Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)UBND Huyện Đông Anh
Phòng GD-ĐT
-Đáp án chấm thi Học Sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán Năm học: 2010-2011
Bài Nội dung Điểm
Bài 1 2điểm
Gọi A điểm điểm đoạn thẳng nối A với điểm lại (B,C,D,E,F) đợc tơ mầu nên theo ngun lí Đirichlê tồn đoạn thẳng mầu Khơng tính tổng quát giả sử AB, AC, AD
cùng mầu đỏ
+ XÐt tam gi¸c BCD:
- Nếu tồn cạnh tam giác BCD tô mầu đỏ( chẳng hạn BC) tồn tam giác có cạnh mầu đỏ(tam giác ABC) Vậy tốn đợc chứng minh
- Nếu khơng có cạnh tam giác BCD tơ màu đỏ tam giác BCD có cạnh mầu xanh Vậy bi toỏn c chng minh
Bài 2
6điểm b) (4 ®) Ta cã a2 + b2 +c2 =14 => (a2+b2 + c2)2=142 => a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + b2c2 = 196
=>a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2+a2c2+b2c2) Ta l¹i cã: a + b + c= => (a+ b + c)2 = 0 => a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac + 2bc = 0
=> 14+ 2( ab+ ac + bc) = ( a2 + b2 + c2 = 14) => ab + ac + bc = -7
=> (ab + ac + bc)2 = 49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 + a2bc + ab2c + abc2 =49 => a2b2+ a2c2 + b2c2 + 2abc( a + b + c) = 49
=> a2b2+ a2c2 + b2c2 = 49( a + b + c = 0) VËy M = a4 + b4 +c4 = 196 – 2.49 =98
B
A
D
(2)Bài 3 3điểm
Gi x, y, z l dài cạnh tam giác vng
Gi¶ sö 1 x y z=> x+ y 2
Theo định lý Pitago ta có: x2 + y2 = z2 (1) Theo đề ta có:
2xy = x+ y + z => xy =2( x+ y + z) (2)
Tõ (1) suy ra: z2 = (x+y)2- xy = (x+y)2 - 4(x+ y + z) ( theo (2))
=> z2 = (x+y)2 – 4( x + y) – 4z
=> z2 + 4z + = (x+ y)2 – 4(x + y) + 4 => (z+2)2 = ( x+ y – 2)2
=> z+ = x+ y -2( x+ y 2) => z = x+ y –
Thay z = x+ y – vào (2) ta đợc: xy = 2( x + y + x + y - 4) => xy = 4x + 4y – => xy- 4x – 4y + 16 = => (x- 4)(y – 4) =
Mµ = 1.8 = 2.4 nªn ta cã: 4 x y
hc 4 x y
Suy 12 x y
hoặc x y Dựa vào định lý Pitago tính đợc x=5; y=12; z=13 x= ; y= 8; z= 10
Bµi 4 3®iĨm
Gäi sè häc sinh cđa líp 9B tham gia họp mặt x(học sinh, x N*, x<50)
B¹n thø nhÊt cđa líp 9B quen 11 = 10 + b¹n cđa líp 9A B¹n thø hai cđa líp 9B quen 12 = 10+2 b¹n cđa líp 9A B¹n thø ba cđa líp 9B quen 13 = 10+3 b¹n cđa líp 9A
…
B¹n thø x cđa líp 9B quen 10 + x b¹n cđa líp 9A
Mà bạn cuối quen tất bạn lớp 9A tham gia họp mặt nên số học sinh lớp 9A tham gia họp mặt 10 + x häc sinh
Theo đề tổng số học sinh hai lớp tham gia họp mặt 50 học sinh nên ta có pt: x + 10+x = 50
x = 20( TM)
VËy sè häc sinh cđa líp 9B tham gia häp mặt 20 học sinh => số học sinh lớp 9A tham gia họp mặt 30 học sinh
Bài 5 4điểm
a) (2đ) Ta có
1 135 ; 135
HOD O OGB O HOD OGB
(3)=> HOD OGB (gg) b) (2đ) Từ câu a suy HD DO
OB BG
Đặt BM = a AD = 2a, OB = OD = a 2 Ta cã HD BG OB OD a 2.a 2 a aAD BM
=> HD BM AD BG
=> AHD GMB (cgc)=> AHD GBM Do HAB GMB => MG // AH
Bài 6 2điểm
+ Gi a l ng thẳng chứa cạnh AB đa giác
Gọi C đỉnh đa giác cách xa AB
Qua C kẻ đờng thẳng b song song với AB
+ Gọi D, E đỉnh đa giác cáchiác xa AC hai phía AC
Qua D kẻ đờng thẳng c song song với AC, qua E kẻ đờng thẳng d song song với AC
+ Gọi MNPQ hình bình hành tạo đờng thẳng a,b,c,d Các đỉnh đa giác nằm bên biên hình bình hành
Ta có: SACD+ SACE Sđa giác Mà SACD + SACE=1
2SMNPQ =>
2SMNPQSđa giác => SMNPQ Sđa giác
b c
a N Q
M
P C
D
A B