Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa PHN I: I S Ch đề 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Hằng đẳng thức đáng nhớ a b a b a 2ab b2 a2 2ab b a3 b3 a b a2 ab b2 a b a3 3a 2b 3ab b3 a b a 3a 2b 3ab2 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a b c a b a b a2 b2 a2 b2 c 2ab 2bc 2ca Một số phép biến đổi thức bậc hai - Điều kiện để thức có nghĩa: A có nghĩa A - Các công thức biến đổi thức: A2 A A B A B (A 0;B 0) AB A B (A 0;B 0) A 2B A B (B 0) A B A 2B (A 0;B 0) A B B C A B A B A 2B (A 0;B 0) A AB (AB 0;B 0) B C( A B) (A 0;A B2 ) A B2 A B (B 0) B C A B C( A B) (A 0;B 0;A B) A B Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Phương pháp: Nếu biểu thức có: Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác Chứa bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dấu Chứa thức bậc chẵn mẫu ĐKXĐ: biểu thức dấu Chứa thức bậc lẻ mẫu ĐKXĐ: biểu thức dấu Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ cỏc biu thc sau) Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa 1) 3x 8) x2 2) 2x 9) x2 3) 7x 14 4) 2x 3 x 5) x3 7x 7) x 3x 11) 2x 5x 12) 7x 6) 10) 13) 14) 2x x x 5x x 3 3x 5x 6x x Dạng 2: Dùng phép biến đổi đơn giản thức để rút gọn biểu thức Phương pháp: Thực theo bước sau: Bước 1: Tìm ĐKXĐ đề chưa cho Bước 2: Phân tích đa thức tử thức mẫu thức thành nhân tử Bước 3: Quy đồng mẫu thức Bước 4: Rút gọn Bài 1: Đưa thừa số vào dấu a) ; b) x (víix 0); x c) x ; x ; 25 x2 d) (x 5) e) x x2 Bài 2: Thực phép tính a) ( 28 14 ) 8; d) b) ( 10)( 0,4); e) c) (15 50 200 450) : 10; f) g) 3; 20 14 20 14 ; 5; 11 11 h) 7 3 7 26 15 26 15 Bài 3: Thực phép tính a) ( 3 216 ) 2 b) 14 15 ): 1 1 7 c) 15 10 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần §¹i NghÜa Bài 4: Thực phép tính a) (4 15 )( 10 6) 15 b) c) 3 3 e) 6,5 12 6,5 12 d) Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: 1 a) 24 24 c) (3 5) (3 5) 4 4 b) 1 1 5 52 5 5 3 1 1 3 3 3 3 d) Bài 6: Rút gọn biểu thức: a) 13 48 c) b) 48 10 1 1 1 2 3 99 100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a b b a a) : , víi a 0, b vµ a b ab a b a a a a , víi a vµ a b) a a a a 2a a ; a4 d) 5a (1 4a 4a ) 2a c) 3x 6xy 3y 2 e) x y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A x 3x y 2y, x 2 ;y 94 b) B x 12x víi x 4( 1) 4( 1) ; c) C x y , biÕt x x y y 3; d) D 16 2x x 2x x , biÕt 16 2x x 2x x e) E x y y x , biÕt xy (1 x )(1 y ) a §Ị cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Dng 3: Bi toỏn tng hp kiến thức kỹ tính tốn Phương pháp: Thực hin theo cỏc bc sau: * Bc 1: Trục thøc ë mÉu (nÕu cã) * Bước 2: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã) * Bước 3: Đưa mét biÓu thức dấu * Bc 4: Rút gọn biĨu thøc ↣ Để tính giá trị biểu thức biết x a ta thay x a vào biểu thức vừa rút gọn ↣ Để tìm giá trị x biết giá trị biểu thức A ta giải phương trình A x Lưu ý: + Tất tính tốn, biến đổi dựa vào biểu thức rút gọn + Dạng toán phong phú học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm “mạch tốn” tìm hướng đắn, tránh phép tính phức tạp x3 Bài 1: Cho biểu thức P x 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P a2 a 2a a Bài 2: Xét biểu thức A a a 1 a a) Rút gọn A b) Biết a > 1, so sánh A với A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A Bài 3: Cho biểu thức C 1 x x 2 x 1 x a) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị x để C a a b : 1 a b2 a b2 a a b b) Tính giá trị C với x Bài 4: Cho biểu thức M a) Rút gọn M Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa a b c) Tìm điều kiện a, b để M < x 2 x (1 x)2 P Bài 5: Xét biểu thức x x x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lơn P x 9 x x 1 Bài 6: Xét biểu thức Q x 5 x 6 x 3 x a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q số nguyên 3 xy x y x y xy : Bài 7: Xét biểu thức H x y x y x y a) Rút gọn H b) Chứng minh H ≥ c) So sánh H với H a a : Bài 8: Xét biểu thức A 1 a a a a a a a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị A a 2007 2006 b) Tính giá trị M Bài 9: Xét biểu thức M 3x 9x x 1 x 2 x x 2 x 1 x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P 15 x 11 x x 3 x 2 1 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P c) So sánh P với 2 x 3 x 3 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Ch 2: PHNG TRèNH BC HAI NH Lí VI-ẫT Phương trình bậc hai phương trình có dạng ax bx c (a 0) C«ng thøc nghiƯm: Ta cã b2 4ac - NÕu < phương trình vô nghiệm - Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 x b 2a - NÕu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b b ; x2 2a 2a b * C«ng thøc nghiƯm thu gän: Ta cã ' b'2 ac (Víi b' ) - Nếu < phương trình vô nghiệm - Nếu = phương tr×nh cã nghiƯm kÐp x1 x b' a - Nếu > phương trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 b ' ' b' ' ; x2 a a Hệ thức Vi-et: Nếu phương trình có nghiệm x1; x2 th× S = x1 x b c ; P = x1.x a a Gi¶ sư x1; x2 hai nghiệm phương trình ax bx c (a 0) Ta sử dụng định lí Vi-et để tính biĨu thøc cđa x1, x2 theo a, b, c S1 = x12 x 22 x1 x2 2x1x2 b2 2ac a2 S2 = x13 x 32 x1 x2 3x1x x1 x2 S3 = x1 x x1 x x1 x 3abc b3 a3 4x1x b2 4ac a2 øng dơng hƯ thøc Vi-et: a) Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax bx c (a 0) - NÕu a + b + c = x1 = 1; x c a - NÕu a - b + c = x1 = -1; x c a b) T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y hai nghiệm phương trình bậc hai X2 - SX + P = c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax bx c (a 0) cã hai nghiÖm x1; x2 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa ax bx c a x x1 x x2 Các dạng toán bản: Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Phương pháp: Điều kiện để phương trình bËc hai cã nghiƯm lµ b2 4ac c a Trong trường hợp cần chứng minh có hai phương trình: ax bx c ; a' x b' x c ' cã nghiƯm ngêi ta thêng lµm theo mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Chøng minh 1 2 Cách 2: 1.2 Dạng 2: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1 x b c ; P = x1.x , theo m a a Bíc 3: Biểu diễn hệ thức đề theo S, P víi chó ý r»ng x12 x22 S2 2P ; x13 x 32 S S2 3P ; 1 S 1 S2 2P ; x1 x P x12 x 22 P2 Dạng 3: Hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiƯm Bíc 2: TÝnh S = x1 x b c ; P = x1.x , theo m a a Bíc 3: Khư m ®Ĩ lËp hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc tham số m Dạng 4: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với hệ thức cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bíc 2: TÝnh S = x1 x b c ; P = x1.x , theo m a a Bước 3: Giải phương trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bước 4: Kết luận Phương trình quy phương trình bậc (bậc hai) Phương trình chứa ẩn mẫu số: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Qui đồng mẫu số để đưa phương trình bậc (bậc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) Bước 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đưa pt bậc (bậc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Bước 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phương trình trùng phương: ax bx c (a 0) Phương pháp: Bước 1: Đặt x2 = t Bước 2: Biến đổi đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai Bước 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Dng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải phương trình 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x2 – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vơ nghiệm Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax + (ab + 1)x + b = Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phương trình sau ln có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiệm phân 1 (Èn x) biết: xa xb xc c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = ln có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại NghÜa bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b c ax x 0 (1) bc ca 2c c a bx x 0 (2) ca ab 2a a b x 0 (3) ab bc với a, b, c số dương cho trước Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = cx Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: 2 A x1 x ; B x1 x ; C 1 ; x1 x D 3x1 x 3x x1 ; E x1 x ; Lập phương trình bậc hai có nghiệm F x1 x 1 vµ x1 x2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: §Ị cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa A 2x1 3x1 x 2x 3x1x ; 1 x x1 x x B ; x x x1 x1 x1 x 2 3x 5x1x 3x C 2 4x1x 4x1 x Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phương trình thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p q vµ q 1 p 1 1 vµ 10 72 10 Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m 1 vµ y x b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 x2 x1 Bài 5: Khơng giải phương trình 3x + 5x – = Hãy tính giá trị biểu thức sau: x1 x A 3x1 2x 3x 2x1 ; B ; x x1 b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x1 x x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: C x1 x2 ; D x1 y x2 b) x2 y x1 y x a) y x Bài 8: Cho phương trình x2 + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x y1 y x x y y x x 2 a) ; b) y y 2 5x 5x y y 3x 3x y y Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho món: 10 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại NghÜa Hai người A B làm xong công việc trơng 72 , cịn người A C làm xong cơng việc trong 63 ngươ B C làm xong công việc 56 Hỏi người làm trong làm xong cơng việc >Nếu ba người làm hồn thành công việc ? Giải : Gọi người A làm xong cơng việc x (giờ ), x > làm (c việc) x ( công việc) y Người C làm xong cơng việc z (giờ ), z > làm ( công việc) z 1 1 504 x y 72 x 168 504 1 1 y 126 Ta có hpt : x z 63 504 1 1 y z 56 z 100 Người B làm xong công việc y (giờ ), y > làm 1 12 + + = ( công việc ) x y z 504 504 Vậy ba ngưịi làm hồn thành công việc 42 (giờ ) 12 Nếu ba người làm làm Bài tập 10: ( 258 /96 – nâng cao chuyên đề ) Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong cơng việc thời gian để đội II làm xong cơng việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong công việc Hỏi đội làm phải xong Giải : Gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x ( x > ) Suy thời gian đội II làm xong cơng việc x + 1 2x ( công việc ) x x x ( x 4) x ( x 4) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc (giờ) 2x x ( x 4) Vậy ta có pt : 2x + = 4,5 hay x2 + 4x – 32 = x1 = - ( loại ) x2 = ( thoả mãn 2x Trong hai đội làm chung : điều kiện ẩn ) Vậy Đội I làm xong cơng việc hết , đội hai hết Bài 1: 25 ... muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc Hay 22 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa thi gian bng thi gian đội làm đội làm trông thời gian đội làm diện tích trồng... thứ làm xong công việc hết 30giờ người thứ hai hết 20 Bài tập 9: ( 400 tập toán ) 24 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Hai ngi A B làm xong công việc trông 72 , cịn... ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – Bài 3: Cho hệ phương trình 15 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa mx 4y 10 m (m lµ tham sè) x my