức xảy ra khi O là trọng tam tam giác ABC và so sinh các kết quả của hai trường hợp đã xét
11 Cho tam giác ABC, Hãy tìm một đa giác lỗi cĩ tâm đổi xưng chứa bên trong nĩ tam giác ABC và cĩ diện tích nho nhất,
Hướng dẫn: Xem cách giải bài 10
Tìm tập hợp điểm
Trang 9Tu gidc ACM’M" la hinh chy nhat = BM + AC hay M thudc dudng cao của tam giác ABC hạ từ B Tương tự M cting la dung cao cua tanr gic ha tu C Tap M la mét điểm và là trực tâm của tim gide ABC, néu ABC co 3 gĩc nhọn Trường hợp ABC là tam giác khơng nhọn, thi tap M la rong 9 Cho hình bình hành ABCD và các điểm M.N P, Q lần lượt là trung điềm
các canh AB, CD, AD, BC Gia su O la điểm cố định nằm trong hình bình hành và khơng thuộc MN và PQ Tìm tập hợp các điểm X và Y thuộc các cạnh của hình bình hành sao cho Ư là trung điểm của đoạn XY
Hướng dẫn: Kí hiệu H là giao điểm của MN và PQ Ta coi O là điểm trong của hình bình hành DNHP
Nếu X và Y là các điểm nằm trên các
cạnh của hình bình hành ABCD sao cho © là trung điểm của XY, thì phép đổi xứng Z4 X => Y, D D và tứ giác DXYD' la hình bình hành Vì O thuộc hình bình hành DNHP nên X và Y phải thuộc các cạnh DA và DC, Tập hợp X và Y là một điểm thuộc DA và BC
3 Cho tam giác ABC và M.N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC CA, AB, Gia sư Ĩ là điểm cổ định năm trong tam giác MNP Tìm tập hợp các
điểm X và Y nằm trên các cạnh tam giác ABC sao cho O là trung điểm các đoạn thẳng XY
Hướng dẫn: Xem cách giải bai 2
4 Cho tap hợp diém X gom n diém va điểm O Ta kí hiệu X' là tập con 'của x nn - 1 điểm nhận O là tám đối xứng nghĩa là phép doi xung Z, biến X thành X' Tìm tập hợp điểm O co tinh chat như vậy
DS: Tap hop O cé tinh chat đã nêu là rồng hoặc gồm nhiều nhất là 3
điểm
Phép đối xứng trong hệ trực chuẩn
1, Tim anh cua U(2: 5) trong phép đối xứng 2v M(-1: 1
DS: (~3: -5) Phép biến đổi 2u: U > -U
2 Tim anh cua đường trịn xỶ + y” = 16 trong phép đối xứng Z4 MU1: -3)
ĐS: (x- 27” + 0y + 4)” = 16 Tam của đường trịn đã cho là (0: 0) Hày
Trang 104 a Cho parabol y = x", Tim anh cua parabol trong phep doi xứng 22 OL0: 01 DS: y=-x ‘Tim ảnh của parabol y = 2x" trong phép đĩi xứng 2v M (0: 1) ĐS: y 80” +1)
Cho hai điểm A (4; 0), B (0; 19) Tìm phép đối xứng tâm biển A thành B DS: Tâm của phép đối xứng (-2; 61
Cho hai đường thẳng: y = x+ ð và v=x - 11
Tìm phép đối xứng tâm biến đường thăng thứ nhất thành đường tháng thứ hai ĐS: Tâm của phép đối xứng là tập hợp điểm thuộc đường thang yex-3 Cho hai duéng tron (w;): (x — 2° + (y - 4)" = 16 va (W¿):(x + 31 + = 16 Tìm phép đối xứng tam bién (w,) thanh Ww) \ > ( DS: Tâm của phép đối xứng Ì toi 45 TĨM LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ PHÉP ĐỔI XỨNG QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa
Cho đường thẳng (d), với mơi điểm M é td) ta dựng điểm MỸ sao chĩ (d) là dường trung trực của đoạn MM,, nếu M e td), thì M' là điểm M, khi đĩ tạ nĩi M' là ảnh của M trong phép đối xứng qua (d) (d) được gọi là trục dối xứng và ký hiệu S„: M ~› M'
Cho hình H tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H lập thành hình HỈ dược gọi là hình đối xứng của:'H Nếu H và H' trùng nhau, thì ta nĩi H là hình cĩ trục đơi xứng
Các tính chất
i) Néu A’, B' la anh cua A, B trong phép đơi xứng 8¡ thị AB’ = AB
ii) Phép đối xứng S¡ biến 3 điểm thắng hang thanh 3 diém thang hàng Đường thắng x thanh dudng thang x’ Goce xOy thành gĩc xXOY' và hai gĩc bằng nhau Đường trịn (O; R) thành đường trịn (O'; Rì
ii Trục đối xứng là đường thẳng bất động
iv) Phép đối xứng §ạ cĩ ngược và phép biến đối đĩ chính là 8„
Trang 1146 DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI TỐN Chứng minh các tính chất hình học Ví dụ 1 Cho hai đường thẳng (a), (bì, Kí hiệu (e) là ảnh của th) trong phép đối xứng S,„ Chứng minh rằng: S, s S, ® S, = S, Giải Ta dat S=S,¢S, ¢S, va can chứng
minh (e) là đường thẳng bat động
của 8 Thật vậy với M e (e), 8M M' < th), S,: M' > M' € (b), Sy M' > M é€ (ec)
Giả sử X là điểm bất kì khơng thuộc
(c), Sy: X > X, ¢6 tinh chat XX, 1 (a) tai H va HX = HX, S,: X, > X, cd tinh chat X)X, L (b) tai K va KX, = KX, Sy: X > X' cĩ tính chất XÃ
(a) tai l va 1X, = IX' `
Ta xem S„: Xị > X,
X, + X XX, > XX' va do đĩ trung điểm K biển thành trung điểm K của XX' và K' e (c) Điều đĩ chứng tỏ nếu X,X; + (b) tại K, thi XX' 1 (¢) tai KK’ hay S$: X > X’
Vi du 2 Ki hiéu 8 là diện tích của một tứ giác lơi ABCD cĩ AB = a, B€ = b CD = c DA = d Chứng mình rằng: 28 ‹ ác + bđ
Giát
Ta dựng đường trung trực (d) của BD và gọi A’ la anh cua A trong phép đối xứng S¡ Rõ ràng tứ giác AA'DB là hình thang cân => AD=AB, AB=AD, Sano = Sayin s Sanen = Sanne Mặt khác ta cĩ: 28, yy Sac + bd te) Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh Dựng hình
Vi du 1 Cho đường thang (d) và hai đường trịn (O), (Ø') nằm về hai phía
với (đ) ttO), (O') khơng tiếp xúc với (d); Hay dựng hình vuơng sao cho một đường chéo của nĩ nằm trên (d), hai định con lai nam trên +O) va (O'),
Trang 12Giai
Gia su ABCD là hình vuơng đã dựng cĩ BD thuộc (d) và các điểm A thudc (O), diém € thuộc (Ở) Rõ ràng phép biến đổi S¿ biến A thành € và đo đĩ biến (O) chứa A thành (O”) chứa C Mặt khác € lại thuộc (Ở!, nên € là điểm chung cua hai đường trịn (O”) va (O°) Ti do ta di đến cách dựng
sau z
Dung anh (O") cua (O) trong ppp Bian doi Sy Goi C 1a giao diém cua (0") va (O') Dung anh A cua C trong phép bién déi Sy Goi H là giao diém cua (d) va AC, dung dudng tron tam H ban kinh HA giao điểm cua đường tron
đĩ và đường thăng (d) la cae dinh B, C can dung
That vay theo cach dung A phải thudc (O), vi (O) cing là anh cua (O") trong phép biến đơi Sạ Tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, cĩ độ dài bằng nhau và vuơng gĩc với nhau nên ABCD là hình vuơng
Bài tốn cĩ vơ số hoặc cĩ hai hoặc một hoặc vơ nghiệm tùy thuộc vào hai đường trịn (Ở) và (O") Cĩ vơ số hoặc hai hoặc một hoặc khơng cĩ điêm
chung nào :
Vi du 2 Cho đường thẳng xx` và hai điểm A, B khơng thuộc xx' và nằm
về một phía với đường thắng đĩ
Hãy dựng điểm O e xx sao cho gĩc AOx = 2BOx
‘i Gi
Gia su O là điểm đã dung Gọi Oy là tia đối của tỉa OA khi dé gĩc
x‘Oy = AOx => x'Õy =2BOx' Gọi B' là ảnh của B trong phép biến đổi
8y„, rõ ràng đường trịn tâm B' tiếp xúc với xx), thì nĩ cũng tiếp xúc với tia Oy (tia ƠB' là tia phân giác của gĩc x‘Oy) va do dé O nam trén tiếp tuyến của đưỡng trịn tâm B kẻ từ A Từ đĩ ta cĩ cách dựng như sau:
Dựng B' là ảnh của B trong phép biển đơi S,, Dung đường trịn tâm B’
tiếp xúc với xx' Dựng tiếp tuyến cúa đường trịn đĩ kẻ từ A Giao điểm của tiếp tuy ấn và xx' là điểm © phải dựng
Bài tốn luơn cĩ một nghiệm duy nhất
Tìm tập hợp điểm
Ví đụ Tìm tập hợp điểm M nầm trong tam giác ABC sao cho ảnh của nĩ
trong các phép biến đổi San, S¡e, Sa cùng nằm trên đường trịn ngoại
tiếp tam giác ABC
Giải
Trang 13(O') lan luot 1a anh cua duéng trịn ngoại tiếp tam giác ABC trong các phép biển đối đã cho và M chính là trực tâm tam giác ABC Nếu tam giác
đã cho cĩ gĩc tụ hộc vuơng thì tập M là rồng, Nĩu tam giác ABC nhọn
thi tap M te Hany bai toan cue in
Ví du T € lượng thả mo ALB khoog nam tren td) Hay Het nt CA CHỊ lớn nhất Giai A ; B N (hess “Ta xét các trường hợp sau:
i) A, B nam khae phía với (d) Rõ ràng giao điểm € ctia AB va td) la
diém phai tim, vi néu C’ khac C va thudc (d), thi:
CA+CB>CA+CB= AB (AB la do dai khơng đơi)
ii) A, B nam ciing phia véi (d), ta goi A’ la diém déi xing cua A qua (d) và khi do A’, B là hai điểm khác phía với (dì, Theo kết quả vừa xét ở trên giao điểm C-cua A'B và td) là điểm phải tìm Thật vậy nếu C' khác Œ,
và thuộc (d), thì:
CA+CB=CA'+CB>CA' + CB=AB
(A'B la độ dai khơng đơi: iii) A, B nam cùng phía với (d) và cất td) tại €, thị chính © la diem phải
tìm sao cho LCA - CBỈ lớn nhất Thật vậy nếu €° kháe € và thuộc td 1,
thi |C’A - C’B) < AB =/CA - CBI (AB 1a do dai khong doi) Neu A, B
khác phía với td), ta goi A’ la diém déi xttug cia A qua (d) va néu A'B cất (đ) tại €, thì € là điểm phai tim
Phép đối xứng qua một đường thẳng trong hệ trực chuẩn § Vi du 1 Cho diém M(x,; y,) Tum anh cua M trong phép đối xứng qua i) Cite true toa do ii) Duong thang x = y
Giai
Ð Gọi M(x: y) là ảnh cua M trong phép doi xting qua Ox, khi dé MM’ Ox tại trung điểm Húx,: 0) của MAT:
Trang 14> x +X, = 2x, vot y,=0 > x=
Tuong tu; néu ta ki hiéu Mj(x;; vị) là ảnh của M trong phép đơi xứng qua Oy, thi: x) == X,Y = Yue ‘
ii Ta ki hiéu M(x’; y) la anh cua Mix,: y,) trong phép déi xung qua dudng thang y = x khi do MẠI 1 đường thẳng y = x tại trung điểm H Ta tim toa dé cua H Phuong trinh duéng thang MM’ cĩ dạng y = - x + q vi duéng thang do di que M,
nên q= y„ + X, và do đĩ V=-x+y +X
Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình 1% Giải hệ đĩ ta được: 2x=x,+y, 2y =x, + yy Xo tX=Xy tVo => toa do M’ duge xae dinh boi hệ phương trình: |X 3 Ỷ ‘ lyot yee ty hay M'y,: x.) 47 CÁC BÀI TỐN TỰ GIẢI Chứng minh các tính chất hình học
1 Cho phép đối xứng Za và phép đối xứng 8¡
Trang 15Zy;M—>M, va Su: M,->M': Sy M—M,
va Za: My + M’ Goi H Ia giao diém ctia (d) va
MM.z, K 1a giao diém cua (d) va M;M’, ta co: > > > MM'= 2HA= 2AK > => > HA= AK => A« HK
2 Cho hai đường thắng (a) và tb) cắt nhau,
Chung minh rang né1S, ¢ S, ¢ S, = Se S, © S,, thi goe nhon tao boi (a), (b) bang 60" Hướng dẫn: Goi O la giao diém cua ta), (b) và giả sử M là điểm bất kì, ta cĩ: ee SM SoM—>M, SiMp>oM: 8, M,>M ha
= MMI La, MỊM,L(bị — MẠM, Lúa); gg as
Si: M-> My, Sy: My > Mz, Si: Ms > My PSs ed
=> MM, 4 (b), MyM; 1 (a), M;M, 4 (b) (by
Rõ ràng tap hop cdc diém M, M;, Mz, M., My Ms, My clung nam trén một
duéng tron tam O Ta cé: MM, // M.M.; // M\M; M,M,z // MM, // M;M, Tit các cặp cung bị chấn bởi các dây song bang nhau ta suy ra đ
chứng mình
3 Chứng minh rằng nếu một đa giác cĩ 3 trục đối xứng, thì 3 trục đĩ đồng
quy
Hướng dẫn: Kí hiệu (a), (bì, te) là các trục
đối xứng của một đa giác (H) và giả sử chúng
cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A, B C Ta lay một điểm O nằm trong tam giác ABC và giá sử
M là đỉnh của (H) cách O xa nhất Trong 3
đường thẳng (ta), (b), (e) cĩ một đường thắng
sao cho O va M nằm về một phía đối với đường thắng đĩ giả sử đường thang (a) cĩ tính chat như vậy Vi (a) là trục đối xứng của (H), nên S„ M=>M'e(H) và OM >OM! ,
4 Cho hình thang cân ABCD (AB / CD) Giả sử AD và BC cắt nhau tại S Chứng minh rằng giao điểm thứ hai khác S của hai đường trịn ngoại tiếp các tam giác SAC và SBD nằm trên trục đối xứng của hình thang
Hướng dẫn: Gọi x là trục đối xứng của hình thang
8: S > S, A> Bva C + D = ASAC > ASBD va dudng trịn ngoại tiếp
ASAC —› đường trịn ngoại tiếp ASBD vi vay x chứa dây cung chung củi: hai đường trịn
Trang 165 Cho tam giác ABC và các đường trung tuyến AM: phân giác AD Phép doi xứng qua AD biến AM thành một đường thang x tX được gọi là đường doi
BK _ AB” CK AC?
Hướng dẫn: Kí hiệu Bị và C, la anh cua B C trong phép đổi xứng qua AD, khi dé anh cua M là trung diém cua B,C; va do dé AK di qua điểm nay Goi P la diém déi xting cua A qua trung điểm của BịỂ¿, Q - AP sao cho CQ // B,P
trung) Đường thang x cắt BC tại K Chứng mình rang:
Z CQ _ CQ _ CQ_ AC CQ_ AC?
Tac `: w= —* PB,” AC, = Se AC AB ~~ = AB” AB? == -
Mặt khác: \ABKs AQKC = €9, CR: AB” BK
6 Chứng mỉnh rằng nếu một da giác cĩ đúng hai trục đối xứng, thì da giác
đĩ cĩ tâm đối xứng ‘
Hướng dẫn: Nếu da giác cĩ đúng hai trục đổi xứng, thì hai trục đĩ vuơng gĩc với nhau (theo kết qua của ví dụ 1ì Nếu hai trục đối xứng của một đa giác vuơng gĩc thì giao điểm của hai trục đĩ là tâm đối xứng của đa giác
7 Cho tam giác ABC Ching minh rang: h, < VPP2 a), trong đĩ: p = an be rm
Hướng dẫn: Kê dường thing x di qua A,
x // BC va thuc hién phép déi xting 8S: B + B, C -» C khi đĩ ta cĩ: AB + AB' + AC + AC’ = 2(AB + AC) > BC + BC = 2BC 8 Co hay khơng một đa giác vừa cĩ một tâm đơi xứng vị ì cĩ một trục đổi xứng? 9 Một đa giác (H) bất kì cĩ chủ vi 2p Chứng mình rằng tổn tại niềt đa giác
lơi (H*) cĩ chu vi bằng chu vi của tH) và điện tích khong nhỏ hơn diện
tich cua (H)
Hướng dẫn: Néu (H) 1a loi, thi ta chon (HD 1a CH"), Néu (H) lam, chang han Aj, Ay, Ag Ay (xem hình) thì ta thực hiện các phép đối xứng qua các đường thàng chứa các đường chéo của đa giác nổi hai
đỉnh A„A„ , » khơng nằm trong da giá
bién dinh A,,,) thanh dinh A‘ meds
AW
một số hữu han các phép đổi xứng đĩ đa giác mới nhận được là lỗi cĩ chủ vị 2p và diện tích lớn hơn điện tích của (1) (vi nod
Trang 1710 Cho đường trịn Ĩ và dây cùng AB (khác đường kính), Qua trung điểm ] của AB ta kẻ hai đây MN và PQ (N và Q thuộc cung nhỏ), Kí hiệu K và H là giao điểm của AB và các đây cung MQ, NP
¡ Gọi M là ảnh cúa M trong phép đối xứng qua OI Chứng minh rang 4 diém I H, M’, P cùng nầm trên niột đường trịn
ii) Ching minh rang: IK = 1H Hướng dẫn:
j Phép đối xứng qua OI biến cung AM
thành cung BM' và số do hai cung đĩ
bằng nhau và ATM = BÍM'
Mặt khác NPI AIM (cung chan các cung cĩ số đo bằng nhau)
Vậy l H, M, P cùng thuộc một đường trịn
ii) Ta thay AIHM’ = AIKM
11 Cho hình thang ABCD (AB // CD) và (d) là đường trung trực của AB Gia sử Ở và D nằm về hai phía đối với td) Gọi D là ảnh cua D trong phép đĩi xứng Sa
¡) Khảo sát +j trí tương đối của các điêm D' và € (đối với (d)) tùy theo số đo của các gĩc D va C
Trang 1819 Đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, AC tương ứng tại C và B, Chứng minh rằng:
CC’ > BB = AC > AB
Huéng dan: Goi B" la ảnh của B trong l phép đổi xứng qua phản giác gĩc A Hãy c so sinh C'C’ va BC’ 13 Cho gĩc xOy và tứ giác lơi ABCD cĩ các cạnh AB = CD Cạnh AB và CD của tứ giác nầm tương ứng trên các tia Ĩx và Oy (A va D gan đỉnh O hơn B va C), Chứng mỉnh rằng đường
thang đi qua trung điểm của AD va BC song song hoặc trùng với phân giác của gĩe
Hướng dẫn: Kí hiệu Oz là tỉa phân giác của :
xOy, phép ddi xing Sp,: A -» A’ B > B’ Cac '
đường trung bình của hai tam giác ADA' và ‘ $ BGB' song song và bằng nhau
14 Cho đường thắng (d) và hai điểm A, B nam cùng phía với (d) Trên td) ta lấy điểm M sao cho MA = MB Gọi B' là điểm dối xứng cua B qua (d), N 1a giao điểm của AB' và td) Chứng mình rằng 4 điểm A B, M,N cùng nằm trên một đường trịn
15 Cho tam giác ABC và H là chân đường cao cua tam giác hạ từ -A Kí hiệu HỆ, HÀ là ảnh của H trong các phép đối xứng qua AB và AC Chứng mình ràng dường thăng H, H" di qua chan các đường cao tam giác hạ từ các định B và C
Dựng hình
1 Dựng tam giác ABC, biết AB = c, đường cao h, và A - B=ứ (0 <a < 90") Hướng dẫn: Gọi x là dudng thang qua C va x // AB
Phép doi xting S\: B> B
> ACB’ = C + 2B = 180"- A+B = 180"~(A ~ B) = 180" ~a
Vay C « x // AB va x cách AB một khoang h, C s cung chứa gĩc (180” œ) dựng trên đoạn AB’
we Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Hãy dựng tam giác cĩ hai đỉnh là
A, B và phân giác gĩc C nam trên (d)
Hướng dẫn: Giá sử ABC là tam giác đã
dựng Phép dối xứng:
Trang 19
1
Cho hai điểm phân biệt M,N và đường thang (d) Hay dung tam giác ABC sao cho M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và phân giác gĩc
nằm trên (d)
Hướng dẫn: Giả sử ABC là tam giác đã
dung Rd rang MN // AC Goi D là giao điểm
cua MN va (d), khi do tam giác CND cân tại N và phép đối xứng 8: D -› C, x là đường Á =“.—ỷ vuơng gĩc với (d) và đi qua N py Cho dường thẳng x và điểm A ¢ x Hay dựng đoạn BC = a nằm trên X sao cho AB + AC nhỏ nhất Hướng dẫn: Dung qua A dudng thang (d) //x và thực hiện phép đối xứng S„: B > BY CC Ra rang: AB + AC = AB’ + AC = AB+AC' 2 BC = \4h? +a?, h là khoảng cách từ A đến x
Dựng tam giác ABC, biết các điểm HÀ, HẺ, H” là ảnh của trực tâm H của tam giác ABC trong phép dơi xứng qua 3 cạnh tam giác
Hướng dẫn: Các điểm H, H”, H” cùng nầm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC H là tâm đường trịn nội tiếp tam giác H HH”
Cho 3 đường thẳng x, y, z cắt nhau tại O Hay dựng tam giác ABC sao cho 3 dường thang đã cho là các đường trung trực và bán kính đường tron ngoại tiếp bằng R
Hướng dẫn: Kí hiệu œ, Bp, y là các gĩc tạo bởi các cặp đường thắng đã cho Các cạnh: AB = 2Rsina, BC = 2Rsinli, CA = 3Rsiny
Cho đường thẳng (d) và hai đường trịn (O), (O') nằm về hai phía với id)
(khơng cĩ điểm chung với (d)) Hãy dựng hinh thoi ABCD sao cho các đỉnh A, C thuộc (đ) và ABC = ø Lọ < 90”), các đỉnh cịn lại thuộc (Ở1 và (Ở)
Hướng dẫn: Phép đối xứng S„: B > D, do đĩ (O) > (0°) di qua D va D
là giao điểm của Ơ và O",
Tìm tập hợp điểm
Cho hình vuơng ABCD Tìm tập hợp các định của một tứ giíc lơi sao cho
4 đỉnh hình vuơng là trung điểm của 4 cạnh tứ giác
Trang 20Hướng dẫn: Giá sử X là điển bát lú thuốc hình vuơng ABCD Phép đối xứng Sa Xs>M, 8u XS Q.2 ⁄/2ÀI s4
(Xem kết quả bài 6 phần chưng tình cục Đánh chút hình học)
Dieu do chứng to các đỉnh M.N.D Q cú¿ tử giác lơi cĩ tỉnh chat đã nêu thuộc ảnh của ABCD trong eie phép đơi xứng Sáu Snes Sens Spy Dao lai nếu MNP là tứ giác cĩ 4 đỉnh thuộc 4 anh của ABCD trong các phép doi xứng Sau Sie Sem Spa thi giao diém cua MP va NG là điểm thuộc ABCD
Cho hai tam giác ABC Tìm tập hợp 4 đỉnh của một tứ giác lỗi sao cho các đỉnh tam giác là trung điểm cua 3 cạnh tứ giác
Hướng đẫn: Xem cách giải bài 1
Cho đường trịn (O; R) và dây cúng AB = a bì là số đương cho trước và a < 2R) Tim tập hợp các điểm đĩi xưng với tâm O qua AB khi day AB
biển thiên
Đ6: Là dường trịn tâm O, bản kính H= 2 RỦ - "
Cho đường trịn (O; R) và dudng thang td) di
Với mỗi đường thang x 4 td! ta lấy dời
xứng của (Ơ; R) qua x và tìm tập hợp anh
của (O; IỲ) khi x biến thiên
DS: Là dải mặt phẳng được giới bạn bởi - —
hai tiếp tuyến của (O; R) cĩ phương vuơng gĩc với td)
Cho hai diém cố định A B Với mỗi dường tháng x đi qua B ta lấy dõi xứng điểm A qua x Tim tap hop inh cua A khi x bién thién,
DS: La đường trịn
Cho đoạn thẳng AB và điểm © số định khong thuộc đoạn AB Với mơi
đường thắng x đi qua € ta lấy đĩi xứng dean AB qua x Tim tập hợp anh
của AB, khi x thay doi
Hướng dẫn: Dùng két qui bai 5 Tap hop anh của AB là hình vành
khuyên được giới hạn bởi hai đường trịn là anh của các diém A va B Phép đối xứng qua một đường thắng trong hệ trực chuẩn
Trang 212 Tim anh cua-dutng tron: x* + y* = 4 trong phép doi xting qua dudng thang idkyvs-x-1 DS: (x+1+(y+ 1 =4, 8 Tìm ảnh của trục Ox trong phép đối xứng qua đường thàng:td:v x1 DS: x=1, ' 4 Tìm ảnh của parabol: y = x* trong phép đổi xứng qua đường thắng: y= -2 ĐS: y=-x”-4 5 Tìm ảnh của parabol: y = 3x” trong phép đối xứng qua đường thẳng cdÌ: x= 2 DS: y = 2(x- 4)
6 Tim ảnh của đường thẳng: y = ax + b trong phép đơi xứng qua
¡' dường thắng: y=m ii) duong thang: x =n ii đường thẳng: y = ` 7 Cho hai điểm A(4; 0) và B(0; 8) Tìm phép đối xứng qua một trục biển À thành B ĐS:- Trục đơi xứng cĩ phương trình: ý = 0õx + 3
8 Cho hai đường thẳng: y = x + 3 và v
trục biến đường thăng này thành duong thang kia x+ 9, Tìm phép đơi xứng qua
9 Cho hai đường thẳng: y = kx + p va y = kx + q Tip phép đối xứng trục, biến đường thẳng này thành đường thắng kia
DS: Truc doi xứng cĩ phương trình: y = kx + P ` q,
10 Cho hai đường trịn (W) và (w') cĩ phương trình tương ứng: x +y?=9 va (x+1+(x-2 =0, Tìm phép đối xứng trục biến (w) thành (`), A cĩ 5B ĐS:- Trục dối xứng cĩ phương trình: y = : 4 ` 11 Cho các điểm A(1: 2) và BL-4; -G) Tìm trên trục Ox diễm M sao cho MA + MB nhỏ nhất Hướng dẫn: A va B nim khác phía với Ox, nên M là giao điểm cua AB và Ox
12 Cho hai diém A(2; 5) va B(-1; 3) Tim trén true Ox diém M sao cho
i)! MA - MBI lớn nhất: _ ii) MA + MB-nho nhat
> >
Hướng dẫn: Ki hieu C la giao cua AB va Ox Ro rang: CA ** CB A
Trang 22B cing phía voi Ox
M trùng với € thì | MA - MB: lớn nhất
Gọi B là điểm đối xứng của B qua Ox D 1a giao diém cua AB’ va Ox M trung với D thì MA + MB nho nhất
13 Cho hai điểm A(x;; vị) và Bux
điểm M sao cho:
i) MA + MB nho nhất; ii), MA ~ MB) Ion nhat
y.) Hãy tim trên đường thắng y = kx + p
Hướng dẫn: Trường hop AB // dung thang y = kx + p, thi MA + MB
nho nhat khi M là giao điểm của đường thắng AB’ va dudng thang y = kx + p
B' doi xting véi B qua y = kx + p
MA + MB! lớn nhất khơng cĩ lời giải
Trường hợp AB cắt đường thang y = kx + p tai C, thi ta xét vi tri cua A, B đối với đường thắng y = kx + p dua trén chiéu cua cae vécto CA, cB và đưa bài tốn về đạng cơ bản
14 Dùng ngơn ngữ hình học đề giai bài tốn sau đây:
Tim min cua: z=ylx-al sty bP tVtx-e) ta, bụ e, đ là các số thực cho trước a z b và ez dì
tíy-d)
Hướng dẫn: Xem Ata; bì, B(: y), Cle; đ) A, C là hai điểm cỡ định cịn
B thay đơi trên đường thắng y = x
15 Dùng ngơn ngữ hình học để giải bài tốn sau đây: Tìm max của: z= lí» araty by = yix-e (a, b, ¢, d 1a số cĩ thực cho trước),
16 Dùng ngơn ngữ hình học để giải bài tốn sau đây:
Tìm mìn của: F= V(x-a)?+ bể va +bŸ vớilxyÍ =k
ta, b, k là các số thực cho trước)
Trang 2318 Dùng ngơn ngữ hình học hãy chứng minh rằng: ¿kte - aWđd - bl< yÿ(@b~ a)? + k2b? vid-c)? +k?
r 5 f So Bit
+yle=b)? + k’b? via -d)? + k?d
trong do: ac < 0, bd < 0 k #0
Hướng dẫn: Xem A(a: 0) Cte: 0) B và D thuộc đường thăng v z kx cĩ các hồnh độ tương ứng là b d Vì bd < Ơ nên B D nằm khác phía vơi AC, ae < 0 nên A, C khác phía với BD Tứ giác ABCD là lơi Sử dụng kết qua ví dụ 2, ta suy ra điều cần chứng mình,
19 Tìm min của biểu thức:
F= v92x?-2x+1+v32y?-2y+1l vớilx-yv| =1
Hướng dẫn: a viét lai: F= yx? +(x - 1)? + yy? +(y 1Ì
va xem A(0; 1), B(x; x), Cty; y)
Các điểm B và C nằm trên đường thang y = x diéu kién: |x - y! = 1 => BC = v2 , Vay: F = AB + AC > ¥2 va 20 Tim min cua biéu thite:
F = \5x? -2x+1+ \S5y -9y+1 véilx-yl = V5
Hướng dân: Xem cach giai bai 19 Xét diém Ad; 0) va cae điểm Bix, 2x) Cty; 3y), Các điểm B, Ở thuộc đường thẳng y = 2x
Điều kiện: Ìx-y| = V5 = BC=5
48 TĨM LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
Định nghĩa
>
Cho véc tơ Ù z 0, với mỗi điểm M ta dựng điểm MỸ sao cho MẠI u khi đĩ ta nĩi M' là ảnh của M trong phép tịnh tién theo U va ki hiéu
T,:M=SM v
Cho hình (H); tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc (H) lập thành một hình (H) được gọi là ảnh của hình (H) trong phép tịnh tiến
Các tính chất
¬ BIA os sap ( ll 2)
Trang 24> => th AB = AB
ii) Phép tịnh tiến T, biến 3 điểm thắng hàng thành 3 điểm thang hang, i:
đường thăng (d) thành đường thắng (d) # (4) hoặc td) trùng voi tdi
biến tam giác ABC thành tạm giác ABC = ABC, biển gĩc xƯy thành
gĩc x'Õ'y'= xƠy và biến đường trịn (O; Rì thành dường trịn (O: TẾ), _ trong dé OO' = U iii) Phép tinh tién T., cé nguge la phép bién đổi ngược TT, t mu 49 DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI TỐN Chứng minh các tính chất hình học
Ví dụ 1 Cho hai điển phân biệt A, B Chứng mình rằng:
Giá sử M là điểm bat ki, khi do Z\; M > M > > = MA= AM’, Zy: M > M" > > > > > > > > M'B = BM” = MM" = MA+ AM'+ M'B+ BM"= > > _ = 2(AM’+ M'B)=2AB va diéu nay chứng to M” là ảnh của M trong phép tinh tién theo véctơ › > U = 2AB
Vi du 2 Cho hai phép biển đổi Z4 và T, CŨ £ 01 Chứng mình rằng:
ZA*T,:hoạc T, «Z2 là cac phép đối xứng tâm
+ u
Giải
Dat Z = Z, ¢ T,; tachi ra rang Z co diém bat dong That vay; goi O 1a ụ
Trang 25> => Gia su M+0,T,:M>M,O>5O° = OM= O'M’ t > > va Z,: M' > M".O0'>O = O'™’=-OM" > >
Kết hợp các kết quả đĩ, ta suy ra: OM : OM"
Vi du 3 Cho hai đường trịn (O; R) và (O: R) tiếp xúc ngồi với nhau tại K A, B la hai diém tương ứng trên (O; R) và (Ø; R) sao cho gĩc AKB = 1v
>
Chứng mỉnh rằng phép tịnh tiến theo véc to OO! bién A thanh B
Giải
Từ giả thiết của bài tốn, ta suy ra rằng các điểm A, B nằm cùng một phía đối với đường thắng OƠ
Kẻ tỉa Kx tiếp xúc với hai đường trịn tại K và nằm trong nửa mặt phẳng chứa hai điểm A B cĩ bờ là đường thắng OƠ Ta cĩ: AOK = 2AKx và BO'K - 20x -> AOK +BO'K = 2\Kx4 O'Kx) = 180" = OA/ OB > > Điều đĩ chứng tỏ ABƠO là hình binh hanh va ta suy ra: AB= OO' => A bién thanh B Dung hinh Ví dụ Dựng hình bình hành, biết độ đài hai cạnh liên tiếp và gĩc tạo bởi hai đường chéo Giải Giá sử ABCD là hình bình hành đã dựng cĩ AB = a, BC = b và gĩc tạo boi AC, BD bằng ở
Goi C’ la ảnh của E trong phép tịnh tiến theo véc tơ AB và xét tam giác ACC, trong tam giác đĩ ta cĩ AC = 2a, BC = b là trung tuyến và gĩc ACC' = u Từ đĩ ta suy ra cách dựng
=_ Dựng AC'= 2a và trung điểm B của AC’,
Dựng cung chứa gĩc ở trên day AC’
- Dung cung tron tâm B bán kính b Gọi € là giao của cung trịn tâm B, bán kính b và cung chứa gĩc ứ
Trang 26« Biện luận: Bài tốn cĩ nghiệm hay vơ nghiệm tùy thuộc vào cũng tron tam B, bán kinh b và cung chứa gĩc ¿ cĩ điểm chung hay khong cĩ điểm chung
Bài tốn cực trị
Ví dụ Trong số các tứ giác cĩ gĩc tạo bởi hai đương chéo bằng u va do dài các đường chéo đĩ bằng m và n; tứ giác nào cĩ chủ vi nho nhất ?
Giải
Ta ki hiéu ABCD là tứ giác thỏa mân điều kiện bài tốn, Gọi A € là ảnh của các đính A, Ở trong phép tịnh tiến theo véc tơ DB khi đĩ chủ vi tứ giác ABCD bằng: AB + BC + BC + BA
vi BA+BC >zAC i") va BC+BA'=CA’ Œ”)
Dấu bằng trong (°) và (**) xảy ra đồng thời khi B là giao các dường chéo
của hình bình hanh ACCA’
trong dé: AC = ym* +n? -2mncosa va AC = vmỶ+n” + 2mn cosử
Vậy chu vi tứ giác nhỏ nhất khi tứ giác đĩ là hình bình hành
Phép tịnh tiến trong hệ tọa độ trực chuẩn
Vi du 1 Cho diém M(x; y,) va véc to U(a; b) Tim ảnh của M trong phép tịnh tiến Tụ Gidi Ki hiéu M(x’; y’) la anh cua M trong phép tịnh tiến Tụ, khi đĩ ta cĩ: =a —> > —_ MM'= U = \* *o ly'-y, =b jx'=x, +a và do đĩ ta cĩ: +,
ly'=y, +b hay Mx, +a y, +b)
Vi dụ 3 Tìm ảnh của đường thẳng td) cho bởi phương trình: y = 2X trong
phép tịnh tiến theo véc tơ UU: ~1) Giải
Ta biết rằng phép tịnh tiến bảo tồn phương của đường thăng vì vậy nều (đ) là ảnh của (d) trong phép tinh tiến đĩ, thì (d') cĩ phương trình: y = 2x +m tm là số thực bất kì) Ta thấy (d) đi qua O(0; 0), ảnh O' của O
trong phép tịnh tiến Tụ cĩ tọa độ là (1: - 1) và thuộc td) => m = =3 Phương trình của (d’) c6 dang: y = 2x - 3
Trang 2750 CÁC BÀI TỐN TỰ GIẢI
Chứng minh các tính chất hình học
1 Cho hai đường thắng x và y song song với nhau Chứng mỉnh rằng phép bién doi T = 8, « 8, là phép tịnh tiến
Hướng dẫn: Giá sử M là điểm bất kì, khi đĩ:
S:MSM, S:MễOM'
x y
“Ta kí hiệu H là trung điểm cua MM’, lý là trung điểm của MM” a i ae Pin Te M M i M Tacĩ: “MH= HM, MK=KÉM i ` > > 9 > | =, MM" = 2(HM'+ M’K)= 2HK 2 id 3 <2, Theo gia thiét x //y va HK 1 x, nén phép tinh tién T ,: xy => HK la HK — > véc tơ đã được xác định Hệ thie MM” = 2HK chứng tỏ T là phép tịnh : >
tién theo U = 2HK, bién M > M"
3 Cho đường thang x va vée to U (U * 0)
Trang 288 Cho hai điểm phan biét A va B
Ching minh rằng phép biển đổi: T = Z¡ ¢ Z) la mot phép tinh tién Hướng dẫn: Giả sử M là điểm bất kì 2M yM 2M MP > _> > > => MA = AM' M’'B= BM" > > > > => > Do dé: MM'= MA+ AM'+ M'B~+BM"= 2AB va diéu này chứng tỏ T là ` >
phép tinh tién theo U = 2AB bién M thanh M”
4 Ching minh rằng tích của một số chẩn các phép đổi xứng tâm là một phép tịnh tiến
Hướng dẫn: Dùng phép quy nạp và xem lại bai 3
5 Cho hai điểm phân biệt A, B và Ử tử #0) > g Chứng mình rằng: Z,* TT, ¢Z,= T ,¢T ,.trongdé:2A0 =U v 2AB 204 Huéng dan: Gia su M 1a diém bat ki: Za: M — MỊ, Ts M,>™M Zs: M,>M > => > > => MA= AMI, MM, = U > > M,B= BM’ T ,:M->M*, T ,.M'-+M 2AB 20A ; = ai
Ta can chimg to: M' = M" <> MM' = MM’ 6 Cho phép déi xiing Z, va phép tinh tién T , TH
ˆ Chứng mình rằng: T,« Z, hoạc 2, sT', là phép đơi xứng tâm
U vu
Trang 297 Cho da gitic AVA A, Gọi B,B B, là anh của A;A A, trong phép tịnh tiến Tụ; C¡C¿ C, là anh của AjA A, trong phép dời xưng Z2 Chứng mỉnh rằng các đường thàng B.C,, B,C; B,G, dong quy
Hướng dẫn: Dùng kết quả bài 6 8 Cho tứ giác lỗi ABCD cĩ AB = CD
i) Ki hiéu M, N lan lượt là trung điểm các cạnh AD và BC Chứng mình
rằng các đường thắng AB và CD tạo với MN những gĩc bằng nhau ¡đ) Kí hiệu P, Q lần lượt là trung điêm các đường chéo AC và BD Chứng
mình rằng AB và CD tạo với PQ những gĩc bằng nhau
Hướng dẫn:
~
i) Goi B’ la ảnh của B trong phép tinh tién theo AM, C’ la anh cua C >
trong phép tinh tién theo DN Hay chứng to tạm giác MB'C can va MN là phân giác của tam giác đĩ
9 Trên giấy kẻ ơ, ta dựng một hình bình hành sao cho 3 đỉnh của hình bình hành là cáe nút lưới Chứng mình rằng đỉnh thứ tư của hình bình hành là nút lưới
Hướng dẫn: Phép tịnh tiến biến một nút lưới thành một nút lưới thì biến mọi đường lưới thành chính nĩ
10 Trên giấy kẻ ơ, ta dựng một dường thẳng đi qua hai nút lưới phân biệt Chứng mình rằng trên đường thẳng đĩ cịn cĩ vơ số các nút lưới khác Hướng dẫn: Nếu A, B là nút lưới thuộc tđ), thì ảnh của A hoặc B trong
>
các phép tịnh tiến theo AB thuộc td› và dùng kết quả bài 10
11 Cho tứ giác ABCD và điểm M nằm trong nĩ sao cho tứ giác ABMD là hình bình hành và \CBM = \CDM ¡Kí hiệu C là ảnh của C trong phép tịnh tiến BL Cy theo BA Ching minh rang 4 diém A, C, C’, Ẻ D cùng nằm trên một đường trịn AT
ii) Ching minh ring ACB = MCD, ACD.- BCM
Huong dan: i) \BCM= \ACD =» MBC = DAC’ = CDM DCC"
12 Giá sử M là điểm nằm trong tam giác ABC chuyển động theo phương BC cho đến khi cắt cạnh AC, thì nĩ đổi hướng chuyển động theo phương AB cho đến khi cắt cạnh BC, thì nĩ lại đổi hướng chuyển động theo phương AC cho đến khi cắt cạnh AB Chứng mình rằng sau một số lẳn doi hướng chuyển động; quỳ đạo của M là khép kín
Hướng dẫn: Kí hiệu MỊM.M M, là giao điểm của các quý đạo chuyên động của M với các cạnh tam giác (xem hình)
Trang 30“i MiM, // AB, MzMz // AC => Ty,w,!Mi> A.M, > My vA C > My fi M,M; // AB, M;M, // AC so Ty,y,: A> My My > B va My > My > Tạ, * Tạ: Mị Mụ, € > M Mật khác: Tụ mg, * Ty, = Th = ủ =}
Theo gia thiét M,M // BC = dpem
13 Ching minh rang một đa giác cĩ nhiều nhất là một tâm đối xứng
Hướng dẫn: Giả sử đa giác H cĩ hai tâm đối xứng là O, và O Ta chọn , hệ toa dd sao cho O,(0; 0) va O.(a: 0) voi a > 0 Ta xét điểm Atxu: và) bất kì thuộc H sao cho vdi moi diém M(x: y„) cũng thuộc H ta cĩ x < Kí Theo giả thiết 2o, * Zo, biến H thành H Vì tích của hai phép đổi xứng tâm là
một phép tịnh tiến biến điểm A thành điểm Atx, + 2a; vụ) thuộc H Thế thi x, + 2a <x, => a< 0 Trái với cách chọn a
Các bài tốn cực trị
1 Cho đường thẳng (td), điểm A ¢ (di va sé a > 0 Hay tìm vi tri cua doan BC = a trén (d) sao cho AB + AC nho nhat
- =>
Hướng dẫn: Thực hiện phép tịnh tiên doan BC theo BA khi do C »C = B > A, BC - AC’ = a Bai todn quy ve tim diém Ở trên sao cho CA + CƠ nho nhất
3 Cho hai đường thắng x y song song và hai điểm A B nầm về hai phía đối với dải mặt phẳng dược giới hạn bơi x và y ¢x là bờ của nứa mạt phàng chứa Avy 1a bé cia nửa mat phẳng chứa 2) Trên x ta lấy điểm M, tren y ta lay diém N sao cho MN | x Tim vi tri cua doin MN sao cho AM + MN + NB nho nhat
g 2 a
Huong dan: Thục hiện phép tỉnh tiến theo vée tơ MÃN diém Ao > A AM > A'N vit “+ AN + NB = AM + MN + NB Bai toiin được đưa vẻ tìm Nv y sao cho + N nhỏ nhật
Dựng hình
1Ĩ AB và CD là hai dây cúng của đường trịn Ở khơng,cĩ đdiệm chung Hay dựng điểm ÁM thuộc Ơ sao cho các dây cũng MA, MB cát dày CƠ thành một đoạn cĩ độ đài a cho trước (ta < CD)
Trang 31Huéng dan: Gia su E, F la giao diém của các
day MA, MB va day CD, EF = a Tinh tién A theo vée to EF, ta nhận được diém A’ la anh
cia Acon E> Fva AF // MA, AFB = AMB
Mặt khác, E va F thuéc day MA va MB, nén M nầm khác phía với AB đối với CD, nghĩa là M
thuộc cũng CD, đặt ¿ = AMB khi dé AFB =
Vậy thì F là giao điểm cua cung chứa gĩc ư được dung trên đoạn A'B va day CD
2 Cho hai đường trịn (O), (O°) và một phuong (di, Hay dung duong thang
(đ) 13) cắt đồng thời hai đường trịn thành
hai dây cung cĩ độ dài bằng nhau
Huong dan: Gia sti M,N la gino — Mc
điểm của (đ) và đường trịn (O); M, \ N’ la giao cua (d') va (O') sao cho
MN = MN
d
>
Tịnh tiến O theo véc tơ MM: khi đĩ
Ò-›O M-—›M.N-¬N Rõ ràng Ơ”Ơ vuơng gĩc với MN’ va do dé O'O' vuơng gĩc với phương (d) hay OO” 1 O 'O, điểm O” thuộc dường trịn đường kính ƠO Mật khác O” nam trén duong thang di qua O và vuong gĩc với phương (td)
8 Dựng hinh thang ABCD (AB // CD), biét AC = m BD = n, goe tao bdi hai
đường chéo bằng ơ và độ dài của hiệu hai đáy bằng 1
Hướng dẫn: Tịnh tiến theo AB, khi đĩ A + B,C +€' + AC -š BC va
tam giác BŒTD hồn tồn được xác định Gọi P là trung diém cua BD, Q là trung điểm của AC, ta thấy PQ = 1 và PQ CD, € là giao điểm của
DC' và đường thắng qua Q và song song với BC,
5 Dung hinh thang ABCD (AB // CD) biét AC = m, BD = n gĩc tạo bởi hai đường chéo bằng « va BC = Hướng dẫn: Xem cách dựng bài 4 chú ý rằng € thuộc đường trịn tâm B, bán kinh R = 1 6 Dựng tứ giác, biết bốn gĩc và hai đường chéo Tìm tập hợp điểm
1 Cho hai đường thắng x, y và số a > 0
i) Tim tập hợp điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ đĩ đến x và v bằng a
Trang 322
ii) Tim tap hợp điểm M sao cho hiệu cae hiieag eich từ do đến x và v
bang a
Hướng dẫn:
¡ Trường hợp xy và a là khoang cách giới š và y, thì tập M là một dai mặt phẳng được giới hạn bởi x và v Nếu hoảng cách đĩ khác a, thì tập M là rịng hoạc là một trong ha đương thăng song song Với x
a
sak = @ 1 3 5 ws
y va cach x hoặc y một khoang lla khoang cách từ x đến y “Trường hợp x cắt y tai O Lay trên x hai điểm A C sao cho chúng cách
v hai điểm B D cách x một khoảng a Tu
y một khoảng a, trên y Ì
giác ABCD là hình chữ nhật và tấp M là 1 cạnh của hình chữ nhật đĩ Cho hình bình hành ABCD cĩ cạnh AB = a cổ định, các định C.D thay
đổi thỏa man diéu kién: AC = BP mm tạp hợp các định C va D AB AD
3 z AC_ BD AC? BD AC? | AC? 4 BD*
Hướng dân: = o 2 ở ,
AB AD AB? AD” AB” AB + BC?
AC = ay2
>
D la anh cua C trong phép tinh tién theo BA
Cho tập hợp n diém (n > 216A) Ay AL Voi moi diém M ta dung điểm
— > > >
N sao cho: n.MM'= MA,+ MA,-+ + MA, Tim tap hợp N khi M thay
doi trén mét dudng thang cd dinh
Cho gĩc xỔy = ¿10 < 0 < 180) và véc lơ Ú < 0, Thực hiện phép tịnh
tién Ty: xOy > x‘O'y’ Tim tip hợp điểm chúng của cï hai miễn gĩc DS: Tap hop do c6 thé rong hoặc là một miễn đa giác hoặc là một gĩc
bằng gĩc đà cho hoặc là một ti:
Tính các yếu tố hình học
„ Cho hình vuơng ABCD cĩ diện tích bằng 1 Tịnh tiến ABCD theo véc tơ
+ 8 >
U cĩ độ dai bang 0.5.AB vii U tao với AB một gĩc 60” Tính diện tích
phản chung của hình vuơng CD và anh của nĩ qua phép tịnh tiến, 12-343
DS: — 2
16
„ Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD tà ke các đường cao BH va BK, biết KH = a, BD = b (b > a) Tinh khoảng cách từ B đến trực tâm tam giác
BHK
Trang 33Hướng dẫn: Goi H, Ia truce tam tam gidc BKH, thé thi H)H // AD và >
H,K // DC Tinh tién theo H,H diém K - D, B > B' « BC > BH = H;B Tam giác BKH vuơng tại H cĩ KH = a, KB’ = BD = b (ti gide BB'DK là hình chữ nhật)
2 DS: vụ -aể
3 Cho hình bình hành ABCD cĩ diện tich bang S AD = 2AB va BAD = 60",
Bên trong hình bình hành ta lấy điểm M sao cho AM là phản giác cua gĩc
— =+
BAD va 2MA = AB Phép tinh tién ABCD theo véc tơ AM biến nĩ thành hình bình hành AB Tỉnh diện tích phan chung cua hai hinh ABCD và ABCTD'
4 Cho tứ giác lơi ABCD Goi M,N, P: Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB;
CD; AD va BC, biét MN = a, PQ = b va AB + CD = 2a, AD + BU = 2b Tinh các cạnh tứ giác
5 Hình thang ABCD (AB // CD) cĩ AB = a BC = b, CD = c DA = d Gọi M là giao điểm các phan giác của gĩc Á và D,N là giao điểm các phản giác của gĩc B và € Tính khoảng cách từ M đến Đ Hướng dẫn: Rồ ràng khoảng cách từ M và N đến AB và CD bằng nhau, do đĩ MN / AB Thực hiện phép tịnh tiến các >
điểm A và D theo MN, ta được ảnh của chung la A’ va D’
Hình thang A'BCD' nhận N là D b
a-bee-d 2
tâm dudng tron ndi-tiép = MN =
6 Cho duéng tron (0; R) va cac vee to UU co do dài
bằng R, gĩc nhọn tạo bởi hai véc tơ bằng 60”
Thực hiện phép tịnh tiến (O: Rd theo cic vee to Ứ,
Tính diện tích phan chung của hình trịn (O: lì XS DD
và hai ảnh của nĩ trong hai phép tinh tien, wy
RỶ\ v4)
2
DS:
Phép tịnh tiến trong hệ trực chuẩn
1 Tìm ảnh của đường trịn: x” + vÝ = RƑ trong phép tịnh tiến Tị, Uhu b, DS: 0ï; a + ty - ĐẾ= RẺ,
Trang 342 Tìm ảnh của dudng thang: y = - 3x + 5 trong phép tinh tién Ty, Utd: 4)
DS: y =~ 3x +4
3 Tim ảnh của đường thang: y = kx + q trong phép tinh tién T, Uta: bd
DS: y=kx+m voi m=b+q- ka
4 Tim anh cua parabol: y = axÝ trong phép tịnh tiến Tụ Uix,; v.)
Hướng dẫn: Trong phép tịnh tiến Tụ, hệ tọa độ xOy — Hệ tọa độ XOY, O(x: vụ, Bí hiệu (x; y) là tọa độ của diêm M trong hệ xOĨy, (X; Y) là tọa
má => >
độ của nĩ trong hệ XOY Xuất phát từ OM= OO'+OfM= tọa độ của M trong ca hai hệ toa độ liên hệ với nhau bởi hệ: X = ) +Y Trong hệ XOIY, parabol (P’) la anh cua parabol đã cho cĩ phương trình
Y =aX”, trong hệ tọa độ xOy, LP) cĩ phương trình: v - y, = atx x,P
„+ X vay =
5 Cho dudng tron: x’ + y* = 9 và đường thăng (d): v = x + 12 Hay tim phép
tinh tién Ty; bién (d) thanh (d’) sao cho (d’) tiép xtic véi dudng trịn
Hướng dẫn: Các tiếp tuyến của đường trịn song song với (d) cĩ phương trinh: y = x + 3V2 va y =x - 3/2 Hay tìm phép tịnh tiến Tụ biển (Œ) thành một trong các tiếp tuyển đĩ txem bai 7)
6 Cho parabol: y = x” và đường thăng (d): y = 3x - 10 Hãy tìm một phép tịnh tiến Tụ biển (d) thành (d') sao cho (đ) tiếp xúc với parabol
7 Tìm phép tịnh tiến Tụ biến đường thẳng: y = 2x thành đường thắng
y=2x+õð
DS: Co nhiéu phép tinh tién chang han T) voi HO: ð hoạc ÚC 1:3)
8 Tim phép tinh tién Ty; bién dudng tron iw) (x + BY + (y 2 =
thành đường tron tw): (x — 11 + ty + 21)
DS: U4; -23)
9 Cho các điểm A(0; a) va Bib; c) (a > 0, ¢ < 0) Hay tim trên trục hồnh Ox các điểm M.N sao cho MN = k tk > 0 cho trước) và AM + BN nhỏ nhất
>
Hướng dẫn: Thực hiện tịnh tiến điểm B theo NM ta được điểm B' cĩ tọa độ (b + k; e) hoặc (b — k; e) khi đĩ:
MB=NB = AM + BN = AM + BM
Bài tốn được quy về tìm vị trí M sao cho ẨM + BM nhỏ nhất
10 Dùng kết quả bài 7 để giải bài tốn sau:
Tim mín của E = vx”+25 tụy” - 8v+25 vdilx~y
Trang 35Hướng dẫn: Ta viết lại: F = vx”
Nự; 0), A(0; 5), BA; =3)
+26 +y0y <4)? +9 và xem Mix; 0), 11 Dùng kết quả bài 7 để giải bài tốn sau:
Tìm min của F = v2x” ~6x+9+ v2y? 7 ley +64 véi ix-yl = v2 Hướng dân: Ta viết lại: F=dWx?+(x-3) + vợ- 8)? +y? va xem M(x: x), Ny; y), A(0; 3), B(8; 0)
12 Cho diém A(0; a), Bib; c) (a > 0, ¢ < 0) va đường thang (d) cĩ phương trình: y = b (0 <b < a) Hay tim trén (d) diém M, trén Ox diém N sao cho
MN // Oy va AM + BN nhé nhat
z >
Hướng dẫn: Tịnh tiến điểm A theo véc tơ MN ta được Ata - b: 0)
Giao điểm của A'B và Ox là điểm N
51 TĨM TẮT LÍ THUYẾT VỀ PHÉP QUAY
Dinh nghia
Cho điểm O và gĩc œ với 0 < ¿ < 180" Phép biến đổi O thành O và biến
mọi điểm M khác Ø thành điểm MỸ sao cho: M
i) OM' = OM M : M
ii) MOM’ = a ° 0
ii) Chiểu đi động của M trên đường trịn
tâm O ban kính OM đến trùng với điểm M' là chiều ngược với chiều kim đồng hồ phép biến đổi đĩ được gọi là phép quay và kí hiệu: H,
(u)) M > M’ Nếu chiều đi động của điểm M trên đường trịn tần 0,
bán kính OM đến trùng với điểm M' cùng với chiều kim đồng hỏ thì phép quay được kí hiệu R/(-œ)›: M => M Ta gọi phép quay R¿/(-ử) là phép quay theo chiều đương, cịn phép quay R„t¿) là phép quay theo
chiều am (trong mặt phẳng cĩ hai chiều quay xác định) Điểm bat
động O được gọi là tâm qùay, gĩc œ được gọi là gĩc quay
Cho hình (H); tập hợp ảnh của mọi diểm thuộc (H) trong phép quay R2 hoặc R,(-ơ) lập thành một hình (H) được gọi là ảnh của CHỦ trong phép
biến đơi đĩ
Trang 36Ro rang R,(0) la phép dong nhat R,(180") la phep đối xứng qua O, tức là
R,(180") = Z,
Tinh chat
i) Néu A’ va B' 1A anh cua hai diém A va B trong phép quay Rit), thi AB = AB
ii) Phép quay R.(ớ) biên 3 diém A B.C thang hang thanh 3 diém A.B C’ cing thang hang va néu B thuéc doan AC thi B’ cling thude doan AC Bién U thanh U'va gée (UU) = u Dudng thang td) thitnh dudng thang (d') va gée tao béi ching bing u (néu (di edt ala thi chúng lập thành 4 gĩc bé hơn 180” Một trong 4 gĩc như váy dược gọi
là gĩc tạo bởi td) và (đ?! Tam giác biến thành tam gide val hai Gun
giác đĩ bằng nhau Dường trịn biên thành đường tron và hai đương trịn cĩ bán kính bằng nhau
iii) Phép quay R,tu) cé ngược và đĩ là phép quay lì ơi, nghĩa là No M>M, thì Rú cơ: M M
52 DÙNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI TỐN
Dùng phép quay để giải tốn thường phụ thuộc vào cách biếu điền hình
trên mặt phẳng Vì việc lựa chọn cích biểu điện hình cĩ hiến quan
rất mật thiết đến việc tim ra lời giải bài tốn, Ta Net các vì dụ sau
Chứng minh các tính chất hình học
Ví đụ T Trên các cạnh AB và CD của tử giác lơi ABCD và vẻ phía ngoại tứ giác, ta dựng các tam giíc déu ABM và CDP, Trên hài cạnh cịn làn và vẻ phía trong tứ giác tạ dựng este tam giác đều BDCN và ADR Chứng mình ring: MN = PK, Giai ( Ro rang _ Phép quay R60"); M> Ava N + C Mà MN = AC on) Ke Vv » v p Phép quay R,(60" P -» C va K > A TNG j Nels, PK = AC ) + Ụ Từ 0°) và (7), ta suy ra đpem
Ví dụ 3 Cho đường trịn (O: RÌ và điểm 2 thuốc đường tron, Ta Kt hiệu (O; Rì là ảnh của (Ơ: l trong phép quay Từ và AE là ảnh eúa clier AI
thuộc (O: R) Chứng mình răng đường thang MAI di qua gise diem the
Trang 37Giai Ro rang phép quay Ria): A > A.O + O07" M > M’ => AOM = AO™' W — — Pay Mặt khác, ta cĩ: AO'M'=2ABM' (Bla ⁄ RM giao điểm thứ hai của hai đường trịn) { \ \ — — \ Re -[ = ABM’ + ABM = 180" va digu đĩ chứng À_ ONY 7 té MM di qua B ` i A ` Pa / Tính các yếu tố hình học
Ví dụ 3 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) co A = 80" Ben t rong tam gúc, ta lấy điểm M sao cho: MBC = 30", MCB = 10" Tinh goc MAC
Giải
Thực hiện phép quay Ra(-60°%: © -» C,
khi đĩ tam giác ACC' déu và ta suy ra
BCC' = 10" Tam giác ABC' cân tại A cĩ BÁC =20" = CBC’ 2 30" XBGC' = ABCM (g.c.g) = CC =CM=CA “Tam giác ACM cân tại C cĩ: ACM z40'" MAO =70"
Ví dụ 4 Cho hình vuơng ABCD và điểm M nằm trong hình vuơng đĩ sao cho MAB = G0’ va MCD = 15", Tinh goe MBC
yo "
Giải |
Thue hién phép quay R,(60"): B -» By; khi đĩ tam | \
gidc ABB’ déu va B' nam trén tia AM va nam | \
trong hình vuơng Tam giác B.BC cân tại B cĩ | `
BBC = 30°, nén BCB = 75" => BCD = 15" “ woe
A
Điều đĩ chứng tỏ B' trùng với M và vì vậy MBC = 30"
Vé dụ 5 Cho hình vuơng ABCD cạnh a và M là trung điểm của cạnh C Tia phan giác của gĩc BAM cat canh BC tai N Tinh độ dài doan IBN
Giai
Thực hiện phép quay RA(90°: B -š D, khi đĩ gĩc vuong ABC -› gĩc vung ADx (Dx 1a tia đối của tia DC) và do đĩ Đ -> N' « Dx
Ta cĩ; DN'= BN, DAN’ = MAN,
Trang 38AN'M = ANB = NAD {so le: = MAN’
Vi vay tam gidc AMN’ can tai M — MA = MN’ = MD + DN atv5 - lì = DN z MA -MD= Bài tốn cực trị Ví dụ 6 Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M trong mặt phẳng sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất và tính giá trị đĩ theo BC = a, AC = b và Ở = Giải
Giá sử M là điểm bat ki trong mat phang Thuc
hiện phép quay R,(-60"): M > M’, A > A’ khi dé AM -> A'M' va AM = A'M’ Tam giác CMM' đều, do đĩ: MM = CM Taco: MA + MB + MC=MA + MB + MM 2 BA = và? + bŸ- 2abcostu + 60" ¡ Để MA + MB + MC = va + bỶ - 2abcostu + 60°), M và ảnh M' cùng
thuộc đoạn BA' Điều đĩ chứng tỏ CMA'- CAA' = 60" và tứ giác CMAA'
nội tiếp trong đường trịn, Điểm M phải tìm là giao điểm của đường trịn
ngoại tiếp tam giác đều ACA' và dường tháng BA' Dựng hình
Vi du 7 Cho đường trịn (O) đường thàng (d) khơng cĩ điểm chung voi (Ĩ) và điểm A khơng nằm trên (d) và duéng tron (QO), Hay dung tam giác đều ABC sao cho định B thuộc (Ơ), định € thuộc (dì
hư indy
Giải ⁄ \
* Phan tích: Giá sử ABC la tam giác dã vơ ở
đựng Phép quay tâm A gĩc quay 60" theo 7 một chiêu xác định biến C thành B và do đĩ A | biến (d) thành (đ) đi qua B Rõ ràng B là A |
giao diém ctia (d’) va (O) |
® Cách dựng: Dung (d') la anh của (dì trong phép quay R60) thoặc RAt-60”9 Kí hiệu B là giao điểm của td! và 0O) Dựng Ơ là định của B trong phép quay Rat-60”) thoặc R.t6020 Tam giác ABC là tam giác cản dựng
Trang 39© Biện luận: Bài tốn cĩ nghiện" khi (d) và (Ở) cĩ điểm chung Bài tồn vơ nghiệm khi (đ) và (O) khơng cĩ điểm chung Nếu bài tốn cĩ nghiệm thì cĩ ít nhất là 1 và nhiều nhất là 4
Tìm tập hợp điểm
Ví dụ 8 Cho đường trịn (Õ) và điểm M khong nam trên đường trịn đĩ Với mơi điểm A thudc (0) ta dung diém B sao cho tam giác MAI vuơng can tai M Tim tap hợp điểm B khi Ä thay dối trên (Ĩ),
Giải
Ro rang B la anh cia A trong phép quay Ry(90") (hoae Ry!-90")); do do dường trịn (OI biến thành đường trịn (Ở) chứa B, Với mơi điểm B thuộc (O') bang phép quay Ry(-90") Chode Ry(90")), ta nhan duge diem À thuộc (O) va tam giác MAB vuơng can tai M Tom lại tập hợp B là dưỡng trịn (O°) anh của (O) trong phép quay Ryt90 1 thoạc Rị(<90”0, Cĩ hai đường trịn như vậy
Khảo sát tính đồng quy của ba đường thẳng hoặc thẳng hàng của ba điểm
Ví du 9 Cho hình vuơng ABCD và M là một điểm tùy ý Ta kí hiệu ta) là đường thắng đi qua À và vuơng gĩc với MB; (b) là đường thẳng đi qua B và vuơng gĩc với MC: (e! là dường thắng di qua C và vuơng gĩc với MŨD;
cd) là đường tháng đi qua D và vuơng gĩc với MA, Chứng mình rằng 4 dường thắng tá), (b), te), (d) đồng quy
Giải ao Ml
Goi O la tam ctia hình vuơng, thực hiện xà wo
phép quay R190"); B -» A, M ->» M = BM > AM’ va ta cé BM+ AM Theo gia thiét (a) di qua A va vuơng gĩc với
BM, vi vay Wo chinh la AM hay Moe M
tu Tuong tu ta cĩ MỸ thuộc đồng thời Ụ ‘
các đường thẳng (b), te), (d) Phép quay trong hệ trực chuẩn
Trang 40ca, [RH ` hi ` - ` Ta giải hệ | : “"=> x=sy,vay=-x, hodc x=-y,vay=x, [x.x+ yoy =O M
Một trong hai diém (y,; =x.) (=v, x) 1a anh cua M Chang han néu x, > 0 vay, > 0, thi diém (y,; -x,) la anh cua M: néu x, < 0 va y, > 0 thi diém (y¿; x„) là ảnh của M Vi du 2 Tim anh ctia đường thang y = 2 gốc tọa độ) trong phép quay R46) LƠ là Giải
Đường thắng y = 2x đi qua gốc tọa độ O vì vậy ta cân tìm anh cua mot điểm thuộc đường thang đĩ trong phép quay R,(45") Ta xét điểm ÀO: 2) và kí hiệu Atx; y) là anh của A Từ tỉnh chat cua phép quay, ta cĩ: z aI 2 : x+2y OA" = OA’ va AOA’ = 45" cp xt +y'=5 vit cosd5" = VOIX? by) A 1 5 o> xX ty 5 va ix + 2yl = % v2 Bằng cách giải hệ phương trình đĩ ta được 5 5 7 1 x=- X= hoac x = va y=- v2 v2 v3 v2 5, õ Vì điểm A' thuộc gĩc tọa độ phần tư thứ hai, điểm ees (BB t | A thich hoy:
Đường thẳng OA' cĩ phương trình y = x + v10 53 CÁC BÀI TỐN TỰ GIẢI
Tính các yếu tố hình học
1 Trên đoạn thắng AC ta lấy điểm B va dạt AB = a, BC = b Trên AB và
BC về một phía với AC ta dựng các tam giác đều ABM và BCN
i) Tính gĩc tạo bởi các đường thắng CM va AN