[r]
(1)t
VIỆN TOÁN HỌC ****** ******
TIỂU LUẬN
***
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
Giáo viên hướng dẫn :
Học viên :
Khóa : 17
(2)LỜI MỞĐẦU
Hiện nay,trong chương trình tốn học phổ thơng,việc giải phương trình đại số thường giới hạn phương trình cho phép tìm nghiệm xác (dưói dạng cơng thức ).Trong thực tế,chúng ta vấp phải phương trình đại số giải
được phương pháp đại số thông thường như: Đổi biến, đặt
ẩn phụ,biến đổi tương đương,so sánh,….Thí dụ phương trình x3−cosx=0 , 2x+ x− =1 2,tgx−3 x x+ 2+ =1 2….khó có thể giải
bằng phương pháp đại số
Việc rèn luyện kỹ thuật giải phương trình cần thiết
đem lại số hiệu định củng cố khái niệm
phương trình,
nghiệm phương trình ,các phép biến đổi giải phương trình đại số, nâng cao khả sử dụng kiến thức toán học kỹ
năng thao tác với công thức toán học phát triển tư logic lập luận chặt chẽ,…
Tuy nhiên,các phép biến đổi đại số ,các phương pháp hay gặp thường giải số lớp hẹp phương trình đại số.Vì ,nhu cầu đặt gia cần có phương pháp để giải tốn
Mục tiêu tiểu luận , giới thiệu số phương pháp số
cho phép tìm tất nghiệm phương trình với
độ xác tuỳ ý Điều mở rộng phương pháp tiếp cận cho học sinh giải phương trình đại số (đặc biệt phương trình đại số siêu việt)
Bài tiểu luận chia hai chương
Chương I: Giới thiệu phương pháp số giải phương trình đại số thuật toán
Chương II: Giải minh họa số tập
Trong tiểu luận,tôi chưa sâu vào việc sử dụng phần mền hỗ trợ : Maple,….do vậy,bài tiểu luận chưa thực khám phá hết ưu việt phương pháp ,mà dừng mức độ tương đối thủ công để giải phương trình
Bài tiểu luận viết dựa giảng PGS.TS Tạ
duy Phượng -Viện tốn học Việt Nam giảng mơn phương pháp tính tác giả trường ĐH
KHTN-ĐHQGHN,ĐHBKHN tài liệu tham khảo mạng
(3)MỤC LỤC *Lời mởđầu
Chương I: Các phương pháp giải phương trình đại số 1.Phương pháp chia đơi
2.Phương pháp lặp đơn 3.Phương pháp dây cung 4.Phương pháp lặp Newton
4.1.Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton-
Raphson)
4.2.Phương pháp Newton-Raphson cho nghiệm bội
4.3.Phương pháp Newton-Raphson cải biên 4.4.Phương pháp Newton-Raphson cải tiến 4.5 Phương pháp Chebyshev
4.6.Phương pháp cát tuyến (Secant Method 5.Phương pháp Muller
6.Phuơng pháp Bernoulli 7.Phương pháp Birge-Viette 8.Phương pháp ngoại suy Aiten
(4)CHƯƠNG I
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Nếu phương trình đại số hay phương trình đại số siêu việt phức tạp gặp nhiều khó khăn việc tìm nghiệm chúng.Bởi vậy,việc tìm nghiệm gần với ước lượng sai số tốt cần thiết
Xét phương trình: f x( )=0 (1) ,
với f x( ) hàm cho trước biến x.Chúng ta cần tìm giá trị
gần nghiệm phương trình
Quá trình tìm nghiệm nhằm mục đích thu hẹp khoảng nghiệm gần với nghiệm thực phương trình với sai số tốt
Các bước giải gần phương trình
Bước 1.Tìm khoảng chứa nghiệm Một số tiêu chuẩn:
Định lý 1: (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f x( ) liên tục
trên [ ]a b, thoả mãn điều kiện f a f b( ) ( )<0 phương trình
( )
f x = có nghiệm khoảng ( )a b,
Định lý 2:(Hệ định lý 1) Giả sử f x( ) hàm liên tục đơn điệu ngặt [ ]a b, Khi phương trình
( ) ( )
f a f b <
( )
f x = có nghiệm ( )a b,
Định lý 3:(Hệ định lý 2) Giả sử f x( ) có đạo hàm f x'( ) không đổi dấu [ ]a b, .Khi đó nếu
phương trình
( ) ( )
f a f b <
( )
f x = có nghiệm ( )a b, Bước 2.Giải gần phương trình
Có nhiều phương pháp xác định nghiệm gần phương trình f x( )=0.Sau đây,chúng ta xét số phương pháp tiêu biểu
1.PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI
Nội dung:Giả sử f x( )là hàm liên tục
và
[ ]a b,
( ) ( )
f a f b <
Khi phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng
( )a b,
Chia đơi [a b, ] tính
2
a b f ⎛⎜ + ⎞⎟
(5)Nếu
a b f ⎛⎜ + ⎞ =⎟
⎝ ⎠ phương trình có nghiệm
a b x= +
Nếu ( )
2
a b f a f ⎛⎜ + ⎞ <⎟
⎝ ⎠ ( )
a b f b f ⎛⎜ + ⎞ <⎟
⎝ ⎠ phương trình
có nghiệm ,
a b a +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ,
a b b
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
thực phép chia liên tiếp cho đoạn chia ta thu
được dãy đoạn thẳng lồng có tính chất :
( ) ( )
1 n n , i i a a≤ < <a < <b < < ≤b b f a f b <
2
n n n
b a b −a = −
ta có cơng thức lặp 1
2
n n n
x x
x −
+
+
= , bậc hội tụ cấp **Đánh giá sai số :
2
n n n
b a x −x + ≤ −
Ví dụ Tìm nghiệm phương trình x4+2x3− − =x 1 0
Chương trình thuật tốn
//chia doi cung #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #define epsi 0.00001 void main()
float x0,x1,x2; float y0,y1,y2; float f(float);
int maxlap,demlap; clrscr();
printf("Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen"); printf("\nbang cach chia doi cung\n");
printf("Cho cac gia tri x0,x1,maxlap\n"); printf("Cho gia tri x0 = ");
scanf("%f",&x0);
printf("Cho gia tri x1 = "); scanf("%f",&x1);
printf("Cho so lan lap maxlap = "); scanf("%d",&maxlap);
y0=f(x0); y1=f(x1); if ((y0*y1)>0)
(6)printf(" x0 = %.2f\n",x0); printf(" x1 = %.2f\n",x1); printf(" f(x0) = %.2f\n",y0); printf(" f(x1) = %.2f\n",y1); demlap=0;
do
x2=(x0+x1)/2; y2=f(x2);
y0=f(x0); if (y0*y2>0)
x0=x2; else
x1=x2;
demlap=demlap+1;
while(((abs((y2-y0))>epsi)||(demlap<maxlap))); if (demlap>maxlap)
printf("Phep lap khong hoi tu sau %d lan lap ",maxlap);
printf(" x0 = %.2f\n",x0); printf(" x1 = %.2f\n",x1); printf(" f(x2) = %.2f\n",y2); else
printf("Phep lap hoi tu sau %d lan lap\n",demlap);
printf("Nghiem x = %.2f",x2); getch();
float f(float x)
float a=x*x*x*x+2*x*x*x-x-1 ; return(a);
Kết tính tốn cho nghiệm x0,87
2.PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN
(7)Hàm gg x( ) ọi hàm lặp.Nếu dãy xn →α n ta nói phép lặp hội tụ
→ ∞
Ta có định lý sau:
*[a b, ] khoảng phân li nghiệm α phương trình
*g x( ) có đạo hàm thoả mãn : g x'( ) ≤ <q 1,a x b< < đó
là số phương pháp hội tụ
q Ví dụ
Chương trình thuật tốn :Giải phương trình x3+ −x 1000 0=
//lap don
#include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> void main()
int i,n; float x,x0; float f(float); clrscr();
printf("Cho so lan lap n = "); scanf("%d",&n);
printf("Cho gia tri ban dau cua nghiem x0 = "); scanf("%f",&x0);
x=x0;
for (i=1;i<=n;i++) x=f(x);
printf("Nghiem cua phuong trinh la :%.4f",x); getch();
float f(float x)
float a=exp((1./3.)*log(1000-x)); return(a);
Kết tính tốn cho nghiệm x9,966555
3.PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG
Giả sử f x( )là hàm liên tục [ ]a b, Ta chia theo tỉ lệ
( ) ( )
f a f b <
[a b, ] ( )
( )
f b f a
−
(8)trong ( )
( ) ( ) (
1
f a h
f a f b
− =
− + b a− ).Thực trình tương tự với
các đoạn [a x hay x b, 1] [ 1, ] mà ta nhận giá trị trái dấu ta nghiệm gần x2….thực trình liên tục ta có :
( )( ) ( ) ( )
1 ,
n n n n
n
f x x d
x x
f x f d
+
−
= −
−
* d =b ( ) ( )''
0,
f b f x > x =a
*d =a ( ) ( )''
0,
f a f x < x =b
Ví dụ Chương trình thuật tốn :Giải phương trình
4 2 1
x + x − − =x
[ ]0,1
//phuong phap day cung #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #define epsi 0.00001 void main()
float a,b,fa,fb,dx,x; float f(float);
clrscr();
printf("Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen\n");
printf("bang phuong phap day cung\n"); printf("Cho cac gia tri a,b\n");
printf("Cho gia tri cua a = "); scanf("%f",&a);
printf("Cho gia tri cua b = "); scanf("%f",&b);
fa=f(a); fb=f(b);
dx=fa*(b-a)/(fa-fb); while (fabs(dx)>epsi)
x=a+dx; fa=f(x);
if((fa*fb)<=0) a=x;
(9)fb=f(b);
dx=fa*(b-a)/(fa-fb); printf("Nghiem x = %.3f",x); getch();
float f(float x)
float e=x*x*x*x+2*x*x*x-x-1; return(e);
Kết tính tốn cho nghiệm x0,876
4.PHƯƠNG PHÁP LẶP NEWTON
4.1.Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton-Raphson)
Phuơng pháp dùng nhiều hội tụ nhanh Giả sử f x( ) có nghiệm ξ tách [ ]a b, đồng thời f x f x'( ) ( ), '' liên tục giữ nguyên dấu [ ]a b, .Ta tìm xấp xỉ
nào xn∈[ ]a b,
-Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x b= chẳng hạn, phương trình có dạng ( ) ,( )(
0
y f x− = f x x x− 0),
0
x =b.Tiếp tuyến cắt trục hoành điểm có tung độ y=0,ta có
( ) '( )( )
0
f x f x x x
− = − hay : ( )
( )0
1 '
f x x x
f x
= −
-Từ x1 ta lại tiếp tục vẽ tiếp tuyến với đường cong ,quá trình lặp tương tự ta xác định x2.Tương tự
với điểm xi, tìm giao điểm dần tới nghiệm
phương trình
Ta có cơng thức lặp ( )
( )
1 '
n n x
n
f x
x x
f x
+ = − Tốc độ hội tụ cấp hai
Việc chọn điểm x x= 0 quan trọng việc tìm nghiệm gần với nghiệm phương trình.Chọn x0 =b có thuận lợi
định.Chúng ta có định lý : Nếu
1
x − − =x f a f b( ) ( )<0 , f x f x'( ) ( ), '' khác không giữ
nguyên dấu xác định x∈[ ]a b, xuất phát từ x0∈[ ]a b, thỏa mãn
điều kiện '( ) ( )''
0 0
f x f x > tính theo phương pháp Newton nghiệm ξ với độ xác cao
(10)//phuong phap Newton #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #define n 50
#define epsi 1e-5 void main()
float t,x0; float x[n]; int i;
float f(float);
float daoham(float); clrscr();
printf("Tim nghiem cua phuong trinh phi tuyen\n");
printf("bang phuong phap lap Newton\n"); printf("Cho gia tri cua x0 = ");
scanf("%f",&x0); i=1;
x[i]=x0;
x[i+1] = x[i]-f(x[i])/daoham(x[i]); t = fabs(x[i+1]-x[i]);
x[i]=x[i+1]; i=i+1; if (i>100)
printf("Bai toan khong hoi tu\n"); getch();
exit(1); else;
while (t>=epsi);
printf("Nghiem x = %.5f",x[i]); getch();
float f(float x)
(11)4.2 Phương pháp Newton-Raphson cho nghiệm bội
( ) ( )
1 '
n n n
n
f x
x x p
f x
+ = − Tốc độ hội tụ cấp hai
4.3.Phương pháp Newton-Raphson cải biên
( )
( )
1 '
0 n n n
f x
x x
f x
+ = − Tốc độ hội tụ tuyến tính
4.4.Phương pháp Newton-Raphson cải tiến
( ) ( )
( )
( )
1
'
'
n
n n n
n n
n f x x x
f x f x
f x
ϕ
+ = − =
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x Tốc độ hội tụ cấp ba 4.5 Phương pháp Chebyshev
( )
( ) ( )( ) ( )
2
''
1 ' '
2
n n
n n n
n n
f x f x
x x f
f x f x
+ = − +
⎡ ⎤
⎣ ⎦
x
dạng mở rộng cơng thức Newton-Raphson có tốc độ hội tụ cấp ba
4.6.Phương pháp cát tuyến (Secant Method)
( )( 1)
1
1
( ) ( )
i i i i i
i i
f x x x x x
f x f x − +
−
− = −
− Công thức dạng công thức
trong phuơng pháp dây cung,tuy nhiên khơng địi hỏi điều kiện
( ) ( )i i f x f x− <
5 PHƯƠNG PHÁP MULLER
Nội dung phương pháp thay hàm đoạn [ ]a b,
đường cong bậc hai mà ta tìm nghiệm xác nó.Xấp xỉ hàm f x( ) đa thức bậc hai có đồ thị qua ba điểm gần
vói nghiệm phương trình f x( )=0.Nghiệm tam thức bậc hai
đựoc coi nghiệm xấp xỉ f x( )=0
Ta có cơng thức lặp : xn+1=xn+(xn−xn−1)λ ,trong
1 n n n
x x x x
λ
−
− =
−
Thuật toán :
//phuong phap Muller #include <conio.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> void main()
(12)float a,b,c,gamma,n1,n2,xr; int dem;
float f(float); clrscr();
printf("PHUONG PHAP MULLER\n"); printf("\n");
printf("Cho khoang can tim nghiem [a,b]\n"); printf("Cho gia tri duoi a = ");
scanf("%f",&x2);
printf("Cho gia tri tren b = "); scanf("%f",&x1);
if (f(x1)*f(x2)>0) printf("\n");
printf("Nghiem khong nam doan nay\n");
getch(); exit(1); eps=1e-5; x0=(x1+x2)/2; dem=0;
do
dem=dem+1; h1=x1-x0; h2=x0-x2; gamma=h2/h1;
a=(gamma*f(x1)f(x0)*(1+gamma)+f(x2))/(gamma*(h1*h1)*(1+gam ma));
b=(f(x1)-f(x0)-a*(h1*h1))/h1; c=f(x0);
if ((a==0)&&(b!=0))
n1=-c/b; n2=n1; if ((a!=0)&&(b==0))
(13)n1=x0-2*c/(b+(sqrt(b*b-4*a*c))); n2=x0-2*c/(b-(sqrt(b*b-4*a*c))); if (fabs(n1-x0)>fabs(n2-x0))
xr=n2; else
xr=n1; if (xr>x0)
x2=x0; x0=xr; else
x1=x0; x0=xr; while (fabs(f(xr))>=eps);
printf("\n");
printf("Phuong trinh co nghiem x = %.5f sau %d lan lap",xr,dem);
getch();
6 PHƯƠNG PHÁP LẶP BERNOULLI
Cho phép tính tốn nghiệm lớn αcủa đa thức
có nghiệm thực phân biệt Sau tìm nghiệm lớn
( )
n
P x n
α ,ta chia đa thức P xn( ) cho biểu thức (x−α) nhận đa thức Qn−1( )x Tiếp tục trình tìm nghiệm lớn đa thức
( )
1 n
Q− x Sau tiếp tục bước tìm hết nghiệm
( )
n
P x Khảo sát phương trình sai phân có dạng:
( )
0 k n k n1 n k
a y a y a y
ϕ= + + + − + + = phương trình sai phân tuyến tính hệ số Khi cho trước giá trị ban đầu y y0, ,1 yn−1 ta
tìm giá trị y yn, n+1
Đa thức ( ) 0 n 1 ( )2
n n n
P x =a x + +a x a− + với hệ số gọi đa thức đặc tính phương trình sai phân tuyến tính Nếu có nghiệm phân biệt
i a
( )1
( )1 ( )2 n x1, ,xn ( )1 có nghiệm
riêng k i i
y =x
(14)1
k k
n n k
y =c x + +c x ( )3 Để tính nghiệm lớn đa thức ,ta xuất phát từ nghiệm riêng y1=0, ,yn =1 để tính yn+1.Cách tính tiếp tục để tính yn+2 xuất phát từ y1 =0, ,yn+1 tiếp tục k
k y
y
+ không biến đổi nữa.Trị số k n
y + tính theo cơng thức truy hồi:
( 1 )
0
1
k n k n n k
y a y a
a
+ + − y
−
= + +
Ví dụ 4.Tìm nghiệm đa thức ( )
3 10 31 30
P x =x − x + x−
Ta có phương trình sai phân tương ứng : yk+3−10yk+2+31yk+1−30yk =0
Cho trước giá trị y1=0;y2 =0;y3 =1 ta tính y 10y 31y 30y 104 = − −( 3 + 2 − 1) =
( )
5
y 10y = − − + 31y − 30y = 69
( )
6
y 10y 31y 30y 410= − − + − =
( )
7
y 10y= − − + 31y 30y 2261− =
( )
8
y 10y 31y 30y 11970= − − + − =
( )
9
y 10y = − − + 31y − 30y = 61909
( )
10
y 10y 31y 30y 315850= − − + − =
( )
11 10
y = − − 10y 31y 30y 1598421+ − =
( )
12 11 10
y 10= − − y 31y 30y 8050130+ − =
( )
13 12 11 10
y 10y 31y 30y= − − + − 40425749=
( )
14 13 12 11
y = − − 10y 31y 30y+ − 202656090=
( )
15 14 13 12
y 10y 31y 30y= − − + − 1014866581=
( )
16 15 14 13
y 10y 31y 30y= − − + − 5079099490=
( )
17 16 15 14
y 10y = − − + 31y − 30y = 24409813589
( )
18 17 16 15
y = − − 10y + 31y − 30y = 127092049130
( )
19 18 17 16
y 10y 31y 30y= − − + − 635589254740=
tỉ số dãy k k y
y
+ : 10; 6.9 ;5.5146 ; ;5.001
nghĩa chúng hội tụ tới nghiệm lớn đa thức Thuật toán
//phuong phap Bernoulli #include <conio.h>
#include <stdio.h>#include <math.h> #include <stdlib.h>
(15)float a[max],y[max]; int k,j,i,n,l;
float s,e1,e2,x0,x1,x; clrscr();
printf("Cho bac cua da thuc can tim nghiem n = ");
scanf("%d",&n); e1=1e-5;
printf("Cho cac he so cua da thuc can tim nghiem\n");
for (i=0;i<=n;i++)
printf("a[%d] = ",i); scanf("%f",&a[i]); for (k=0;k<=n;k++)
a[k]=a[k]/a[0]; tt: x1=0;
for (k=2;k<=n;k++) y[k]=0;
y[1]=1; l=0;
l=l+1; s=0;
for (k=1;k<=n;k++) s=s+y[k]*a[k]; y[0]=-s;
x=y[0]/y[1]; e2=fabs(x1 - x); x1=x;
for (k=n;k>=1;k ) y[k]=y[k-1];
while((l<=50)||(e2>=e1)); if(e2>=e1)
printf("Khong hoi tu"); getch();
(16)printf("Nghiem x = %.4f\n",x); n=n-1;
if (n!=0)
a[1]=a[1]+x;
for (k=2;k<=n;k++) a[k]=a[k]+x*a[k-1]; goto tt;
getch();
chạy chương trình tht tốn ,ta kết nghiệm phương trình đa thức : ( )
3 10 31 30
P x =x − x + x− : 5;3;
7.PHƯƠNG PHÁP LẶP BIRGE-VIETTE
Các nghiệm thực đơn giản đa thức P xn( ) tính toán sử dụng phương pháp Newton : ( )
( ) ( )
1 '
n i i i
i
P x x x
P x
+ = − Để bắt đầu tính tốn cần chọn giá trị ban đầu x0, chẳng hạn
1 n n
a x
a −
= −
Và tính tiếp giá trị sau:
( )
( )0 ( )( )1
1 ' '
0
;
n n
n n
P x P x
x x x x
P x P x
= − = −
tiếp theo ta đánh giá P xn( )i theo thuật toán Horner:
( )
0 ; i 1; ; i n n
P =a P =P x +a P x =P =P x− i+an (2)
Mặt khác chia đa thức P xn( ) cho nhị thức (x x− i) ta :
( ) ( ) 1( )
n i n n (
P x x x P− − x +b với n = n xi) n− n−
i
b P Đa thức Pn−1( )x có dạng
=
( )
1
n n
n
P− x =b x − +b x − + +b x b+ Cân hệ số,ta xác định 0; 1 i; k k k
b =a b = +a b x b =a +b x− ;,,,,….bn =an+b xn−1 i =P xn( )i
mặt khác ,ta có '( ) ( ) ' ( ) ( )
1
n i n n
P x = x x P− − x +P− x ' ( ) ( )
1 n i n i P x =P− x
Như với giá trị theo (2) ta tính P xn( )i
.Thay kết vào (1) ta tính đựợc
( )
' n i
P x xi+1.Qua trình tiếp tục
cho đến xi+1−xi <ε hay P xn( )i+1 nên α1xi+1 nghiệm
của đa thức Phép chia P xn( ) cho (x−αi) cho ta
nghiêm khác tìm theo cách chọn giá trị
( )
1 n P− x
(17)chính x0 =αi.Khi bậc đa thức giảm dần xuống cịn bậc hai,ta dùng cơng thức nghiệm để tính
Thuật toán
//phuong phap Birge-Viette #include <conio.h>
#include <stdio.h> #include <math.h> #define max 20 void main()
float a[max],p[max],d[max],x[max]; int k,j,i,n;
float e1,e2,x0,x1; clrscr();
printf("Cho bac cua da thuc n = "); scanf("%d",&n);
e1=0.0001;
printf("Cho cac he so cua da thuc can tim nghiem\n");
for (i=0;i<=n;i++)
printf("a[%d] = ",i); scanf("%f",&a[i]); x0=a[0];
for (i=0;i<=n;i++) a[i]=a[i]/x0;
printf("Nghiem cua phuong trinh : \n"); tt:x0=-a[n]/a[n-1];
j=0;
j=j+1;
p[1]=x0+a[1]; d[1]=1.0;
for (k=2;k<=n;k++)
p[k]=p[k-1]*x0+a[k]; d[k]=d[k-1]*x0+p[k-1]; x1=x0-p[n]/d[n];
(18)x0=x1;
while((j<=50)||(e2>=e1)); if (e2>=e1)
printf("Khong hoi tu"); else
printf(" x = %.4f\n",x1); n=n-1;
if (n!=0)
for (k=1;k<=n;k++) a[k]=p[k];
goto tt; getch();
8.PHƯƠNG PHÁP NGOẠI SUY AITKEN
Xét phương pháp lặp x= f x( ) với f x( ) thỏa mãn điều kiện hội tụ phép lặp,nghĩa với x∈[ ]a b, ta có :
( )
,
1
f x ≤ <q Như ta có
( ) ( )
1 ,
n n n n
x + = f x x = f x − Áp dụng định lý Lagrange cho hiệu ta có:
( ) ( ) ( ) '( )
1
n n n n n n
x + −x = f x − f x − = x −x− f c Vì phép lặp nên ta có
1
n n n n
x+ −x ≤q x −x− Qua trình tính tốn ta đựoc cơng thức lặp ngoại suy AITKEN
( )2
1
2
n n n
n n n x x y x
x x x
+ + +
−
= −
− +
Như vậy,ta dùng phương pháp lặp để tính giá trị gần
1
, ,
n n n
x x + x + nghiệm,sau tìm nghiệm với sai số nhỏ CHƯƠNG II
CHƯƠNG II:
(19)****Dùng phương pháp chia đơi giải phương trình sau tính số lần lặp với ε = 10-3
Bài 1.Tìm nghiệm gần phương trình sau: xsinx=1,
[ ]1;2
0 ∈ x
( )x = xsinx−1
f
( )a = f( )1 =−0,158529<0
f
( )b = f( )2 =0,818595>0
f
Số lần chia đôi: 10
2 ln 10 ln ln ln = + − = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ε − a b n
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 1,5 1,5 0,496242
2
1 f c f
b a
c thay b=c1
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 1,25 1,25 0,186231
2
2 f c f
b a
c thay b=c2
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 1,125 1,125 0,015051
2
3 f c f
b a
c thay b=c3
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 1,0625 1,0625 0,071827
2
4 f c f
b a
c thay a=c4
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 1,09375 1,09375 0,028362
2
5 f c f
b a
c thay a=c5
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 1,109375 1,109375 0,006643
2
6 f c f
b a
c thay
6 c a=
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 1,117188 1,117188 0,004209
2
7 f c f
b a
c thay
7 c b=
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 1,113282 1,113282 0,001216
2
8 f c f
b a
c thay
8 c a=
( )= ( )= > ⇒ ⇒
+
= 1,115235 1,115235 0,001497
2
9 f c f
b a
c thay b=c9
114259 , 115235 , 113282 , 10 = + = + =
⇒c a b nghiệm phương
trình
Bài 2.Tìm nghiệm gần phương trình sau: x−cosx=0; [ ]0;1
0 ∈ x
(20)( )a = f( )0 =−1<0
f
( )b = f( )1 =0,459698>0
f
Số lần chia đôi: 10
2 ln 10 ln ln ln = + − = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ε − a b n
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 0,5 0,5 0,170476
2
1 f c f
b a
c thay a=c1
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 0,75 0,75 0,134337
2
2 f c f
b a
c thay b=c2
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 0,625 0,625 0,020394
2
3 f c f
b a
c thay a=c3
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 0,6875 0,6875 0,056321
2
4 f c f
b a
c thay b=c4
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 0,65625 0,65625 0,017807
2
5 f c f
b a
c thay b=c5
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 0,640625 0,640625 0,001332
2
6 f c f
b a c thay c a=
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 0,648438 0,648438 0,008228
2
7 f c f
b a
c thay
7 c b=
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 0,644532 0,644532 0,003446
2
8 f c f
b a
c thay
8 c b=
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 0,642579 0,642579 0,001057
2
9 f c f
b a
c thay
c b= 641602 , 642579 , 640625 , 10 = + = + =
⇒c a b nghiệm
phương trình
Bài 3.Tìm nghiệm gần phương trình sau: x=tgx;
[4;4,5]
0 ∈
x
( )x x tgx f = −
( )a = f( )4 =2,842179>0
f
( )b = f( )4,5 =−0,137332<0
(21)Số lần chia đôi: ln 10 , ln ln ln = + − = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ε − a b n
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 4,25 4,25 2,243691
2
1 f c f
b a
c thay a=c1
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 4,375 4,375 1,52439
2
2 f c f
b a
c thay a=c2
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 4,4375 4,4375 0,891762
2
3 f c f
b a
c thay a=c3
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 4,46875 4,46875 0,445853
2
4 f c f
b a
c thay a=c4
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 4,484375 4,484375 0,174948
2
5 f c f
b a
c thay
5 c a=
( )= ( )= > ⇒ ⇒
= +
= 4,492188 4,492188 0,024531
2
6 f c f
b a
c thay
6 c a=
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 4,496094 4,496094 0,054898
2
7 f c f
b a
c thay
7 c b=
( )= ( )=− < ⇒ ⇒
= +
= 4,494141 4,494141 0,014821
2
8 f c f
b a
c thay
c b= 493165 , 494141 , 492188 , = + = + =
⇒c a b nghiệm phương
trình
*** Dùng phương pháp lặp giải phương trình sau với
1 10
− + − n < n x
x , đánh giá sai số
Bài 4.Tìm nghiệm gần phương trình sau: x3 −x−1=0;
[ ]1;2
0 ∈
x (*)
( )x = x3 −x−1
f
Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∀ > − = < − = − = = ; 1 ' 5 x x x f f f b f a f
( )
' =
⇒ f x có nghiệm đoạn [ ]1;2
( )* ⇒x=3 x+1 đặt ϕ( )x =3 x+1
( ) ( ) ' − + =
(22)( ) 0,320499 ' max = = =
⇒M ϕ x
Đặt 1,5 2 = + = x
( )
0 1 0
1 0,06735 10
1 357209
,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = + =
= x x
M M x
x
x ϕ
( )
1 2 1
2 0,012428 10
1 330861
,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = + =
= x x
M M x
x
x ϕ
( )
2 3 2
3 0,002348 10
1 325884
,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = + =
= x x
M M x
x
x ϕ
( )
3 4 3
4 0,000446 10
1 324939
,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = + =
= x x
M M x
x
x ϕ
( )
4 5 4
5 0,000085 10
1 324759
,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = + =
= x x
M M x
x
x ϕ
( )
5 6 5
6 0,000016 10
1 324726
,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = + =
= x x
M M x
x
x ϕ
( )
6 7 6
7 0,0000033 10
1 324719
,
1 − = < −
− = Δ ⇒ = + =
= x x
M M x
x
x ϕ
Vậy nghiệm phương trình: x7 =1,324719
Bài Tìm nghiệm gần phương trình sau : x4 −3x2 −3=0;
[ ]1;2
0 ∈ x
( )x = x4 −3x2 −3=0
f (*)
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ ∀ > − = < − = − = ; '
3 x x
x x f f f
( )=0
⇒ f x có nghiệm đoạn [ ]1;2
( )* ⇒x=4 3x2 +3 đặt ϕ( )x =4 3x2 +3
( ) ( ) 3 ' + −
=
⇒ϕ x x x
( ) 0,393598
3375 ' max = = =
⇒M ϕ x
Đặt 1,5 2 = + = x
( ) ( )
0 1
0
1 0,17334 10
1 767059 , ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
1 2
1
2 0,070255 10
1 875299 , 767059 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
(23)( ) ( )
3
2
3 0,028112 10
1 91861 , 875299 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
3 4
3
4 0,011175 10
1 935827 , 91861 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
4 5
4
5 0,004429 10
1 942651 , 935827 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
5 6
5
6 0,001754 10
1 945353 , 942651 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
6 7
6
7 0,000695 10
1 946423 , 945353 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
7 8
7
8 0,000276 10
1 946846 , 946423 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
8 9
8
9 0,000108 10
1 947013 , 946846 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
9 10 10
9
10 0,000043 10
1 947079 , 947013 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
10 11 11
10
11 0,000018 10
1 947106 , 947079 ,
1 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
11 12 12
11
12 0,0000065 10
1 947116 , 947106 ,
1 − = < −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
Vậy nghiệm phương trình: x12 =1,947116
Bài 6.Tìm nghiệm gần phương trình sau : x4 −2x3−4=0;
[ ]2;3
0∈
x
( )x = x4 −2x3 −4
f (*)
Ta có: ( ) ( ) ( )( ) [ ]
⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∀ > − = < − = − = ; ' 92 23 2
3 x x
x x f f f
( )=0
⇒ f x có nghiệm đoạn [ ]2;3
( )* ⇒x=4 2x3 +4 đặt ϕ( )x =4 2x3 +4
( ) ( ) ' 3 + −
=
(24)( ) 0,317211 '
max =
=
⇒M ϕ x
Đặt 2,5 = + = x
( ) ( )
0 1
0
1 0,02944 10
1 436631 , ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
1 2
1
2 0,019076 10
1 395571 , 436631 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
2 3
2
3 0,012354 10
1 368979 , 395571 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
3 4
3
4 0,007997 10
1 351765 , 368979 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
4 5
4
5 0,005175 10
1 340626 , 351765 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
5 6
5
6 0,003348 10
1 33342 , 340626 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
6 7
6
7 0,002165 10
1 328759 , 33342 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
7 8
7
8 0,0014 10
1 325745 , 328759 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
8 9
8
9 0,000905 10
1 323797 , 325745 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
9 10 10
9
10 0,000585 10
1 322537 , 323797 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
10 11 11
10
11 0,000379 10
1 321722 , 322537 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
11 12 12
11
12 0,000245 10
1 321195 , 321722 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
12 13 13
12
13 0,000158 10
1 320855 , 321195 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
(25)( ) ( ) 13
14 14
13
14 0,000102 10
1 320635 , 320855 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
14 15 15
14
15 0,000066 10
1 320493 , 320635 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
15 16 16
15
16 0,000043 10
1 320401 , 320493 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
16 17 17
16
17 0,000028 10
1 320341 , 320401 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
17 18 18
17
18 0,000018 10
1 320302 , 320341 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
18 19 19
18
19 0,000012 10
1 320277 , 320302 ,
2 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
19 20 20
19
20 0,0000074 10
1 320261 , 320277 ,
2 − = < −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
Vậy nghiệm phương trình: x20 =2,320261
Bài Tìm nghiệm gần phương trình sau : + x = x
2 sin , π ;
[0;2π]
0 ∈ x ( ) (*) sin ,
0 x x
x
f =π + −
Ta có: ( )( ) ( ) ( ) [ ]
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∀ > − = < − = − = π π π π π ; 0 cos 25 , ' x x x f f f
( )=0
⇒ f x có nghiệm đoạn [0;2π]
( ) sin ,
* ⇒x=π + x đặt ( )
2 sin , x
x =π +
ϕ ( ) cos 25 ,
' x = x
⇒ϕ
( ) 0,25 '
max =
=
⇒M ϕ x
Đặt = + π =π
2
0
x
( ) ( )
0 1
0
1 0,166667 10
1 641593
,
3 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x
(26)( ) ( )
2
1
2 0,005181 10
1 626049 , 641593 ,
3 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x
x ϕ ϕ
( ) ( )
2 3
2
3 0,000316 10
1 626996 , 626049 ,
3 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x
x ϕ ϕ
( ) ( )
3 4
3
4 0,000019 10
1 626939 , 626996 ,
3 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x
x ϕ ϕ
( ) ( )
4 5
4
5 10 10
1 626942 , 626939 ,
3 − = − < −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x
x ϕ ϕ
Vậy nghiệm phương trình: x5 =3,626942
Bài Tìm nghiệm gần phương trình sau : x−2−x =0;
[0,3;1]
0 ∈
x
( )x x x(*)
f = − −
Ta có: ( ) ( )( ) [ ]
⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∀ > + = < − = − =
− .ln2 0 0,3;1
2 ' 256126 , , 512252 , , x x f f f x
( )=0
⇒ f x có nghiệm đoạn [ ]0,3;1
x x= −
⇒
(*) đặt ϕ( )x =2−x
( ) ln2 ' x =− −x
⇒ϕ
( ) 0,56301 '
max =
=
⇒M ϕ x
Đặt 0,65 , 0 = + = x
( ) ( )
0 1
0
1 0,016388 10
1 63728 , 65 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
1 2
1
2 0,007272 10
1 642924 , 63728 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
2 3
2
3 0,003234 10
1 640414 , 642924 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
3 4
3
4 0,001437 10
1 641529 , 640414 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
4 5
4
5 0,000639 10
1 641033 , 641529 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
5 6
5
6 0,000285 10
1 641254 , 641033 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
(27)( ) ( )
7
6
7 0,000128 10
1 641155 , 641254 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
7 8
7
8 0,000057 10
1 641199 , 641155 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
8 9
8
9 0,000024 10
1 64118 , 641199 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
9 10 10
9
10 0,0000103 10
1 641188 , 64118 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
10 11 11
10
11 0,0000039 10
1 641185 , 641188 ,
0 − = < −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
Vậy nghiệm phương trình: x11 =0,641185
Bài 9.Tìm nghiệm gần phương trình sau : 3x2 −ex =0;
[ ]0;1
0 ∈ x
( )x 3x2 ex(*)
f = −
Ta có: ( ) ( )( ) [ ]
⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∀ > − = < − = − = ; 0 ' 281718 , 281718 , 1 x e x x f f f x
( )=0
⇒ f x có nghiệm đoạn [ ]0;1
3 (*)
x e x=
⇒ đặt ( )
3 x e x = ϕ ( ) ' x = ex
⇒ϕ
( ) 0,475945 '
max =
=
⇒M ϕ x
Đặt 0,5 0 = + = x
( ) ( )
0 1
0
1 0,219177 10
1 741332 , ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
1 2
1
2 0,086347 10
1 836407 , 741332 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
2 3
2
3 0,036983 10
1 877128 , 836407 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
3 4
3
4 0,016385 10
1 895169 , 877128 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
(28)( ) ( )
5
4
5 0,007367 10
1 903281 , 895169 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
5 6
5
6 0,003334 10
1 906952 , 903281 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
6 7
6
7 0,001513 10
1 908618 , 906952 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
7 8
7
8 0,000688 10
1 909376 , 908618 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
8 9
8
9 0,000312 10
1 90972 , 909376 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
9 10 10
9
10 0,0001417 10
1 909876 , 90972 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
10 11 11
10
11 0,0000654 10
1 909948 , 909876 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
11 12 12
11
12 0,0000291 10
1 90998 , 909948 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
12 13 13
12
13 0,0000136 10
1 909995 , 90998 ,
0 − = > −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
( ) ( )
13 14 14
13
14 0,00000636 10
1 910002 , 909995 ,
0 − = < −
− = Δ ⇒ = =
= x x
M M x
x ϕ ϕ
Vậy nghiệm phương trình: x14 =0,910002
****Dùng phương pháp Newton ( tiếp tuyến) giải phương trình sau với
1 10
− + − n < n x
x ; đánh giá sai số
Bài 10.Tìm nghiệm gần phương trình sau : x3 −2x2 −5=0;
[ ]1;4
0 ∈ x
( )x = x3 −2x2 −5=0
f
( )x x x f' =3 −4
( )
'' x = x−
f ;
( )
''
' x =
(29)Ta có: ( ) ( )
( ) ( )
1 6.27 162 ' '
f f
f f
⎧ = − = − <
⎪
⎨ <
⎪⎩
Vì ta cần thay đổi khoảng li nghiệm, ta chọn 5,
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Khi
( ) ( )
5
3
5
' ' 32
3
f f
f f
⎧ ⎛ ⎞ <
⎜ ⎟
⎪⎪ ⎝ ⎠
⎨ ⎛ ⎞
⎪ ⎜ ⎟ = >0
⎪ ⎝ ⎠ ⎩
⇒ f(x) có nghiệm khoảng 5,
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Với
( )
( )
5
'' ,
3
''
3
'' 20
f x x
f f
⎧ > ∀ ∈⎡ ⎤
⎪ ⎢⎣ ⎥⎦
⎪
⎪ ⎛ ⎞ =
⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪
⎪ =
⎪ ⎩
Ta đặt x0 =
( ) ( )44
f f
′′
⎧ >
⎪
⎨ >
⎪⎩
0
Với 5 5
,4 ,4
3
5
min ( ) , max ( ) 20
3
m f x M f x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
′ ′′
= = = =
⇒
(4)
2,845082 (4)
f
x x
f
= − =
′ , với
2 5
1 10,1 10
2 M
x x
m
−
Δ = − = >
x2 =2,7024416, với
5 0,122 10
−
Δ = >
x3 =2,6907238, với
3 8, 2.10 10
− −
Δ = >
x4 =2,69064745, với
4 3, 4975.10− 10−
Δ = <
(30)f(x) = x3 + 3x2 -1 =
2
( )
f x′ = x + x
( ) 6
f x′′ = x +
( )
f′′′ x = >0 ∀ x Ta có : ( ) ( )
( ) ( )
3 ' ' 9.0
f f
f f
⎧ − − = − =<
⎪
⎨ − − = =
⎪⎩
Vì ta cần thay đổi khoảng li nghiệm, ta chọn [− −3; 2,5]
Khi ( ) ( )
( ) ( )
3 2,5
' ' 2,5 9.3, 75 33, 75
f f
f f
⎧ − − <
⎪
⎨ − − = = >
⎪⎩
⇒ f(x) có nghiệm khoảng [− −3, 2,5]
Với
( ) 6
( 3) 12
( 2,5)
f x x x
f f
′′ = + = ⇔ = − ⎧
⎪ ′′ − = − ⎨
⎪ ′′ − = − ⎩
Ta đặt x0 = -3
( ) ( )33 00 f
f ′′
⎧ − > ⎪
⎨ − >
⎪⎩
Với [ ] [ ]
3, 2,5 3, 2,5
min ( ) 3, 75; max ( )
m f x M f x
− − ′ − − ′
= = = ′ =
⇒
1
0
( ) ( 3)
3 2,888888
( ) ( 3)
f x f
x x
f x f
−
= − = − − = −
′ ′ − với
2 5
1 0,014815 10
2 M
x x
m
−
Δ = − = >
2 2,87945156
x = − , với Δ =2 1,068.10−4 >10−5
3 2,8793852
x = − , với 5, 28.10 10
− −
(31)Vậy x3 nghiệm gần đúng, x2 nghiệm phương trình Bài 12.Tìm nghiệm gần phương trình sau :x−cosx=0; x0 ∈ 0,
2
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) cos
f x = −x x
( ) sin
f x′ = + x> ∀x∈ 0,
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) os
f x′′ =c x> ∀x∈ 0,
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) s inx
f′′′ x = −
Ta có :
( ) ( )
0
2
' ' 1.1,02741213
2
f f f f
π π
π
⎧ ⎛ ⎞ = − =<
⎜ ⎟
⎪⎪ ⎝ ⎠
⎨
⎛ ⎞
⎪ = >
⎜ ⎟
⎪ ⎝ ⎠
⎩
⇒ f(x) có nghiệm khoảng 0,
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Với
( ) cos (0)
( ) 0,9996242
f x x
f f π
⎧
⎪ ′′ =
⎪ ′′ = ⎨
⎪ ′′
⎪ =
⎩
Ta đặt x0 =
2
π
0
0 f
f π π
⎧ ⎛ ⎞′′ > ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎨
⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟> ⎪ ⎝ ⎠ ⎩
Với
0, 0,
2
min ( ) 1, max ( )
m f x M f x
π π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
′ ′′
= = = =
⇒
1
0
( )
0,785398163 ( )
f x x x
f x
= − =
′ , với
2 5
1 0,308425 10
2 M
x x
m
−
Δ = − = >
2 0,739536133
x = , với Δ =2 1,052.10−3 >10−5
3 0,739085178
x = , với Δ =3 1, 02.10−7 <10−5
Vậy x3 nghiệm gần đúng, x2 nghiệm phương trình
Bài 13.Tìm nghiệm gần phương trình sau lnx 12 x
(32)[ ] [ ] [ ]
3
1 ( ) ln
1
( ) 1,
1
( ) 1,
2 24
( ) 1,
f x x
x
f x x
x x
f x x
x x
f x x
x x
= −
′ = + > ∀ ∈
′′ = − − < ∀ ∈
′′′ = + > ∀ ∈
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1.0,443147 ' ' 3.0, 75
f f f f
⎧ = − =<
⎪
⎨ = >
⎪⎩
⇒ f(x) có nghiệm khoảng [ ]1,
Với
2
1
( ) (1) (2) 0,625 f x
x x
f f
⎧ ′′ = − − ⎪
⎪
′′ = − ⎨
⎪ ′′ = − ⎪
⎩
Ta đặt x0 =
Với m =
[ ]1,2 [ ]1,2
min ( ) 0, 75, max ( ) 0, 625
m= f x′ = M = f x′′ =
( ) ( )11 00 f
f ′′ ⎧ < ⎪
⎨ < ⎪⎩
⇒
1
0
( ) (1)
1 1.333333 ( ) (1)
f x f
x x
f x f
= − = − =
′ ′ , với
2 5
1 0,0462962 10
2 M
x x
m
−
Δ = − = >
x2 =1.5057681,với
5 0.012389>10
−
Δ =
x3 =1,5311639 , với 2, 687.10 >10
− −
Δ =
x4 =1,5315842 , với 7,36.10 <108
− −
Δ =
Vậy x4 =1,5315842là nghiệm gần đúng,x3 =1,5311639 nghiệm
đúng phương trình
(33)[ ]1 PGS.Ts Tạ Phượng, Bài giảng mơn giải tích số dành cho học viên cao học khoá 17-Viện toán học
[ ]2 Phan văn Hạp,Giáo trình sở phương pháp tính,tập I,II.Trường
ĐH Tổng hợp Hà Nội ,1990
[ ]3 Ta văn Đĩnh ,Phương pháp tính lập trình Turbo Pascal.Nhà XB giáo dục ,1998
[ ]4 Phan văn Hạp,Bài tập phương pháp tính lập trình cho máy tính điện tử
(34)(35)(36)