SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Đề thi gồm có 01 trang Ngày thi: 28/07/2020 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (4,0 điểm) Với số nguyên dương n , xét số thực un cho phương trình un x x có n nghiệm nguyên (theo ẩn x un x phần nguyên un x ) Chứng minh un , n , n Với cách xác định dãy un thỏa điều kiện Chứng minh dãy un ln có giới hạn tìm giới hạn Câu (5,0 điểm) ( x 1)( y 1)( z 1) Giải hệ phương trình: x y z x Xét số T 3n 2n , n số nguyên dương, n Chứng minh rằng: a) Không tồn n để T bình phương số nguyên tố b) Nếu T lập phương số nguyên tố n số nguyên tố Câu (3,0 điểm) Với m * ta kí hiệu (2m) (m !) , (2m 1) (m !).((m 1)!) Cho đa thức p( x) hệ số nguyên, có bậc lớn k k * có k nghiệm nguyên phân biệt Xét số nguyên n (n 0) cho đa thức q ( x) p ( x) n có nghiệm nguyên Chứng minh | n | (k ) Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi S giao điểm EF với BC Chứng minh SI vng góc với AD Đường thẳng d thay đổi, qua S cắt đường tròn I hai điểm phân biệt M, N Các tiếp tuyến M, N I cắt T Chứng minh T thuộc đường thẳng cố định Gọi K giao điểm ME NF, G giao điểm MC NB Chứng minh K G thuộc đường thẳng AD Câu (2,0 điểm) Viết n số thực có tổng n (n 1) quanh đường trịn Chứng minh ta gắn nhãn cho số theo chiều kim đồng hồ x1 , x2 ,, xn cho: x1 x2 xk k , 1 k n - HẾT - https://toanmath.com/ + Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm + Họ tên thí sinh: Số báo danh: + Chữ ký giám thị 1: + Chữ ký giám thị 2: ... ta gắn nhãn cho số theo chiều kim đồng hồ x1 , x2 ,, xn cho: x1 x2 xk k , 1 k n - HẾT - https://toanmath.com/ + Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị... https://toanmath.com/ + Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm + Họ tên thí sinh: Số báo danh: + Chữ ký giám thị 1: