Chuyên đề 3 HHKG góc trong không gian đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 HHKG - GĨC TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Dạng Góc đường thẳng với đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng d1 , d không gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm d1 hai đường thẳng) d'1 O d'2 d2 Từ O dựng đường thẳng d1' , d 2' song song ( trịng O nằm hai đường thẳng) với d1 d Góc hai đường thẳng d1' , d 2' góc hai đường thẳng d1 , d Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác cos A  b2  c2  a2 2bc   Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d   u1.u2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d xác định cos  d1 , d     u1 u2       Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng mà tính độ dài góc      chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a, b, c thực tính tốn Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng OM AB A 450 B 900 C 300 Lời giải D 600 Chọn D Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt OA  a suy OB  OC  a AB  BC  AC  a Gọi N trung điểm AC ta có MN / / AB MN  a 2  OM , AB    OM , MN  Xét OMN Suy góc  a nên O M N tam giác   600 Vậy  OM , AB    OM , MN   600 Suy OMN Trong tam giác O M N có ON  OM  MN  Câu ABCD (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện với   DAB   600 , CD  AD Gọi  góc hai đường thẳng AB CD Chọn AC  AD, CAB khẳng định góc  A cos   B 300 C 600 D cos   Lời giải Chọn D         Ta có AB CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC  AB AD cos 600  AB AC.cos 600   1  AB AD cos 600  AB AD.cos 600  AB AD     AB.CD 1 cos AB, CD    cos  AB.CD 4  Câu  (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , biết đáy ABCD hình vng Tính góc AC BD Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 90 B 30 C 60 Lời giải D 45 Vì ABCD hình vng nên BD  AC Mặt khác AA   ABCD   BD  AA  BD  AC Ta có   BD   AAC   BD  AC  BD  AA ' Do góc AC BD 90 Câu (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết MN  a , góc hai đường thẳng AB CD A 450 B 900 C 600 Lời giải D 300  AB, CD  PM , PN Gọi P trung điểm AC , ta có PM //CD PN //AB , suy      Dễ thấy PM  PN  a  Xét PMN ta có cos MPN PM  PN  MN a  a  3a   PM PN 2.a.a   1200    MPN AB, CD  1800  1200  600  Câu  (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D ; gọi M trung điểm BC  Góc hai đường thẳng AM BC  A 45 B 90 C 30 D 60 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 B C N A D B' C' M A' D' Giả sử cạnh hình lập phương a  Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB Khi đó, MN //BC  nên  AM , BC     AM , MN  Xét tam giác ABM vuông B ta có: AM  AB2  BM  a  Xét tam giác AAM vuông A ta có: AM  AA2  AM  a  Có AN  AM  a2 a  5a 3a  a BC  a ; MN   2 Trong tam giác AMN ta có: 9a 2a 5a   MA  MN  AN 4  6a cos  AMN    2.MA.MN 6a 3a a 2 2 2 Suy  AMN  45 Vậy  AM , BC     AM , MN    AMN  45 Câu (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABC có độ dài SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a Góc hai đường thẳng AB SC là? A 45 B 90 C 60 D 30 Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ cạnh TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có BC  a nên tam giác ABC vng A Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vng góc S lên  ABC  trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC   AB.SC   Ta có cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC          a2 AB.SC  AB SI  IC  AB.SI   BA.BC   BA.BC.cos 45   2 2 a cos  AB, SC   22    AB, SC   60 a   AB.SC   Cách 2: cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC          a2 Ta có AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  SB.SC cos 90  SA.SC cos 60           a 2 Khi cos  AB, SC    a Câu (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a AA  a Góc hai đường thẳng AB BC  A 60 B 45 C 90 Lời giải D 30               Ta có AB.BC   AB  BB BC  CC   AB.BC  AB.CC   BB.BC  BB.CC             a2 3a  AB.BC  AB.CC   BB.BC  BB.CC       2a  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3a     AB.BC  Suy cos AB, BC         AB, BC    60 AB BC  a 3.a  Câu  (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a ,  ABC  45 Tính góc hai đường thẳng AB DC A 60 B 120 C 90 D 30 Lời giải Ta có tam giác ABC vng cân A , tam giác BDC vuông cân D          Ta có AB.CD  DB  DA CD  DB.CD  DA.CD            DB CD cos DB, CD  DA CD cos DA, CD   a           AB.CD Mặt khác ta lại có AB.CD  AB CD cos AB.CD  cos AB, CD      AB CD    AB, DC  120   AB, CD   60       Câu     (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Cho hình lập phương ABCD ABCD Gọi M , N trung điểm AD , BB Cosin góc hợp MN AC ' A B Lời giải C D * Xét hình lập phương ABCD ABCD cạnh a             * Đặt a  AB, b  AD, c  AA  a  b  c  a, a.b  b.c  a.c  * Ta có:           1 a MN  AN  AM  AB  BN  AM  a  b  c  MN  a  a  a  2 4         AC   AB  AD  AA  a  b  c  AC   a  a  a  a   1 AC .MN  a  a  a  a 2   MN AC    cos  MN ; AC    cos MN ; AC      MN AC    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (Cụm Trường Chun - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a , BC  a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC A 35 B   60  SC ,  ABCD     SC , CH   SCH cos  SB, AC     SB AC Lời giải C D SB AC               SB AC  SH  HB AB  BC  SH AB  SH BC  HB AB  HB.BC         HB AB  HB.BC  AB  2a 2  a AC  a , CH  a  a  a , SH  CH tan SCH   SB  SH  HB  a  a  a   SB AC 2a cos  SB, AC     SB AC a 7.a 35 Câu 11 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD A 90 B 60 C 45 D 75 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I trung điểm SA IMNC hình bình hành nên MN // IC Ta có BD   SAC   BD  IC mà MN // IC  BD  MN nên góc hai đường thẳng MN BD 90   Cách khác: dùng hệ trục tọa độ lớp 12, tính tích vơ hướng BD.MN  Câu 12 (Chun Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm AD SD Số đo góc hai đường thẳng MN SC A 45 B 60 C 30 D 90 Lời giải Gọi P trung điểm CD Ta có: NP // SC   MN , SC    MN , NP  Xét tam giác MNP ta có: MN   MN  NP  a a a , NP  , MP  2 a2 a2 a2    MP  MNP vuông N 4   90   MN , SC    MN , NP   90  MNP Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13 (Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng A , AB  a , AC  a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC , AH  a Gọi  góc hai đường thẳng AB BC Tính cos  A cos   B cos   C cos   D cos   Lời giải    Gọi E trung điểm AC ; D K điểm thỏa BD  HK  AB  C Ta có BK   ABC  BD / / AB   AB, BC    BD, BC   DB Ta tính BC  2a  BH  a ; BD  AB  a   a  2a CD  AC  AD  3a  4a  a ; CK  CE  EK  3a 9a   a 4 BC  BK  CK  3a  3a  a  D  cos CB Câu 14 BD  BC  CD 4a  6a  a   2.BD.BC 2.2a.a (Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Tính giá trị cos  AB, DM  A B C D Lời giải Giả sử cạnh tứ diện a Gọi N trung điểm AC   Khi đó: AB , DM  MN , DM     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: MN  a a , DM  DN  2 a2 MN  MD  ND  cos NM D   2.MN MD a a 2 Vậy cos AB, DM   Câu 15 2 (Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác ABC nằm mặt phẳng vng góc với  ABC  M trung điểm cạnh CC  Tính cosin góc  hai đường thẳng AA BM A cos  22 11 B cos  33 11 C cos  11 11 D cos  22 11 Lời giải a AH  BC , AH  BC  BC   AAH   BC  AA hay BC  BB Do đó: BCC B hình chữ nhật Ta có: AH  AH  a 22 a a  BM  a  a 2 16 2      3a Xét: AA.BM  AA BC  CM   AA.CM  Khi đó: CC   AA   Suy cos  AA, BM   Câu 16  3a a a 22  33 11 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.MNP có tất cạnh Gọi I trung điểm cạnh AC Côsin góc hai đường thẳng NC BI A B 15 Lời giải C D Giả sử cạnh lăng trụ a Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 10 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  SBC  Câu 13   có vtpt n   2;0;1 ,  SAB  có vtpt m  0; 2; 1  cos       1  3 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có AB  AC  a , góc   120 , AA  a Gọi M , N trung điểm BC  CC  Số đo góc mặt BAC phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  A 60 B 30 C arcsin D arccos Lời giải Gọi H trung điểm BC , BC  a , AH  a  a   a  a  ;  , C  0;  ;0  , Chọn hệ trục tọa độ H  0;0;0  , A  ;0;0  , B  0; 2 2       a a M  0;0; a  , N  0;  ;  Gọi  góc mặt phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  2    AMN  có vtpt  1     ; ; n   AM , AN      4    n.HM     ABC  có vtpt HM   0;0;1 , từ cos    n HM 1.1 Câu 14 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  A B 2 Lời giải C D Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a  cho A  0; 0;0  , B  0;1;  , D 1; 0;0  , S  0; 0;  1  Ta có M trung điểm SD  M  ;0;1 , C 1;1;  2        1    AM   ;0;1 , AC  1;1;0  ,  AM , AC    1;1;    AMC  có vtpt n   2; 2;1 2 2        SB   0;1; 2  , SC  1;1; 2  ,  SB, SC    0; 2;1   SBC  có vtpt k   0; 2;1  n.k Gọi  góc hai mặt phẳng  AMC   SBC  cos      n.n Do tan   nên tan   Câu 15 (Sở Thanh Hóa 1  cos  2018) Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a , CD  x ,  ACD    BCD  Tìm giá trị x để  ABC    ABD  ? A x  a B x  a C x  a D x  a Lời giải : Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AE  CD Gọi E ; F trung điểm CD AB   (Tính chất tứ diện đều)  BE  CD   90 Đồng thời  BCD    ACD   CD   BCD  ,  ACD   BEA   CF  AB   AB   CFD     Ta có  ABC  ,  ABD     CF , FD  DF  AB     trung tuyến FE tam giác CFD , FD  90  CFD Vậy để  ABC    ABD  CF   nửa cạnh huyền  FE  CD Ta có EAB vng cân E  EF  Vậy x  Câu 16 AE  AC  CE  a2  x2 a2  x2 a  x2 a2  x2   x2   xa 3 (Chuyên Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  A 39 39 B C 39 13 D 13 13 Lời giải Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  3  a  a  a   a  S  0;0;  ; A  ;0;0  ; B  ; 0;0  ; C  ; a;0  ; D  ; a;0     2  2      a a a 3  a a a 3 a 3 suy G  0;0;  ; M  ; ;  ; N   ; ;    4   4   Ta có mặt phẳng  ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0;0;1 , mặt phẳng  GMN  có vectơ pháp a a     ;  tuyến n  GM ; GN    0;  24   Gọi  góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  , ta có  n.k 39 cos      13 39 n.k 24 Câu 17 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lập phương ABCD AB C D  có cạnh a Số đo góc  BAC   DAC  : A 90 B 60 C 30 Lời giải D 45 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có:  BAC    DAC   AC Kẻ BI  AC Do BAC  DAC nên DI  AC  BAC  ,  DAC    BI , DI Do đó:      Tam giác BID có BD  a , BI  DI  a BI  DI  BD      BI , DI  120 cos BI , DI  2.BI DI BAC  ,  DAC    60 Vậy     Câu 18    (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB  AD  2a , CD  a Gọi I trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng  SBI  ,  SCI  vng góc với đáy thể tích khối chóp S ABCD hai mặt phẳng  SBC  ,  ABCD  A 30 B 36 C 45 Lời giải D 60 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 15a Tính góc TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Diện tích hình thang S ABCD Độ dài đường cao SI  1  AD  AB  CD   2a.3a  3a , CB  AC  a 2 3VS ABCD  S ABCD 3 15a 3 15a  3a Vẽ IH  CB H  BC   SIH   BC  SH   , SH  SHI SBC  ,  ABCD   IH Ta có      S ICB  S ABCD  S IDC  S AIB  3a  3a a2 3a  IH CB  3a  IH   a2  2 3a 15 SI    60 tan SHI    SHI IH 3a 5 Câu 19 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có AA  AB  AC    1200 Gọi I trung điểm cạnh CC  Cơsin góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  BAC A 370 20 B 70 10 30 20 Lời giải C D 30 10 Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  AB  , AI  BC  AB  AC  AB AC.cos A   BC  BC   13 Vì AB 2  AI  BI  AB I vuông điểm A BI  BC 2  C I  10 S ABI  AI AB  AB AC sin A  4 Hình chiếu vng góc ABI lên mặt phẳng  ABC  ABC S ABC  Ta có S ABC  S ABI cos   cos   S ABC 30  S ABI 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 20 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , độ dài cạnh AC  a , tam giác SAB, SCB vuông A C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) a Giá trị cosin góc hai mặt phẳng ( SAB) (SCB) A 2 B Lời giải C D Chọn C + Gọi O, I trung điểm AC , SB có O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SAB, SCB vuông A C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC OI  ( ABC ) + Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) ta có SD / / OI SD  2OI suy O trung điểm BD Từ ta có ABCD hình vng cạnh 2a  a SD  a + Gọi H , K hình chiếu D lên SC , SA ta có SD  ( ABCD)  SD  BC đồng thời ABCD hình vuông nên BC  DC từ hai ý ta có BC  ( SCD)  BC  DH , từ suy DH  ( SCB) Chứng minh tương tự ta có DK  ( SAB) + Vì góc hai mặt phẳng ( SCB) ( SAB) góc hai đường thẳng DK DH + Xét tam giác vuông SAD, SCD ta có hai đường cao DK  DH  + Trong tam giác SAC ta có  cos HDK Câu 21 a HK SH SD 2a , tam giác DHK có     HK  AC SC SC 3 DH  KD  KH 2  DH KD (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a,  ABC  1200 , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  600 , A SA  a B SA  a C SA  a D SA  Lời giải Chọn A Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi O giao điểm AC , BD Gọi H hình chiếu vng góc O SC Khi SC   HBD  SC  BD, SC  OH Vậy góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  góc hai đường thẳng HB, HD Vì SCD  SBC  HB  HD Đặt SA  x  x   Ta có cos600  HB  HD  BD 2 HB.HD  HB  BD   HB  HB  BD   BD 2 HB   Ta có CHO  CSA  OH CS  CO.SA 1 Trong tam giác ABC ta có AC  a 3, OB  a  BD  a TH1 : HB  BD  a  OH  HB  OB  a Thay vào (1) ta có x  x  3a (vô nghiệm) TH2 : HB  BD a a   OH  HB  OB  3 Thay vào (1) ta có Câu 22 a2 3a 2 a x  3a  x x 12 4   (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác cân đỉnh A   ABC  30o , cạnh bên AA  a Gọi M điểm thỏa mãn 2CM  3CC  Gọi Biết BC  a   góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABM  , sin  có giá trị A 66 22 B 481 22 C 22 D 418 22 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Cách 1: Gọi O trung điểm BC o Ta có: BO  AB.cos30  AB  BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC  C M  CC   C M  CC  CM  2 2 Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM  Theo công thức diện tích hình chiếu ta có: SABC  SABC cos  cos  SABC SABC 1 a a2 Ta có SABC  AH BC  a  ; AB  AB  BB2  a  a  a ; 2 a BM  CM  BC 2     a 2   2  a 13 a 13  3a  ; AM  AC  CM  a     2   a 13 a 13 a 2  AB  BM  AM 2  a  a 13  Khi p  2 Áp dụng cơng thức Hê-rơng vào ABM ta có: SABM  p  p  AB  p  BM  p  AM   Vậy cos  SABC SABC a 22 a2 3 19 418  24   sin   cos 2   22 22 22 a 22 Cách 2: Gọi O trung điểm BC o Ta có: BO  AB.cos30  AB  BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC  C M  CC   C M  CC  CM  2 2 Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Coi a        ;0;0  , C   ;0;0  , Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O  0;0;0  , A  0; ;0  , B           3 B  ;0;1 , M   ;0;  2     Khi  ABC    Oxy  : z    ABC  có véc-tơ pháp tuyến k   0;0;1         3 ;  ;1 , AM    ;  ;   n ABM    AB, AM   1;5 3; Ta có: AB    2     Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM    k.n ABM  3 19 418   sin   cos2   Vậy cos     22 22 22 k n ABM  1.2 22 Câu 23 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA a vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  Góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  A 45 B 90 C 30 D 60 Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm BC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có AI  BC (tam giác ABC đều) (1) Lại có SA  BC  SA   ABC   Suy BC   SAI   BC  SI (2) BC   SBC    ABC  (3) Từ (1), (2) (3) suy    SBC  ,  ABC     SI , AI   SIA a SA  Xét tam giác SAI vng A ta có tan SIA   AI a 3   30 Suy SIA Vậy Câu 24   SBC  ,  ABC    30 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB  2a , SA vng góc với mặt đáy góc SB mặt đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  Giá trị cos A 15 B C D Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm BC  AM  BC (1) BC  SA  BC  SM (2) Có BC  AM    Từ (1) (2) suy   SBC , ABC   SMA   60 Do SA   ABC   SA  AB AB hình chiếu vng góc SB lên  ABC   SBA   2a.tan60  3a SAB có SA  AB.tan SBA 2 1 ABC có AM  BC  AB  AC   2a    2a   a 2 SAM vuông A có cos  Câu 25 AM AM   SM SA  AM a 2 2 3a  a   (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB SD Tính sin  với  góc hợp  AMN   SBD  A B 2 C D Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn: A  O, B  a;0;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a  (như minh họa hình a a  a a vẽ), suy M  ;0;  N  0; ;  2 2  2   a a    a a  Ta có AM   ;0;  , AN   0; ;  nên mặt phẳng 2 2  2     a a a  n1   AM , AN     ;  ;  4     SB   a; 0;  a  , SD   0; a;  a  nên    n2   SB, SD    a ; a ; a    n1.n2 Khi cos      n1 n2 Câu 26  mặt a4  a4  a4  SBD  phẳng a4 a4 a4   4 4 a a a   16 16 16  AMN   có có vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến 2  sin    cos   3 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có   120o cạnh bên BB '  a Gọi I đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a góc BAC trung điểm CC ' Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC   AB ' I  A 10 B 30 10 30 30 Lời giải C D 10 30 Chọn B  Trong  BCB ' C ' , B ' I  BC   D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trong  ABC  , dựng AH  AD H Vì AD  CH nên AD  IH Do đó:   90   AB ' I  ,  ABC     IH , CH   IHC   120  ABC   ABC cân A , BAC ACB  30   ACD  150  Áp dụng định lý Cosin ABC :   a  a  2.a a cos120o  3a BC  AB  AC  AB AC.cos BAC  BC  B ' C '  CD  a  Tương tự ACD : AD  AC  CD  AC CD cos  ACD  a  3a  a a 3.cos150o  7a  AD  a   CH AD  Ta có S ACD  CA CD sin ACD 2 CA CD sin  ACD a a sin150o a 21  CH    AD 14 a  ICH vuông C  IH  IC  CH   cos IHC  a 3a a 70   28 14 CH 30  IH 10  Vậy cos   AB ' I  , ( ABC )   30 10 Cách 2:  Gọi O trung điểm BC Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ a a ; OA  AB cos 60  2  1         B 0;  ; C 0; ; 0 , A ; 0;  Giả sử a  suy   ,   ,    2       Ta có: OB  AB sin 60        I 0; ;  , B  0;  ;1  2                    3 ;  ;   Ta có: n1  AB, AC   0; 0;   n2  AB , AI           4  Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   n1.n2 30   Gọi  góc ABC  AB I  Suy ra: cos      10 10 n1 n2 Câu 27 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho hình lập phương ABCD ABC D Cosin góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   A B C D Lời giải Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   Gọi O  AC  AC Gọi H hình chiếu A lên BO , AH  BO  CH  BO  ABC    ABC    BO      ABC  ;  ABC      AH , CH  Ta có  AH  BO CH  BO  Xét tam giác vng ABC có BO  Ta có S BCH  a AC  2 1 a2 S ABC  a 2.a  2 a2 a a  CH BO   CH   a 2 Mặt khác S BCH Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 a 6 a 6      a 2 2    AH  CH  AC   Xét tam giác AHC có cos AHC   2 AH CH a 6     cos   cos  AHD     BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc. .. chiếu vng góc đỉnh, dựng AH  d  Bước 3: góc cần tìm góc SHA Với S đỉnh, A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC).Hãy xác định góc mặt... AP  3, PQ   AQ  13  QK    cos   cos QKP KQ  KP  PQ 2 KQ.KP  5 13 ; PE   PK  3 13 65 Cách Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ         P  0;0;0  , A  3; 0;0  , B 0; 3; 0