BÀI TOÁN 1 xây DỰNG hàm đặc TRƯNG đáp án

NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 XÂY DỰNG HÀM ĐẶC TRƯNG BÀI TỐN Dạng tốn xuất thường xuyên xuất đề thi thức từ năm 2017 đến 2020 Vì bạn học muốn chinh phục 9+ đừng bỏ qua dạng toán Trong tài liệu trích từ đề thi thử - thức từ năm 2018-2019-2020 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ VẬN DỤNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỂ TÌM HƯỚNG GIẢI Thơng thường ta vận dụng nội dung định lý (và kết quả) sau: Hàm số f  t  đơn điệu chiều khoảng  a; b  tồn u; v   a; b  f  u   f  v   u  v   Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f  t  Hàm số y  f  t  xác định liên tục D: Nếu f  t  đồng biến D u , v  D f  u   f  v   u  v Nếu f  t  nghịch biến D u , v  D f  u   f  v   u  v Câu (THPT Trần Nhân  Tông - Qn -2018) Cho hai x, y số thực D 4  18 thỏa  mãn: x3   y xy  x  3xy   Tìm giá trị nhỏ P  x3  y  xy   3x  1  x  y   A 296 15  18 B 36  296 15 C 36  Lời giải   Ta có x   y 3xy  x  3xy    27 x3  x   xy   xy   xy  Xét hàm f  t   t  2t với t   0;   có f '  t   3t   0t   0;   nên hàm số liên tục đồng biến  0;   Khi ta có x  xy   x  x  xy  Với x   5  l  với x  P  x3  y  xy   3x  1  x  y    x3  y  xy   x  3  x  y    x3  y  xy   xy   x  y    x  y  x y  xy   x  y     x  y  2 x  y  Mà x  y  x  x2  5 5  4x   x  Đặt t  x  y t  3x 3x 3x 3 Xét f  t   t  2t  với t  5 Khi f   t   3t   với t  3   36  296 15 Do f  t   f      Suy P  Câu 36  296 15 36  296 15 Vậy GTNN P 9 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Xét số thực x , y  x  0 thỏa mãn Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  y  x  3 2018x y Gọi m giá trị nhỏ biểu thức T  x  y Mệnh đề sau đúng? A m   0;1 B m  1;  C m   2;3  D m   1;0  Lời giải Ta có 2018 x 3 y  2018 xy 1  x   2018 xy 1   y  x  3 2018 x 3 y  2018 x 3 y  2018 x 3 y  x  y  2018 xy 1  2018 xy 1  xy   f  x  y   f   xy  1 1 2018x 3 y  2018xy 1  x   2018 xy 1  Xét hàm số f  t   2018t  2018 t  t , với t   ta có f   t   2018t ln 2018  2018 t ln 2018   , t   Do f  t  đồng biến  nên 1  x  y   xy   x  1 x 1 T  x x3 x3  x  1 Xét hàm số f  x   x  , với x   0;   có x3 x2  6x  f  x  1   , x   0;   2  x  3  x  3  y  x  3   x   y   Câu Do f  x  đồng biến  0;    f  x   f     Dấu “  ” xảy  x   m   (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho số thực log  x  1 y  1  A Pmin  y 1 11 dương x, y thỏa mãn    x  1 y  1 Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y B Pmin  27 C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Ta có log  x  1 y  1  y 1    x  1 y  1   y  1 log3  x  1  log3  y  1    x  1 y  1    y  1 log  x  1  log3  y  1  x  1  9  log  y  1 y 1 9 (*)  log3  x  1  x      log3 y 1 y 1  log  x  1  x   Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số f  t  t ln đồng biến liên tục  0;   9 8 y x 1  , x  nên y   0;8  y 1 y 1 y 1 8 y 9 Vậy P  x  y   y  y 1   y  1    3  y 1 y 1 y 1 Vậy Pmin  3   y  1   y 1 y 1 Từ (*) suy x   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TOÁN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức  xy  1 22 xy 1   x2  y  2x  y A ymin  Tìm giá trị nhỏ ymin y B ymin    Ta có  xy  1 22 xy 1  x  y x y C ymin  D ymin  Lời giải   xy   1 22 xy 1  x  y x  y 1 1   Xét hàm f  t    t  1 2t với t  Khi f   t   2t   t  1 2t.ln  với t  Từ 1  xy   x  y   y  y  2x2  2x   x  1 x2  2x 1 x    2x2  2x      x  1 Loại x  1 điều kiện t nên f    Câu  x  3y  (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Cho x, y  thỏa mãn log    xy  x  y  xy  x2 y2  Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức P  : 1 3y 1 x 71 73 72 A B 10 C D 7 Lời giải Ta có log( x  y )  log( xy )  xy  x  y  log( x  y)  x  y  log( xy )  xy Xét hàm số y  f (t )  log t  t hàm đồng biến (0; ) nên suy ra: f ( x  y )  f ( xy )  x  y  xy x y ( x  y)2 x2 y ( x  y)2     ta có: P  1 3y 1 x  x  3y a b ab Áp dụng bất đẳng thức: Đặt t  x  y , ta có t  ( x  y)2  12 xy  12t  t  12t  t  12 P  t2 2t t2 t  4t   0, t  12 [12; ) , ta có f '(t )   (t  2) (t  2) t2 x  72 Vậy f (t )  f (12)   y  Xét hàm số f (t )  Câu (THPT Yên Khánh A - 2018) Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy 27  2x    32 x 3 y  y  x  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  x  y xy A Tmin   B Tmin   C Tmin  4  D Tmin   Lời giải xy 27  32 x 3 y  y  x  3 Ta có 22 x 3 y  xy  x    x3 y   22 x3 y    x  y  xy 3  33 xy  xy  (1) 22 x  y  Xét hàm số f  t   2t  3t  t , với t  Ta có: f   t   2t.ln  3t.ln   0, t  Do f  t  liên tục đồng biến  0;   nên 1  x  y  xy  (2) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  T  y Khi T  x  y   T     T  y   y  T  y  y   y  y 1  T   2T   (3) T   (3) có nghiệm  Δ  T  14T  23    Do T  nên T   T   Vậy Tmin   Câu (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn  4a  2b   2 log5    a  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  b a  b   A B C D 2 Lời giải  4a  2b   log5    a  3b   log  4a  2b  5  log 5  a  b    a  b    4a  2b  5  ab   log5  4a  2b  5   4a  2b  5  log5  a  b    a  b  (*) 1  t ln f  t  đồng biến nên (*)  f  4a  2b  5  f   a  b    4a  2b    a  b  Hàm số f  t   log5 t  t  t   có f '  t   4a  2b    a  b   a   3b 3 5  T  a  b  T    3b   b  10b  30b  25  10  b     2 2  Vậy GTNN T  Câu (THPT Trần Nhân Tông QN 2018) Phương trình x   m 3 x x2 x 1   x  x  x  m    có nghiệm phân biệt m  (a; b) đặt T  b2  a thì: A T  36 Ta có 2 x   m 3 x m3 x B T  48   x  6x  9x  m C T  64 x2 D T  72 Lời giải 3  x 1   m 3 x   x     m  3x  23  22 x  m  3x  22 x    x  Xét hàm f  t   2t  t  có f   t   2t ln  3t  0, t   nên hàm số liên tục đồng biến  Do từ (1) suy m  3x    x   m   x  x  x3 Xét hàm số f  x    x3  x  x   x  có f   x   3 x  12 x  ; f   x     x  Bảng biến thiên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Dựa vào bảng biến thiên ta có, phương trình có nghiệm phân biệt  m  Suy a  4; b   T  b2  a  48 Câu (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Gọi x0   trình x   A P  x ab nghiệm lớn phương c 1 x   1  x  Giá trị P  a  b  c  B P  C P  Lời giải Điều kiện xác định: x  1 x 1   1 x  x     1  x   x  3x 1   x  2x 3     1   3 D P    1  3x1  x  1 Xét hàm số f  t   3t  t  t   , f   t   3t.ln   2x 1  a  , b  , c  Vậy P  1  f    f  x  1   x   x  2x  2x   32 x  Câu 10 (Kim Liên - Hà Nội – 2018) Cho phương trình e m cos x sin x  e21sin x    sin x  m cos x với m tham số thực Gọi S tập tất giá trị m để phương trình có nghiệm Khi S có dạng  ; a   b;   Tính T  10a  20b A T  10 C T  Lời giải B T  D T  10 1 sin x    sin x  m cos x Ta có e m cos x sin x  e  1 sin x  m cos x sin x e  m cos x  sin x  e   1  sin x  Xét hàm số f  t   et  t  t    , f   t   et    f  t  đồng biến  Suy e m cos x sin x  m cos x  sin x  e 21 sin x   1  sin x   m cos x  sin x  1  sin x   m cos x  sin x  Phương trình có nghiệm m2    m2   S  ;     3;  Vậy T  10a  20b  10   Câu 11 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Phương trình e x  e khoảng nào?  5 3   3 A  2;  B  ;  C 1;   2 2   2 Lời giải Chọn A ĐK: x   x x 1 e e   x2  2 x   ex  e x 1    x  1    x 1   x  2 x  có nghiệm 1  D  ;1 2  2x 1 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  e x   x  1  e x 1    2x 1 1 2 * Xét hàm số f  t   et   t  1 với t   2   Suy hàm số đồng biến   ;     f '  t   et   t  1  với t    *  f  x   f   2x 1  x  2x 1 x   x  x      x    x  1 x  2x 1 x  2x 1     x   Câu 12 (SGD&ĐT Bắc Ninh - Cho 2018) phương trình 2x 1   log  x    x   log  1    x  , gọi S tổng tất nghiệm x  x Khi đó, giá trị S  13  13 A S  2 B S  C S  D S  2 Lời giải  2  x   Điều kiện   x  Xét hàm số f  t   log t   t  1 , t  ln 2.t  ln 2.t    t  1   , t  , hàm số f  t  đồng biến t ln t.ln khoảng  0;   Ta có f   t   Mặt khác ta có: 2x 1   log  x    x   log  1    x  2 x  x        1   log x   x    log         1 x   x   1  f x  f 2  x  x2  2 x x  2x  4x 1    x  1   x   13    x   13     2  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  x  1  13 Kết hợp với điều kiện ta  Vậy S   13 x   Câu 13 (Toán Học Và Tuổi Trẻ Số - 2018) Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình  x2  4x   log    x   x x 1 x2  a  b với a , b hai số nguyên dương Tính 2x   a  b A a  b  16 B a  b  11 C a  b  14 D a  b  13 Lời giải x   Điều kiện   x    x  1   x2  x   Ta có log   x   x  log   x2  x   x  7   2x    2x     log  x  1   x  1  log x  x 1 Xét hàm số f  t   log t  t  f   t     với t  t ln Vậy hàm số đồng biến  3 x   f  x    x  1  x    3 x   Phương trình 1 trở thành f  x 1  9   Vậy x1  x2   9     a  9; b   a  b    14 l   tm  Câu 14 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình ln  m  ln  m  x    x có nhiều nghiệm A m  B m  Ta có ln  m  ln  m  x    x C m  e Lời giải D m  1 1 Điều kiện x  e m  m Đặt ln  m  x   y ta e y  m  x Thay vào 1 ta ln  m  y   x  e x  m  y e x  m  y  e x  e y  y  x  e x  x  e y  y Do hàm số f  t   et  t đồng biến Ta có hệ  y e  m  x  nên suy x  y  x  ln  x  m   e x  x  m Xét hàm số g  x   e x  x ; g   x   e x  ; g   x    x  BBT Suy phương trình có nhiều hai nghiệm  m  (chú ý nghiệm thỏa điều kiện) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho x , y số thực dương thỏa mãn log Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  A  2x  y 1  x  2y x y  x y B C  Lời giải D 2x  y 1  x  y  log  x  y  1  log  x  y   x  y x y  log  x  y  1  log  x  y   x  y  Ta có log  log  x  y  1  x  y   log  3x  y   x  y (*) Xét hàm số f  t   log t  t với t    0, t  , suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  0;   t ln Do *  x  y   x  y  x  y   x   y Khi f   t   2 1 Xét T        x y 1 y y 1 y y y Vì x, y    y  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có T  3  3  3  y 1  y  y 1  y   x  1 y  x   Dấu "  " xảy  1  y  y   2 y   y y    Câu 16 (THPT Lê Xoay - 2018) Số nghiệm phương trình sin x  cos x   log  sin x  khoảng    0;  là:  2 A C B D Lời giải   Vì sin x  cos x  , x   0;  nên phương trình cho tương đương  2 sin x  cos x  log  cos x    log  sin x   log  cos x   log  cos x   cos x  log  sin x   sin x  * Xét hàm số f  t   log t  t , với t   0;1 ta có f   t     0, t   0;1 t ln Do đó, hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;1 Từ phương trình * , ta có f  cos x   f  sin x   cos x  sin x  sin x  Câu 17 (THPT Yên Lạc - 2018) Tính tổng  x  3x  x 1 x ln     5.3  30 x  10  x    A S  B S  S  hay x  tất nghiệm phương trình: C S  1 D S  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Lời giải Điều kiện x   Phương trình tương đương ln  5x  3x   ln  x     5x  3x    x     ln  5x  3x    5x  3x   ln  x     x   (1) Xét hàm sô f  t   ln t  5t , t  Có f '  t     ,  t  nên f  t  đồng biến Từ 1 suy t x x x x f     f  x      x   5x  3x  x   Xét g  x   x  3x  x  , g '  x   x ln  3x ln  2 g ''  x   5x  ln   3x  ln 3  x     Nên g '  x   có khơng q nghiệm suy g  x   có khơng q nghiệm   ;     Mà g    g 1  Vậy phương trình có nghiệm 0,1 Do S  Câu 18 (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Có số nguyên m để phương trình 3x  3x  m  log  x2  5x   m x2  x  Có hai nghiệm phân biệt lớn A B Vô số C D Lời giải Điều kiện: 3x  3x  m   - Ta có:  3x  x  m   3x  3x  m  2 log  x  x   m  log    x  5x   m 2 2 x  x  x2  x    x  3x  m   x2  5x   m 4x  2x   log  3x  3x  m  1  log  x  x     x  x     3x  3x  m  1  log  log  3x  3x  m  1   3x  3x  m  1  log  x  x     x  x   1 Xét hàm số: f  t   t  log t D   0;   , có f   t     , t  D , t.ln Do hàm số f  t  đồng biến D  1  f  x  x    f  3x  3x  m  1  x  x   3x  3x  m   x  x  m    - Xét hàm số: g  x   x  x  , có g   x   x   g   x    x  - Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 - Theo bảng biến thiên ta thấy: phương trình   có hai nghiệm phân biệt lớn 25 21  m   4    m  3 , m   nên m  5; 4 , hay có giá trị nguyên m 4 thỏa mãn yêu cầu toán  Câu 19 (GD&ĐT Phú Thọ - 2018) Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình  x  mx   log    x  mx   x  có hai nghiệm thực phân biệt?   x2   A B C D Lời giải x   Điều kiện:   x  mx    x  mx   Ta có log    x  mx   x    x     log 2 x  mx   x  mx   log  x    x   f   x  mx   f  x   1 Xét hàm số f  t   log t  t với t   0;   có f   t     , t   0;   t ln  f  t  đồng biến  0;   nên 1  x  mx   x   x  2  x  2 Từ  2    x   m   x   2 x  mx    x   YCBT    có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 lớn 2  2    m  2  12  m   m        x1     x2      x1  x2    4  m    x x  x  x   3   m      2    x1   x2    m   *   m  mà m    m  1; 2;3; 4 m   Câu 20 (Mã 102-2018) Cho phương trình x  m  log ( x  m ) với m tham số Có giá trị nguyên m   15;15  để phương trình cho có nghiệm? A 16 B C 14 Lời giải Ta có: x  m  log  x  m   x  x  log ( x  m )  x  m D 15 (*) Xét hàm số f (t )  3t  t , với t   Có f' (t )  3t ln   0, t   nên hàm số f  t  đồng biến tập xác định Mặt khác phương trình (*) có dạng: f ( x)  f  log ( x  m)  Do ta có f ( x)  f  log ( x  m)   x  log ( x  m)  3x  x  m  x  x   m   Xét hàm số g  x   3x  x , với x   Có g' ( x)  3x ln  , g' ( x)   x  log    ln  Bảng biến thiên Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Câu 46 (Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt - Kiên Giang - 2019) Cho hai số thực x , y thỏa mãn x2  y   x  y  x  y   Tìm giá trị lớn S  x  y x  y 1 A  B  C  D  Lời giải Chọn A Đk: x  y 1  log log x2  y   x  y  4x  y   x  y 1  log  x  y     x  y    log  x  y     x  y   (*) Xét hàm f  t   log t  t với t  Có f   t     0, t   0;     f  t  đồng biến khoảng  0;    t ln Khi (*)  f  x  y    f  x  y    x  y   x  y  Ta có x  y   x  y    x  y   11   x  y    x  y  Suy  x  y    x  y   11   S  5S  11   3   S   y x    2 10  x    Suy Max S     x  y     x  y 1   y  20     Câu 47 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  có đồ thị f   x  hình vẽ bên Bất phương trình log  f  x   m    f  x    m với x   1;  A m   f  1 B m   f 1 C m   f  1 D m   f   Lời giải Chọn D Ta có, bất phương trình log  f  x   m    f  x    m  log  f  x   m    f  x   m   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  log  f  x   m    f  x   m   log    Đặt: t  f  x   m  2,  t    log  t   t  log5  5  Ta xét, hàm số f  t   log5  t   t ,  t    f  t     0, t   ;    t ln  f  t   log5  t   t hàm số đồng biến khoảng  ;    Ta có f  t   f    t  Vậy, bất phương trình log  f  x   m    f  x    m với x   1;  f  x   m   5, x   1;   m   f  x  , x   1;  Dựa, vào đồ thị f   x  ta có:  1 f   x  dx   f    f  1   f    f  1 Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm số f   x  , ta có BBT vủa hàm số f  x  sau Vậy, hàm số  f  x  có BBT sau Vậy, m   f  x  , x   1;4   m   f   Do đó, bất phương trình log  f  x   m    f  x    m với x   1;  m   f  4 Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Câu 48 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho hai phương trình x   3m m  3x  x  x  có nghiệm chung Tính tổng phần tử S A B C D Lời giải Chọn B Vì hai phương trình cho có nghiệm chung nên hệ sau có nghiệm 2 m  x    m  log3 x    log3 x   3x  x  x   x m   x  x  m  3x  x  x       log3 x   x   3x  x       log x   3x  x  3 log3 x 1 Xét hàm số f  t   3t  t xác định   f '  t   3t.ln   suy hàm f  t   3t  t đồng   biến  suy log3 x   x  x   x Xét hàm số g  x   x   xác định liên tục  x Ta có g '  x   x  3x ln  g ''  x    3x ln  g '''  x   3x ln 3  Suy hàm số g ''  x  nghịch biến  Do g  x   có nhiều nghiệm  x  m    Ta lại có g    g 1  g    Suy phương trình x     x    m   x  m    x Vậy S  Câu 49 (Chuyên Sơn La - 2020) Có giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình e x  ln  x  2m   2m có nghiệm? A 2019 B 2020 C 2021 Lời giải D 4039 Chọn A ln x  m  Ta có e x  ln  x  2m   2m  e x  x  ln  x  2m   x  2m  e x  x  e   ln  x  2m  (*) Xét hàm số f  t   et  t với t    f   t   et   0, t Suy hàm số f  t  đồng biến  Do *  f  x   f  ln  x  2m    x  ln  x  2m   x  2m  e x  2m  e x  x Xét hàm số g  x   e x  x  g   x   e x   g   x    x  Bảng biên thiên Từ bảng biên thiên suy phương trình có nghiệm 2m   m  Mà m  , m   2020; 2020  nên m1;2;3; ;2019 Vậy có 2019 giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình x e  ln  x  2m   2m có nghiệm Câu 50 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho phương trình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  xm log x 2  x  3  22 x  x log  x  m    với m tham số Tổng tất giá trị tham số m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt A B C Lời giải Chọn D Có  xm log x  x  3  2 x D log  x  m    2 x 1 x  m 2 2 1 x 1 log  x  1      log  x  m      2     log  x  m   log  x  12     1 x  m Xét hàm số f  t   1 x 1 21t có f   t   log  t   21t.ln  t    21t  t   ln log  t     0, t  2 2 Phương trình cho  f  x  1   f  x  m    x  1  x  m     x  x   m  x   2m   1  x 1  m  x  x  2m      x2  x   m  x   2m   2 1  2 Khi ycbt  phương trình 1  2 có tổng cộng nghiệm thực phân biệt Vẽ đồ thị hàm số f  x   1 x  g  x    x  x  hệ trục tọa độ (tham 2 2 khảo hình vẽ) Đồ thị hàm số f  x  g  x  tiếp xúc với điểm có hồnh độ x  1 Dựa vào đồ thị ta có m  , m  1, m  phương trình cho có nghiệm thực phân biệt 2 Vậy tổng giá trị thực m thỏa ycbt    2 Câu 51 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x  y  Tổng tất giá trị nguyên tham số m để phương trình log nghiệm A 10 B C x2  y  m  x  3x  y  m   có x y D Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B log x2  y  m  x  3x  y  m   x y  log  x  y  m   x  y  m  log 3  x  y    x  y  1 Vì x, y  nên x  y  Xét hàm số f  t   log3 t  t hàm số đồng biến  0;   Khi 1  x  y  m  3x  y  x  3x  y  m  * Kết hợp với điều kiện x  y   y   x Vì x, y    x   4 Ta có *  x  x  m    m   x  x  4, x   0;   5 44  4 Hàm số y   x  x  nghịch biến  0;  (do 1  ) nên  x2  2x   25  5 Do m 2;3 giá trị cần tìm Vậy tổng tất giá trị m thỏa ycbt Câu 52 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Biết điều kiện cần đủ tham số m để phương trình a log m  m  x  x có nghiệm m   với a , b hai số nguyên dương b  Hỏi b a  b  b bao nhiêu? A 31 B 32 C 21 D 23 Lời giải Chọn C m  x  x log m  m   x   x 2x m  m   *      *   m  x   m  x   x   x Xét hàm số f  t   t  t  t   Ta có f   t   2t   với t  , suy hàm số đồng biến với t   *  f   m  x  f  x   m  x  x   x   x  m ** Đặt t  x  t   , phương trình ** trở thành t  t  m *** Xét hàm g  t   t  t  t   , ta có g   t   2t   g   t    t  Bảng biến thiên t g –    g  Vậy để  *** có nghiệm t  m   a  1   a  b  b  21 b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x; y  Câu 53 (Chuyên Lào Cai - 2020) Có cặp số nguyên thỏa mãn  x  4000 5  25 y  y   x  log5  x  1  ? A B D C Lời giải Chọn A Đặt log  x  1  t  x  5t  Phương trình trở thành:  52 y  y   5t   5t   52 y  y  5t 1   t  1 Xét hàm số f  u   5u  u  f   u   5u.ln   nên hàm số đồng biến Vậy để f  y   f  t  1  y  t   y   t  log  x  1   y   log 4001   y    y  0;1; 2 Với nghiệm y ta tìm nghiệm x tương ứng   Câu 54 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho phương trình log3 3x  x   y  y  x  x  Hỏi có cặp số  x; y   x  2020 ; y   thỏa mãn phương trình cho? A B C Lời giải D Chọn D 2 log 3x  x   y  y  x  x   log 3 x  x   y  y  x  x     y2    log3  x  x     y  x  x  2 2  log  x  x     x  x    y  y (1) Đặt log  x  x    z  x  x   3z (1) trở thành:  3z  z  y  y (2) Xét hàm số f  t   3t  t  f   t   3t ln   0, t   Suy hàm số f  t  đồng biến  (2)  f  z   f  y   z  y   Thay trở lại cách đặt ta có: log x  x   y  x  x   y Xét hàm số: g  x   x  x  2, x   0;2020   g   x   x  g x   x  Bảng biến thiên: Suy ra:   g  x   4076362   y  4076362   y  log 4076362 Do y     y  log 4076362  3,  y  0;1; 2;3 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 g  x   g  x   g x      g  x   39  Dựa vào bảng biến thiên hàm số g  x  ta thấy phương trình có nghiệm  x  2020 Vậy có cặp số  x; y  thỏa mãn đề Câu 55 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có cặp số nguyên x  x; y  thỏa mãn  y  2020  3x   y  log3 y A 2020 B C Lời giải D Chọn C Ta có: 3x  x   y  log y  3x   x    y  3log y  3x   x    32  log3 y  3log y * Xét hàm số: f  t   3t   t   Ta có: f   t   3t.ln   0, t   Suy hàm số y  f  t  đồng biến  Khi đó: *  f  x   f   log y   x   log y  y  3x   y  2020 Do x2 nên:   2020   x   log 2020  x  2;3; 4;5; 6;7;8 x, y nguyên Ứng với giá trị x có giá trị y nên có cặp số  x; y  nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Câu 56 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có cặp số nguyên x  y  0;  20  x  20 log  x  y   x  y  xy  x  y  ? A 19 B C 10 D 41 Lờigiải Chọn C + Điều kiện: x  y  + Ta có: x  y  nên log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x ; y  thoả mãn  x  y  x  y   x  y  3xy  x  y  x y  log  x  y  3xy   log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x  y  3xy   x  y  3xy  log  x  y   x  y Xét hàm số: f  t   log t  t , ta có: f 't   (1) 1  t  0;  nên hàm số f  t  đồng t ln biến  ;    Do đó: 1  f  x  y  xy   f  x  y   x  y  xy  x  y   x  y  x  y  1   x   y x  y  nên x  y  1 y  19  y 1 + Do y   nên y  9; 8; ; 1; 0 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả mãn YCBT + Do 20  x  20 suy  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy có 10 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn YCBT Câu 57 (Tiên Lãng - Hải Phịng - 2020) Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2020 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 A 1010 B 2020 D C Lời giải Chọn C Đặt log  x  1  t  x  3t  1, ta  3t  1  y  1  32 y   t  3.3t  t  3.32 y  y (*) Xét hàm số f  u   3.3u  u  f   u   3.3u ln   0, u    f  u  đồng biến  Do (*)  t  y , nên x  32 y   y  x  Vì x  2020  y  4039  y  log 4039 Vì y nguyên dương nên y 1;2;3 Ta thấy với giá trị nguyên y tìm giá trị nguyên x Vậy có cặp  x; y  thỏa mãn Câu 58 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Xét số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 x 2 x  y   log      xy   Khi x  y đạt giá trị nhỏ nhất, y x y 1 A B C D Lời giải Chọn A 2 2 Ta có: x  y   log      xy   x y 2   x  y   xy    log  x  y   log  xy    xy   xy  2  xy   xy    x  y   log  x  y      log   1     Xét hàm số f  t   2t  log t , với t   0;         0, t  , suy hàm số f  t  đồng biến khoảng t.ln xy 1  f  x  y   f     x  y   xy   2y Ta có:  x  y   xy  x( y  2)  y  x  ; y  y2 f   t   4t   0;    Từ thỏa mãn biểu thức 2y 4  y  10   y     10   y    18 y2 y2 y2  Pmin  18  y     y  1  y  y2 2y x y  3 x     y2 y P  x  4y  x, y Câu 59 (Chuyên KHTN - 2020) Cho 3x  y  log   x  y  1 x  y  1   xy  1 x2  y2 5x  y  P 2x  y 1 Giá số trị thực lớn dương Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 B A C Lời giải D Chọn C 3x  y    x  y  1 x  y  1   xy  1  Ta có: log x2  y2 3x  y   log  x  y  3x  y  x2  y 2 2 3x  y  22 x  y   x 3 y 3   3x  y   23 x 3 y 3   x  y  22 x  y 2 x y   x  y   23 x 3 y 3   x  y  22 x   x  y   23 x 3 y    x  y  22 x 2  y2 2 y2 1 t  Đặt f  t   t.2  t   Ta xét: f   t   2t  t.2t ln  0, t  Suy hàm số f  t  đồng biến  0;   Lúc đó; 1 có dạng: f  3x  y    f  x  y   x  y   x  y  x  xy  y   x  y     x  xy  y 2   x  y   3 x  y      x  y  2   x  y    x  y     1  x  y   x  y   5x  y  x y4  2  2  2x  y 1 2x  y 1 x  y    Vậy P đạt giá trị lớn , đạt 3 x  y   x  y  x  y  x  y    Khi đó: P  Câu 60 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho số thực x, y thỏa mãn  x, y   x y  log3    x  y    Tìm giá trị nhỏ P với P  2x  y   xy  A B C D Lời giải Chọn B  x y   x y  Ta có log     x  1 y  1    log    xy  x  y     xy    xy      log3  x  y   x  y  log3 1  xy    xy Xét hàm số đặc trưng f  t   log3 t  t với t    0, t  t ln Hàm số f  t  đồng biến với t  Ta có f '  t   Có f  x  y   f 1  xy   x  y   xy  x  y  1   y  x  1 y y 1  2y 4  y  3   y   3   y  1  y 1 y 1 y 1 Vậy giá trị nhỏ P Ta có P  x  y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 61 (Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn log Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  A B x y  xy  y x( x  y ) C Lời giải x  4y  x  y  x y D Chọn D x  4y  x  y   log ( x  y )  (x  y)  log 3( x  y )  3( x  y ) (1) x y Xét hàm số f (t )  log t  t khoảng (0; )   0, t  Suy hàm số f (t ) đồng biến khoảng (0; ) Ta có f '(t )  t ln Từ (1) suy f ( x  y)  f (3( x  y)) ( x  y)  0;3( x  y)  Do đó, (1)  x  y  3( x  y)  y  2x Ta có log 3x y  xy  y x5  12 x  12   6     x     x     9 x  9 x x x( x  y ) x3 Dấu "  " xảy  x  Vậy PMin  P Câu 62 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hai số thực dương x, y log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức T  x  y A 16 B 18 C 12 D 20 Lời giải Chọn A Điều kiện: x  ,  y  Ta có log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log   y   x  xy  log x  log x  x  log   y   log x  x  xy  log  x   x  log  x   y    x   y  * Xét hàm số f  t   log t  t  0;    0, t   0;   nên hàm số f  t  đồng biến  0;  t.ln Khi *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  y   x Ta có f   t    T  x3    x   x3  3x  18  g  x  Xét hàm số g  x   x3  3x  18  0;   x  1   0;   Ta có g   x   3x  ; g   x      x    0;   Bảng biến thiên: Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ thỏa mãn NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 x  Từ bảng biến thiên suy T  g  x   g 1  16 Dấu “=” xảy  y   x  Câu 63 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Xét số thực dương a , b thoả  ab log  2ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin P  a  b ab A Pmin  1  B Pmin   C Pmin  1  D Pmin   Lời giải Chọn C Điều kiện  ab   ab   ab Ta có log  2ab  a  b   log 1  ab   log  a  b    a  b   1  ab   ab  log 1  ab    1  ab   log  a  b    a  b   log 2 1  ab   1  ab   log  a  b    a  b  Xét hàm số f  t   log t  t với t  có mãn 1 f  t     0, t  t.ln nên hàm số f  t   log t  t đồng biến khoảng  0;   Ta có 1  f  1  ab    f  a  b   1  ab   a  b   a  b  2a  1  b  2a 2a  2a    a  2a   a 2a  Khi P  a  b  a   2a  2a  2a  a  4a  1  Xét hàm g  a    ga   ga   a  2a   2a  1 Do a, b   Bảng biến thiên Vậy Pmin  1   2 x  Câu 64 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho số thực x, y thỏa mãn log    log y  x  y  xy   2 x  Hỏi giá trị nhỏ P  x  y  xy bao nhiêu? A 30  20 B 33  22 C 24  16 D 36  24 Lời giải Chọn D 2  x x2 0 0  2  x    Điều kiện xác định:   x  x2   y0  y   y  Theo ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2 x  log    log y  x  y  xy   2 x  log (2  x)  log ( x  2)  log y  2( x  2)  y ( x  2)   log (2  x)   (2 x  4)  log  ( x  2) y   y ( x  2)  log (4  x)  (4  x)  log  y ( x  2)  y ( x  2) Xét hàm số f (t )  log t  t (t  0) : f '(t )    0t  t.ln Suy ra: f (t ) hàm đồng biến khoàng (0; ) Mà f (4  x)  f  y ( x  2)  nên  x  y ( x  2)  y   2x x2 Vì P  x  y  xy  ( x  y ) Thay vào P ta có: 2 3  2x   x2   P x     4 x2  4 x2  x2  Xét hàm số y  khoảng (2; 2) : x2 x( x  2)  ( x  4) x  x  y'   ( x  2) ( x  2)  x  2  2 y '   x2  4x      x  2  2(l ) (Vì x  (2; 2) ) Lập bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có ymin  4  2 Vậy Pmin  4   36  24   x  2021 y  y  2022 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x  y  x  xy Tính M m A  B 5 C D 3 Lời giải Chọn D Ta có x  2021  20201 x y y  y  2022  x2  2021 20201 x  y  y  y  2022 Câu 65 (Sở Yên Bái - 2020) Cho số thực x, y thuộc đoạn  0;1 thỏa mãn 20201 x  y     20201 y 1  y   2021  2020 x  x  2021   Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Ta có f  t   2020t t  2021 với t   0;1 có f  t   2020t.ln 2020 t  2021  2.2020t.t        Do f  t   2020t t  2021 đồng biến khoảng t   0;1 Suy f 1  y   f  x   x   y  y   x Do 3 2 x3  y  3x  xy  x  1  x   3x  x 1  x   x3   18 x  18 x  x3  3x  x  x  4 x3  30 x  27 x  Xét f  x   4 x  30 x  27 x  với x   0;1  x  Mà f  x   4 x  30 x  27 x  nên f   x   12 x  60 x  27     x  (loai)  1 1 Mặt khác f    6, f 1  5, f     Do M  m   2 2 Vậy nên M m  3 Câu 66 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với số thực dương x, y, z thay đổi cho  x  y  2z  log   x  x    y  y    z  z    , gọi giá trị lớn giá trị nhỏ 2  x y z  biểu thức T  A  x  y  z  x  y  11z  thứ tự M m Khi M  m bằng: x  y  86 B C  D  2 Lời giải Chọn D  x  y  2z  +) Ta có log   x  x    y  y    z  z  8  2  x y z   log  x  y  z   log  x  y  z   x  y  z  4( x  y  z )  log  x  y  z   4( x  y  z )  log  x  y  z   x  y  z (1)  t  0, t  t ln +) Ta có (1)  f   x  y  z    f  x  y  z   x  y  z  x  y  z +) Xét hàm đặc trưng f  t   log t  t , t  có f   t   2   x     y     z    36 +) Thay vào biểu thức , ta T   x  y  z   x  y  11z   x  y  86  T  x  y  86   y  3z   6Tx   5T  1 y  3z   86T y  3z  x  y  86  6T  x     5T  1 y     z     86T  12T   5T  1  12  6T  x     5T  1 y     z    54T +) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 6T  x     5T  1 y     z     2   6T    5T  1  32 36   54T   36  6T    5T  1  32  720T  360T  360   1  T  Suy M  m   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 67 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn 22 xy x y   xy x y Khi P  2xy  xy đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức 3x  y A B C D Lời giải Chọn C Ta có 22 xy  x y   xy  xy  x  y  log   xy   log  x  y  x y  log 2 1  xy   1  xy   log  x  y    x  y  Xét hàm số f  t   log t  t hàm số đồng biến  0;   Do từ * ta có 1  xy   x  y  x  2 y 2y 1 Suy P  xy  xy   y  y  Pmin  y   x  Do x  y  Câu 68 (Sở Phú Thọ - 2020) Có cặp số nguyên   a; b  thỏa mãn  a  2020  2.3b  log a  3b 1  3a  b ? A B 2021 C 2020 Lời giải D Chọn A Vì  a  2020 3b1  , b   nên a  3b1 >  3a  3b  b b Ta có 2.3b  log    3a  b  2.3  b  log  3a    3a         3.3b  b   log 3a  3b  3a  3b  3b 1  b   log 3a  3b  3a  3b * Xét hàm số f  t   t  , t   có f   t    ln  0, t   suy hàm số đồng biến t t     b b  Khi *  f log 3a    f  b  1  log3 3a   b   3a  3b  3b1  3a  2.3b  a  2.3b1  b  log3 3030 Do b nguyên nên b  1; 2;3; ;7 Với giá trị nguyên b cho giá trị nguyên a Vì  a  2020 nên  2.3b 1  2020  log3 Do có cặp số nguyên  a; b  thỏa mãn đề Câu 69 (Minh họa - 2020) Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  2020 log3  3x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 D Lời giải Chọn D ĐK: x  1 Ta có log3  3x  3  x  y  y  3log3  3x  3  3log3 3 x 3   y  1  32 y 1 (*) Xét hàm số f  t   3t  3t  , f   t    3t.ln  0, t  nên hàm số f  t  đồng biến  Từ *  f  log  3x  3   f  y  1  log  x    y  Mặt khác  x  2020  log  x    1; log  6063    y   1; log  6063  Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TOÁN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 1  y   log  6063    y  Vậy có cặp  x; y  thỏa mãn   y  Z  2x 1  x Câu 70 Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 log    y 1 ? y   A 2019 B 11 C 2020 D Lời giải Chọn B y   x  1   2x   x  Từ giả thiết ta có:   y  y  Ta có: PT  log  x  1  x   log y  y (*) Xét hàm số f  t   log t  t  0;   Khi f   t     hàm số f  t   log t  t đồng biến  0;   t ln (*) có dạng f  x  1  f  y   y  x  Vì  y  2020   x   2020   x  2021   x  log  2021 0  x  log  2021  x  0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 Vậy có 11 cặp  x; y  thỏa mãn   x   Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 ...   Khi 3 x  ? ?1 x x  ? ?1 x 3 2 3 11 x  11 x 2 11 x  log 11 x  ? ?1 2 x  11  x  11   x  x  log   2 x  x ? ?1  x  x ? ?1? ?? 11    2 x  x  ? ?1 1  2? ?11 x   11  x  log  ... 3 2 018 x 3 y  2 018 x 3 y  2 018  x 3 y  x  y  2 018  xy ? ?1  2 018 xy ? ?1  xy   f  x  y   f   xy  1? ?? ? ?1? ?? 2 018 x 3 y  2 018 xy ? ?1  x   2 018  xy ? ?1  Xét hàm số f  t   2 018 t... y ? ?1    x  1? ?? y  1? ??   y  1? ?? log3  x  1? ??  log3  y  1? ??    x  1? ?? y  1? ??    y  1? ?? log  x  1? ??  log3  y  1? ??  x  1? ??  9  log  y  1? ?? y ? ?1 9 (*)  log3  x  1? ??