P N ễN TP HèNH HC Bi 1:a) Dễ dàng chứng minh đợc IH = 0M A IH // 0M 0MN = HIK (g.c.g) I E Do đó: IHQ = M0Q (g.c.g) QH = Q0 F H N QI = QM P b) DIM vuông có DQ đờng trung K Q O tuyến ứng với cạnh huyền nên R QD = QI = QM B D M Nhng QI đờng trung bình 0HA nên c) Tơng tự: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bi 2:GT; KL; Hình vẽ (0,5đ) a, Góc AIC = 1200 (1 đ ) b, Lấy H AC : AH = AQ IQ = IH = IP (1 đ ) Bi 10:a, C.Tia CO cắt AB D. +D ả ã ã +, Xét BOD có BOC góc nên BOC = B 1 ả = àA + C A +, Xét ADC có góc D1 góc nên D Vậy C ã = àA + Cà1 + B BOC à D ã b, Nếu ãABO + ãACO = 900 A BOC = àA + 900 A = 900 + A Xét ả C ả C BOC có: ( ) C B à +B ả = 180 900 + A + B ữ = 180 O 2ữ àA + B à C 1800 C = 900 = 900 = 2 O tia CO tia phân giác góc Bi s 12: A D E C Chứng minh: a (1,5đ) B M Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đờng trung bình => ME//BD(0,25đ) Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ) Trong tam giác MAE ,ID đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đờng trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) Bi s 11:( Tự vẽ hình) MHK cân M . Thật vậy: ACK = BAH. (gcg) => AK = BH . AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH. Vậy: MHK cân M Bi s 13:: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA NOC ta có: AN2 =OA2 ON2; CN2 = OC2 ON2 CN2 AN2 = OC2 OA2 (1) ( 0, điểm) Tơng tự ta có: AP2 - BP2 = OA2 OB2 (2); MB2 CM2 = OB2 OC2 (3) ( 0, điểm) Từ (1); (2) (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, điểm). Bi 15:Câu 4: a) Vẽ AH BC; ( H BC) ABC + hai tam giác vuông AHB BID có: BD= AB (gt) Góc A1= góc B1( phụ với góc B2) AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn) AH BI (1) DI= BH + Xét hai tam giác vuông AHC CKE có: Góc A2= góc C1( phụ với góc C2) AC=CE(gt) AHC= CKB ( cạnh huyền, góc nhọn) AH= CK (2) từ (1) (2) BI= CK EK = HC. b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên) tơng tự: EK = HC Từ BC= BH +Hc= DI + EK. Bi 17:Các góc A, B , C tỉ lệ với 7, 5, A B C A + B + C 180 = = = = = 12 15 15 A= 840 góc đỉnh A 960 B = 600 góc đỉnh B 1200 C = 360 góc đỉnh C 1440 Các góc tơng ứng tỉ lệ với ; ; b) 1) AE = AD ADE cân =D E = EDA ã E à = 180 A (1) ABC cân B =C E ã C = 180 A AB (2) ã Từ (1) (2) Eà1 = ABC ED // BC a) Xét EBC DCB có BC chung (3) ã ã (4) EBC = DCB BE = CD (5) Từ (3), (4), (5) EBC = DCB (c.g.c) ã ã BEC = 900 CE AB . = CDB bi 18 :Trên tia EC lấy điểm D cho ED = EA. Hai tam giác vuông ABE = DBE ( EA = ED, BE chung) ã ã Suy BD = BA ; BAD . = BDA Theo giả thiết: EC EA = A B Vậy EC ED = AB Bi 19:-Trên Oy lấy M cho OM = m. Ta có : N nằm O, M MN = OM. -Dựng d trung trực OM Oz phân giác góc xOy chúng cắt D. - VODM =VM ' DN (c.g.c) MD = ND D thuộc trung trực MN. -Rõ ràng : D cố định. Vậy đờng trung trực MN qua D cố định. Bi 20:Vẽ đợc hình, ghi GT, KL đợc 0,25đ =A ả (Az tia phân giác ảA ) a, ABC có A =C (Ay // BC, so le trong) A 1 ảA2 = Cà1 V ABC cân B mà BK AC BK đờng cao cân ABC BK trung tuyến cân ABC (0,75đ) hay K trung điểm AC b, Xét cân ABH vuông BAK. Có AB cạng huyền (cạnh chung) ảA = B (= 300 ) Vì { ảA = A = 300 2 ả = 900 600 = 300 B vuông ABH = vuông BAK BH = AK mà AK = AC AC BH = (1đ) 2 c, AMC vuông M có AK = KC = AC/2 (1) MK trung tuyến thuộc cạnh huyền KM = AC/2 (2) Từ (10 (2) KM = KC KMC cân. ả = 900 A=30 ã Mặt khác AMC có M MKC = 900 300 = 600 AMC (1đ) Bi 22: ABC cân, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trên AB lấy AE =AD. Cần chứng minh AE+DC=AB (hoặc EB=DC) AED cân, DAE = 400: =200. => ADE =AED = 800 =400+EDB (góc EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trên AB lấy C cho AC = AC. C D CAD = CAD ( c.g.c) ACD = 1000 DCE = 800. Vậy DCE cân => DC =ED (2) Từ (1) (2) có EB=DC. A C E B Mà DC =DC. Vậy AD +DC =AB. Bi 23:a. Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC .Gọi M trung điểm BC. nên OM đờng trung bình tam giác BNC. Do OM //BN, OM = BN Do OM vuông góc BC => NB vuông góc BC Mà AH vuông góc với BC NB // AH (1đ) Tơng tự AN//BH Do NB = AH. Suy AH = 2OM (1đ) b. Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AG HG IK đờng trung bình tam giác AGH nên IK// AH AH => IK // OM IK = OM ; KIG = OMG (so le trong) IGK = MGO nên GK = OG IGK = MGO IK = Ba điểm H, G, O thẳng hàng 1đ HG nên HG = 2GO Bi 21:Giả sử DC không lớn DB hay DC DB. ã ã * Nếu DC = DB VBDC cân D nên DBC = BCD Do GK = OG mà GK = A .Suy ra: ãABD = ãACD .Khi ta có: VADB = VADC (c_g_c) . Do đó: ãADB = ãADC ( trái với giả thiết) D C B . ã ã * Nếu DC < DB VBDC , ta có DBC < BCD mà ãABC = ãACB suy ra: ãABD > ãACD ( ) . Xét VADB VACD có: AB = AC ; AD chung ; DC < DB. ( ). ã ã Suy ra: DAC < DAB Từ (1) (2) VADB VACD ta lại có ãADB < ãADC , điều trái với giả thiết. Vậy: DC > DB. Bi 14:Kẻ DF // AC ( F thuộc BC ) (0,5đ ) => DF = BD = CE (0,5đ ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1đ ) => góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng (1đ) . vuông BAK. Có AB là cạng huyền (cạnh chung) ả à 0 2 1 ( 30 )A B= = Vì ả ả à { 0 2 0 0 0 1 30 2 90 60 30 A A B = = = = vuông ABH = vuông BAK BH = AK mà AK = 2 2 AC AC BH = (1đ) c, AMC vuông. OM là đờng trung bình của tam giác BNC. Do đó OM //BN, OM = 2 1 BN Do OM vuông góc BC => NB vuông góc BC Mà AH vuông góc với BC vì thế NB // AH (1đ) Tơng tự AN//BH Do đó NB = AH. Suy ra AH. ABC + hai tam giác vuông AHB và BID có: BD= AB (gt) Góc A 1 = góc B 1 ( cùng phụ với góc B 2 ) AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn) AH BI (1) và DI= BH + Xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc