[r]
(1)ThS ðoàn Vương Nguyên toancapba.com CHUYÊN ðỀ
LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A Biểu diễn cung – góc lượng giác
Nếu cung (hoặc góc) lượng giác AM có sốđo k2
n
π
α + (hoặc a0 k.360
n
+
) với k ∈ ℤ, n ∈ ℕ+ có n điểm M đường trịn lượng giác cách đều Ví dụ Nếu sñ AM k2
3
π
= + π có điểm M vị trí
π
(ta chọn k = 0) Ví dụ Nếu sđ AM k
6
π
= + π có điểm M vị trí
π
6
π (ta chọn k = 0, k = 1)
Ví dụ Nếu sđ AM k2
4
π π
= + có điểm M vị trí
π
, 11
12
π 19
12
π (ta chọn k = 0, k = k = 2)
Ví dụ Nếu sñ AM 45 k.90 45 k.360
= + = +
có điểm M vị trí 450, 1350, 2250 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3)
Ví dụ Tổng hợp hai cung x k
π
= − + π x k
3
π
= + π
Giải Biểu diễn cung x k
6
π
= − + π
và x k
π
= + π đường trịn lượng giác ta điểm
6
π
− ,
3
π
,
6
π
3
π
cách ñều Vậy cung tổng hợp là:
x k
3
π π
(2)B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I Hàm số lượng giác
1 Hàm số y = cosx
1) Miền xác ñịnh D= ℝ 2) Miền giá trị G = [–1; 1]
3) Hàm số y = cosx hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T = π2 4) (cosx)/ = – sinx
5) ðồ thị hàm số y = cosx ñối xứng qua trục tung Oy
2 Hàm số y = sinx
1) Miền xác ñịnh D= ℝ 2) Miền giá trị G = [–1; 1]
3) Hàm số y = sinx hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π2 4) (sinx)/ = cosx
5) ðồ thị hàm số y = sinx ñối xứng qua gốc tọa ñộ O
3 Hàm số y = tgx
1) Miền xác ñịnh D \{ k , k }
π
= ℝ + π ∈ ℤ
2) Miền giá trị G = ℝ
3) Hàm số y = tgx hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π 4) (tgx)/ = + tg2x = 12
cos x
(3)4 Hàm số y = cotgx
1) Miền xác ñịnh D= ℝ\ k , k{ π ∈ ℤ}
2) Miền giá trị G = ℝ
3) Hàm số y = cotgx hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π 4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = 12
sin x
−
5) ðồ thị hàm số y = cotgx ñối xứng qua gốc tọa ñộ O
5 Chu kỳ của hàm số lượng giác 5.1 ðịnh nghĩa
(4)Ví dụ Hàm số y = sin5x có chu kỳ T
π = vì:
( )
sin x sin(5x ) sin 5x
π
+ = + π =
Hơn nữa, T
π
= số nhỏ hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2π 5.2 Phương pháp giải toán
5.2.1 Hàm số y = sin(nx) y = cos(nx)
Hàm số y = sin(nx) y = cos(nx), n ∈ℤ+ có chu kỳ T
n
π
=
Ví dụ Hàm số y = cos7x có chu kỳ T
π
=
5.2.2 Hàm số y sinx n
= y cosx
n
=
Hàm số y sinx n
= y cosx
n
= , n ∈ ℤ+
có chu kỳ T = n2π Ví dụ Hàm số y sinx
3
= có chu kỳ T = π6 5.2.3 Hàm số y = tg(nx) y = cotg(nx)
Hàm số y = tg(nx) y = cotg(nx), n ∈ ℤ+ có chu kỳ T n
π
=
Ví dụ Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T
π
=
5.2.4 Hàm số y tgx n
= y cotgx
n
=
Hàm số y tgx n
= y cotgx
n
= , n +
∈ ℤ có chu kỳ T = πn Ví dụ Hàm số y tgx
3
= có chu kỳ T = π3 5.2.5 Hàm số y = f(x)±g(x)
Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ m T
n
= π
p T
k
= π
ðể tìm chu kỳ hàm số y = f(x)±g(x) ta thực bước sau:
Bước Quy ñồngm mk
n = nk ,
p np
k = nkvà tìm bội số chung nhỏ A mk, np Bước Chu kỳ y = f(x)±g(x) T A
nk
(5)Ví dụ Tìm chu kỳ hàm số y cos 3x tgx
= −
Giải Hàm số y = cos3x, y tgx
3
= có chu kỳ
3
π
3π Ta có:
2
BCNN(2; 9)
3 T 6
9
3
3
π π
=
⇒ = π = π
π
π =
Vậy chu kỳ hàm số y cos 3x tgx
= − T = π6
II Phương trình lượng giác cơ bản
1) cos x = cosα
x k2
, k
x k2
= α + π
⇔ ∈
= −α + π
Z
2) sin x = sinα ⇔
x k2
, k
x +k2
= α + π
∈
= π − α π
Z
3) tgx = tgα ⇔ x = α + πk , k ∈ Z
4) cotgx = cotgα ⇔ x = α + πk , k ∈ Z
Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ
1) cos x x k , k
π
= ⇔ = + π ∈ Z
2) cos x =1⇔ x = k2 , kπ ∈ Z 3) cos x = − ⇔1 x = π +k2 , kπ ∈ Z 4) sin x = ⇔ x = πk , k ∈ Z
5) sin x x k2 , k
π
= ⇔ = + π ∈Z
6) sin x x k2 , k
π
= − ⇔ = − + π ∈ Z
Ví dụ Xét số nghiệm phương trình cos x+ x =
π
Giải Ta có cos x+ x = ⇔ cos x = −x
π π (1)
Suy (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = cosx x
y = −
(6)Dựa vào ñồ thị, ta suy phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ Giải phương trình:
(cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3) cos x
+ − −
=
+ (2)
Giải
ðiều kiện: cos x x k2
3
π
+ ≠ ⇔ ≠ ± + π
Ta có:
cos x x k2
1
(2) cos x x k2
2
tgx x k
3
= −
= π + π
π
⇔ = ⇔ = ± + π
π
= = + π
So với điều kiện tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là:
2
x k , k
3
π π
= + ∈ ℤ
Chú ý:
Các họ nghiệm x k2
3
π π
= − +
và x k2
π
= π + họ nghiệm (2)
III Các dạng phương trình lượng giác 1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác
(7)Phương pháp giải toán
Bước ðặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) điều kiện t (nếu có)
Bước ðưa phương trình dạng at2 + bt + c = Chú ý:
Nếu phương trình lượng giác biến đổi thành phương trình cơ bản trở lên sau giải xong, ta phải dựa vào đường trịn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có)
Ví dụ Giải phương trình sin x2 +sinx− = (1) Giải
ðặt t = sinx, − ≤1 t≤1 ta có:
(1) ⇔ 2t + −t = t t
2
⇔ = ∨ = − (loại)
sin x sin
π
⇔ = x k2 x k2
4
π π
⇔ = + π ∨ = + π
Vậy (1) có họ nghiệm
x k2
4
, k
x k2
4
π
= + π
∈
π
= + π
ℤ
Ví dụ Giải phương trình 5(1+cos x)= 2+sin x4 −cos x4 (2) Giải
Ta có:
2 2
(2) ⇔ 3+5 cos x = sin x−cos x ⇔ cos x +5 cos x+2 = ðặt t = cosx, − ≤1 t≤1 ta suy ra:
2
(2) ⇔ 2t +5t+2 = t t
2
⇔ = − ∨ = − (loại)
cos x cos2
3
π
⇔ = x k2
3
π
⇔ = ± + π
Vậy (2) có họ nghiệm x k2 , k
π
= ± + π ∈ ℤ
Ví dụ Giải phương trình 32 3tgx
cos x + − = (3)
Giải ðiều kiện x k
2
π
≠ + π, ta có:
2
(3) ⇔ 3(1+tg x)+2 3tgx−6= ⇔ 3tg x +2tgx− = ðặt t = tgx, ta suy ra:
2
(3) ⇔ 3t +2t− = t t
3
(8)
( )
tgx tg x k
6
x k
tgx tg
3
π π
= = + π
⇔ π ⇔ π
= − + π
= −
(thỏa ñiều kiện)
Biểu diễn họ nghiệm đường trịn lượng giác ta thu ñược ñiểm cách ñều
Vậy (3) có họ nghiệm x k , k
6
π π
= + ∈ ℤ
Ví dụ Tìm m để phương trình sin x2 −sin x+m = (4) có nghiệm thuộc ñoạn ;
6
π π
Giải Với x ; sin x
6
π π
∈ ⇒ − ≤ ≤
ðặt t = sinx, ta suy ra:
2
(4) m t t, t
2
⇔ = − + − ≤ ≤
Xét hàm số y = − +t2 t, ta có bảng biến thiên:
t –1/2 1/2 y
1/4 –3/4 Suy (4) có nghiệm x ; m
6 4
π π
∈ ⇔ − ≤ ≤
Cách khác:
( )2
2 1
(4) t t m m t
4
⇔ − = − ⇔ − = −
Do ( )
2
1 1
t 1 t t
2 2
− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ nên:
m m
4 4
≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Ví dụ Tìm m để phương trình tgx−mcotgx = (5) có nghiệm Giải
Cách giải sai:
ðặt t = tgx ⇒ t ≠ 0, ta suy ra:
( )2
2 m
(5) t m t 2t m t 1
t
⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − − ≥ − (a)
(9)Cách giải ñúng:
ðặt t = tgx ⇒ t ≠ 0, ta suy ra:
2 m
(5) t m t 2t
t
⇔ − = ⇔ = −
Xét hàm số y = t2 −2t, ta có bảng biến thiên:
t −∞ +∞
y
+∞ +∞ –1
Vậy (5) có nghiệm ⇔ m ≥ −1 2 Dạng bậc nhất theo sinx cosx
asinx + bcosx + c = (*) (a b khác 0) Phương pháp giải toán
Cách
Bước Chia hai vế (*) cho a ñặt b tg
a = α
Bước (*) sin x tg cos x c sin(x ) ccos
a a
⇔ + α = ⇔ + α = α
Cách
Bước Chia hai vế (*) cho a2 +b2 ñặt:
2 2
a b
cos , sin
a +b = α a +b = α Bước
(*)
2
c sin x cos cos x sin
a b
⇔ α + α =
+
2
c
sin(x )
a b
⇔ + α =
+
Chú ý:
ðiều kiện để phương trình có nghiệm là:
a2 + b2 ≥ c2 Ví dụ Giải phương trình sin x−cosx = (1)
Giải Cách
1 2
(1) sin x cos x sin x tg cos x
6
3 3
π
⇔ − = ⇔ − =
sin x( ) cos sin x( )
6 6
π π π
⇔ − = ⇔ − =
x k2 x k2 , k
6
π π π
(10)Cách
( )
3
(1) sin x cos x sin x
2
π
⇔ − = ⇔ − =
x k2 x k2 , k
6
π π π
⇔ − = + π ⇔ = + π ∈ ℤ
Vậy (1) có họ nghiệm x k2 , k
π
= + π ∈ ℤ
Ví dụ Giải phương trình sin 5x + cos 5x = sin 7x (2) Cách
(2) sin 5x tg cos 5x sin 7x
π
⇔ + =
sin 5x( ) cos sin 7x
3
π π
⇔ + =
( )
7x 5x k2
3
sin 5x sin 7x
2
7x 5x k2
3
π
= + + π
π
⇔ + = ⇔
π
= − + π
x k
6 , k
x k
18
π
= + π
⇔ π π ∈
= +
ℤ
Cách
( )
1
(2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5x
2
π
⇔ + = ⇔ = +
7x 5x k2
3
7x 5x k2
3
π
= + + π
⇔ π
= − + π
x k
6 , k
x k
18
π
= + π
⇔ π π ∈
= +
ℤ
Vậy (2) có họ nghiệm
x k
6 , k
x k
18
π
= + π
∈
π π
= +
ℤ
Ví dụ Giải phương trình sin 2x− cos 2x = −4 (3) Giải
Do 32 + −( 3)2 < −( 4)2 nên phương trình (3) vơ nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình:
2
(11)Giải Ta có:
(4) ⇔ m cos 2x−(m−1)sin 2x =2m+1 Suy ra:
(4) có nghiệm ⇔ m2 +(m−1)2 ≥(2m +1)2 ⇔ − ≤3 m ≤0 3 Dạng ñẳng cấp (thuần nhất) theo sinx cosx
3.1 ðẳng cấp bậc hai
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = (*) Phương pháp giải toán
Cách
Bước Kiểm tra x k
π
= + π có nghiệm (*) không Bước Với x k
2
π
≠ + π, chia hai vế (*) cho cos2x ta ñược: (*) ⇔ atg2x + btgx + c =
Cách
Dùng cơng thức hạ bậc nhân đơi, ta ñưa (*) phương trình bậc theo sin2x cos2x
Ví dụ Giải phương trình:
( +1)sin x−( 3−1)sin x cos x− = (1) Giải
Nhận thấy x k
π
= + π không thỏa (1) Với x k
2
π
≠ + π, chia hai vế (1) cho cos2x ta ñược:
2
(1) ⇔ ( +1)tg x−( 3−1)tgx− 3(1+tg x)=
⇔ tg x2 −( 3−1)tgx− =
x k
tgx
4
tgx tgx k
3
π
= − + π
= −
⇔ ⇔ π
=
= + π
Vậy họ nghiệm (1)
x k
4 , k
tgx k
3
π
= − + π
π ∈
= + π
ℤ
Ví dụ Giải phương trình sin2x + 3sinxcosx + = cos2x (2) Giải
( ) ( )
(2) sin 2x cos 2x sin 2x sin
6
π π
(12)
x k
2x k2
6
2
7 x k
2x k2 3
6
π π
− = − + π = π
⇔ ⇔ π
π π = + π
− = + π
Cách khác:
(2) ⇔ sin x+ sin x cos x = ⇔
sin x
sin x cos x
=
+ =
x k sin x
tgx x k
3
= π
=
⇔ ⇔ π
= − = − + π
Vậy (2) có họ nghiệm
x k
, k
x k
3
= π
∈
π
= + π
ℤ
Chú ý:
ðối với cách giải khác nhau, ta thu nghiệm dạng khác sau tổng hợp nghiệm chúng giống
3.2 ðẳng cấp bậc cao Phương pháp giải toán Cách
Bước Kiểm tra x k
π
= + π có nghiệm phương trình khơng Bước Với x k
2
π
≠ + π, chia hai vế cho cosnx (n bậc cao cosx) ta đưa phương trình bậc n theo tgx
Cách
Dùng công thức hạ bậc nhân đơi, ta đưa phương trình bậc cao theo sin2x cos2x phương trình tích
Ví dụ Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3) Giải
Cách
Nhận thấy x k
π
= + π không thỏa (3) Với x k
2
π
≠ + π, chia hai vế (3) cho cos5x ta ñược:
5
(3) ⇔ 2+2tg x = +1 tg x+tg x(1+tg x)
(13)⇔(tgx−1) (tgx2 +1)(tg x2 +tgx+1)=
tgx x k k
4
π π π
⇔ = ± ⇔ = ± + π ⇔ +
Cách
3
(3) ⇔ cos x(2 cos x−1)= sin x(1−2 sin x)
⇔ cos x cos 2x3 = sin x cos 2x3 cos 2x tgx
=
⇔ =
x k
4 x k
4
x k
4
π π
= +
π π
⇔ π ⇔ = +
= + π
Vậy (3) có họ nghiệm x k , k
4
π π
= + ∈ ℤ
Chú ý:
( 5 ) 3
2 cos x+sin x = cos x +sin x
( 5 ) 3 2
2 cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x)
⇔ + = + +
⇔ cos x5 +sin x5 −cos x sin x3 −cos x sin x2 = (ñẳng cấp) 4 Dạng ñối xứng ñối với sinx cosx
a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = (*) Phương pháp giải toán
Bước ðặt t = sinx + cosx = sin x( )
π +
2 t
⇒ − ≤ ≤
2 t sin x cos x
2
−
=
Bước Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t Chú ý:
Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = có cách giải tương tự cách đặt t = sinx – cosx
Ví dụ Giải phương trình:
( + 1)(sinx + cosx) + sin2x + + = (1) Giải
ðặt t = sinx + cosx ⇒ − ≤ t≤ sin2x = t2 – Thay vào (1) ta ñược:
2
(14)( )
( )
( ) ( )
( )
2 sin x sin x sin
4 4
(1)
2 sin x sin x
4 π π π + = − + = − ⇔ ⇔ π π + = − + = − x k2 x k2 4
x k2 x k2
4
3
x k2 x k2
4
π π + = − + π π = − + π π π ⇔ + = + π ⇔ = π + π π π π + = − + π = − + π
Vậy (1) có họ nghiệm:
x = π +k2π, x k2
2
π
= − + π, x k2
4
π
= − + π (k ∈ ℤ)
Ví dụ Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2) Giải
ðặt t = sinx – cosx ⇒ − ≤ t≤
2 t sin x cos x
2
−
=
Thay vào (2) ta ñược:
2 t
1 t
6t t 12t 13
2 t 13
= − − = − ⇔ + − = ⇔ = − (loại) ( ) ( ) ( )
(2) sin x sin x sin
4 4
π π π
⇔ + = − ⇔ + = −
x k2 x k2
4 2
5 x k2
x k2 4 π π + = − + π π = − + π ⇔ ⇔ π π = π + π + = + π
Vậy (2) có họ nghiệm x = π +k2π, x k2
π
= − + π (k ∈ℤ)
Ví dụ Tìm m để phương trình m(cos x−sin x)+sin 2x = (3) có nghiệm thuộc khoảng ( ; )
4
π
π
Giải
ðặt t cos x sin x cos x( ) sin 2x t2
π
= − = + ⇒ = −
Ta có:
( ) ( )
x ; x cos x
4 4
π π π π π
∈ π ⇒ < + < ⇒ − ≤ + <
2 cos x( ) t
π
(15)Thay vào (3) ta ñược:
2
mt t mt t m t
t
+ − = ⇔ = − ⇔ = − (do t < 0) Xét hàm số f(t) t 1, t [ 2; 0)
t
= − ∈ − , ta có:
[ )
/
2
1
f (t) t 2;
t
= + > ∀ ∈ −
t
f( 2) , lim f(t) → −
− = − = +∞
Vậy (3) có nghiệm m 2
⇔ ≥ −
Chú ý:
Ta dùng bảng biến thiên hàm số f(t):
t − /
f (t) +
f(t)
+∞
2
−
5 Dạng phương trình khác
Khơng có cách giải tổng qt, tùy tốn cụ thể ta dùng cơng thức biến ñổi ñểñưa dạng ñã biết cách giải
Ví dụ Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) Giải
1 1
(1) cos 8x cos 6x cos 8x cos 2x
2 2
⇔ + = +
x k 6x 2x k2
2 cos 6x cos 2x
6x 2x k2 x k
4
π
=
= + π
⇔ = ⇔ ⇔ π
= − + π
=
Vậy (1) có họ nghiệm x k , k
π
= ∈ ℤ
Ví dụ Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2) Giải
(2) ⇔ sin 3x cos x = sin 3x cos 3x ⇔ sin 3x(cos 3x−cos x)=
x k
sin 3x 3x k 3
cos 3x cos x 3x x k2 x k
π
=
= = π
⇔ ⇔ ⇔ π
= = ± + π =
Vậy (2) có họ nghiệm x k
π
= , x k (k )
3
π
(16)C BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I Bất phương trình lượng giác cơ bản
1 Bất phương trình cơ bản của cosx
1) cos x ≥ cosα ⇔ −α +k2π ≤ x ≤ α +k2 , kπ ∈ ℤ (hình vẽ) 2) cos x > cosα ⇔ −α +k2π < x < α +k2 , kπ ∈ ℤ
3) cos x ≤ cosα ⇔ α +k2π ≤ x ≤ π − α +2 k2 , kπ ∈ ℤ 4) cos x < cosα ⇔ α +k2π < x < π − α +2 k2 , kπ ∈ ℤ 2 Bất phương trình cơ bản của sinx
1) sin x ≥ sinα ⇔ α +k2π ≤ x ≤ π − α +k2 , kπ ∈ ℤ (hình vẽ) 2) sin x > sinα ⇔ α +k2π < x < π − α +k2 , kπ ∈ ℤ
(17)3 Bất phương trình cơ bản của tgx
1) tgx tg k x k , k
π
≥ α ⇔ α + π ≤ < + π ∈ ℤ (hình vẽ)
2) tgx tg k x k , k
π
> α ⇔ α + π < < + π ∈ ℤ
3) tgx tg k x k , k
2
π
≤ α ⇔ − + π < ≤ α + π ∈ ℤ
4) tgx tg k x k , k
2
π
< α ⇔ − + π < < α + π ∈ ℤ
4 Bất phương trình cơ bản của cotgx
1) cotgx ≥ cotgα ⇔ π <k x ≤ α + πk , k ∈ℤ (hình vẽ) 2) cotgx > cotgα ⇔ π <k x < α + πk , k ∈ℤ
(18)Chú ý:
Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽđường trịn lượng giác để chọn nghiệm
Ví dụ Tìm miền xác định hàm số y = cos 2x Giải
Ta có:
cos 2x k2 2x k2
2
π π
≥ ⇔ − + π ≤ ≤ + π
k x k
4
π π
⇔ − + π ≤ ≤ + π
Vậy miền xác ñịnh D k ; k , k
4
π π
= − + π + π ∈
ℤ
Ví dụ Tìm miền xác định hàm số y = sin 2x Giải
Ta có:
sin 2x ≥ ⇔ k2π ≤2x ≤ π +k2π k x k
π
⇔ π ≤ ≤ + π
Vậy miền xác ñịnh D k ; k , k
π
= π + π ∈
ℤ
Ví dụ Tìm miền xác định hàm số y = tg3x Giải
Ta có:
tg3x k 3x k
2
π
≥ ⇔ π ≤ < + π k x k
3
π π π
⇔ ≤ < +
Vậy miền xác ñịnh D k ; k ), k
3
π π π
= + ∈ ℤ
Ví dụ Giải bất phương trình sin x 2
≥
Giải
sin x sin x sin
2
π
≥ ⇔ ≥ k2 x k2 , k
4
π π
⇔ + π ≤ ≤ + π ∈ℤ
Ví dụ Giải bất phương trình cos x
< −
(19)3 cos x cos x cos
2
π
< − ⇔ < k2 x k2 , k
6
π π
⇔ + π < < + π ∈ ℤ
Ví dụ Giải bất phương trình tgx > – Giải
( )
tgx tgx tg
π
> − ⇔ > − k x k , k
4
π π
⇔ + π < < + π ∈ℤ
Ví dụ Giải bất phương trình cotgx ≤ Giải cotgx cotgx cotg
6
π
≤ ⇔ ≤ k x k , k
6
π
⇔ + π ≤ < π + π ∈ℤ
Ví dụ Giải bất phương trình sin x+(1− 2) cos x> Giải
Ta có :
sin x+(1− 2) cos x > ⇔ sin x+cos x− cos x >
( ) ( ) ( )
2 cos x cos x sin x sin
4 8
π π π
⇔ − − > ⇔ − − − >
( )
sin x k2 x k2
8 8
π π π
⇔ − > ⇔ + π < < + π
Chú ý:
Cách giải sau ñây sai:
sin x+(1− 2) cos x > ⇔ sin x+cos x> cos x
( ) x k
cos x cos x
4 k2 0
4
π > + π
π
⇔ − > ⇔ π
+ π >
x k , k 0, k
π
⇔ > + π ≥ ∈ ℤ (*) Nhận thấy x
2
π
= không thỏa bất phương trình
Ví dụ Giải bất phương trình cos x
2
− ≤ ≤
(20)3 cos x
2
− ≤ ≤
5
cos cos x cos
6
π π
⇔ ≤ ≤
5
k2 x k2
3
7
k2 x k2
6
π π
+ π ≤ ≤ + π
⇔ π π
+ π ≤ ≤ + π
Ví dụ 10 Giải bất phương trình sin x
2
− ≤ <
Giải Ta có:
1
sin x
2
− ≤ <
( )
sin sin x sin
6
π π
⇔ − ≤ <
3
k2 x k2
4
5
k2 x k2
6
π π
+ π < < + π
⇔ π π
− + π ≤ ≤ − + π
Ví dụ 11 Giải bất phương trình (2 cos x−1)(2 cos x− 3)≥ Giải
Ta có:
(2 cos x−1)(2 cos x− 3)≥
1
cos x cos x
2
⇔ ≤ ∨ ≥
cos x cos cos x cos
3
π π
⇔ ≤ ∨ ≥
k2 x k2
6
5
k2 x k2
3
π π
− + π ≤ ≤ + π
⇔ π π
+ π ≤ ≤ + π
Ví dụ 12 Giải bất phương trình ( sin x+1)(2 sin x− 3)> Giải
(21)( sin x+1)(2 sin x− 3)>
2
sin x sin x
2
⇔ ≤ − ∨ >
( )
sin x sin sin x sin
3
π
< −
⇔ π
>
4
k2 x k2
3
5
k2 x k2
4
π π
+ π < < + π
⇔ π π
+ π < < + π
Ví dụ 13 Giải bất phương trình 4 sin x2 −2( 3+1)sin x+ 3 ≤ 0 Giải
Ta có:
4 sin x−2( +1)sin x+ ≤
1
sin x
2
⇔ ≤ ≤
k2 x k2
6
2
k2 x k2
3
π π
+ π ≤ ≤ + π
⇔ π π
+ π ≤ ≤ + π
Ví dụ 14 Giải hệ bất phương trình
1 cos x
2 sin x
2
≥
<
Giải Ta có:
1
cos x cos x cos
2
1 sin x sin
sin x 6
2
π
≥ ≥
⇔
π
< <
k2 x k2
3
7
k2 x k2
6
π π
− + π ≤ ≤ − + π
⇔ π π
− + π < < + π
k2 x k2
π π
(22)Ví dụ 15 Giải hệ bất phương trình
cos x
1
sin x
2
<
− < ≤
Giải Ta có:
cos x
1
sin x
2
<
− < ≤
3
k2 x k2
2
k2 x k2
6
3
k2 x k2
4
π π
+ π ≤ ≤ + π
π π
− + π < ≤ + π ⇔
π π
+ π ≤ < + π
3
k2 x k2
4
π π
⇔ + π ≤ < + π
II Hệ phương trình lượng giác 1 Hệ phương trình ẩn
Phương pháp giải Cách
Giải phương trình nghiệm vào phương trình cịn lại Cách
Bước Giải hai phương trình độc lập với Bước Nghiệm chung nghiệm hệ phương trình
Ví dụ Giải hệ phương trình
2 cos x (1) sin 2x (2)
2
=
=
Giải Cách
(1) x k2 x k2
3
π π
⇔ = + π ∨ = − + π
+ Thay x k2
π
(23)(2 ) sin k4 sin
3
π π
+ π = = (nhận)
+ Thay x k2
π
= − + π vào (2) ta ñược:
( )
sin k4 sin
3
π π
− + π = − = − (loại)
Cách
x k2
3 cos x
x k x k2
3 6 3
sin 2x
x k
3
π
= ± + π
=
π π
⇔ = + π ⇔ = + π
=
= + ππ
Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k
π
= + π ∈ ℤ
Ví dụ Giải hệ phương trình
cotgx sin x
2
=
=
Giải Ta có điều kiện x ≠ πk
x k
4 cotgx
x k2 x k2
2 4 4
sin x
2 3
x k2
4
π
= + π
=
π π
⇔ = + π ⇔ = + π
=
π
= + π
Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k
π
= + π ∈ ℤ
Ví dụ Giải phương trình 2cos2x – 3sin25x = Giải
2 2
2 cos x−3 sin 5x =2 ⇔ sin 5x +2 sin x =
x k sin x
x k sin 5x x k
5
= π
=
⇔ = ⇔ π ⇔ = π
=
(24)Chú ý:
Khi giải hệ phương trình lượng giác ẩn ta nên vẽđường trịn lượng giác để giao nghiệm
2 Hệ phương trình ẩn Phương pháp giải
Khơng có cách giải tổng quát, tùy vào hệ phương trình cụ thể ta dùng phương pháp cộng trừ hai phương trình dùng cơng thức biến đổi
Ví dụ Giải hệ phương trình
sin x cos y (1) x y (2)
3
+ =
π
+ =
Giải
Ta có:
x y x y
(1) sin cos
2
+ −
⇔ =
sin cosx y x y k2
6 2
π − −
⇔ = ⇔ = π (3)
Từ (2) (3), ta suy hệ phương trình có nghiệm
x k2
6 , k
y k2
6
π
= + π
∈
π
= − π
ℤ
Ví dụ Giải hệ phương trình
1 cos x cos y
2 sin x sin y
2
=
= −
Giải Ta có:
1
cos x cos y cos x cos y sin x sin y 0
1 cos x cos y sin x sin y sin x sin y
2
=
+ =
⇔
− =
= −
cos(x y) x y k
2 cos(x y) x y m2
π
− = − = + π
⇔ ⇔
+ = + = π
Vậy hệ phương trình có nghiệm
x (2m k)
4 , (m, k )
y (2m k)
4
π π
= + +
∈
π π
= − + −
(25)Ví dụ Giải hệ phương trình
2
tgx tgy
3
2
cotgx cotgy
3
+ =
+ = −
Giải Ta có điều kiện :
x k cos x sin x 2 cos y sin y y m
2
π ≠
≠
⇔
π
≠
≠
2
2 tgx tgy
tgx tgy
3
1
2 cotgx cotgy
tgx tgy 3
+ = + =
⇔
+ = − + = −
2 tgx tgy
3 tgxtgy
+ =
⇔ ⇒
= −
tgx, tgy nghiệm phương trình:
2
1
tgx tgx
3
3X 2X 1
tgy tgy 3
3
=
= −
− − = ⇔ ∨
= −
=
So với ñiều kiện, hệ phương trình có nghiệm:
x l x q
3 , (l, q )
y q y l
6
π π
= + π = − + π
⇔ π ∨ π ∈
= − + π = + π
ℤ