Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dãy số Giới hạn a) Định nghĩa Dãy số hàm số u xác định tập * Kí hiệu: dãy số (un) n * a) Một số hàm số có giới hạn lim b) Cách cho dãy số C1: công thức số hạng tổng quát C2: hệ thức truy hồi C3: phương pháp mô tả lời Nếu |q| < Dưới m ≤ un ≤ M m c) Số hạng tổng quát: d) Tổng n số hạng đầu: Bị chặn u n 1 u n d (d: công sai) u u u k k 1 k 1 (k ≥ 2) u n u1 (n 1) d n n Sn (u1 u n ) u1 (n 1) d 2 Cấp số nhân a) Định nghĩa: u n 1 u n q M u k u k 1 u k 1 c) Số hạng tổng quát: u n u1 q n 1 1 q 1 q 0; n lim 0 nk lim un = lim qn = lim(u n L) lim(u n ) L lim c = c (c: số) b) Định lí lim u n lim u n (lim căn lim) lim u n lim u n (lim trị trị lim) lim u n lim u n (un ≥ & lim un ≥ 0) (lim dương lim dương) lim(u n v n ) lim u n lim v n (lim tổng tổng lim; lim hiệu hiệu lim) (lim tích tích lim) lim(c.u n ) c.lim u n lim(u n v n ) lim u n lim v n lim u n lim u n v n lim v n Nhận xét: Sn u a) Định nghĩa: (q: cơng bội) b) Tính chất: d) Tổng n số hạng đầu: Trên Nhận xét: m Cấp số cộng b) Tính chất: lim Giới hạn hữu hạn Dãy (un) bị chặn un ≤ M a) Định nghĩa: 0; n Nếu |un| ≤ n * lim = M bị chặn Cho hai dãy số (un) (vn) d) Dãy số bị chặn Dãy (un) lim b) Định lí c) Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy (un) tăng un < un+1 (sau > trước) Dãy (un) giảm un > un+1 (sau < trước) Dãy (un) bị chặn m ≤ un 0; n (lim thương thương lim) ap p = q A = bq lim A b + b1n+ b n + + bq n q p < q A = a + a1n+ a n + + a p n p c) Tổng CSN lùi vô hạn n Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn S = u1 + u1q+ u 2q + = u1 (q < 1) 1 q Trang Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII Giới hạn vơ cực GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ a) Định nghĩa Giới hạn hàm số điểm lim u n n u n a) Giới hạn hữu hạn: lim u n n u n b) Giới hạn vơ cực: b) Một số hàm số có giới hạn vô cực lim f(x) lim x n x lim f(x n ) = x x0 ( (x n ) (a;b)\{x } ) lim n ; lim n ; lim ( n) ; lim ( n ) Định lí: lim f(x) L x x f(x) L x x0 lim n Nếu lim u n lim Giới hạn hàm số vô cực lim f(x) L f(x) L x 0 un x Các giới hạn thừa nhận: c) Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc Trường hợp lim un lim có giới hạn vô cực lim u n lim v n (1) lim u n , lim v n lim (u n v n ) lim u n lim v n (2) k chẵn lim x k ; lim x k ; lim k x x x + x k lẻ Định lí ● lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) x x0 x x0 x x0 ● lim f(x).g(x) lim f(x) lim g(x) lim c.f(x) c lim f(x) x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 (1): lim un lim dấu f(x) f(x) xlim x0 x x g(x) lim g(x) (2): lim un lim trái dấu ● lim Nhận xét: lim a.x k a.x k g(x) x x0 x x0 Quy tắc Trường hợp lim un có giới hạn vơ cực lim có giới hạn hữu hạn lim u n lim v n (1) lim u n , lim v n L lim (u n v n ) lim u n lim v n (2) ● lim f(x) lim f(x) x x0 x x0 ● lim f(x) x x0 lim f(x) lim f(x) x x0 x x0 lim f(x) x x0 f(x) Giới hạn bên Quy tắc Trường hợp lim un có giới hạn hữu hạn lim có giới hạn u lim u n L 0, lim v n lim n Chú ý: ≠ lim u n lim v n (1) lim u n lim v n (2) a) Giới hạn hữu hạn GH bên phải: lim f(x) L x x 0 f(x) L (x > x0) x x0 GH bên trái: lim f(x) L x x 0 f(x) L (x < x0) x x 0 Khi lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L x x0 x x0 x x0 Khi lim f(x) lim f(x) không tồn lim f(x) x x0 Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn x x0 x x0 Trang Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII b) Giới hạn vơ cực ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm số điểm GH bên phải: lim f(x) x x0 GH bên trái: a) Khái niệm lim f(x) x x 0 Các dạng vô định f(x) với lim f(x) lim g(x) a) Dạng : Đối với tốn tính lim x x g(x) x x0 x x0 + f(x), g(x) đa thức: phân tích thành nhân tử chung (x – x0) + f(x), g(x) chứa thức bậc: phương pháp nhân liên hợp + f(x) chứa thức không bậc: thêm bớt f(x) để nhân liên hợp f(x) với lim f(x) lim g(x) : Đối với tốn tính lim x x x x0 x x0 g(x) + Phương pháp: chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao mẫu thức + Trường hợp có dấu giá trị tuyệt đối phải xét giới hạn bên b) Dạng c) Dạng : Đối với tốn tính lim f(x) g(x) với lim f(x) lim g(x) x x0 + Phương pháp: biến đổi dạng x x0 x x0 phương pháp nhân liên hợp thêm bớt, d) Dạng 0. : Đối với tốn tính lim f(x).g(x) với lim f(x) 0; lim g(x) x x0 x x0 + Phương pháp: biến đổi dạng Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hs y = f(x) M0(x0;f(x0)) f '(x) Phương trình tiếp tuyến (C) M(x0;y0) là: y y = f '(x )(x x ) d) Ý nghĩa học v = S' (đạo hàm quãng đường vận tốc) e) Đạo hàm hs thường gặp c' (c: số) x' (x n ) ' n x n 1 x ' 1x Các quy tắc tính đạo hàm ● (u ± v) ' u' v' kk f(x) xác định x HS f(x) liên tục x0 lim f(x) f(x ) Nếu lim f(x) ≠ f(x0) hàm số gián đoạn x0 a) HSLT điểm: b) HSLT khoảng, đoạn HS f(x) liên tục J f(x) liên tục x J lim f(x) = f(a) x a HS f(x) liên tục [a;b] f(x) liên tục (a;b) f(x) = f(b) xlim b Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn f '(x) lim x x0 Hàm số liên tục f(x) f(x ) x x0 x x0 y Với Δx = x – x0 ; Δy = f(x0+Δx) – f(x0) thì: f '(x) lim x 0 x y b) Quy tắc tính đạo hàm: tính Δy, sau tính lim x 0 x c) Ý nghĩa hình học Cho hs y = f(x), đạo hàm hs là: Dấu lim phụ thuộc vào f(x) x0 ● (u v) ' u'.v v'.u (k u) ' k u' (k: số) ' ' ' u' u u'.v v'.u 1 1 ● 2 v x u v x u Hàm số hợp a) Định nghĩa y = f [u(x)] hàm hợp hàm số f u b) Cách tính đạo hàm hợp (u n ) ' n u n 1 u' y ' f '.u' ' u' u u Trang Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII Đạo hàm hàm số lượng giác sin x : x 0 x a) Giới hạn lim VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Vectơ không gian Ba vectơ đồng phẳng sin x sin u(x) lim 1 x 0 u(x) x u(x) lim Các tính chất vectơ mp áp dụng không gian ● Quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành ● Tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện b) Đạo hàm hàm số lượng giác tập xác định hàm số ● (sin x)' cos x (sin u)' u'.cos u Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mp (u: hàm số theo x) Cho a, b, c khơng phương, ta có định lí sau: ĐL a, b, c đồng phẳng c m.a n.b (m,n ) ĐL d : d m.a + n.b p.c (bộ m,n,p nhất) y B ● (cos x)' sin x (cos u)' u'.( sin u) S cot T M K tan sin A' A α trục hoành O cos H trục tung u' (tan u)' ● (tan x)' cos x cos u u' ● (cot x)' (cot u)' sin x sin u x Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc a) Đường thẳng với đường thẳng: a // b c b c a B' Vi phân đạo hàm bậc cao b) Đường thẳng với mặt phẳng: a) Vi phân Vi phân hs y = f(x) dy = f '(x).dx b) Đạo hàm bậc cao a b a (P) b (P) da db d (P) a b (P) ; ● Đạo hàm cấp hai hs y = f(x) f '' (f ')' (đạo hàm quãng đường vận tốc) v = S' Ý nghĩa học: a = v' = S'' (đạo hàm vận tốc hay đạo hàm cấp hai quãng đường gia tốc) ● Đạo hàm cấp n hs y = f(x) f (n) [ f (n 1) ]' a // b b (P); a (P) a (P) (P)//(Q) b (P) a // b; a (Q) a (P) a b (P) a a // (P) (Q) a (P) // (Q); b a ; b (P) (P) (Q) a cắt (P), b (P) a' hình chiếu a lên (P) b a' b a A B' A' c) Mặt phẳng với mặt phẳng: a B b (P) a b a //(P) a (P) P a' b (P) (Q) a (P) (P) (Q); a (Q) Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn (P) (Q) a (Q) a (P) a Trang Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII Góc khơng gian Khoảng cách khơng gian a) Góc ĐƯỜNG với ĐƯỜNG * Phương pháp tìm hình chiếu H điểm A lên mp (α) Δ1 Cho hai đường thẳng Δ1 Δ2 chéo Qua O dựng Δ1' // Δ1, Δ2' // Δ2 Δ2 Ta có: (1 ; ) (1'; ') 900 1 (1 ; ) 90 Cho điểm A mp (α) (P) A - Chọn mp (P): (P) (α) - Tìm (P) (α) - Kẽ AH Ta có: AH (α) Δ1' Δ2' O b) Góc ĐƯỜNG với MẶT H hình chiếu A lên mp(α) Cho đường thẳng a mp (P) cắt A Δ H α a) Khoảng cách từ điểm đến mp, đường thẳng a Tìm A a (P) Chọn B a, B A A ● ĐIỂM B → MẶT Tìm hình chiếu H B lên (P), BH (P) H (P) Cho điểm A mp(P), A (P) AH hình chiếu AB lên mp (P) Ta có: d(A,(P)) = AH (P) AB, AH 900 Ta có: a, a (P) a, (P) 900 P H A α (H hình chiếu A lên mp(P)) a' H ● ĐIỂM P P → ĐƯỜNG A Cho điểm A đg thẳng a, A a Ta có: d(A,a) = AH a Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng (H chân đường vng góc hạ từ A) tập hợp điểm cách đầu mút b) Khoảng cách đường // mặt, mặt // mặt đoạn thẳng A ● ĐƯỜNG → P Ta có: d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt (H hình chiếu A lên mp(P)) Tìm (P) (Q) Chọn M M Tại M dựng: 1 (P), 1 Δ1 (Q), Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn a MẶT Cho đường thẳng a, điểm A a a//(P) c) Góc MẶT với MẶT Ta có: (P), (Q) (1 ; ) 900 (P) (Q) (P), (Q) 900 a H α ● MẶT Δ2 H P → MẶT Cho A (P) (P)//(Q) A Q Ta có: d((P),(Q)) = d(A,(Q)) = AH P Δ Q (H hình chiếu A lên mp(Q)) P H Trang Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII c) Khoảng cách hai đường chéo ● ĐƯỜNG Δ → ĐƯỜNG a c) Hình hộp đứng A Cho a, b chéo Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành + Trường hợp 1: a b Có mặt xung quanh hình chữ nhật B Nếu: a A b B Thì: AB đoạn vng góc chung a b b d) Hình hộp chữ nhật Là hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Ta có: d(a,b) = AB A Sáu mặt hình chữ nhật a + Trường hợp 2: a khơng vng góc b Chọn mp (P): (P) b , chọn A a (P) // a e) Hình lập phương Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh b H P Hình chóp hình chóp cụt Ta có: d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH a) Hình chóp Là hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương B a) Hình lăng trụ đứng Đường cao h.chóp qua trọng tâm đa giác đáy C A S Là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy S D E Các mặt bên hình chữ nhật B' Các mặt bên vng góc với mặt đáy C' A' E' D' B A H A2 b) Hình lăng trụ Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác A3 A1 O A4 A6 Các mặt bên hình lăng trụ M A H D B b) Hình chóp cụt A5 Là hình chóp cắt mp song song đáy A'2 A'3 A'1 A'4 O' A'6 Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn C C Đoạn nối tâm hai đáy gọi đường cao A'5 Trang .. .Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII Giới hạn vô cực GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ a) Định nghĩa Giới hạn hàm số điểm lim u n n u n a) Giới hạn... f(x) x x0 Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn x x0 x x0 Trang Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII b) Giới hạn vô cực ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm số điểm GH bên phải: lim f(x) ... hàm hợp (u n ) ' n u n 1 u' y ' f '.u' ' u' u u Trang Tóm tắt lí thuyết Tốn 11 HKII Đạo hàm hàm số lượng giác sin x : x 0 x a) Giới hạn lim VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ