đề thi toán 2020 chuẩn số 7

BỘ ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ DỰ ĐỐN KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ uuur Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2; −2;1) , B ( 1; −1;3) Tọa độ vectơ AB A ( −1;1; ) B ( −3;3; −4 ) C ( 3; −3; ) D ( 1; −1; −2 ) Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 3t + ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây Tính qng đường vật khoảng thời gian từ giây thứ đến giây thứ 10? A 994m B 945m C 1001m D 471m Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết đường thẳng SC hợp với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC a3 A a3 B a3 C 3a D Câu 4: Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số y = e x ? B y = e x C y = e − x D y = ln x x Câu 5: Cho tam giác ABC tam giác cạnh a, gọi H trung điểm cạnh BC Hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH có diện tích đáy bằng: A y = π a2 π a2 C D π a 2 Câu 6: Với số thực dương a m, n hai số thực Mệnh đề đúng? A π a B A ( a m ) = a m + n n B am = a m− n n a C ( a m ) = a m n n D am = a n−m n a Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên [ −5;7 ] sau −5 x y' y − + Mệnh đề đúng? f ( x) = A Min [ −5;7 ) f ( x) = B Min [ −5;7 ) Câu 8: Số cạnh hình tứ diện A B Câu 9: Cho ∫ f(x f ( x) = C Max [ −5;7 ) f ( x) = D Max [ −5;7 ) C 12 D + 1) xdx = Khi I = ∫ f ( x ) dx A B D −1 C Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Công thức diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, đường thẳng x = a đường thẳng x = b b A S = π ∫ f ( x ) dx a b b B S = ∫ f ( x ) dx C S = ∫ f ( x ) dx a a b D S = π ∫ f ( x ) dx a Câu 11: Hỏi tăng chiều cao khối lăng trụ lên gấp lần tăng bán kính đáy lên gấp lần thể tích khối trụ tăng lần so với thể tích khối trụ ban đầu A 36 lần B lần C 18 lần D 12 lần Câu 12: Tập xác định hàm số y = x là: A [ 0;+∞ ) B ¡ \ { 0} C ¡ D ( 0;+∞ ) 2 Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = Mặt phẳng tiếp xúc với (S) song song với mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 11 = có phương trình là: A x − y + z − = B x − y + z + = − x2 Câu 14: Tập nghiệm bất phương trình  ÷ 4 A ( −∞; −2 ) B ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) Câu 15: Nếu số hữu tỉ a, b thỏa mãn ∫ ( ae A > x C x − y + z + = D x − y + z − = 81 256 C R D ( −2;2 ) + b ) dx = e + giá trị biểu thức a + b B C D Câu 16: Nếu log = a log 72 108 + 3a + 2a + 3a C D + 2a + 3a + 2a x +1 Câu 17: Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận ngang đường thẳng đây? 4x −1 1 A y = −1 B x = −1 C y = D x = 4 A 2+a 3+ a B Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 1;2; −1) Tọa độ hình chiếu vng góc điểm A trục Oy A ( 0;2;0 ) B ( 1;0;0 ) C ( 0;0; −1) D ( 1;0; −1) Câu 19: Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = biểu thức 20u1 − 10u2 + u3 đạt giá trị nhỏ Số hạng thứ bảy cấp số nhân ( un ) có giá trị A 6250 B 31250 C 136250 D 39062 Câu 20: Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số đây? A y = x − x + B y = − x + 3x + C y = x − x + D y = x − x + Câu 21: Biết đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = 2x +1 hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x −1 x A , xB Khi giá trị x A + xB A B C D Câu 22: Đồ thị hàm số y = ln x qua điểm B C ( 2; e ) A A ( 1;0 ) C D ( 2e;2 ) 20  x 4 Câu 23: Số hạng không chứa x khai triển  + ÷ 2 x 9 A C20 10 10 B C20 ( x ≠ 0) D B ( 0;1) 10 11 C C20 12 D C20 Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu sau: −∞ x y' −2 − +∞ 0 + − Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( 0;+∞ ) B ( −∞; −2 ) C ( −3;1) D ( −2;0 ) Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R có bảng biến thiên x y' −∞ − −1 + +∞ 0 − +∞ + +∞ y −1 Khẳng định sai? A M ( 0;2 ) điểm cực tiểu đồ thị hàm số B f ( −1) giá trị cực tiểu hàm số C x0 = điểm cực đại hàm số D x0 = điểm cực tiểu hàm số Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + z −1 = Khoảng cách từ điểm M ( 1; −2;0 ) đến mặt phẳng (P) bằng: A B C D Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x y' −∞ −2 − + +∞ +∞ +∞ − y −∞ Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C D Câu 28: Thể tích V khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h tương ứng tính cơng thức đây? 1 A V = S h B V = S h C V = 3S h D V = S h 2 2 Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z − = Tọa độ tâm I mặt cầu (S) A ( −1;2;1) B ( 2; −4; −2 ) C ( 1; −2; −1) D ( −2;4;2 ) Câu 30: Số nghiệm dương phương trình ln x − = A B C D −µx Câu 31: Cường độ ánh sáng qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức I = I e , với I cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào môi trường nước biển x độ dày mơi trường (x tính theo đơn vị mét) Biết mơi trường nước biển có số hấp thu µ = 1, Hỏi độ sâu 30 mét cường độ ánh sáng giảm lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào nước biển? A e −21 lần B e 42 lần C e 21 lần D e −42 lần 2019 Câu 32: Cho M = C2019 + C2019 + C2019 + C2019 Viết M dạng số hệ thập phân số có chữ số? A 610 B 608 C 609 D 607 Câu 33: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B, đường cao BH Biết A ' H ⊥ ( ABC ) AB = 1, AC = 2, AA ' = Thể tích khối lăng trụ cho A 21 12 B C 21 D Câu 34: Cho tam giác ABC có cạnh 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Dựng đoạn thẳng SH vng góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) A 3a B 21 a C 21 a D a Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = ( Q ) : x − y + z + = Số mặt cầu qua A ( 1; −2;1) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P), (Q) A B C Vô số D Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1;2;1) , B ( 2; −1;3) điểm M ( a; b;0 ) cho MA2 + MB nhỏ Giá trị a + b A B −2 C D Câu 37: Cho hình nón trịn xoay có chiều cao bán kính đáy Mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân có độ dài cạnh đáy Diện tích thiết diện A B 19 C D Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên: x y' y −∞ + − + +∞ −5 −4 Tìm tất giá trị m để bất phương trình f ( ) x + + ≤ m có nghiệm? A m ≥ −4 B m ≥ C m ≥ Câu 39: Cho hình cầu (S) có bán kính R Một khối trụ tích bẳng +∞ D m > −5 4π 3 R nội tiếp khối cầu (S) Chiều cao khối trụ bẳng: A R B R C R D R Câu 40: Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ln ( x + 1) − mx + đồng biến ¡ là: A [ −1;1] B ( −∞; −1) C ( −1;1) D ( −∞; −1] Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ , f ( x ) ≠ với x thỏa mãn f ( 1) = − , f ' ( x ) = ( x + 1) f ( x ) Biết f ( 1) + f ( ) + + f ( 2019 ) = a − vi a  , b Ơ , ( a; b ) = Khẳng định b sau sai? A a − b = 2019 B ab > 2019 C 2a + b = 2022 Câu 42: Cho hình nón có chiều cao 2R bán kính đường trịn đáy R Xét hình trụ nội tiếp hình nón cho tích khối trụ lớn nhất, bán kính đáy khối trụ bằng: 2R R A B 3 3R R C D D b ≤ 2020 Câu 43: Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh B, C thuộc trục Ox Gọi E ( 6; 4;0 ) , F ( 1; 2;0 ) hình chiếu B C cạnh AC, AB Tọa độ hình chiếu A BC là: 8  A  ;0;0 ÷ 3  5  B  ;0;0 ÷ 3  7  C  ;0;0 ÷ 2  D ( 2;0;0 ) Câu 44: Cho phương trình x = m.2 x.cos ( π x ) − , với m tham số thực Gọi m0 giá trị m cho phương trình có nghiệm thực Khẳng định đúng? A m0 ∈ [ −5; −1) B m0 < −5 C m0 ∈ [ −1;0 ) D m0 > Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng C, CH vng góc với AB H, I trung điểm đoại HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy, ∠ASB = 900 Gọi O trung điểm đoạn AB, O ' tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo đường thẳng O O ' mặt phẳng (ABC) bằng: A 600 B 300 C 900 D 450 Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số y = f ( f ( x ) + ) có điểm cực trị? A 10 C 12 B 11 D Câu 47: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) , hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số g ( x ) = f ( − x − x ) nghịch biến khoảng đây? A ( −2; −1) B ( 1;2 ) C ( −1;0 )   D  − ;0 ÷   Câu 48: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định độ dài đoạn thẳng AB Biết tập hợp điểm M cho MA = 3MB mặt cầu Bán kính mặt cầu bằng: A B C D 2 Câu 49: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x + m ) = m có nghiệm phân biệt là: A.2 C B Vô số D Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) Khi giá trị nhỏ hàm số y = g ( x ) đoạn [ −3;3] bằng: A g ( ) B g ( 1) C g ( −3) D g ( 3) HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1.A 11.C 21.A 31.B 41.A 2.C 12.C 22.A 32.B 42.A 3.C 13.C 23.B 33.C 43.A 4.B 14.C 24.D 34.B 44.A 5.C 15.A 25.A 35.A 45.B 6.B 16.B 26.C 36.A 46.B 7.B 17.C 27.D 37.C 47.B 8.B 18.A 28.B 38.A 48.D 9.C 19.B 29.A 39.D 49.C 10.B 20.D 30.A 40.D 50.C Câu (NB): Phương pháp: uuur Cho hai điểm A ( x1; y1; z1 ) , B ( x2 ; y2 ; z2 ) ⇒ AB = ( x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) Cách giải: uuur Ta có: AB = ( −1;1;2 ) Chọn: A Câu (TH): Phương pháp: b Sử dụng cơng thức tính qng đường xe khoảng thời gian từ a đến b là: s = ∫ v ( t ) dt a Cách giải: Ta có quãng đường vật chuyển động là: 10 10 3 s = ∫ ( 3t + ) dt = ( t + 4t ) = 1001 (m) Chọn: C Câu (TH): Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h là: V = Sh Cách giải: Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ∠ ( SC , ( ABC ) ) = ∠ ( SA, SC ) = ∠SCA = 600 Xét ∆SAC ta có: SA = AC.tan 600 = a 1 a a3 ⇒ V = SA.S ABC = a = 3 4 Chọn: C Câu (NB): Phương pháp: x x Sử dụng công thức nguyên hàm hàm ∫ e dx = e + C Cách giải: x x Ta có: ∫ e dx = e + C Chọn: B Câu (TH): Phương pháp: Diện tích đường trịn bán kính R S = π R Cách giải: BC a a2 π a2 Ta có: R = HB = = ⇒ Sd = π R = π = 2 4 Chọn: B Câu (NB): Phương pháp: Sử dụng công thức lũy thừa chọn đáp án Cách giải: Ta có: ( a m ) = a m.n ; a m a n = a m + n ; n am = a m −n n a Chọn: B Câu (NB): Phương pháp: Dựa vào BBT, nhận xét giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho khoảng xác định Cách giải: f ( x ) = x = , hàm số không đạt giá trị lớn [ −5;7 ) Dựa vào BBT ta thấy: [ −5;7 ) Chọn: A Câu (NB): Phương pháp: Vẽ hình tứ diện đếm số cạnh tứ diện Cách giải: Tứ diện gồm cạnh bên cạnh đáy nên có cạnh Chọn: B Câu (TH): Phương pháp: b Sử dụng phương pháp đổi biến tính chất: ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt để làm toán a Cách giải: Đặt x + = t ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = dt Đổi cận: x = ⇒ t =  x = ⇒ t = 5 f ( t ) dt = ⇔ ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 2 ⇒ I = ∫ f ( x + 1) xdx = ∫ Chọn: D Câu 10 (NB): Phương pháp: Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) đồ thị b hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) là: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Cách giải: b Ta có: S = ∫ f ( x ) dx a Chọn: B Câu 11 (TH): Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính thể tích khối trụ bán kính R chiều cao h V = π R h Cách giải: Gọi hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h tích V = π R h Chiều cao tăng lên hai lần nên chiều cao hình trụ 2h Bán kính tăng lên ba lần nên bán kính hình trụ 3R Thể tích khối trụ lúc V1 = π ( 3R ) 2h = 18π R h = 18V Chọn: C Câu 12 (NB): Phương pháp: x Hàm số y = a ( a > ) có TXĐ D = ¡ Cách giải: Hàm số y = x có TXĐ D = ¡ Chọn: C Câu 13 (TH): Phương pháp: Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = có phương trình ax + by + cz + d ' = ( d ≠ d ' ) Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R d ( I ; ( Q ) ) = R Từ tìm d ' ⇒ ptmp ( Q ) Cách giải: Gọi (Q) mặt phẳng cần tìm, ( Q) / / ( P) ⇒ mặt phẳng (Q) phương trình x − y + z + d = ( d ≠ −11) 10 +) log 72 = log ( 23.32 ) = 3log + log 3 = Suy log 72 108 = 3 + 2a +2= a a + 2a a + 3a + = + 2a + 2a + 2a Chọn: B Chú ý: Các em bấm máy cách thử đáp án log 72 108 trừ biểu thức đáp án Kết nhận ta chọn Câu 17(NB): Phương pháp: ax + b a Đồ thị hàm số y = nhận đường thẳng y = làm đường tiệm cận ngang cx + d c Cách giải: x +1 Đồ thị hàm số y = nhận đường thẳng y = làm đường tiệm cận ngang 4x −1 Chọn: C Câu 18 (NB): Phương pháp: Hình chiếu điểm M ( a; b; c ) xuống trục Oy M ( 0; b;0 ) Cách giải: Hình chiếu điểm A ( 1; 2; −1) xuống trục Oy A ( 0; 2;0 ) Chọn: A Câu 19 (TH): Phương pháp: n Cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q ( q ≠ ) có số hạng thứ n un = u1.q Cách giải: Gọi cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q ( q ≠ ) Ta có 20u1 − 10u2 + u3 = 2q − 20q + 40 = ( q − ) − 10 ≥ −10 Dấu “=” xảy q − = ⇔ q = 6 Số hạng thứ cấp số nhân u7 = u1.q = 2.5 = 31250 Chọn: B Câu 20 (TH): Phương pháp: Chọn số điểm thuộc đồ thị hàm số thay tọa độ vào hàm số đáp án để loại trừ Cách giải: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đồ thị hàm đa thức bậc ba có hệ số a > nên loại B C Nhận thấy điểm có tọa độ ( −1;3) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = −1; y = vào hai hàm số cịn lại ta thấy có hàm số y = x − x + thỏa mãn nên chọn D 12 Chọn: D Câu 21(TH): Phương pháp: Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số, tìm hồnh độ giao điểm áp dụng định lý Vi-et để tính giá trị biểu thức đề yêu cầu Cách giải: Điều kiện: x ≠ Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: ( x − ) ( x − 1) = x + ⇔ x − 3x + − x − = ⇔ x − x + = Ta có ∆ = 52 − = 21 > ⇒ Phương trình có nghiệm phân biệt x A , xB Áp dụng định lí Vi-et ta có x A + xB = Chọn: A Câu 22 (NB): Phương pháp: Thay tọa độ điểm vào công thức hàm số chọn đáp án Cách giải: Xét điểm A ( 1;0 ) ta có: ln1 = ( tm ) ⇒ A thuộc đồ thị hàm số Chọn: A Câu 23 (TH): Phương pháp: n k n−k k Sử dụng công thức khai triển nhị thức: ( a + b ) = ∑ Cn a b n k =0 Cách giải: 20 k 20 − k 20  x 4  x 4 Ta có:  + ÷ = ∑ C20k  ÷  ÷ 2 x 2  x k =0 20 = ∑ C20k k =0 420 k − 20 20 k 420 k − 20 x = ∑ C20 3k x 4k 2k k =0 Để có số hạng khơng chứa x khai triển thì: 2k − 20 = ⇔ k = 10 420 10 Vậy số hạng không chứa x khai triển là: C 30 = 210.C20 Chọn: B Câu 24 (NB): Phương pháp: Dựa vào BBT để nhận xét tính đơn điệu hàm số Cách giải: 10 20 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến ( −2;0 ) Chọn: D Câu 25 (NB): Phương pháp: Dựa vào BBT để nhận xét điểm cực đại cực tiểu hàm số Cách giải: 13 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại x = 0; yCD = ⇒ M ( 0; ) điểm cực đại hàm số Chọn: A Câu 26 (TH): Phương pháp: Cơng thức tính khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = là: d ( M ;( P) ) = ax0 + by0 + cz0 + d a + b2 + c Cách giải: Ta có: d ( M ; ( P ) ) = 2.1 − ( −2 ) + − 22 + 22 + 12 = Chọn: C Câu 27 (TH): Phương pháp: f ( x) = ∞ +) Đường thẳng x = a gọi TCĐ đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇔ lim x→a f ( x) = b +) Đường thẳng y = b gọi TCN đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇔ xlim →±∞ Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −2, x = TCĐ đường thẳng y = làm TCN Như đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn: D Câu 28 (NB): Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h là: V = Sh Cách giải: Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h là: V = Sh Chọn: B Câu 29: Phương pháp: Mặt cầu x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = có tâm I ( a; b; c ) bán kính R = a + b + c − d Cách giải: Ta có mặt cầu có tâm I ( −1; 2;1) Chọn: A Câu 30: Phương pháp: b Giải phương trình logarit: log a f ( x ) = b ( < a ≠ 1) ⇔ f ( x ) = a 14 Cách giải: x = ±  x2 − =  x2 = ⇔⇔  ⇔ Ta có: ln x − = ⇔ x − = e = ⇔   x = ±  x − = −1 x = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm dương phân biệt Chọn: A Câu 31 (TH): Phương pháp: −µx Thay x = 0; x = 30 vào công thức I = I e để tính tỉ số Cách giải: − µ = I0 Cường độ ánh sáng lúc bắt đầu vào nước biển (ứng với x = 0) I1 = I 0e −1,4.30 = I 0e −42 = Cường độ ánh sáng độ sâu 30m I = I 0e I0 e 42 Nên lúc cường độ ánh sáng giảm e 42 lần so với cường độ ánh sáng lúc bắt đầu vào nước biển Chọn: B Câu 32 (VD): Phương pháp: n k n −k k Sử dụng công thức nhị thức Newton ( a + b ) = ∑ Cn a b n k =0 ( n ≥ k ≥ 0; n, k ∈ ¥ ) Sử dụng số chữ số M hệ thập phân [ log M ] + với [ log M ] phần nguyên log M Cách giải: Ta có ( + x ) 2019 2019 k = ∑ C2019 x k k =0 2019 Với x = ta có ∑C k =0 k 2019 = ( + 1) 2019 2019 ⇔ C2019 + C2019 + C2019 + + C2019 = 22019 ⇔ M = 22019 Viết số M = 22019 dạng số thập phân có số chữ số là: [ log M ] + = log 22019  + = [ 2019.log 2] + = 607 + = 608 chữ số Chọn: B Câu 33 (VD): Phương pháp: Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy S V = h.S Tính tốn cạnh dựa vào định lý Pytago hệ thức lượng tam giác vuông Cách giải: Xét tam giác vng ABC có: BC = AC − AB = 22 − 12 = AB = AH AC ⇒ AH = AB = AC Vì A ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' H ⊥ AC 15 Xét tam giác vng AA ' H có A ' H = AA '2 − AH = − Thể tích khối lăng trụ VABC A ' B 'C = A ' H S ABC = = AB.BC 21 = = 2 2 Chọn: C Câu 34: Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách Cách giải: Gọi M trung điểm AB ta có CM ⊥ AB Trong (ABC) kẻ HN / / CM ( N ∈ AB ) ⇒ NH ⊥ AB  AB ⊥ NH ⇒ AB ⊥ ( SHN ) Ta có   AB ⊥ SH ( SH ⊥ ( ABC ) ) Trong (SHN) kẻ HK ⊥ SN ( K ∈ SN ) ta có  HK ⊥ SN ⇒ HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H ; ( SAB ) ) = HK   HK ⊥ AB ( AB ⊥ ( SHN ) ) Có: CH ∩ ( SAB ) = A ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) d ( H ; ( SAB ) ) = CA = HA 3 d ( H ; ( SAB ) ) = HK 2 Áp dụng định lí Ta-lét ta có: ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) = HN AH 2 3a = = ⇒ HN = CM = =a CM AC 3 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SHN ta có; HK = 2a 21a = = = a SH + HN 4a + 3a SH HN Vậy d ( C ; ( SAB ) ) = 2a.a 3 21a HK = Chọn: B Câu 35 (VD): Phương pháp: 1 d ( ( P ) ; ( Q ) ) = d ( M ; ( Q ) ) với M ∈ ( P ) 2 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lập luận số mặt cầu thỏa mãn Cách giải: Tính bán kính mặt cầu R = 16 −1 −1 = = ≠ nên ( P ) / / ( Q ) −1 Ta có ( P ) : x − y + z − = 0; ( Q ) : x − y + z + = có Lấy M ( 0;0; ) ∈ ( P ) ⇒ d ( ( P ) ; ( Q ) ) = d ( M ; ( Q ) ) = = Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) (Q) nên bán kính mặt cầu R = d ( ( P ) ; ( Q ) ) = Nhận thấy d ( A; ( P ) ) = 2.1 − ( −2 ) + − 6 = d ( ( P ) ; ( Q ) ) mà A ∉ ( Q ) nên A nằm khác phía với = mặt phẳng (Q) bờ mặt phẳng (P) Suy A không thuộc mặt cầu cần tìm nên khơng có mặt cầu thỏa mãn đề Chọn: A Câu 36 (VD): Phương pháp: +) Sử dụng cơng thức tính độ dài đoạn thẳng AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) 2 +) Đưa dạng đẳng thức nhận xét Cách giải: Ta có: MA2 + MB = ( a − 1) + ( b − ) + 12 + ( a − ) + ( b + 1) + 32 2 2 = 2a + 2b2 − 6a − 2b + 10 = ( a + b2 − 3a − b + ) 2  3   5 =  a − ÷ +  b − ÷ +  ≥ 2     3 Dấu “=” xảy ⇔ a = , b = ⇒ a + b = + = 2 2 Chọn: A Câu 37 (VD): Phương pháp: +) Gọi S đỉnh hình nón O tâm đường trịn đáy hình nón Giả sử (P) cắt nón theo thiết diện tam giác SAB +) Gọi M trung điểm AB, tính SM, từ tính S SAB Cách giải: Gọi S đỉnh hình nón O tâm đường trịn đáy hình nón Giả sử (P) cắt nón theo thiết diện tam giác SAB Gọi M trung điểm AB ta có  AB ⊥ OM ⇒ AB ⊥ ( SOM ) ⇒ AB ⊥ SM   AB ⊥ SO Trong tam giác vng OBM ta có: OM = OB − MB = 32 − 12 = Trong tam giác vng SOM ta có: SM = SO + OM = 42 + = 17 Vậy S SAB = 1 SM AB = 6.2 = 2 Chọn: C Câu 38 (VD): Phương pháp: - Đặt ẩn phụ t = x + + , tìm điều kiện t ( t ∈ D) - Xét hàm f ( t ) lập bảng biến thiên D f ( t) ≤ m Bất phương trình f ( t ) ≤ m có nghiệm D Cách giải: Đặt t = x + + t ∈ ( 1; +∞ ) Với x = t = Bảng biến thiên f ( t ) : t f '( t ) f ( t) − +∞ + +∞ −4 Do bất phương trình f ( t ) ≤ m có nghiệm m ≥ −4 Chọn: A Câu 39 (VD): Phương pháp: +) Đặt OO ' = h ( < h < R ) Tính bán kính r trụ theo h +) Tính thể tích khối trụ, sử dụng công thức V = π r h Cách giải: h Đặt OO ' = h ( < h < R ) ⇒ OI = Gọi r bán kính đáy hình trụ ta có r = R − h2 4R − h2 = Khi thể tích khối trụ là: R − h2 4π 3 V =π h = R ⇔ ( 4R − h ) h = 16 3R 16 3R 36 R ⇔ 16 3R − 36 R 2h + 9h3 = ⇔ − +9 = h3 h R Đặt t = > , phương trình trở thành 16 3t − 36t + = h 18 ⇔ R 2R = ⇔h= = R h 3 Chọn: D Câu 40 (VD): Phương pháp: +) Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ ¡ hữu hạn điểm g ( x) +) Cô lập m, đưa phương trình dạng m ≤ g ( x ) ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ ¡ +) Lập BBT hàm số y = g ( x ) kết luận Cách giải: TXĐ: D = ¡ Ta có y ' = 2x −m x2 + Để hàm số đồng biến ¡ y ' ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ g ( x) = 2x − m ≥ ∀x ∈ ¡ x +1 2x ≥ m ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ g ( x ) ¡ x +1 2 ( x + 1) − x.2 x −2 x + 2x = = ⇔ x = ±1 Xét hàm số g ( x ) = ta có g ' ( x ) = 2 x +1 ( x + 1) ( x + 1) BBT: x −∞ g '( x ) g ( x) − −1 + − +∞ 0 −1 g ( x ) = g ( −1) = −1 Từ BBT ta có ¡ ⇒ m ≤ −1 ⇒ m ∈ ( −∞; −1] Chọn: D Câu 41 (VDC): Phương pháp: - Lấy nguyên hàm hai vế từ đẳng thức đạo hàm kết hợp điều kiện tìm f ( x ) - Tính giá trị f ( 1) , f ( ) , , f ( 2019 ) thay vào tính tổng - Tìm a, b kết luận Cách giải: Ta có: f ' ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ⇔ f '( x ) = 2x + f ( x) Nguyên hàm hai vế ta được: 19 f '( x ) ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 1) dx ⇒ − f ( x ) = x 2 + x+C 1 − = 12 + + C ⇔ C = Do f ( 1) = − nên − 2 Do − 1 1 = x2 + x ⇒ f ( x ) = − = − f ( x) x + x x +1 x ⇒ f ( 1) + f ( ) + + f ( 2019 ) = 1 1 1 − + − + + − = −1 2020 2019 2010 Vậy a = 1, b = 2020 Đối chiếu đáp án ta thấy A sai Chọn: A Câu 42 (VD): Phương pháp: - Gọi bán kính đáy khối trụ r ( < r < R ) - Lập hàm số thể tích khối trụ tìm GTLN đạt Cách giải: Gọi chiều cao khối trụ h bán kính đáy khối trụ r O ' A ' SO ' r 2R − h = ⇒ = ⇒ h = R − 2r Ta có: OA SO R 2R 2 Thể tích khối trụ: V = π r h = π r ( R − 2r ) = 2π ( Rr − r ) Xét hàm f ( r ) = Rr − r có f ' ( r ) = 2rR − 3r = ⇔ r = 2R (vì < r < R ) Bảng biến thiên: r f '( r ) f ( r) R 2R + − f max 20 Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số f ( r ) đạt GTLN r = Vậy Vmax đạt r = 2R 2R Chọn: A Câu 43 (VDC): Phương pháp: - Gọi D hình chiếu A lên BC uuur uuuur - Sử dụng hình học phẳng chứng minh DN = − DM với M, N hình chiếu E, F lên BC Cách giải: Gọi N, D, M hình chiếu F, A, E lên BC H trực tâm tam giác Dễ thấy D1 = B1 (tứ giác FHDB nội tiếp), D2 = C1 (tứ giác EHDC nội tiếp) Mà B1 = C1 (cùng phụ góc BAC) nên D1 = D2 ⇒ FDN = EDC Xét tam giác FDN đồng dạng tam giác EDM (g-g) ND FN ⇒ = DM EM Mà F ( 1;2;0 ) , E ( 6;4;0 ) nên N ( 1;0;0 ) , M ( 6;0;0 ) FN = 2, EM = ⇒ DN FN = = DM EM uuur uuuur Suy DN = − DM Gọi D ( x;0;0 ) ∈ BC − x = − ( − x) ⇔ x = 8  Vậy D  ;0;0 ÷ 3  Chọn: A Câu 44 (VDC): Phương pháp: - Biến đổi phương trình nhận xét tính đối xứng nghiệm - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm suy m Cách giải: x x 2x x x Ta có: = m.2 cos ( π x ) − ⇔ = m.2 cos ( π x ) − ⇔ m cos ( π x ) = + ⇔ m cos ( π x ) = x + 2− x x x 2− x Trong phương trình m cos ( π x ) = + , ta thay x − x phương trình trở thành: m cos ( 2π − π x ) = 22− x + x ⇔ m cos ( π x ) = x + 2− x 21 Suy x − x có vai trị phương trình nên phương trình nhận x0 làm nghiệm nhận − x0 làm nghiệm Do để phương trình có nghiệm thực x0 = − x0 ⇔ x0 = Với x = m cos π = 21 + 21 ⇔ m = −4 Thử lại, Với m = −4 ta có: x = −4.2 x.cos ( π x ) − ( *) x x Điều kiện: −4.2 cos ( π x ) − ≥ ⇔ cos ( π x ) + ≤ 2x x x 2− x x 2− x Khi ( *) ⇔ = −4.2 cos ( π x ) − ⇔ = −4cos ( π x ) − ⇔ + = −4cos ( π x ) Ta thấy: x + 22− x ≥ 2 x.22− x = cos ( π x ) ≥ −1 ⇒ −4cos ( π x ) ≤ x 2− x Suy + = = −4cos ( π x ) ⇔ x = Vậy với m = −4 phương trình có nghiệm Kiểm tra đáp án ta thấy A thỏa mãn Chọn: A Câu 45 (VDC): Phương pháp: - Dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện - Xác định góc OO ' mặt phẳng (ABC), ý tìm đường thẳng song song với OO ' suy góc Cách giải: Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB Qua J kẻ đường thẳng vng góc với (IAB), cắt mặt phẳng trung trực SI O ' O ' tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SIAB Lại có O ' J ⊥ ( ABC ) ⇒ ( OO ', ( ABC ) ) = ( OO ', OJ ) Do tam giác SAB vuông nên OO ' trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB hay OO ' ⊥ ( SAB )  AB ⊥ AH ⇒ AB ⊥ ( SIH ) ⇒ AB ⊥ IK Kẻ IK ⊥ SH Ta có   AB ⊥ SI Do IK ⊥ ( SAB ) nên IK ⊥ OO ' Ngoài OJ ⊥ AB (trung trực AB) IH ⊥ AB nên IH / / OJ Từ ( OO ', OJ ) = ( IK , IH ) = KIH Trong tam giác vng CAB, SAB ta có: CH = HA.HB = SH ⇒ CH = SH Lại có SI vừa đường cao vừa trung tuyến tam giác SCH nên tam giác SCH cân S ⇒ SC = SH = CH hay tam giác SCH ⇒ KHI = 600 ⇒ KIH = 300 Vậy góc OO ' (ABC) 300 Chọn: B 22 Câu 46 (VDC): Ta có: y ' =  f ( f ( x ) + )  ' = f ' ( x ) f ' ( f ( x ) + )  f ' ( x ) = ( 1) y' = ⇔   f ' ( f ( x ) + ) = ( 2)  x = x1 ∈ ( 1;2 )  Xét (1): f ' ( x ) = ⇔  x = hay phương trình f ' ( x ) = có nghiệm phân biệt  x = x ∈ ( 2;3)   f ( x ) + = x1  f ( x ) = x1 − ∈ ( −1;0 )   Xét (2): f ' ( f ( x ) + ) = ⇔  f ( x ) + = ⇔  f ( x ) = f x +2= x  f x = x − ∈ 0;1 ( ) 2  ( )  ( ) Phương trình f ( x ) = x1 − có nghiệm phân biệt Phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt, có nghiệm đơn nghiệm kép (bội hai) Phương trình f ( x ) = x2 − có nghiệm phân biệt Suy phương trình y ' = có tất + + + = 11 nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số cho có 11 điểm cực trị Chọn: B Chú ý: Một số em quên xét số nghiệm phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt mà khơng loại nghiệm kép dẫn đến chọn nhầm đáp án C sai Câu 47 (VDC): Phương pháp: - Tính g ' ( x ) - Xét dấu g ' ( x ) khoảng đưa đáp án kết luận Cách giải: 2 Ta có: g ( x ) = f ( − x − x ) ⇒ g ' ( x ) = − ( x + 1) f ' ( − x − x ) Đáp án A: Trong khoảng ( −2; −1) ta có: +) − ( x + 1) > +) −2 < − x − x < nên f ' ( − x − x ) > Do g ' ( x ) > hay hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng Loại A Đáp án B: Trong khoảng ( 1;2 ) ta có: +) − ( x + 1) < +) −6 < − x − x < −2 nên f ' ( − x − x ) > Do g ' ( x ) < hay hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng Chọn: B 23 Câu 48 (VDC): Phương pháp: uuur uuur - Biến đổi MA = 3MB ⇔ MA − MB = uu r uur - Tìm điểm I thỏa mãn IA = IB uuur uuur - Xen điểm I vào đẳng thức MA − MB = tính MI Cách giải: uuur uuur Ta có: MA = 3MB ⇔ MA2 − MB = ⇔ MA − 9MB = uu r uur uu r uur Ta tìm điểm I thỏa mãn IA − IB = ⇔ IA = IB Đặt IB = x ⇒ IA = x ⇒ = AB = IA − IB = x − x = x ⇔ x = Do IA = , IB = 2 uuur uuur uuu r uu r uuu r uur Khi MA − MB = ⇔ MI + IA − MI + IB = uuu r uu r uuu r uur uuu r uu r uur ⇔ MI + MI IA + IA2 − MI + 2MI IB + IB = ⇔ MI + IA2 − 9MI − IB + 2MI IA − IB = ( ) ( ( ) ) ( ) ⇔ −8MI + IA2 − IB = 2 9 1 ⇒ −8MI +  ÷ −  ÷ = ⇔ −8MI = −18 ⇔ MI = ⇔ MI = 2 2 Vậy M nằm mặt cầu tâm I bán kính MI = Chọn: D Câu 49 (VDC): Phương pháp: Đồ thị hàm số f ( x + m ) tạo thành cách +) Từ đồ thị hàm số f ( x ) suy đồ thị hàm số f ( x ) +) Từ đồ thị hàm số f ( x ) suy đồ thị hàm số f ( x + m ) cách tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) dọc theo trục Ox sang bên trái m đơn vị Cách giải: Đồ thị hàm số f ( x + m ) tạo thành cách +) Từ đồ thị hàm số f ( x ) suy đồ thị hàm số f ( x ) cách giữ đồ thị hàm số f ( x ) bên phải trục hoành, xóa phần đồ thị hàm số bên trái trục hoành lấy đối xứng đồ thị hàm số f ( x ) bên phải trục hoành qua trục hoành 24 +) Từ đồ thị hàm số f ( x ) suy đồ thị hàm số f ( x + m ) cách tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) dọc theo trục Ox sang bên trái m đơn vị Từ ta có đồ thị hàm số f ( x ) sau: Quá trình tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) dọc theo trục Ox sang bên trái m đơn vị khơng làm thay đổi số tương giao, phương trình f ( x + m ) = m có nghiệm phân biệt m = −1 m = Mà m ∈ ¢ ⇒ m = −1 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn: C Câu 50 (VDC): Phương pháp: - Tính g ' ( x ) - Vẽ đường thẳng y = x − mặt phẳng tọa độ với f ' ( x ) - Dựa vào mối quan hệ diện tích hình phẳng nhận xét giá trị g ( 1) , g ( 3) , g ( −3) kết luận Cách giải: Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( x − 1) =  f ' ( x ) − ( x − 1)  Vẽ đường thẳng y = x − ta thấy, Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cắt đường thẳng y = x − ba điểm có hồnh độ −3;1;3 nên hàm số đạt GTNN ba điểm Ta có: +) g ( 1) − g ( −3) = 1 −3 −3 ∫ g ' ( x ) dx = ∫  f ' ( x ) − ( x − 1)  dx Do khoảng ( −3;1) đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía đường thẳng y = x − nên ∫  f ' ( x ) − ( x − 1)  dx > hay g ( 1) − g ( −3) > ⇔ g ( −3) < g ( 1) −3 3 1 +) g ( 3) − g ( 1) = ∫ g ' ( x ) dx = ∫  f ' ( x ) − ( x − 1)  dx Do khoảng ( 1;3) đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía đường thẳng y = x − nên ∫  f ' ( x ) − ( x − 1)  dx < hay g ( 1) − g ( −3) < ⇔ g ( 1) > g ( 3) −3 Từ suy g ( 1) GTLN hàm số Lại có g ( 1) − g ( −3) = S1 > S2 = g ( 1) − g ( 3) nên g ( −3) < g ( 3) Vậy g ( −3) < g ( 3) < g ( 1) nên GTNN hàm số g ( −3) Chọn: C 25 26 ... log a b, log a bc = log a b + log a c Cách giải: Ta có: log 72 108 = log 72 ( 36.3) = log 72 36 + log 72 = log 36 72 + log 72 +) log 36 72 = log 36 ( 36.2 ) = log36 36 + log 62 = + log 2 1 1 1 +... −10 Dấu “=” xảy q − = ⇔ q = 6 Số hạng thứ cấp số nhân u7 = u1.q = 2.5 = 31250 Chọn: B Câu 20 (TH): Phương pháp: Chọn số điểm thuộc đồ thị hàm số thay tọa độ vào hàm số đáp án để loại trừ Cách giải:... C2019 + + C2019 = 22019 ⇔ M = 22019 Viết số M = 22019 dạng số thập phân có số chữ số là: [ log M ] + = log 22019  + = [ 2019.log 2] + = 6 07 + = 608 chữ số Chọn: B Câu 33 (VD): Phương pháp: Thể