ga 2010 2011

2. Chøng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp.. T×m vÞ trÝ cña D trªn nöa ® êng trßn sao cho BN. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt n[r]

Chuyên đề I

Buæi 1,2

A-Các kiến thức cần nhớ

I) đẳng thức đáng nhớ

1.( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2.( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3.a2 - b2 = ( a - b ) (a + b) 4.( a + b )3 =a3 +3a2b + 3ab2 +b3

5.( a - b )3 = a3 - 3a2b +3ab2- b3

6.a3 + b3 = (a + b)( a2 - 2ab + b2) 7.a3 - b = (a - b) ( a2 + 2ab + b2) 8.( a+b+c )2=a2 +b2+c 2+2ab+2bc+ 2ca

Chú ý: hằng đẳng thứcvề

1. x y2  x 2 xy y

2 x – y =  x y  x y

3. x y3 x x3x y3 x y y y

4. 3    

x x y y  x  y  x y x xyy

II) c¸c qui t¾c vỊ l thõa

1.xm.xn = xm + n 5.(x.y)m = xm.ym 2. m m n

n

x x x



 (mn) 6.

m m

m

x x

y y

      

3.(xm)n = xm n

7. m ( )

n n m

x

n m

x x  

4. m

m x

x





III) qui tắc bậc hai

2 ( 0)

1

( 0)

2 ( , 0)

3 ( 0; 0)

A A

A A

A A

A B A B A B

A A

A B

B B

 

 

 



 

  

2

2

4

1

5 ( 0, 0)

0; ( ) ; ( )

A B A B

A

A B AB B

B B

A A A A A A



  

  

*trục thức mẫu 1. A A B(B 0)

B

B   3.

( )

A A B C

B C B C  



2. A B( ,A B 0;A B) A B

A B    

 4. ( )

( , 0; )

A A B C

B C B C

B C

B C    



*công thức phức tạp

2

2

( , 0; )

2

A A B A A B

A B       A B A B

IV)các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1.P2 t nhõn t chung.

2.p2 dùng đẳng thức

3 p2 tách thêm bớt

4 p2 nhóm nhiều hạng tử

5 p2t bin ph

6 p2giảm luü thõa

V) bớc quy đồng nhiều phõn thc(sgk)

B-Một số ý giải toán biểu thức

1) Tìm ĐKXĐ ý : Trong 0 ,Mẫu , biểu thøc chia  0 2)Rót gän biĨu thøc

-Đối với biểu thức thức th ờng tìm cách đa thừa số ra ngoài dấu Cụ thể :

+ Số phân tích thành tích số ph ơng

+Phần biến phân tích thành tích luỹ thừa với số mị ch½n

-Nếu biểu thức chứa phép cộng trừ thức ta tìm cách biến đổi về các đồng dạng

Nếu biểu thức chứa phân thức ch a rút gọn ta nên rút gọn ph©n thøc tr -íc

-Nếu biểu thức có mẫu đối ta nên đổi dấu tr ớc khi

-Ngoài cần thực thứ tự phép tính ,chú ý dùng ngoc ,du - ,

cách viết căn

Chú ý : Một số toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến… quy Rút gn biu thc

3) Tính giá trị biểu thøc

-Cần rút gọn biểu thức tr ớc.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nên thay giá trị biến vào rút gọn tiếp

-Nếu giá trị biến cịn phức tạp nghĩ đến việc rút gọn tr ớc thay vào tính

4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn điều kiện đó

-CÇn rót gän biĨu thøc tr íc

-Sau tìm đợc giá trị biến phi i chiu vi KX

C-Các dạng tập

Dạng 1: Bài tập rút gọn biểu thức chứa đơn giản

Bµi Thc hiƯn phÐp tÝnh a 9 4

b 100 81 c 12 3

d 20 5 e 4 25 f 2,5 40

g 4,9.2,5.100 h 8,1.4,9.100 i 5 20 Bµi Thc hiƯn phÐp tÝnh

Bµi Thc hiÖn phÐp tÝnh

4 2

) 45.80 b) 75.48 c) 90.6,4 d) 2,5.14,4 ) 0,09.64 f) ( 7) g) 12,1.360 h)

a e 

Bài 4.Trục thức mẫu

5 2 2

; ; ; ; ; ;

10 20 3

2

; ;

6 10 x y

 

  

  

Bµi Thc hiƯn phÐp tÝnh

) 10 40 b) 45 c) 52 13 d) 162 e) 63 ) 0, 6,

g) 2,5 30 48 h) 2,7 1,5

a 81

25

b 49

16

c 8 18 50 d 18 50 98 e 20 45 80

f 12 27 3 g 75 3  12

i.2 12  24 3

Bµi Thc hiƯn phÐp tÝnh a 2 3 27  300

b. 2 27 128 300

2

  

c 20 45 125

5

B  

d  5 3  5 3

e. 2 3 48 75 243

f 2 2 2 288

g.3 8 18 5 5 2

2

  

i.( 1).( 1)  k.(2 5).(2 5) Bi

Bµi Thc hiÖn phÐp tÝnh a.( 12 27 3) 3

b.( 28 14  7) 7

c ( 28 14  7) 7 8

d.( 3 27 48) 3 e.( 12 6) 2 

f 2( 3 5) 3( 2 5) 5( 2 3)

g.( 24 50) 6

3 

h 2 31

Bµi Thc hiÖn phÐp tÝnh a.( 20 45 5) : 5

b.( 27 12) : 3 c.( 12 27 3) : 3

d.(2 18 8  50) : 2 e.(2 27 12 75) : 3  f.(15 50 200 450) : 10 

g.( 14 15 5) :

1

 



  

h ( 1 1) :

5 3 5 3 1

Bµi Thc hiÖn phÐp tÝnh

a 1

2 5

A 

 

b 10)8 2 2

3 2

 

 

 

c

3

1

1

1

    

d 1 ( 1)

3 1  1  

e 2 2

2

  

f.3 2 (2 3)

3

 

  



Bµi 10 Thc hiƯn phÐp tÝnh a 7 3  7 3

b 6 3  6 3

c 14 5  14 5

d 9 5  9 80

e. 32 2 6 4 2

f 4 8. 2 2 2. 2 2 2 g 6 11 6 11

Bài 11: Tính giá trị biểu thức:

a) A 1 (1 2)2

   b) B3 9 80  9 80

c) 1

1 2 2008 2009

C    

  

Dạng 2: phân tích đa thức thành nhân tư

Bài tốn 1: Sử dụng p2 đặt nhân tử chung, p2 nhóm hạng tử, p2 đẳng thức

Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a 1-x + 1 x b 1 x 1x

c 1 x 1 x2

  

d 1 x2 1 x

  

e.a a a a 1 f.x x1

g a a a  a 1

h x x1 i.x-y

Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tö

a x y  x y

b.x y y x

c - a

d.1 2 a a

e.a 2 a

f

1 a

Bài toán 2: Sử dụng p2 tách ,nhóm hđt Tổng quát:1) toán có dạng: a2 b ph©n tÝch: a = c + d cho c.d =b

nªn:

2 ( )

a b c  c d d c d

Bài tập áp dụng:

Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a.8 15 b.10 21 c.7 6

d.14 5 e.12 140

f.8- 28

g.3 2 h.4 3 i.7 10

Chó ý: Nếu toán có dạng a b (b số nguyªn tè) ta cã thĨ viÕt

2

2

a b

a b   råi phân tích 2a2 b dựa vào công thức

2) Bài toán có dạng: ax2 + bx +c Ta ph©n tÝch b = p + q cho p.q = a.c

Chú ý: Bài toán có dạng: ax2 + bx + c không phân tích đ ợc thành nh©n tư

 = b2 – 4ac < bình ph ơng số hữu tỉ Bài tập áp dụng:

a y2 – 13y +12 b x2 – x – 30 c x x 2

d.x x 6

e.x2 x 3 f.x 5 x 6 C©u 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a.2m2 + 10m + b x - x +2

c a + 4 a3

d x2 x15

e.x6 x8

f.7 x 6x 2

Buæi 5,6

Dạng 3: Bài tập tổng hợp rút gọn biểu thức Phơng pháp giải:

Bc1:t iu kin xỏc định(Tìm tập xác định) Bớc 2:Qui đồng mẫu thức cú

Bớc 3:Đa bớt thừa số dấu (nếu có) Bớc 4:Trục thức mẫu (nếu cã )

Bớc 5:Thực phép tính luỹ thừa, khai căn, nhân ,chia, (nếu có) Bớc 6: Cộng trừ số hạng đồng dạng ớc lợc

Loại toán 1.

Bài 1: Cho biểu thức A 2x 3 4x2 12x 9

     a Rót gän biĨu thøc A.

b Tính giá trị A với

2

x v· 171

3 x

Bµi 2: Cho biĨu thøc B = x 1 x 2 x a.Rót gän biĨu thøc B.

b.TÝnh gi¸ trị B với x 6 5 x 3 2 Bµi : Cho biĨu thøc C = 5 4

2

x x

x

x

 





a.Rót gän biĨu thøc C.

Bµi 1: Cho biĨu thøc ( 1 ) : ( 1 )

1 1 1

A

x x x x x

   

    

a.Rót gän biĨu thøc A.

b.Tính giá trị biểu thức A với x 1 2 c.Tìm giá trị x

2 A

Bµi 2: Cho biĨu thøc ( 1) : ( 22 )

1 1 1

x x x

B

x x x x x

 

   

    

a.Rót gän biĨu thøc B.

b.Tính giá trị biểu thức B với x 4 3 c.Tìm giá trị x để B = -3

Bµi 3: Cho biĨu thøc ( 3 ) : ( 1 )

1

C x x

x x

    

 

a.Rót gän biĨu thøc C.

b.Tính giá trị biểu thức C với x 14 5 c.Tìm giá trị x để C>5

Bµi 4: Cho biĨu thøc 2

2

2

( ) :

2 2

x x x x x

D

x x x x x

  

  

   

a.Rót gän biĨu thøc D.

b.Tính giá trị biểu thức D x 5 2

Bµi 5: Cho biĨu thøc 2

2 2

( ) : ( )

2

a a a a

M

a b b a a b a b ab

  

    

a.Rót gän biĨu thøc M.

b.Tính giá trị biểu thức D a 1 2 vàb 1 2 c)Tính giá trị a,b tr êng hỵp:

2 a

b M = 1.

Bài 6: Cho biÓu thøc ( 1) : ( 1)

1 1

a ab a a ab a

A

ab ab ab ab

   

    

   

a.Rót gän biĨu thøc A.

b.Tính giá trị biểu thức A a 4 3 vµb 4 3 c)BiÕt a b = Tính giá trị nhỏ A.

Loại toán 3.

Bµi Cho biĨu thøc A =

1 1

x x

x x x x x

               :  x

a Tìm điều kiện xác định

b Chøng minh A =

1

  x

x

c Tính giá trị A t¹i x = - 28

d Tìm max A

Bài Cho biÓu thøc P =

n 4 n n n n n       

 ( víi n

 ; n4)

a Rót gän P

b TÝnh giá trị P với n =

Bµi Cho biĨu thøc M = ( a b)2 ab a b b a

a b ab

  

 

( a , b > 0)

a Rút gọn biểu thức M b Tìm a , b để M = 2006

Bµi 4: Cho biĨu thøc : M =                    

 x x

x x x x x x x 1 :

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M x = +

c) Tìm x cho M =1/2

Bài 5: Cho biÓu thøc : P =                       2 : x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P x =

5

8



Bµi 6 Cho biĨu thøc : B = 

                   : 1 1 x x x x x x x

a) Rót gän B

b) Tìm x : 2.B <

c) Với giá trị x B x = 4/5

Bài 7: Cho biÓu thøc : M = 

                      1 : x x x x x x x

b) Tìm số nguyên x để M số nguyên c) Tìm x cho : M >

Bµi 8: Cho biĨu thøc : A = :                 1 1 2 x x x x x x x x

a) Rót gän A

b) Tính giá trị A x = -

c) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa A

Bµi 9: Cho biĨu thøc : P = 

                        1 : 1 1 x x x x x x x x

a) Rót gọn P

b) Tính giá trị P x =

2 7

c) T×m x cho P = 1/2

Bµi 10: Cho biÓu thøc : A =

3

2 1

1

1

x x x x

x

x x x

x                        

a) Rót gän A

b) Tính giá trị A x =

2 2

Bµi 11: Cho biĨu thøc : A =                     

 : 1

1 x x x x x x x x

a) Rút gọn A b) Tìm x để A <

Bµi 12: Cho biĨu thøc : B =                      2 : 1 x x x x x x x x

a) Rút gọn B

b) Tính giá trị cña B x = +

c) Tìm x ngun để B ngun

Bµi 13: Cho biÓu thøc : P = 3

2 : 2 4 2 x x x x x x x x x x                 

a) Rót gän P

b) Tìm số nguyên x để P chia hết cho

Bµi 14: Cho biĨu thøc : M =                      

 x x

x x x x x x

x

:

1

a) Rót gän M

Bµi 15: Cho biĨu thøc : P =                         x x x x x x x x : 1

a) Rót gọn P

b) Tính giá trị P x =

5

8



c) Tìm x nguyên để P số tự nhiên d) Tìm x để P < -1

Bµi 16: Cho biÓu thøc : B = 

                      

 x x

x x x x x x x x 2 : 3

a) Rót gän B

b) Tính giá trị B x = -

c) T×m x cho B.( x – ) = x

Bµi 17: Cho biÓu thøc : M = 

                          1 1 : 1 1 xy x xy xy x xy x xy xy x

a) Rót gän M

b) Tính giá trị M x = - vµ y =

3 1  

Bµi 18: Cho biĨu thøc : B = 

               6 3 y x xy xy y x xy y x

a) Rót gän B

b) Cho B= ( 10) 10 10    y y

y Chøng minh :

10

 y x

B i 19à : Cho biÓu thøc :  

1 2          x x x x x x x x x P

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức

P x

Q2 nhận giá trị số nguyên

Bài 20: Cho biểu thức :

2 2 1 1                        x x x x x x P

a) Rót gän P

b) Tìm x để 2

x P

Bài 21: Cho biểu thức :                        2 : x x x x x x x x P

a) Rót gän P

Bµi22: Cho biĨu thøc A = 2 x x x 1 x 1            

1 Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thc A

3 Giải phơng trình theo x A = -

Loại toán 4.

Bµi 1: Cho biĨu thøc : A =               x x x x x

a) Rót gän A

b) Tính giá trị A x =

3

2



c) Tìm x nguyên để A ngun

Bµi 2: Cho biĨu thøc : M =                 x x x x x x x 2

a) Rút gọn M b) Tìm x để M <

c) Tìm số tự nhiên x để M nguyên

Bµi 3: Cho biÓu thøc : A =                          : 3 x x x x x x x x

a) Rút gọn A b) Tìm x để A >

Bài : Cho biểu thức : 

                          : 2 x x x x x x x x x P

a) Rút gọn P b) Tìm x để

2   P

A>kiÕnthøc cÇn nhí

1) Định nghĩa:Hàm số bậc đ ợc xđ ct: y = ax + b a,b số thực xđ (a 0)

Chó ý : Nếu b = Hàm số có dạng y = ax 2) TÝnh chÊt :

a) Hµm sè bËc nhÊt x® víi mäi x R

b) Trong tập xđ R hàm số y = ax + b : +) §ång biÕn nÕu a>0 +) NghÞch biÕn nÕu a<

3) Đồ thị : a) Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đơng thẳng qua O(0 ;0) A(1 ;a) b) Đồ thị hàm số y = ax +b(a 0) đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b

- Đờng thẳng // với đ ơng thẳng y = ax b 0 -Đờng thẳng  với đơng thẳng y = ax b =

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b : Ta cần xác định điểm A( b;0

a

 ) vµ B(0 ;b)

4) Vị trí tơng đối đ ờng thẳng mặt phẳng toạ độ :

Cho hai đờng thẳng : y = ax + b (a 0) (d1) ; y =a’x + b’ (b’ 0) (d2) a) d1// d2  a= a’ ; b  b’

b) d

1  d2  a = a’ ; b =b’ c) d

1  d2  a  a’

+ d1  d2  a  a’; a.a’ = -1

+ d1  d2 t¹i  a  a’; b = b’ =

+ d1  d2 tai oy  a  a’; b = b’

5) Hµm sè y = ax2 (a0) TX§ : R

Tính chất : + Nếu a >0 hàm số đồng biến R+ nghịch biến R_ ; x =

+ Nếu a <0 hàm số đồng biến R

_ nghịch biến R+; x =

B> Bµi tËp

Bµi Cho hµm sè 2.

2 y x

a) Xác định giao điểm đồ thị hàm số với trục tung trục hoành.

b) Gọi A ,B theo thứ tự giao điểm nói tính diện tích tam giácOAB (O gốc toạ độ)

Bài Cho đờng thẳng y = ax (a 0) qua điểm A(4 ;3) b(-2 ;6) a)Tìm a b

b)Xác định toạ độ giao điểm đ ờng thẳng AB với trục hoành trục tung

Bài Biết đờng thẳng y = ax + b qua điểm M(-2;1) song song với đ ờng thẳng y =2x + 11 tìm a b.

Bài Cho đơng thẳng (d) có ph ơng trình y = -3x + m a)Xác định m đ ờng thẳng d qua điểm A(-1;2).

b)Xác định m đ ờng thẳng d cắt trục hồnh B có hồnh độ

3

 .

Bài Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(1;0) đ ờng thẳng (d): 2x +my = ( m tham số khác 0)

a) Chứng minh đờng thẳng d qua A

b) Tìm m để đờng thẳng d vng góc với đ ờng thẳng y = x

c) Tìm m để đờng thẳng d cắt trục tung B cho diện tích tam giác OAB bằng 4

Bµi Cho hµm sè y

x

 có đồ thị (H) đ ờng thẳng d có phơng trình

y = kx – 3.

a) Xác định k để d cắt (H) điểm phân biệt.

b) Xác định k để hoành độ giao điểm (H) d x

1 ,x2 tho¶ m·n:x1 – 7x2 =5.

Bài Cho đờng thẳng y =(m – 2)x +m (d)

a) Với giá trị m đt (d) qua gốc toạ độ. b) Với giá trị m đt (d) qua điểm A(2;5) c) Với giá trị m đt (d) cắt đt y = 3x - 2

( hay 1

2

y x )

a) Vẽ đồ thị đờng thẳng Gọi giao điểm đ ờng thẳng với trục tung và trục hoành B E.

b) Viết pt đờng thẳng qua A vng góc với đ ờng thẳng x – 2y = -2.

c) Tìm toạ độ điểm C đ ờng thẳng CMR: EO.EA = EB.EC tính diện tích OACB.

Bµi Cho hµm sè

4 x

y vµ y = -x -1

a) Vẽ đồ thị hai hàm số mp toạ độ. b) Dùng đồ thị giải pt : x2 + 4x +4 = 0.

c) Viết pt đờng thẳng // với đờng thẳng y = -x -1 cắt đồ thị hàm số

2

4 x

y điểm có tung độ 4.

Bµi 10 Cho hµm sè

2 x

y có đồ thị (p) đờng thẳng (d) có pt y = -x + m.

a) Tìm m biết (d) qua điểm A (p) có hồnh độ 2.

b) Xác định điểm M , N lần l ợt (p) (d) cho

2

M N

M N

x x

y y

 

 

 



Bµi 11 Cho hµm sè

2 x

y có đồ thị (p) đờng thẳng (d) có pt:

2 m

y x m

( m lµ tham sè)

1) Tìm m để (d) cắt (p) điểm phân biệt. 2) Gọi x

1 , x2 hoành độ giao điểm (p) (d). a Tính x3

1 + x32 theo m. b Tìm m để x

1 vàx2 nhỏ 3.

Bài 12 Cho parabol (p) y = x2 –mx +2 đờng thẳng (d) có pt y = 2x – m. a) Tìm m để (p) cắt (d) hai điểm phân biệt.

b) Tìm m để (p) tiếp xúc với (d) tìm toạ độ tiếp điểm.

Bài 13 Cho hàm số y = x + m (d) tìm giá trị m để đ ờng thẳng (d): a) Đi qua điểm A(1;2010)

c) TiÕp xóc víi parabol

4 y x

Bµi 14.Cho parabol (p)

4

y x đờng thẳng (d) 2 y x

a) Vẽ (p) (d) hệ trục to Oxy.

b) Gọi A,B giao điểm (p) (d) tìm điểm M cung AB cđa (p) sao cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB lớn nhất.

c) Tìm điểm N trục hoành cho NA + NB ngắn nhất. Bài 15 : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10

a) Với giá trị m y hàm số bậc b) Với giá trị m hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hồnh

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn

Bài 16 : Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đờng thẳng d song song với đ ờng thẳng 2y- x =5 c) Đờng thẳng d tạo với Ox góc nhọn

d) Đờng thẳng d tạo với Ox mét gãc tï

e) Đờng thẳng d cắt Ox điểm có hồnh độ

f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hồnh độ g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =

h) Đờng thẳng d qua giao điểm hai đ ờng thảng 2x -3y=-8 y= -x+1

Bài17 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2000,2001) Cho hµm sè y = (m -2)x + m +

a)Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến

d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tớch bng

Bài 18 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2004)

Trong h trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) 1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm

a)A(-1 ; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1)

2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần t thứ IV

Bài 19 :Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4 a) Tìm m để đồ thị (d1)đi qua M(2;3)

b) Cmkhi m thay đổi (d

1)ln qua điểm A cố định, (d2) qua B cố định

c) Tính khoảng cách AB

d)Tỡm m để d1 song song với d2 e)Tìm m để d

1 cắt d2 Tìm giao điểm m=2

Bµi 20 Cho hµm sè y =f(x) =3x –

a)Tìm toạ độ giao điểm đths với hai trục toạ độ b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( 7 24)

c) Các điểm sau có thuộc đths khơng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10) d)Tìm m để đths qua điểm E(m;m2-4)

e)Tìm x để hàm số nhận giá trị : ; -3

g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ h)Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ

k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ -4

l) Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ tung độ

Bài 21 Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A(2;5) B(-5;7)

Bµi 22 Cho hµm sè y = (3m-1)x + 4n -2

Tìm m,n biết đồ thị hàm số qua điểm (5 ;-3) cắt trục hoành điểm có hồng độ -2

Bài 23 Cho đờng thẳng: d1: y = mx + n

d2: (m - 1)x + 2ny = a Xỏc nh m,n bit d

1 cắt d2 ®iÓm (2;- 4)

điểm có hồnh độ - c Xác định phơng trình đờng thẳng d

2 biết d2 qua điểm oy song song với đờng thẳng y - 3x =

Bài 24 Giả sử đờng thẳng (d) có ph ơng trình y = ax+ b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A (1;3) B (-3; 1)

Bài 25 Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm

A(-1 ; 3) ; B( 2 ; -5 2) ; C(2 ; -1)

b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần t thứ IV

Bµi 26 Cho hµm sè: y = (2m-3)x +n-4 (d) (

2 m )

1 Tìm giá trị m n để đ ờng thẳng (d) : a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b) Cắt oytại điểm có tung độ y3 1 cắt ox điểm có hồnh độ

1

x 

2 Cho n = 0, tìm m để đ ờng thẳng (d ) cắt đ ờng thẳng (d/) có phơng trình x-y+2 =

điểm M (x;y) cho biểu thức P = y2-2x2 đạt giá trị lớn

Bµi 27 Cho hµm sè y = (m -2)x + m +

a)Tìm điều kiện m để hàm số ln ln nghịch biến

b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hoành điểm có hồnh độ

c)Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy

Bài 28 Chứng minh đờng thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 y = 4x- cắt điểm

Chuyờn III

A>kiếnthức cần nhớ

Các phơng pháp giải hệ phơng trình 1) Giai hệ pt b»ng p2 céng.

- Biến đổi hệ số ẩn đa hệ số có giá trị tuyệt đối

- Cộng trừ hai vế hai pt để khử ẩn - Giải pt tìm đợc có ẩn

- Thay giá trị vừa tìm đợc vào pt để tìm giá trị ẩn cịn lại - Nghiệm hệ pt cặp số vừa tìm đợc

2) Giai hÖ pt b»ng p2 thÕ.

- Biểu thị ẩn theo ẩn từ pt - Giải pt ẩn vừa tìm đợc

- Thay giá trị vừa tìm đợc vào pt để tìm giá trị ẩn lại - Nghiệm hệ pt cặp số vừa tìm đợc

3) Giai hệ pt p2 đồ thị.

- Vẽ pt mp toạ độ

- Nghiệm số hệ pt toạ độ giao điểm hai đờng thẳng 4) Giai hệ pt p2 đặt ẩn phụ :

- P2 đặt ẩn phụ P2 đa hệ pt phức tạp hệ pt TQ:

' ' '

ax by c a x b y c

 

 

 



Tỉng qu¸t:SènghiƯm cđa hƯ pt bËc nhÊt Èn

Số nghiệm hệ pt bậc ẩn giao điểm đờng thẳng: ' ' '1

2

( ) ( ) ax by c d a x b y c d

 

 

 



- HÖ pt cã nghiÖm nhÊt  d1  d2  a' b'

a b

- HƯ pt v« nghiƯm  d1// d2  a' b' c'

a b c

- HÖ pt v« sè nghiƯm  d1 d2  a' b' c'

a b c

Chú ý: - Điều kiện để hệ pt có nghiệm cịn viết: ab’ – a’b 

Trong TH ab’ – a’b = hệ vô nghiệm vô số nghiệm

B> Các dạng tập

Dng : Giai hệ pt p2 cộng, p2 thế, p2 đồ thị.

Bµi tËp Gi¶i hƯ pt

a) x y x y        b) x y x y        c) x y x y       

d) 11

3 x y x y        e) x y x y ỡù + = ùớ ù - = ùợ

Bài tËp Gi¶i hƯ pt

a)

3 x y x y      

 b)        3 5 y x y x

c)

1 x y x y      

 d)

2 x y x y ìï + = ïí ï - =

ïỵ e)

Bài tập Giải hệ pt

a)

3

x y

x y

ìï + = ïí

ï - =

ïỵ b)

3 x y x y ìï + = ïí ï - =

ïỵ c)

1 x y x y ìï - = ïí ï + =

ïỵ d)

4 x y x y ìï + = ïí ï - =

ïỵ e)

2 x y y x      

Bài tập Giải hệ pt

a)

3

x y x y       

b)  

5x - 4y =

x + y = 11 c)

3

2 x y y x ìï - = -ïí ï - =

ïỵ d)

2 11

5 3

x y x y      

 e)

3

5 23

x y x y       

Bµi tËp Gi¶i hƯ pt

a)

2 x y x y      

 b)

2

5

x y x y      

 c)

4 15

3 10

x y x y      

 d)

4

2

x y x y      

 e)

2x 3y 3x 4y

 

 

  



Bài tập Giải hệ pt

a)

6

x y x y         b) 10

( 6)( 3) 12

x y

x y xy

 

 

   



c) ( 2)( 1)

( 8)( 2)

x y xy

x y xy

         d) x y x y         

Bài tập Giải hệ pt

a)

4

20 2( 20)

x y x y         

b) 2

2 x y y x         c) 0 x y x y         d) x y xy       e)

2

3 2 x y x y         

II-Dạng : Giai hệ pt p2 đặt n ph :

Bài tập Giải hệ pt

a)

2 18

x y x y         

b)

4,5 x y x y          c) 2 2

5

2 x y x y          d) 2 2

2 18

3 37

x y x y         

Bài tập Giải hệ pt

a) 1 x y x y            b) 1 2 x y x y                c) 1 3

x y x y

x y x y

              

Bài tập Giải hệ ph ơng trình :

1

2 x y a)

2

1 x y

c)              7, 1 1 3 2 5 2 y x x y x x d)                4 1 2 1 5 7 1 1 1 2 y x y x e)                1 2 2 1 x y y x

III-D¹ng : Hệ phơng trình chứa tham số

Bài Cho hÖ pt: 10

6

mx y

x y m

 

 

 



Tìm giá trị m để hệ pt : a)Có nghiệm b)Vơ nghiệm

c)V« sè nghiƯm

Bµi Cho hƯ pt:

4 ( 1)

x my

x m y

 

 

  



Tìm giá trị m để hệ pt : a)Có nghiệm b)Vơ nghiệm

c)Vô số nghiệm

Bài Cho hệ pt:

(3 1)

x ay

a x ay

 

 

  



Tìm giá trị a để hệ pt : a)Có nghiệm b)Vơ nghiệm

c)V« sè nghiƯm

Bµi Cho hƯ pt: ( 1)

4

x m y

mx y        

a) Gi¶i hƯ pt m =

b) Tìm giá trị m để hệ pt có nghiệm (x0; y0) cho x = 2y

Bµi Cho hƯ pt:

2 x ay ax y       

a)Gi¶i hƯ pt a =

b)Tìm giá trị a để hệ pt có nghiệm (x; y) cho x y =1

Bài 6. Cho hệ phơng tr×nh

       2 my x 1 y mx

a.Giải hệ phơng trình theo tham sè m

c.Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m

Bµi Cho hƯ pt:

0 x y x ky

 

 

 



a)Gi¶i hƯ pt k = -1

b)Tìm giá trị k để hệ pt có nghiệm (x; y) cho x = 3y

Bµi Cho hÖ pt:

5 x by bx ay

 

 

 



a)Gi¶i hƯ pt a =2 ; b =

b)Xác định a b để hệ pt có nghiệm : x = 1; y = -

Bµi Cho hƯ pt:

5 x by a bx ay

 

 

 



a)Gi¶i hÖ pt a =1 ; b = -

b)Xác định a b để hệ pt có nghiệm : x = 1; y =

Bµi 10 Cho hƯ pt:

2 x ay ax y

 

 

 



a)Gi¶i hƯ pt a =2

b) Chứng minh hệ pt cho ln có nghiệm b)Xác định a để hệ pt có nghiệm dơng

Bµi 11 Cho hƯ pt:

1

mx y m

x my m

 

 

  



a)Gi¶i hƯ pt m = -1

b)Tìm giá trị m để hệ pt có vơ số nghiệm có nghiệm : x = ; y =

Bµi 12 Cho hÖ pt: ( 1)

2

m x y

mx y m

  

 

 



a) Gi¶i hƯ pt m =

b) Xđ giá trị m để hệ pt có nghiệm : (1 ;-3)

Bµi 13 Cho hÖ pt:

2

x ay

ax y

 

 

 



a)Gi¶i hƯ pt a =

b)Tìm giá trị a để hệ pt có nghiệm : x> 0; y >

Bµi 14 Cho hƯ pt:

3

kx y x ky

 

 

 



b)Tìm giá trị k để hệ pt có nghiệm : x> 0; y <

Bµi 15 Cho hÖ pt:

2

x my

mx y

 

 

 



a)Gi¶i hƯ pt m =2

b)Tìm số ngun m để hệ pt có nghiệm (x;y) mà x> y <

c)Tìm số ngun m để hệ pt có nghiệm (x;y) mà x ; y số ngun

Bµi 16 Cho hƯ pt:

2

x my

mx y

 

 

 



a)Giải hệ pt m =1

b)Giải biện luËn theo tham sè m

c)Tìm số nguyên m để hệ pt có nghiệm (x;y) với x ; y số nguyên

Bµi 17. Cho hệ phơng trình ( 1)

2

m x my m

x y m

   

 

 

a) Giải hệ phơng trình với m =

b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà S = x2+y2 đạt giỏ tr nh nht

Bài 18. Cho hệ phơng tr×nh

2

( 1)

2

m x my m

mx y m

   

 

 

b) Giải hệ phơng trình với m =

b)Tìm tất giá tri m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích p = xy đạt giá trị lớn

Bµi 19. Cho HPT :

9

x my o

mx y m

 

 

  



a) Gi¶i HPT víi m = -2

b) Giải biện luận HPT theo tham số m

c) Tìm m để HPT có nghiệm (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = d) Tìm m để HPT có nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có nghiệm ngun

Chú ý: Việc giải biện luận HPT theo tham số quan trọng Nó giúp ta tìm đợc điều kiện của tham số đề HPt có nghiệm ,VN,VSN

Bài 20. Cho hệ phơng trình:

mx + y = 3

9x + my = 2m + 3

a Giải phơng trình với m = 2, m = -1, m = 5

b Tìm m để phơng trình có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm c Tìm m để 3x + 2y = , 2x + y >

e Tìm m để phơng trình có nghiệm nguyờn õm

Bài 21 Cho hệ phơng trình

         2 y) 1 m ( x m y x) 1 m (

; cã nghiÖm nhÊt (x ; y)

a) Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m; b) Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 - 7y =

c) Tìm giá trị m để biểu thức A =

y x y x

nhận giá trị nguyên.

Bài 22 Cho hệ phơng trình : ( 1)

a x y

a x y a

  

 

 



a) Gi¶i hƯ víi a 2

b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn x + y >

Bài 23. Cho hệ phơng trình mx y x my       

a) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1, y = 3 1

b) Chøng minh hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m

Bµi 24. Cho hệ phơng trình :

    a y x a y x 2 3 3 2

a)T×m a biÕt y=1

b)Tìm a để : x2+y2 =17

Bµi 25 : Cho hệ phơng trình :

    1 3 5 2 y mx y mx

a) Giải hệ phửụng trình m =

b) Giải biện luận hệ phửụng trình theo tham số m c) Tìm m để x – y =

Bµi 26 : Cho hệ ph ơng trình :

      6 4 3 y mx my x

a) Gi¶i hƯ m =

Bµi 27 : Cho hệ ph ơng trình :

 

  

2 5 3 2

y x

a y x

Gọi nghiệm hệ ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ

Bµi 28 : Cho hệ phơng trình

 

 

n y x

ny mx

2

5

a) Gi¶i hÖ m = n =

b) Tìm m , n để hệ cho có nghiệm

  

 

 

1

3

y x

Bµi 29 : Cho hệ ph ơng trình :

  

 

 

5 3

3

my x

y mx

a) Giải hệ phơng trình m =

b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện : 1

3 ) (

2 

   

m m y x

Bµi 30 : Cho hệ ph ơng trình:

 

  

1 2

7

2 y x

y x a

a) Giải hệ phơng trình a =

b)Gọi nghiệm hệ ph ơng trình ( x , y) Tìm giá trị a để x + y =

Chuyờn IV

A.Phân loại ph ơng pháp gi¶i

Loại : Phơng trình bậc ẩn phơng trình đa đợc dạng ax = c Phơng pháp giải: Biến đổi tơng đơng phơng trình dạng : ax = c

-NÕu a kh¸c phơng trình có nghiệm: x = c/a

-Nếu a = phơng trình vô nghiệm c khác , vô số nghiệm c = 0 -NÕu a cha râ ta ph¶i xÐt tÊt trờng hợp (biện luận)

Chỳ ý : Trong trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc –Nếu có mẫu thờng quy đồng khử mẫu

-Nếu mẫu lớn quy đồng tử – Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu -Chỉ đợc nhân ,chia 1số khác

Lo¹i 2; phơng trình bậc 2:

Phng pháp giải : Biến đổi tơng đơng Pt dạng ax2 + bx + c = (1)

-TQ: nÕu a0  = b2 – 4ac

NÕu  = pt (1) cã nghiÖm kÐp

2 b

x x

a

 

NÕu  < pt (1) v« nghiÖm.

NÕu  > pt (1) cã nghiƯm ph©n biƯt:

1,2

2 b x

a

   

’ = b’2 – ac (b = 2b/)

NÕu ’ = pt (1) cã nghiÖm kÐp x1 x2 b

a

 

NÕu ’ < pt (1) v« nghiƯm.

NÕu ’ > pt (1) cã nghiƯm ph©n biƯt:

' 1,2

b x

a

   

- Dạng khuyết c: ax2 + bx = đa dạng phơng trình tích x(ax + b) = 0

- D¹ng khuyÕt b: ax2 + c = đa dạng x2 = m

- NÕu a+ b + c = th× x = ; x = c/a - NÕu a - b + c = th× x =-1 ; x= -c/a - NÕu b = 2b/ th× dïng CTNTG

- Còn lại dùng CTN

B số dạng toán dạng phơng trình bậc

Bài giải pt

a) 2x2 -7x + = 0

b) 3x2 + 7x + = 0

c) 5x2 +3x + = 0

d)

e) 9x2 - 6x + = 0

f) 5x2 - 3x - = 0

Bài giải pt

a) 3x2 -2 3x - = 0 b) x2 (1 + 2)x + 2 = 0 c) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0

d)

e) x2 +( 2 - 1)x - 2 = 0 f) 5x2 - 3x - = 0

dạng phơng trình chứa ẩn mẫu Bài giải pt

a) 2x4 – 7x2 – = 0 b) 9x4 + 6x2 + = 0 c) x4 + 8x2 + 15 = 0

d) 2x4 + 7x2 + = 0 e) x4 – 13x2 + 36 = 0 f) 3x4 – 5x2 – = 0

Dạng 1: PT Chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phơng pháp giải : 1)Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối chứa ẩn 2)Nếu ngồi khơng chứa ẩn đa PT dạng /f(x)/ = m

Chú ý : -Đối chiếu ĐK – dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) /f(x)/ =- f(x)

Dạng 2: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phơng pháp giải: 1) Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối 2) Lập bảng xét dấu xét khoảng giá trị ẩn

Chú ý : -Đối chiếu ĐK – Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0

Dạng 3: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối trở lên : lập bảng xét dấu …hoặc đa HPT

Lo¹i : phơng trình chứa ẩn dấu (PT vô tỉ)

Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm ĐKXĐ

Dạng 1: = g (x) (1) Đây dạng đơn giản ph ơng trình vơ tỉ Sơ đồ cách giải:

= g (x)  g(x)  (2)

f(x) = [g(x)]2 (3)

Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy nghiệm phơng trình (1)

D¹ng 2: §a vÒ PT chøa dÊu // :

-Nếu viết đợc dứa dạng bình phơng đa phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên biến đổi đợc giống đặt ẩn phụ ( ĐK ẩn phụ khơng âm)

D¹ng : Dïng phơng pháp bình phơng vế :

Chỳ ý : Khi bình phơng vế phải lập thức đạt điều kiện vế không âm -Dạng A B  A B m thờng bình phơng 2vế

Loại : Phơng trình chứa ẩn mẫu

Gi¶i PT chøa Èn ë mÉu tríc hÕt ph¶i tìm ĐKXĐ

Phng phỏp gii : 1) Thụng thng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận 2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa phân thức giống nghịch đảo

3) Nhóm hợp lý ( việc QĐ khó khăn có phân thức trở lên)

Loại : Phơng trình bậc cao -Đa Pt tích -Đặt Èn phơ

B.Bµi tËp

a 3x+5 = x-1 h (2x+3)2-(4x-7)(x+5)=0

b 3

4

x x

  i 7(x+4)-3(6-x)=0

e

4 22 2

3 2

2

      

x x x x

x m

2

5

1 2

      

 

 

x x x

x = 6

g x + 7x2 = n x2- 3x + 3 1

  x

x =

p ( 2)2 4

   x

x q 4x2 – =

r

4 x

24 x x x

1 x x

3 x

2

    

  

 t

1 x x



 = 20085 u) =

Phần thứ năm

A.Các dạng tập ph ơng pháp giải Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm

Cã thĨ x¶y tr ờng hợp

-Muốn chứng minh PTB2 có nghiệm , cã nghiƯm pb , v« nghiƯm ta chứng minh

Luôn không âm ,luôn d ơng , âm

-Mun tỡm iu kin PTB2 có nghiệm ,vơ nghiệm ta giải bất ph ơng trỡnh

Dạng ; Tính giá trị biểu thức nghiệm

Phơng pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tỉng ,tÝch nghiƯm theo VIÐT

-Biến đổi biểu thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm

Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn tính bình ph ơng suy -Nếu biểu thức khơng đối xứng dùng

1

ax bx  c ; ax22bx2 c

-NÕu mò lớn nhẩm nghiệm

Ngoài khó cần khéo léo vận dụng linh ho¹t

Dạng : Viết hệ thức liên hệ nghiệm độc lập với tham số

B íc : TÝnh tỉng vµ tÝch nghiƯm theo ViÐt

B íc : Rót tham số từ tổng thay vào tích ng ợc lại

Chú ý : Nếu bậc tham số tổng tích trở lên ta phải khử bậc cao tr ớc bẳng cách nh phơng pháp cộng giải HPT

D¹ng ; Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm

B ớc1 : Tìm §K cã nghiƯm TÝnh tỉng vµ tÝch nghiƯm theo ViÐt

B ớc : Biến đổi tơng đơng hệ thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm Nếu khơng đ -ợc giải hệ ( Hệ thức có bậc )

Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm .- Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn bình phơng ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thành phần

Dạng : Lập ph ơng trình bậc biÕt nghiÖm

Khi lËp PT B2 cần biết nghiệm ẩn

- Muốn lập PTB2 cã nghiƯm x x1, ta lµm nh sau :

TÝnh x1x2 S x x, P Vậy PTB2 cần lập : x2- Sx+ P =0

Dạng6 :Tìm số biết tổng tích :Dủng phơng pháp đa PTB2

Dạng7 :Xét dấu nghiệm PT

Xét phơng tr×nh bËc hai: 0   bx c

ax (a0)

Cã b2 4ac   

P =

a c x x1 2 

S =

a b x x1  2 

Trong nhiều tr ờng hợp ta cần so sánh nghiệm ph ơng trình bậc hai với số cho trớc xét dấu nghiệm ph ơng trình bậc hai mà khơng cần giải ph -ơng trình đó, ta ứng dụng định lí Viét

1 Phơng trình có nghiệm d ơng 

    

 

 

0 0

0

2 Phơng trình có nghiệm âm

    

 

 

0 0

0

S P

3 Phơng trình có nghiệm trái dấu: P0

Nhiều tốn địi hỏi tìm điều kiện để ph ơng trình bậc có nghiệm khơng âm Thờng có cách giải:

C¸ch : Có P 0 ( Trờng hợp có nghiệm d ơng nghiệm không âm) Hoặc P = Trờng hợp tồn nghiệm

Hc:

    

  



0 0 0

S P

Thì hai nghiệm d ơng

C¸ch 2:

Trớc hết phải có 0khi phơng trình có nghiệm khơng âm :

0

S ( Trờng hợp tồn nghiệm d ơng)

Hoặc S = ( Tr ờng hợp tồn nghiệm không âm)

Hoặc S ,0P0 ( Trờng hợp có nghiệm không âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S

Dạng 8: Nghiệm chung ph ơng trình Dạng 9:Hai ph ơng trình t ơng đ ơng

Hc sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm hai ph ơng trình vơ nghiệm th ờng vội kết luận hai ph ơng trình khơng t ơng đơng với nhau:

H ớng dẫn : Hai phơng trình t ơng đơng hai tr ờng hợp

* Tr êng hỵp : PT(1) PT(2) vô nghiệm

      0 0               0 4 4 0 12 8 2 m m m m              2 1 2 3 6 2 m m m (kh«ng x¶y ra)

* Tr ờng hợp : PT(1) PT(2) có nghiệm x1; x2 thì theo định lý Vi-ét ta có:

2 04 2 04 132 . 4 2 21 2 21                m m m mx x mm mx x

Thử lại với m = hai ph ơng trình tơng đơng có nghiệm x = Vậy m =

Với loại toán ta cần l u ý học sinh: Khi hai phơng trình vơ nghiệm hai phơng trình hai ph ơng trình t ơng đơng Cho nên với số toán ta phải xét hai trờng hợp, trờng hợp hai phơng trình vơ nghiệm tr ờng hợp hai phơng trình có tập hợp nghiệm

VD4 : Tìm m, n để ph ơng trình x2 – (m + n)x -3 = (1)

và phơng trình x2 – 2x + 3m – n – = (2) t ơng đơng

H íng dÉn :

PT(1) cã m n2 12 0 m,n    

nên PT(1) có hai nghiệm phân biƯt x1; x2

Do PT(1) PT(2) t ơng đơng hai phơng trình có tập hợp nghiệm nghĩa là:                    1 1 23 2 53 3. 2 21 21 n m nm nm nm xx nmx x

Vậy m =1 n =1 giá trị cần tìm

nghim ging hai nghiệm ph ơng trình áp dụng định lý Vi-ét tổng tích hai nghiệm ta tìm đ ợc m, n

B bµi tËp

Bµi :Cho phơng trình mx2+(2m-1)x+(m-2)=0 Giải phơng trình với m =

2 Tìm m để phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x12+x

22=2006

3 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài : Cho phơng trình (m-1)x2 + 2mx + m = a) Giải phơng trình m =

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 16, tìm nghiệm cũn li

Bài : Cho phơng trình: x2-(m+1)x + m = a) giải phơng trình với m =

a) Tìm m để tổng bình ph ơng nghiệm 17

b) Lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Giải phơng trình tr ờng hợp tổng bình ph ơng nghiệm đạt giá trị nhỏ nht

Bài : Cho phơng trình: x2- 2mx + 2m = a) Giải phơng tr×nh víi m=

a) Tìm m để tổng bình ph ơng nghiệm 10

b) lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m c) Tìm m cho : 2(x12+x

22)- 8x1x2 = 65

Bµi : Cho phơng trình : x2-(2k+1)x +k2 +2 =

a) Tìm k để phơng trình có nghiệm gấp đơi nghiệm a) Tìm k để phơng trình có x12+x

22 nhỏ

Bài6 : Cho phơng trình x2+mx+m-1=0 a) Giải phơng trình với m=3

Bài : Cho phơng trình: x2+( 2m+1 ).x+m2 +m-2=0 a) Giải phơng trình với m=

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với m

c) Gọi x1,x2 nghiệm ph ơng trình TÝnh theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2

Bµi : Cho x2-4x-( m2+2m)=0 a) Giải phơng trình với m=5

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mäi m c) TÝnh x2

1+x22+8( x1x2+1) theo m d) Tìm m để x2

1+x22=5( x1+x2)

Bµi : Cho phơng trình 2x2+6x+m=0

a)Tỡm m để phơng trình có nghiệm phân biệt

b) Xác định m để ph ơng trìnhcó nghiệm thoả mãn

1 2

 

x x x x

Bµi 10 : Cho x2-2( m-1)x +m-3=0

a) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m c) Tìm m để x1-3x2=5

Bài 11 :Cho phơng trình : x2 – (m + 5)x – m + = 0, với m tham số Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn : 2x1 + 3x2 = 13

Bµi 12 : Cho phơng trình: x2 - 2mx + m =

a Giải phơng trình với m = 7, m = - 4, m = 3

b Cm phơng trình có nghiệm phân biệt với m

c Viết hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tính x1 theo x2

d TÝnh theo m: 3

1

1

x +

1

x , 3x

2

1 - 2mx1 + 2x

2

2 + m

e Tính m để phơng trình có nghiệm trái dấu, nghiệm d ơng g Với điều kiện m x1  x2 = ; 2x1 + x2 = ;

(x1 + 3x2)(x2 + 3x1) = ; x

2 - (2m + 1)x2 - x1 + m > h Tìm giá trị lớn A = x, 1(x2 – x1) - x2

2

Bµi 13 : Gäi x

1 ; x2 hai nghiệm ph ơng tr×nh x2 – 2(m- 1)x – =0 ( m lµ tham sè )

Tìm m để x1 + x2 =

Bµi 14 : Cho phơng trình:

x2 3x + = cã nghiÖm x

1, x2 TÝnh:

a x2

1 + x

2

2 d x

5 + x

5

2 h

2

1

x

x  +

1

2

x

x 

b x3 + x

3

2 e x1  x2 i) x1 x2

+ x2 x1 c x4

1 + x

2 g x1 x1 + x2 x2 k x1(2x1- 3) + x 2

Bài 15 Cho phơng trình:

x2 - 2x + m - = 0

* Tìm m để phơng trình : a Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b Có nghiệm x1, x2 thoả mãn:

b

1 (x1 + 3x2)( x2 + 3x1) = b2 3x1 + 5x2 = b

3 x

2

1 + x

2

2 - x1x2 =

* BiÕt phơng trình có nghiệm x

1 = Tìm m x2

Bài 16 Cho phơng tr×nh x2 – (m+4)x + 3m+3 = ( m lµ tham sè)

a Xác định m để ph ơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b Xác định m để ph ơng trình có hai nghiệm x

1 , x2 tho¶ m·n x13 + x23 

Bài 17 Cho phơng trình bậc x.

(m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = (3)

a Chứng minh ph ơng trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị củ m khác -

b- Tìm giá trị m để ph ơng trình có hai nghiệm dấu

c Tìm giá trị m để ph ơng trình có hai nghiệm dấu hai nghiệm có nghiệm gấp ụi nghim

Bài 18 Cho phơng trình : (m2 + 1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0, với m tham số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ : A = x12 +x22 víi x

XÐt hai phơng trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2) a) Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = -

b) Tìm k để phơng trình (2) có nghiệm 2 ?

c) Với giá trị k hai ph ơng trình t ơng đơng ?

Bài 19 Xét hai phơng trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2) a)Giải phơng trình (1) víi k = - 1; k = -

b)Tìm k để phơng trình (2) có nghiệm 2 ?

c)Với giá trị k hai ph ơng trình t ơng đơng ?

Bài 21 : Cho hai phơng trình : x2 (2m + n)x -3m = (1)

x2 – (m + 3n)x - = (2) Tìm m, n để hai ph ơng trình tơng ng

Bài 22: Cho hai phơng trình : x2 +(m + 1)x +1 = (3) x2 + x + m+ = (4)

a) Tìm m để phơng trình (3) có tổng bình ph ơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ b) Tìm m hai phơng trình t ơng đơng

Bài 23: Tìm m để hai phơng trình : x2 + 2x - m = (5)

2x2 + m x + = (6) t ơng đơng Bài 24 : Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + m - =

a) Chứng minh ph ơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m d) Tìm giá trị biểu thức x

1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23 Bµi 25 :

a) Định m để phơng trình mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = có tổng bình ph ơng nghiệm 13

b) Định m để pt mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = có tổng bình ph ơng nghiệm 2005

Bài 26 : Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + = a) Định m để phơng trình có nghiệm

b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d ơng

PhÇn thø s¸u

Bài 1: Hai xe tơ khởi hành lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhanh xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc xe,biết quãng đ ờng Hà Nội –Thanh Hoá dài 150 km

Bài 2: Một xe tải từ A đến B cách 120 km Nửa sau xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm xe tải km/h nên đến B chậm 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc xe ?

Bài 3: Hai bến sông AB cách 80km Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ chạy chậm ô tô thứ hai 4km/h Trên đờng ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ chạy tiếp đến B Tính vận tốc ca nô , biết ca nô thứ đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút

Bài 4: Một ca nơ xi dịng 90km , ngợc dịng 36 km Biết thời gian xi dịng nhiều ngợc dịng vận tốc xi dịng lớn ngợc dịng 6km/h Tính thời gian ca nơ hết qng đờng AB

Bµi 5: Mét tàu thuỷ chạy khúc sông dài 54km Cả ®i lÉn vỊ mÊt giê 15 TÝnh vËn tốc dòng nớc , biết vận tốc riêng tàu nớc yên lặng 21km/h

Bài 6: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A B cách 60km ngợc chiều Sau 1giờ 20 phút gặp Tính vận tốc riêng ca nô , biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ngợc 9km/h vận tốc dòng nớc 3km/h

Bài 7:Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 24km, lúc có bè trơi theo dịng nớc từ A hớng B Sau ca nơ đến B quay trở lại gặp bè trơi đợc 8km Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc bè vận tốc dòng nớc 4km/h

Bài 8: Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian định.Khi đợc nửa quãng đờng xe bị chắn xe hoả phút Vì để đến B hạn xe phải tăng tốc 2km/h qng đờng cịn lại Tính vận tốc dự định

Bài 9:Một xe tải xe khởi hành từ C đến D Xe tải với vận tốc 30km/h, xe với vận tốc 45km/h Sau đợc 3/4 quãng đờng CD, xe tăng vận tốc thêm 5km/h qng đờng cịn lại đến D sớm xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD

Bài 10: Một ngời xe đạp dự định hết quãng đờng AB dài 20km thời gian định Nhng thực tế , sau đợc với vận tốc dự định, ngời giảm vận tốc 2km/h quãng đ-ờng lại Vì đến B chậm dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định thời gian lăn bánh đờng

Bài 11:Một ô tô dự định hết quãng đờng AB dài 150 km thời gian định Sau đợc , ngời lái xe định tăng tốc thêm 2km/h quãng đờng cịn lại Do đến B sớm dự kiến 30 phút Tính vận tốc tơ đoạn đờng đầu ?

Bài 12: Một ngời dự định xe đạp từ A đến B cách 36 km thời gian định.Sau đợc nửa quãng đờng , ngời dừng lại nghỉ 30 phút Vì quãng đờng lại tăng tốc thêm 2km/h song đến đến B chậm dự kiến 12phút Tính vận tốc ngời xe đạp đoạn đờng cuối đoạn AB

Bài 13: Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B cách 120 km Cùng lúc có xe máy chạy từ B trở A gặp xe ô tô tỉnh C cách hai điểm khởi hành 75km Tính vận tốc xe ,biết vận tốc hai xe không đổi xe máy khởi hành trớc tơ 48 phút gặp quãng đờng

Bài 14: Một ô tô từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng 20km/h so với dự định thời gian đến B giảm 1giờ, nh ng vận tốc giảm 10km/h thời gian đến B tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định ô tô

bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, cách bến A 36 km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước

Bài 16: Theo dự kiến , công nhân dự định làm 70 sản phẩm thời gian định Nhng thực tế , áp dụng khoa học kỹ thuật nên tăng suất sản phẩm Do khơng hồn thành trớc thời hạn 40 phút mà vợt mức 10 sản phẩm Tính suất dự kiến

Bài 17: Một cơng nhân dự định làm 33 sản phẩm thời gian định Trớc làm việc xí nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm Do ngời làm tăng sản phẩm song hoàn thành chậm dự kiến 30 phút Tính suất dự kiến

Bài 18: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc 1/3 thể tích bể chứa , ngời cơng nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất lớn 5m3 so với ban đầu Do , so với qui định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa

Bài 19: Một xí nghiệp giao cho cơng nhân làm 120 sản phẩm thời gian qui định Sau làm đợc , ngời cải tiến kỹ thuật nên tăng đợc 4sản phẩm/ so với dự kiến Vì thời gian qui định khơng hồn thành kế hoạch mà cịn vợt mức 16 sản phẩm Tính suất làm lúc đầu

Bài 20: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm thời gian định.Sau đợc nửa số l-ợng đợc giao , ngời dừng lại nghỉ 30 phút Vì làm thêm sản phẩm với nửa số sản phẩm cịn lại song hồn thành cơng việc chậm dự kiến 12phút Tính suất dự kiến

Bài 21:Hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy 15 phút khố lại, mở tiếp vịi thứ hai chảy 20 phút đợc 20% bể Hỏi để vịi chảy sau bể đầy

Bài 22:Hai vịi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 40 phút đầy bể Tính xem để vịi chảy vịi cần bao lâu, biết để chảy đầy bể vòi thứ cần nhiều vòi thứ hai gi

Bài 23:Hai công nhân làm công việc sau ngày hoàn thành Biết làm xong việc ngời thứ làm nhanh ngời thứ hai ngày Tính thời gian ngời làm xong công việc trªn

Bài 24: Trong buổi liên hoan, lớp học sinh mời 15 khách tới dự Vì lớp có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải xếp thêm ngời đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có dãy ghế, biết dãy có số ngời ngồi nh khơng q ngời

Bài 25:Trong trang sách thêm dịng dịng bớt 1chữ số chữ trang tăng thêm chữ Nhng bớt dịng dịng thêm chữ số chữ trang khơng thay đổi Tính số chữ , số dòng trang sách lúc đầu

Bài 26: Theo dự kiến, đội xe đự định điều động số lợng xe để chuyên chở 420 hàng Nhng thực tế đội điêù động thêm xe Do xe chuyên chở ban đầu so với dự kiến Tính số lợng xe mà đội điều động chuyên chở

Bài 27:Tổng chữ số hàng đơn vị hai lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 10 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục hàng đơn vị cho đợc số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số có hai chữ số

Bài 28:Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m Ngời ta làm lối xung quanh vờn thuộc đất vờn rộng 2m , diện tích đất cịn lại để trồng trọt 4256m2 Tính kích thớc vờn

các đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy.Tính chiều rộng đoạn đờng biết diện tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình thang

Bài 30 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định. Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ?

Bài 31 : Hai ôtô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trước ơtơ thứ hai 2/5 Tính vận tốc ôtô ?

Bài 32 : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sông B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô

Bài 33 :Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau giờ làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc ?

Bài 34 : Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 7/4 chiều rộng có diện tích 1792m2 Tính chu vi khu vườn

PhÇn thø bảy

Bài1- Cho hàm số y = x

2

a Vẽ đồ thị hàm s

b Tính giá trị hàm số x = 2 + 3

c Các điểm A(- 1; -

2

1 ), B(4;8) , C(

2;1) có thuộc đồ thị hàm số khơng?

d M, N điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ 2, -

Viết phơng trình đờng thẳng MN

ở đời có ba điều đáng tiếc:Một hôm bỏ qua ,

e Tìm giao điểm đ ờng thẳng y = x + với đồ thị hàm số

g Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (3; 4) tiếp xúc với đồ thị hàm

sè trªn

h Chứng minh đờng thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số với

m Gọi giao điểm A, B Tìm m để:

x2

A + x

2

B - xAxB = - ; xA + xB = k Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đơi hồnh độ

Bµi2 : Cho hµm sè f(x) = x2 - x +2

a Tính giá trị hàm số x =

2

1 x = -3

b Tìm giá trị x f(x) = f(x) = 14

Bài : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2/2 (P) : đường thẳng (D) : y = 3x

một hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính

Bµi :Cho y  m 5 2.x2  



a) Vẽ đồ thị hàm số với m=6

b) Tìm m để hàm số đồng biến với x<0

c) Tìm m để đồ thị hàm số qua A( -2:12)

Bài Cho ( P): y=-x2 Đờng thẳng y =m cắt ( P) A; B Tìm m để tam giác AOB tính diện tích tam giác ABO

Bµi : Cho Parabol ( P) :

x

y  đờng thẳng(d): 2

 

 x

y

a) Vẽ ( P) ( d) hệ trục to

b) Gọi A, B giao điểm ( P) ( d) Tìm M cung AB cña ( P) cho SM A B lớn

c) Tìm N trục hoành cho NA+NB nhá nhÊt

Bài : Cho Parabol ( P): y=3x2 hệ trục toạ độ Oxy Tìm m để đ ờng thẳng y=x+m cắt ( P’) hai điểm phân biệt A, B cho OA vng góc với OB

Bµi : Cho Parabol y = 2

x

 vµ ®iÓm M(1, -2)

b Gọi xA, xB lần lợt hoành độ A B, xác định k để 2 2 ( )

B A B A B

A x x x x x

x    đạt

giá trị lớn Tìm giá trị

Bi : Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2/4 (P) đường thẳng (D) : y = 2x +

một hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính

Bµi 10 : Cho hµm sè y = ax2 (1)

a) Xác định a biết đồ thị (1) qua điểm A ;2 2

b) Vẽ đồ thị hàm só (1) với a vừa tìm đ ợc

c) T×m giá trị lớn hàm số x [ - ; ] ; x  [ ; ] d) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số x  [ - ; ] Bµi 11 : Cho hai hµm sè

y x vµ y 2x 2

  

a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị

Bài 12** : Tam giác AOB nội tiếp parabol y = ax2 đỉnh O gốc tọa độ đáy AB song song với trục Ox, A B nằm parabol Hãy tính tung độ điểm B Bài 13 : Cho đờng thẳng (d): y = k(x - 1) parabol (P): y =

x

Với giá trị k th× (d):

a) TiÕp xóc víi (P)

b) Cắt (P) điểm có tung độ hồnh độ d ơng Tìm tọa độ giao điểm (P) (d)

KHI CHøNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT

Và PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN A.Khai thác gi¶ thiÕt

-Khi chứng minh Hình cần khai thác điều có đ ợc từ đầu ,những điều đã chứng minh đợc.Đặc biệt cần ý điều sau:

I.NÕu cã ®iĨm thc ® êng tròn nghĩ tới

1, Các bán kính 2, Tø gi¸c néi tiÕp

3,Các góc với đờng trịn.Đặc biệt có đ ờng kính có góc vng

II NÕu cã Tø gi¸c néi tiÕp th× nghÜ tíi

1,Các góc đối bù

2, cặp góc nội tiếp nhau(nếu nối đờng chéo)

3, Góc góc ngồi đỉnh đối( Phải chứng minh) 4, Điểm thuộc đờng trịn

5, Bài tốn “Phơng tích” ( Nếu có giao điểm đ ờng chéo cạnh đối)

III NÕu cã TiÕp tun th× nghÜ tíi

1,Các tính chất Vng góc , cách , phân giác 2, Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

IV Quan hệ Góc - Cung – Dây – Khoảng cách từ tâm đến dây

V Nếu có tam giác cân, tam giác , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình vuụngthỡ ngh ti

Tính chất hình

VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông th× nghÜ tíi

định lý Pi ta go hệ thức l ợng tam giác vuông

VII.Nếu có đ ờng thẳng song song nghĩ tới

Định lý Ta Lét cặp góc So le , Đồng vị

VIII.Nếu có đ ờng phân giác , đ ờng trung tuyến , ® êng cao , trung trùc cđa tam giác nghĩ tới tính chất chúng

B.phân tích lên từ kết luận(Dựa vào phép chứng minh)

I - Chøng minh c¸c yÕu tè b»ng

1 Chøng minh hai gãc b»ng

C1 Thờng CM chúng hai góc t ơng ứng hai tam giác đồng dạng

C2/ Nếu hai góc tam giác thờng CM chúng hai góc đáy tam giác cân.

C3/ Nếu hai góc đối tứ giác ta thờng CM tứ giác hình bình hành.

C4/ NÕu lµ hai gãc kỊ tứ giác thờng CM tứ giác hình thang c©n.

C6/ Nếu hai góc So le trong đồng vị thờng chứng minh hai đờng thẳng song song.

C8/ Ngoài ta sử dụng: hai góc có số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân giác, hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh tơng ứng vng góc hay song song,…

*Chó ý: NÕu kh«ng chứng minh đ ợc trực tiếp Ta nghĩ tới viƯc sư dơng gãc thø 3 lµm trung gian ( CM chóng cïng b»ng , cïng bï ,cïng phơ víi gãc .Hay gãc cïng b»ng tỉng ,hiƯu cña hai gãc b»ng nhau.)

2 Chøng minh hai đoạn thẳng

C1/ Thông thờng gắn vào hai cạnh t ơng ứng hai tam giác nhau.

C2/ CM hai cạnh bên tam giác cân hình thang cân.

C3/ CM hai cạnh đối hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vng)

C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đờng trung tuyến, đ ờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến

C5/ Sử dụng định lí thuận đảo đờng trung bình tam giác, hình thang.

C6/ Nếu đờng chéo tứ giác th ờng CM tứ giác Hình thang cân, HCN, HV

C7/ Nếu dây cung đờng tròn thờng chuyển dây , góc , kc đến tâm t-ơng ứng

*Chú ý : Ngồi ta chứng minh cách: + Biến đổi đại số on thng bng

+ Chứng minh hai đoạn thẳng có số đo + Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng

II-Chứng minh hai đ ờng thẳng song song hai đ ờng thẳng vuông gãc

1 Chứng minh hai đờng thẳng song song

C1/CM song song vng góc với đờng thẳng thứ ba C2/ CM cặp góc SLT đv bằng nhau , cặp TCP bù nhau.

C3/ Nếu cạnh tứ giác th ờng CM tứ giác Hình bình hành

C4/ Nếu có đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo định lí Talét.

C5/ Nếu có nhiều trung điểm thờng dùng đờng trung bình tam giác , hình thang

2 Chứng minh hai đờng thẳng vng góc

C1/ Chứng minh chúng hai tia phân giác hai góc kề bù hay hai đờng thẳng cắt tạo góc 900

C2/ Sử dụng tính chất đồng qui ba đờng cao tam giác Sử dụng tính chất

đờng cao ứng với cạnh đáy tam giác cân đờng trung trực.

C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đ ờng trịn Đờng kính đờng trịn qua trung điểm dây cung hay tính chất tiếp tuyến

C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo định lí Pytago.

C5/ Nếu 2 đờng chéo tứ giác th ờng chứng minh tứ giác hình thoi

III - chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đ ờng thẳng đồng qui

1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( Cùng thuộc đờng thẳng )

CÇn chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :

C1/ AB + BC = AC (hc AC + CB = AB, BA + AC = BC) C2/ Chøng minh gãc ABC = 1800

C3/ CM: AB, AC cùng song song với đờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc

cùng vng góc với đờng thẳng

C4/ Dùng tính chất: Trung điểm đờng chéo đầu đ ờng chéo kia hình bình hành thẳng hàng Đờng kính qua tâm.

2 Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui

C1/ Chứng minh đ ờng thẳng thứ ba qua giao ®iĨm cđa hai ® êng th¼ng

C2/ Sử dụng tính chất đ ờng thẳng đồng qui tam giác: đ ờng cao đồng qui,

3 đờng trung tuyến đồng qui, đ ờng phân giác đồng qui, đ ờng trung trực đồng qui

C3/ Dùng tính chất : Các đờng kính đồng quy tâm Các đờng chéo những hình bình hành có chung đờng chéo đồng quy

C4/ Đa chứng minh ba điểm thẳng hàng

IV - chứng minh hình

1 Chứng minh tam giác cân

C1/ CM tam giác có hai gãc b»ng nhau.

C2/ CM tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau.

C3/ CM tam giác có một đờng qua đỉnh đồng thời đ ờng khác tam giác

2 Chứng minh tam giác

C1/ CM tam gi¸c cã ba cạnh nhau.

C2/ CM tam giác có hai gãc b»ng 600.hc gãc b»ng nhau.

C3/ CM tam giác cân có góc 600.hoặc cạnh bên bng cnh ỏy.

3 Chứng minh tam giác vuông

C1/ Sử dụng định lí đảo định lí Pytago (nếu có độ dài) C2/ CM tam giác có góc 900.

C3/ CM tam giác có đờng trung tuyến 1/2 cạnh t ơng ứng

4 Chứng minh đờng thẳng đặc biệt

Để chứng minh đờng thẳng là: Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến, đờng trung trực, đờng trung bình, tam giác Ta chứng minh:

C1/ Sử dụng tính chất đồng qui đờng tam giác C2/ Sử dụng tính chất đ ờng ấy:

VÝ dô :

+ Điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng thuộc đ ờng trung trực đoạn thẳng

Iv - Chøng minh tø gi¸c néi tiếp đ ờng tròn

C1/ CM bn nh cựng cách một điểm (gọi tâm đ ờng trịn) C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối 1800.

C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh tạo hai đỉnh cịn lại d ới hai góc bằng nhau.

C4/ CM tứ giác có tổng góc đối nhau

C5/Cm góc góc ngồi đỉnh đối.

C6/CM tø giác hình chữ nhật hình thang cân

C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đờng trịn đờng kính đoạn thẳng nối điểm lại

Chú ý : Nếu CM điểm trở lên thuộc đ ờng tròn Ta chọn ba điểm cố định chon điểm thứ 4, sau CM điểm thuộc đ ờng trịn Sau CM t -ơng tự với điểm lại

VI-chøn g h hÖ thøc , tØ lÖ thøc

C1/ Gắn vào tam giác đồng dạng

C2/ Nếu có đờng thẳng song song thờng dùng định lý Ta Lét

C3/Nếu có góc vng thờng dùng hệ thức l ợng tam giác vng C4/ Nếu có phân giác th ờng dùng tính chất đờng phân giác

Chú ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp dùng tính chất bắc cầu

VII-Chứn g h đ ờn g thẳn g tiếp tuyến đ ờn g tròn

C1/ Chng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đầu thuộc đ ờng tròn C2/ Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng bán kính

VIII-các tr ờng hợp đồng dạng tam giác.

A)B»ng nhau: c c c ; c g.c ; g.c.g B)Đồng dạng : g g ; c.c.c ; c.g.c

IX-Khi giải tập tính toán cần ghi nhớ 1.Công thức tính chu vi diện tích h×nh

2.Diện tích tam giác tam giác cân có góc 1200

3.Hệ thức lợng tam giác vuông ( định lý Pi- ta – go) tỉ số l ợng giác ca gúc nhn

X-Khi giải toán quỹ tích

(Thờng cho dới dạng Khi điểm chuyển động điểm ? di chuyển đ“ ờng nào chứng minh điểm ? di chuyển đ ờng tròn cung tròn hay đ ờng thẳng

cố định )”

4 Cách đờng thẳng cố định khoảng không đổi đ ờng thẳng song song ( vng góc)

5 Cách điểm cố định đ ờng trung trực đoạn thẳng Cách cạnh góc cố định tia phận giác cuả góc

Chú ý : Quỹ tích ( cịn gọi tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định XI-Khi giải toán giá tr ln nht ,nh nht

trong hình học cần ghi nhớ:

1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn cạnh góc vuông 2.Trong hình thang vuông cạnh xiên lớn cạnh vuông

C.Một số dạng hình bản

I,T mt im nm nghoi (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến II,Đa giác nội tiếp đ ờng tròn (Đờng tròn ngoại tiếp) III, Hai đờng tròn cắt

IV,Hai đờng tròn tiếp xúc V, Nửa đờng tròn

VI,Đờng tròn nội tiếp Đa giác VII,Khơng có đờng trịn

BµI tËp

Dạng : Từ điểm ngồi đ ờng trịn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đ ờng tròn Bài : Từ điểm M nằm (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD

a) Chøng minh MA.MB = MC.MD

b) AD cắt BC N Chứng minh NA.ND = NB.NC

c) KỴ tiÕp tun MP Chøng minh MP2 = MA.MB = MC.MD

Bµi ( Đề năm 02-03)

Cho ng trũn tõm O M điểm ngồi đ ờng trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (Q, P hai tiếp điểm) cát tuyến cắt đ ờng trịn A B

a Gäi I lµ trung ®iĨm AB Chøng minh ®iĨm P, Q, O, I nằm đ ờng tròn b PQ cắt AB t¹i E Chøng minh MP = ME MI

c Qua A kẻ đờng thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần l ợt H,K.Chứng minh Tứ giác AHIQ nội tiếp KB = HI

Chøng minh : a) MECF ,MHFK tứ giác nội tiếp b) MF2 = MD.ME

b) MF vu«ng gãc víi HK

c) DF tiếp tuyến đ ờng trịn đờng kính MC

Bµi 4: Cho tam giác ABC cân A Đ ờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần lợt B,C.Qua C kẻ đ ờng thẳng song song với AB cắt (O) D AD cắt (O) E Chøng minh: a) AE.AD = OA2 – OD2

b)CE cắt AB G Chứng minh : GA2 = GE.GC

c) Chøng minh : GA= GB

Bµi : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB cát tuyến MCD .Tia phân giác góc CAD cắt CD I Chứng minh

a) MI = MA

b) BI tia phân giác góc CBD

Bài : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD Tiếp tuyến với (O) C,D cắt A.Gọi H hình chiếu A OM Chứng minh:

a) điểm C,D,O,A,H thuộc đ ờng tròn b) MH.MO = MC.MD

c) KỴ tiÕp tun MB

Chứng minh MH.MO = MB2 Từ H cố định

d)* A,H,B thẳng hàng e)*AH cắt (O) E Cm ME lµ tiÕp tun cđa (O)

Bài : cho (O) đờng thẳng d cắt (O)

Tại A,B M thuộc đ ờng thẳng d nằm (O) Kẻ tiếp tuyến MC,MD Chứng minh: a)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác

Bài : Cho đường tròn (O) có bán kính R điểm S ngồi đường tròn (O) Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) hai điểm M, N với M nằm hai điểm S N (đường thẳng a không qua tâm O)

a) Chứng minh SO vuông góc với AB

b) Gọi H giao điểm SO AB, gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt điểm E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh OI.OE = R2

d) Cho biết SO = 2R MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R

Dang2 : Đa giác nội tiếp đ ờng tròn

Bi 9: (đề 06-07) Tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn đờng kính AD Hai đ ờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đ ờng thẳng CF cắt đ -ờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh

a) CEFD tứ giác nội tiếp

b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD

Bµi 10: Cho tam giác PQR nội tiếp đ ờng tròn tâm O, đ ờng phân giác góc P cắt cạnh QR D đ ờng tròn ngoại tiếp I

a)Chứng minh OI vng góc với cạnh QR b)Chứng minh đẳng thức QI2 = PI.DI

c)Gäi H hình chiếu vuông góc P cạnh QR Cm QPˆ H = RPˆ O

d)Chøng minh gãc HPˆ O = |Q - R|

Bµi11: Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đ ờng tròn tâm O, kẻ đ ờng kính AD a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật

b) Gäi M vµ N thø tù lµ hình chiếu vuông góc B, C AD; AH đ ờng cao tam giác (H cạnh BC) Chứng minh HM vuông góc với cạnh AC

c) Xác định tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam giỏc MHN

d) Gọi bán kính đ ờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC lµ r vµ R Chøng minh : r + R  AB.AC

Bài 12 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đ ờng cao AH Kẻ đờng kính AD Chứng minh: a) AB.AC = AH.AD

Bài 13 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O) Tia phân giác góc B , C cắt E cắt (O) lần l ợt F,D Chứng minh:

a) AD // BF

b) Tứ giác ADEF hình thoi c) Qua E kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB G Chứng minh tứ giác BEGD nội tiếp DF cắt AC H Chứng minh

H thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF

Bài 14 : Cho ABC nhọn, nội tiếp đ ờng tròn tâm O Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đ ờng tròn, chúng cắt D Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ ờng tròn E, F cắt AC I

a) Chøng minh gãc DOC b»ng gãc BAC

b) Chøng minh ®iĨm O, I, D, C n»m đ ờng tròn c) Chứng minh IE=IF

d) Chứng minh ID phân giác góc BIC

e) Cho B,C cố định , A chuyển động cung BC lớn I di chuyển đờng no ?

Bài15 :Cho tam giác ABC nội tiếp đ ờng tròn(O) D,E điểm cung AB, AC DE cắt AB AC H,K

a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân

b) BE cắt CD I, Chứng minh AI vu«ng gãc víi DE c) Chøng minh r»ng:CEKI néi tiÕp

d) Chøng minh r»ng IK//AB

e) tam gi¸c ABC có thêm điều kiện ? AI//EC

Bài 16 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng tròn P điểm cung AB( phần không chứa C,D) Hai PC, PD lần l ợt cắt dây AB E F Các dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC,PD kéo dài cắt t¹i K Chøng minhr»ng:

a) Gãc CID b»ng góc CKD b) Tứ giác CDEF nội tiếp đ ợc c) PC.PE = PD.F

e) IK//AB

f) PA tiếp tuyến đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD

Bi 17 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đ ờng trịn (O) Tiếp tuyến C với đờng tròn cắt AB,AD kéo dài lần l ợt E F

a) Chứng minh AB.AE=AD.AF hai ph ơng pháp

b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AM vuông góc với BD

c) Tiếp tuyến B D với đ ờng tròn (O) cắt EF lần l ợt I, J Chứng minh I J lần lợt trung điểm CE CF

d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn dây AD cung nhỏ AD, biết AB=6 AD=6 3

Bài 18 :Cho tứ giác ABCD nội tiếp đ ờng trịn đờng kính BD(AC cắt BO) Kéo dài AB DC cắt E;CB DA cắt F

a) Chøng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đ ờng vuông gãc lµ G) b) Chøng minh BCGF , ABGF néi tiÕp

c) Chøng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG

d) Chứng minh B tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác ACG e) Cho góc ABC 1350, tính độ dài AC theo BD

Bài 19 :Cho tam giácABC cân A( góc A<900) nội tiếp đờng trịn (O) Một điểm M tuỳ ý cung nhỏ AC Tia Bx vng góc với AM cắt tia CM D Chứng minh rằng:

a) Gãc AMD b»ng gãc ABC b) Tam giác BMD cân

c) Khi M di động cung nhỏ AC D chạy cung trịn cố định độ lớn góc BDC khụng i

Dạng : Hai đ ờng tròn cắt nhau

Bi20( 03-04)Cho hai đ ờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đ ờng tròn O1, O2 thứ tự C, D Đ ờng thẳng CE đ ờng thẳng DF cắt I

1 Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD

2 Chứng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF

a)Chứng minh A, O1, C thẳng hàng AD qua O2

b) Gọi K giao điểm đ ờng thẳng CE FD .Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp K thuộc đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

c) Khi E di chuyển cung BC K di chuyển đ ờng

Bi 22 : Cho tam giác ABC vng A Đ ờng trịn tâm I đờng kính AB cắt đờng trịn tâm K đ ờng kính AC điểm thứ hai H .Qua A kẻ cát tuyến EF ( E thuộc (I) Gọi M trung điểm EF ,N trung điểm BC Chng minh

a) B,H,C thẳng hàng

b) ®iĨm A , I , H , N , K, M thuộc đ ờng tròn c) AB tiÕp tun cđa (K) vµ AC lµ tiÕp tun cđa (I)

d) Khi EF quay quanh A M di chuyển đ ờng tròn cố định e) Hỏi vị trí cát tuyến EF có độ dài lớn

D¹ng : Hai đ ờng tròn tiếp xúc ngoài

Bài 23: Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A Gọi BC lµ mét tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë OI cắt (O) D cắt (I) E Chøng minh

a) A , B , C cïng thc mét ® êng

b) B thuộc đờng trịn nội tiếp tam giác CDE

c) OI tiếp tuyến đ ờng trịn đờng kính BC ng ợc lại

d) Cho R=6 cm ; r =2 cm tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC với cung AB, AC

Bi 24: Cho (O) (P) tiếp xúc A Đ ờng thẳng OP cắt (O) , (P) lần l ợt B,C .Tiếp tuyến chung MN ( M thuộc (O) ) cắt tiếp tuyến chung A I .Chứng minh: a) I thuộc đ ờng tròn đờng kính OP

b) MN2 = OA.PN

c) BM vuông góc với CN

d) AM cắt (O) E AN cắt (P) F chứng minh : BC2 = ME2 + NF2

Bài 25 : Hai đờng tròn (O; R) (O’;r) tiếp xúc điểm A (R > r) Gọi BC tiếp tuyến chung

(B  (O) ; C (O) M trung điểm OO, H hình chiÕu cđa M trªn BC a) TÝnh gãc OHO’

b) Chứng minh OH tia phân giác góc AOB

c) Chứng minh AH tiếp tuyến chung hai đ ờng tròn (O) (O’) d) Cho R = cm ; r = cm Tính độ dài BC ; AM

Bài 26 : Cho hai đờng trịn (O1),(O2) tiếp xúc ngồi A Một đ ờng thẳng (d) tiếp xúc với (O1),(O2) lần lợt B, C

a) Chøng minh tam giác ABC vuông

b) Gi M l trung điểm BC Chứng minh AM tia tiếp tuyến chung hai đờng tròn

d) Các tia BA, CA lần l ợt cắt (O1),(O2) giao điểm thứ hai D, E Chứng minh diƯn tÝch tam gi¸cADE b»ng diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Dạng : Nửa đ ờng tròn

Bài 27: Cho M thuộc nửa đ ờng trịn tâm O đờng kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By .Tiếp tuyến M cắt Ax , By lần l ợt C ,D .Các đờng thẳng AD, BC cắt N Chứng minh : a) CD - AC = BD b) Tam giác CDO vuông

c) MN // AC d) CD.MN = CM.DB e) Xác định vị trí M để Diện tích đ -ờng trịn đ-ờng kính CD nhỏ

g) MN cắt AB H Chứng minh : MN = NH

Bài 28 : Cho C thuộc nửa đ ờng trịn đờng kính AB I điểm cung AC AI cắt BC M Chứng minh : a) MI.MA = MC.MB b) tam giác ABM cân

c) AC cắt BI H ,MH cắt AB N .Chứng minh H tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác NIC d) Gọi K điểm đối xứng với H qua I Chứng minh KA tiếp tuyến đờng trịn đờng kính AB

Bài 29 :Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý nửa đ ờng tròn

(D  A vµ D  B) Dùng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vuông góc với đ ờng thẳng AC M từ B kẻ BN vuông góc với đ ờng thẳng AC N

a Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm đ ờng tròn b Chứng minhAD ND = BN DC

c T×m vị trí D nửa đ ờng tròn cho BN AC lín nhÊt

Bài 30 : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D

1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường trịn 2) Chứng minh ΔMNK cân

3) Tính diện tích ΔABD K trung điểm đoạn thẳng CI

4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm đường thẳng cố định

Bài 31 : Cho nửa đờng tròn tâm O, đ ờng kính AB=2R điểm M nằm nửa đờng trịn (M khác A B) Đ ờng thẳng d tiếp xúc với nửa đ ờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I.D ờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đ ờng thẳng d C D (D nằm góc BOM)

b) Chứng minh CA DB vuông góc với AB c) Chøng minh AC.BD=R2

d) Tìm vị trí M nửa đ ờng trịn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị ú theo R

Các khác

Bi 32 : Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm M di động đ ờng tròn Gọi N điểm đối xứng với A qua M, P giao điểm thứ hai đ ờng thẳng BN với đ ờng tròn (O); Q.R giao điểm đ ờng thẳng BM lần l ợt với AP tiếp tuyến A đờng tròn (O)

a) Chứng minh điểm N luôn nằm đ ờng tròn cố định tiếp xúc với đờng tròn (O) Xác định tâm BK đ ờng trịn

b) Chứng minh RN tiếp tuyến đ ờng tròn (B;AB) c) Tứ giác ARNQ hình ? T¹i ?

Bài 33 : Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Dây CD khơng qua O vng góc với AB H Dây CA cắt đ ờng trịn đờng kính AH E đ ờng trịn đờng kính BH cắt dây CB F Chứng minh rng :

a) CEHF hình chữ nhật

b) EF tiếp tuyến chung đ ờng trịn đờng kính AH đờng kính BH c)

2 2

1 1

CB CA EF

Bài 34 Cho tam giác vuông ABC ( C = 900), O trung điểm AB D điểm cạnh AB ( D kh«ng trïng víi A, O, B ) Gäi I J thứ tự tâm đ ờng ngoại tiếp tam giác ACD BCD

1 Chứng minh OI song song víi BC

2 Chøng minh điểm I, J, O, D nằm đ ờng tròn

3 Chứng minh CD phân giác góc ACB OI = OJ

Bài 35 : Cho tam giác vuông MNP ( M = 900), Đờng cao MH (H cạnh NP) Đ -ờng tròn đ-ờng kính MH cắt cạnh MN A cắt cạnh MP B

1) Chứng minh AB đ ờng kính đờng trịn đờng kính MH 2) Chứng minh tứ giác NABP tứ giác nội tiếp

3) Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AB cắt cạnh NP I Chứng minh IN = IP

Bài36: Cho tam giác vuông ABC (AC > AB, Aˆ = 900) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm đ ờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần l -ợt M , N , P

1 Chøng minh tứ giác AMIP hình vuông

3* Đờng thẳng BI CI kéo dài cắt AC , AB lần l ợt E F Chứng minh BE CF = BI CI

B i 37à :Cho đờng tròn tâm(O) AB dây cố định đ ờng trịn khơng qua tâm M điểm dây cung lớn AB cho tam giác MAB tam giác nhọn Gọi D C thứ tự điểm cung nhỏ MA, MB, đ ờng thẳng AC cắt đ ờng thẳng BD I, đ ờng thẳng CD cắt cạnh MA MB thứ tự P, Q

1 Chøng minh tam giác ADI tam giác cân Chứng minh tứ giác ADPI tứ giác nội tiếp Chøng minh PI = MQ

4 Đờng thẳng MI cắt đ ờng tròn N Khi M chuyển động cung lớn AB trung điểm MN chuyển động đ ờng

Bài 38 Cho điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy) Gọi (O) đ ờng tròn qua B C Từ A vẽ tiếp tuyến AE AF với đ ờng tròn (O) ( E F tiếp điểm ) Gọi I trung điểm BC

a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F

b) Đờng thẳng FI cắt đ ờng tròn (O) G Chứng minh EG // AB c) Nối EF cắt AC K, Chøng minh AK AI = AB AC

B i39:à Cho đờng tròn(O;R) dây AC cố định không qua tâm B điểm đờng trịn (O;R) ( B khơng trùng với A C).Kẻ đ ờng kính BB , Gọi H

trùc t©m cđa cđa tam gi¸c ABC 1) Chøng minh AH//BC

2) Chøng minh r»ng HB®i qua trung ®iĨm cđa AC

3) Khi điểm B chạy đ ờng tròn (0; R) (B không trùng vớiA C) Chứng minh điểm H ln nằm đ ờng trịn cố định

Bài 40 : Cho đờng tròn tâm O, bán kính OA=R Vẽ dây BC vng góc với OA trung điểm H OA

a) Tø giác ABOC hình ?

b) Gi K điểm đối xứng với O qua A Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp KB,KC tiếp tuyến ca (O)

c) Tam giác KBC tam giác g×?

d) Trực tâm tam giác ABC điểm hình vẽ ? e) Tính độ dài BC

f) Tính diện tích phần trung hình tròn(O;R) hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC

a) Chøng minh r»ng Tø gi¸c CPOK néi tiÕp

b) Chøng minh r»ng: C,P, I, O, K nằm đ ờng tròn

c) Chng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy CP2=CB.CA d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R

e) Giả sử PA//CK Chứng minh tia đối tia BK phân giác góc CBP

Bài 42 : Cho đờng trịn (O;R) đ ờng kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đ ờng tròn M

a) Chøng minh APMO néi tiếp b) Chứng minh BM//OP

c) Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành

d) Chứng minh PNMO hình thang cân

e) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I, PN OM kéo dài cắt J Chứng minhI, J, K thẳng hàng

Bài 43 : Cho đoạn AB M nằm A.B Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMCD, MBEF AF cắt BC N

a)Chøng minh r»ng:AF vu«ng gãc víi BC,suy N nằm hai đ ờng tròn ngoại tiếp AMCD, MBEF

b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng MN vu«ng gãc víi DE

c)Cho AB cố định M di động Chứng minh:MN qua điểm cố định,

Bài 44 :Cho đờng trịn (O) đờng kính AB=2R điểm M di động nửa đ -ờng tròn Ng ời ta vẽ đ -ờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đ -ờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đ ờng cắt MA, MB lần l ợt điểm thứ hai C, D

a) Chøng minh CD//AB

b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đ ờng thẳng MN qua điểm K cố định

c) Chứng minh:tích KM.KN khơng đổi

d) Gọi giao điểm tia CN,DN với KB,KA lần l ợt C,,D,.Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC,D, đạt giá trị nhỏ

Bài 45 :Cho tam giác ABC vuông A Đ ờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB,AC, lần l ợt E,F

b) Chøng minhAE.AB=AF.AC c) Chøng minh r»ng BEFC néi tiếp

d) Đờng thẳng qua Avuông góc với EF cắt BC I, Chứng minh I trung điểm đoạn BC

e) Chng minh rng nu din tích ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam giác ABC vng cân

Bài 46 :Cho đờng trịn tâm (O;R), hai đ ờng kính AB,CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M( khác O) Đ ờng thẳng CM cắt đ ờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đ ờng tròn điểm P Chứng minh rằng:

a) tø gi¸c OMNP néi tiếp đ ợc

b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) Tứ giác OMNP nội tiếp

d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M

e) Khi M di động đoạn AB P chạy đoạn thẳng cố định

Bài 47 : Cho ba điểm A, B, C đ ờng thẳng theo thứ tự đ ờng thẳng d vng góc với AC A Vè đ ờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đ ờng thẳng d D; Tia AM cắt đ ờng tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P

a) Chøng minh ABMD néi tiÕp

b) Chøng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình ?tại ?

d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy đ ờng tròn cố định M di ng

Bài 48 : Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E điểm tuỳ ý cạnh BC Qua B kẻ tia v ơng góc với tia AE H cắt tia AC K Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BHCA néi tiÕp b) KC KA=KH.KB

c) §é lớn góc CHK không phụ thuộc vào vị trí ®iÓm E

d) Khi E di chuyển cạnh BC BE.BC+ AE AH khơng đổi

a) MA2 = MC.MD b) MB.BD = BC.MD

c) Đờng tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với MB t¹i B

d) Tổng bán kính hai đ ờng trịn ngoại tiếp BCD ACD khơng đổi C di động đoạn AB

Bài 50 : Cho ABC có góc A > 90o Đờng trịn (O), đờng kính AB cắt đ ờng trịn (O/) đờng kính AC giao điểm thứ hai H Một đ ờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đ ờng tròn (O), đờng tròn (O/) lần lợt M, N cho A nằm M N

a) Chứng minh H thuộc cạnh BC tứ giác BCNM hình thang vuông

b) Chứng minh tỷ số

HN

HM không đổi.

c) Gọi I trung điểm MN, K trung điểm BC Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc đ ờng tròn I di chuyển cung tròn cố định

d) Xác định vị trí đ ờng thẳng (d) để diện tích HMN ln nht

Bài 51 :Cho đoạn thẳng AB điểm P nằm A B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vuông góc với AB lần l ợt hai tia dó lấy hai điểm C D cho : AC.BD=AP.PB (1)

a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD

b) Chứng minh góc CPD 900 Từ suy ta cách dựng hai điểm C;D tho (1)

c) Gọi M hình chiÕu cđa P trªn CD, chøng minh gãc AMB b»ng 900 d) Gọi AM cắt CP I, BM cắt PD t¹i K Chøng minh IK // AB

e) Chứng minh điểm M chạy nửa đ ờng tròn cố định C;D lần l ợt di động Ax, By nhng thoả mãn (1)

Bài 52 : Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đ ờng trịn đờng kính BD cắt BC E.Các đ ờng thẳngCD, AE lần l ợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh:

a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đ ợc

c) Chøng minh AD.AB = AG.AE d) AC//FG

Bài53 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM AM2 = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2

d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ

Bài 54 : Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E nửa đường trịn đường kính CH cắt AC F Chứng minh :

a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật

b) EF tiếp tuyến chung hai đường trịn đường kính BH CH c) Tứ giác BCFE nội tiếp

Bài 55 Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H

a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ => tứ giác AMHK nội tiếp

b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2

Bài 56 : Cho đường trịn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K

c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN

d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F

Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ

Bµi :a Cho x, y > Chøng minh r»ng :

y x y x  

4 1

b Cho a,b >0 thoả mÃn a+ b =1 Tìm giá trị nhỏ cña :

ab b a

A 21 2    Bài : Chứng minh bất đẳng thức:

a) a c2 b d2 a2 b2 c2 d2

      

b) c.a c cb c  ab víi a c  0, b  c

c) ab cd  ad .bc víi a, b, c, d >

Bµi : Chøng minh r»ng : x y x y xy       

 2

2

2

Bài : Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña:

3 16   

x x

A víi x >0

Bµi :

a) Chứng minh bất đẳng thức : ax by a2 b2. x2 y2

 



b) Tìm giá trị lớn : A x x

c) Giải phơng trình : 2 4 6 11     

 x x x

x

d✰) Giải phơng trình: x1 y1 z1 2xyz1

Bµi :

Chứng minh bất đẳng thức : a xy + yz + zx  x2 + y2 +z2

b

3

2 2

z y x z y

x  

    

   

2 Cho x + y + z =

a Tìm giá trị nhỏ D = x2 + y2 +z2 b Tìm giá trị lín nhÊt cđa T = xy + yz + zx

Bài : Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : A= x2 –4x +

B = 3x2 –6x -1 C = x2 +3x + D =3 x2 –2x +

Bµi : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x2 –4xy + 5y2 + 10x –22y + 30 B = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 100 C = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x +4

D = x2 + y2 – xy –x –y +1

Bµi : Tìm giá trị lớn biểu thức : A= - 4x2 –4x +

B=5 - 8x- x2

C= + 6y – 5y2 – 12xy – 9x2

D = 15 – 10x – 10x2 + 24xy 16y2

Bài 10 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thøc :

1

2

 

 

x x

x A

1

3

2

  

x x B

2

2

  

x x C

9 27

2

  

x x D

Bµi 11 : Cho x, y, z  tho¶ m·n :

  

  

  

6 2 6 3

4 2 4

z y x

z y x

Bµi 12 : Cho x, y, z  N tho¶ m·n :

   

  

  

101 4

3

21

2 2

2 2

z y x

t y x

Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + 2z2 + t2

Bµi 13 ✰ : Cho x2 + y2 + z2  27 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu

thøc:

F = x + y + z + xy + yz + zx

Bµi 14 : Chøng minh r»ng :

a)

k k k

1 1

2 



 víi k  N vµ k 

b)

n n

1

1

1

1 2  2   2   víi n  N vµ n 

c)

 

1

1

25

2     

n víi n  N vµ n 

Bµi 15 : Cho hai sè x, y thoả mÃn x > y x.y = Chøng minh :

0 2

2

 

 

y x

y x