Hai mặt bên SAD , SBC là các tam giác vuông tương ứng ở A và C , đồng thời các mặt phẳng chứa hai mặt bên này cùng hợp với mặt phẳng đáy góc β.. Tính thể tích khối chóp S.[r]
(1)math.vn BÀI ÔN TẬP LỚP 12 LẦN 02
Đề 1.
Cho hàm sốy=x4−2m(x2−1), có đồ thị là(Cm).Tìm giá trị củam để(Cm)có điểm cực trị với gốc toạ độ tạo thành tứ giác nội tiếp
Lời giải:
- Vớim>0, đồ thị hàm số cho có điểm cực trị là: A(0; 2m),B −√m;−m2+2m
,C −√m;−m2+2m
tạo thành tam giác cân đỉnhA, có trung trực trục tungOy - Gọid trung trực đoạn thẳng AC,
phương trình đường thẳngdlà√m
x− √
m
−m2
y+m
2
2 −2m
=0 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC giao điểm I đường thẳng d trục tung Oy Ta tìm :I
0;− 2m−
m2 +2m
Thế nên, tứ giác ABOCnội tiếp khiIA=IO, hayI trung điểmAO
Khi đó: 2m =−
1 2m−
m2 +2m
⇔m3−2m2+1=0⇔(m−1) m2−m−1 Đến ta tìm đượcm=1vàm= 1+
√
2
Đề 2.
Tìm tất giá trịm∈Rđể bất phương trình sau có nghiệm: 4(√1+x+√1−x)≤m−x2
Lời giải:
Giả sửmlà giá trị thỏa mãn bất phương trình có nghiệmx∈[−1; 1] Lúc đó:4(√1+x+√1−x−√2) +x2−1≤m−4√2−1
(2)math.vn 4√1+x+√1−x−√2+x2−1=
√ 1−x2 √
1+x+√1−x+√2+x
2−1=
=
√ 1−x2
p
1+|x|+p1− |x|+√2+x
2−1≥
≥ 1−x
√
2+1+√2+x
2−1= 1−x2
8
1+2√2−1
≥0
Từ để có nghiệm ta cầnm−1−4√2≥0tức làm≥1+4√2 Mặt khác khim≥1−4√2thì bất phương trình đề có nghiệmx=1 Vậy nhữngmcần tìm làm≥1+4√2
Đề 3.
Cho dãy số(xn) (n=0; 1; )thoả mãnx0=a>1và xn+1=
r
1+
xn+1
,n=0; 1; (alà số cố định)
Chứng minh dãy(xn)có giới hạn tính giới hạn
Lời giải:
Dễ thấyxn>1với mọin∈N
Xét pt:x3+x2−x−2=0có nghiệm làx=k≈1,2 Ta có:
x2n+1−x2n=−x2
n+1+
1
xn+1 =−
xn3+x2n−xn−2
xn+1
+ Nếuxo=a=k⇒x21−x2o=0⇒x1=xo=k⇒xn=kvới mọin∈N Vậylimxn=k
+ Nếuxo=a<k⇒x2n+1−x2n>0⇒(xn)tăng Ta có:xn=
r
1+
xn+1 <
r
1+
1+1 =
r
3
2 với mọin∈N∗ ta cók<
r
3
2 ⇒xo<
r
3 ⇒xn<
r
3
2 với mọin∈N
(3)math.vn Vậylimxn=k
+ Nếuxo=a>k⇒x2n+1−x2n<0⇒(xn)giảm bị chặn nên có giới hạn vàlimxn=Lthì L phải nghiệm ptL3+L2−L−2=0⇒L=k Vậylimxn=k
Kết luận: với a>1 ta cólimxn=k
Muốn tìm giá trị cụ thể k phải chơi CT Cac-no Đề 4.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB=a
d
ABC= α (00 <α <900) Hai mặt bên SAD , SBC tam giác vuông tương ứng ởAvàC , đồng thời mặt phẳng chứa hai mặt bên hợp với mặt phẳng đáy gócβ
Tính thể tích khối chópS.ABCDtheoa,α ,β
2. Trong tất hình hộp chữ nhật có mặt chéo tam giác với chu vi 2011(mm) Hãy tìm hình hộp tích lớn (Mặt chéo tam giác hình hộp tam giác tạo đỉnh hình hộp mà đỉnh khơng nằm mặt mặt chéo hình hộp.)
Lời giải:
1.
A
B C
D S
H
Gọi H hình chiếu S
(ABCD)
Ta có:SH⊥BC; SC⊥BC⇒BC⊥ HC; SH⊥BC;
SC ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SHC) ⇒
((ABCD),(SBC)) = (SC,HC) = β vàHC⊥BC
Tương tự ta có
((ABCD),(SAD)) = (SA,HA) = β vàHA⊥AD
(4)math.vn Mà((ABCD),(SAD)) = (SA,HA) = (SC,HC) =β
do đóH nằm hình bình hànhABCD(vì nếuH nằm ngồi ta có tam giácSACcó góc bằngβ góc bằng180o−β) vàSACd =SCAd =β ⇒∆SACcân tạiS
Suy raH trung điểm củaAC Xét∆BACvuông tạiA:AC=atanα
Xét∆SHAvuông tạiH:SH= atanα.tanβ
2 SABCD=2SABC=
a2tanα Do đóVS.ABCD=SH.SABCD
3 =
a3tan2α.tanβ
6
2. Gọi độ dài cạnh mặt chéo tam giác làx,y,z>0(đơn vị mm) Giả thiết cho tax+y+z=2011(mm) (1)
Do tam giác chéo hình hộp chữ nhật tam giác nhọn
x2+y2>z2 y2+z2>x2 z2+x2>y2
(2)
Đặt kích thước hình hộp chữ nhật làa,b,c>0 Do cạnh phát xuất từ đỉnh hình hộp chữ nhật đơi vng góc , mà theo định lí Pytago cho tam giác vng có chung đỉnh phát xuất từ đỉnh hình hộp chữ nhật ta thu
a2+b2=x2 b2+c2=y2 c2+a2=z2
Cộng theo vế đẳng thức kết hợp với(2)ta có
a=
r
x2+z2−y2 b=
r
x2+y2−z2 c=
r
(5)math.vn GọiV thể tích họ hình hộp chữ nhật có chu vi mặt chéo tam giác 2011(mm).Ta có
V =abc=
2√2
p
(x2+z2−y2)(x2+y2−z2)(y2+z2−x2)
Theo BĐT Cauchy (AM- GM) có
(x2+z2−y2)(x2+y2−z2)≤
(x2+z2−y2) + (x2+y2−z2)
2
2
=x4
(x2+y2−z2)(y2+z2−x2)≤
(x2+y2−z2) + (y2+z2−x2)
2
2
=y4
(y2+z2−x2)(x2+z2−y2)≤
(y2+z2−x2) + (x2+z2−y2)
2
2
=z4 Nhân theo vế BĐT ta nhận
V ≤
2√2xyz≤
x+y+z
3
= 2011
3
54√2 Dấu xảy ra⇔x=y=z= 2011
3 (mm)
Vậy tất hình hộp chữ nhật thoả đề hình lập phương có cạnh 2011
3 (mm)có thể tích lớn 20113 54√2(mm
3)
Đề 5.
Cho hai số thực dươngx,ythoả mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=xx+yy
Lời giải:
Trước hết ta chứng minhtln(2t)≥t−1
2 ⇔tlnt≥(1−ln 2)t− đẳng thức xảy khit =1
2
Áp dụng BDT Cauchy ta cóP≥2√xx.yy
ĐặtA=xx.yy⇒lnA=xlnx+ylny≥(1−ln 2)(x+y)−1=ln1 Suy raA≥
2.Do mà ta có đượcP≥ √
2
Đẳng thức xảy khix=y=1
2.VậyminP= √