SKKN: Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng

Góp phần tìm tòi lời giải gọn gàng, hiệu quả cho một lớp các bài toán về tích phân và ứng dụng, giúp học sinh tư duy hiệu quả và tự tin hơn khi gặp các bài tập dạng này. Nắm vững nội dung đề tài, lời giải của học sinh củng tự nhiên và trong sáng hơn. Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, cũng như việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Phần tích phân chiếm thời lượng tương đối lớn chương trình trung học phổ thông vấn đề thiếu kì thi tốt nghiệp, Đại học Cao đẳng Đây vấn đề khó học sinh giáo viên Đặc biệt nhiều tốn tích phân ứng dụng tích phân kì thi Đại học, Cao đẳng dạng bình thường ra, mà ta thường gặp toán mức độ khó biến đổi phức tạp Đứng trước tốn thí sinh thường lúng túng việc nhận dạng, biến đổi, phân tích chọn lời giải Để phần khắc phục hạn chế chúng tơi nêu lên đề tài: “ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ” mà trình giảng dạy đúc kết Đề tài thể hướng tiếp cận khai thác hiệu dạng tốn tích phân chương trình lớp 12 THPT góp phần nâng cao hiệu giảng dạy ôn thi Đại học, Cao đẳng Rất mong đồng cảm chia thầy cô bạn quan tâm đến vấn đề Mục đích nghiên cứu Góp phần tìm tịi lời giải gọn gàng, hiệu cho lớp tốn tích phân ứng dụng, giúp học sinh tư hiệu tự tin gặp tập dạng Nắm vững nội dung đề tài, lời giải học sinh củng tự nhiên sáng Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác thân, việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Đối tượng nghiên cứu đề tài Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiếp cận để giải lớp tốn tích phân thường gặp kỳ thi Đại học, Cao đẳng tốt nghiệp THPT Phạm vi nghiên cứu đề tài Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp, luyện thi Đại học Cao đẳng Nhiệm vụ nghiên cứu Đi tìm lời giải tốn tích phân ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Kỹ phân tích, nhận dạng tính tích phân Phương pháp nghiên cứu a) Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 - Tài liệu tham khảo b) Điều tra: - Thực dạy kết kiểm tra: Trong trình nghiên cứu đề tài năm học 2012-2013 tiến hành đối chứng 12B thực nghiệm lớp 12G, 12I thực nghiệm - Dự giờ: Thường xuyên dự để biết mức độ hiểu biết khả giải tốn tích phân học sinh cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp với phân môn + Trao đổi với em học sinh tốn tích phân để biết cách tìm hướng giải tốn em, từ có cách dạy tốt c) Giả thuyết khoa học: Nếu học sinh nắm vững bước giải dạng tốn em cảm thấy hăng say, tích cực, tự tin kết kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm cao Bố cục đề tài Bố cục đề tài gồm: Đặt vấn đề, Giải vấn đề gồm chương: Chương chương 2, Kết luận, kiến nghị tài liệu tham khảo II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG TÍCH PHÂN TẠI TRƯỜNG THPT 1.1 Cơ sở lí luận: Một số tập tính tích phân có nhiều cách giải khác nhau, nhiên đứng trước tập học sinh thường lúng túng chọn cách giải chọn lời giải Một số tập tích phân em hay thiếu kinh nghiệm việc chọn phương pháp giải hay hiệu quả, học sinh vận dụng mà không phát so sánh để chọn lời giải hợp lí Nhiều giáo viên đưa nhiều phương pháp giải vấn đề có hiệu như: Phân dạng tập theo phương pháp giải giải nhiều tập cho học sinh ghi nhớ Tuy nhiên dạng tốn tích phân đặc biệt ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng đơi học sinh cảm thấy sợ khó, giáo viên quan tâm 1.2 Cơ sở thực tiễn: 1.2.1 Thực trạng việc dạy giáo viên: Có số giáo viên vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo thường dừng lại mức độ đơn lẻ, chưa đưa cách giải cách phân tích cho toán để chọn lời giải hay Đối với dạng tốn tích phân đặc biệt ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giáo viên quan tâm 1.2.2 Thực trạng việc học học sinh: Đa số học sinh biết giải tập tích phân bản, biến đổi đơn giản bế tắc gặp dạng biến đổi phức tạp Nhiều học sinh lúng túng chọn phương pháp giải lời giải chưa thật rõ ràng Đối với dạng toán tích phân đặc biệt ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng học sinh cịn sợ khó Chất lượng thực tế qua khảo sát năm 2012-2013: Lớp Số lượng Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Số lượng % Số lượng % 12B 44 14 31,8 30 68,2 12G 42 32 76,2 10 23,8 12I 39 31 79,5 20,5 1.2.3 Sự cần thiết đề tài: Qua phân tích thực trạng việc dạy giáo viên việc học học sinh, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 12 Đề tài giới thiệu kinh nghiệm, phương pháp phù hợp nhằm nâng cao hiệu giảng dạy tích phân cho học sinh khối 12 giúp em đạt kết cao kì thi tốt nghiệp, Đai học cao đẳng Chương 2: ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Vấn đề đặt ra: Hiện cách dạy phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh học tập rèn luyện Để phát huy điều đó, cần phải đưa phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú học tập, để đem lại kết học tập tốt hiệu giảng dạy cao Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm: Để hồn thành đề tài, tơi tiến hành bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương lập kế hoạch; Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài Nội dung chương 2: 2.1 Dạng tốn tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng 2.1.1 Phương pháp b Dạng 1: I = ò f [u ( x)]u '( x)dx a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt u ( x) = t Þ dt = d (u ( x)) = u '( x)dx Bước 2: Đổi cận: x =b x =a Þ t =u ( b ) t =u ( a ) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta được: I= b u (b ) a u(a) ò f [u( x)]u' ( x)dx = ị f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) 2.1.2 Bài tập ứng dụng Tính tích phân sau: Bài 1: I = ò x3 (1 + x )3 dx Phân tích - Đứng trước tốn ta có hướng giải: Khai triển đẳng thức (1 + x )3 đưa tích phân dạng Sử dụng định nghĩa tích phân Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1… - Trình bày lời giải theo phương pháp đổi biến số sau: Giải Đặt t = + x Þ dt = d (1 + x ) = (1 + x )dx = x 3dx Þ x3dx = dt Đổi cận: x = Þ t = 1; x = Þ t = 2 15 Từ đó: I = ị x (1 + x ) dx = ò t dt = t = 41 16 16 Nhận xét: Đối với dạng toán tương tự sử dụng phương pháp đổi biến số cho ta lời giải rõ ràng hiệu Với hướng số mũ lớn việc khai triển khó khăn đương nhiên khơng thực tế Bài 2: I = ò x + x dx Phân tích - Bài tốn nêu hướng giải: Sử dụng định nghĩa tích phân Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1: Để khử thức đặt: t = x3 + đặt t = x3 + để khử x - Lời giải trình bày theo phương pháp đổi biến số: Giải Cách 1: Đặt: t = x3 + Þ dt = d ( x3 + 1) = ( x3 + 1) ' dx = 3x dx Þ x dx = dt Đổi cận: x = Þ t = 1; x = Þ t = +1 2 1 (t ) 2 2 Khi đó: I = ị ( t ) dt = = t t = - = (2 - 1) 31 +1 9 Cách 2: Đặt: t = x3 + Þ t = x3 + Þ dt = d ( x3 + 1) Û 2tdt = 3x dx Þ x dx = Đổi cận: x = Þ t = 1; x = Þ t = 2 Khi đó: I = 2 1 + ln x dx x e Bài 3: I = ò Phân tích ị t dt = t = (2 - 1) 2tdt - Với tốn ta nghỉ đến hướng giải: Sử dụng phương pháp đổi biến số, thực theo hai cách: + Tách thành tích phân tích phân đổi biến số + Sử dụng phép đổi biến số Sử dụng định nghĩa tích phân - Sau lời giải trình bày theo phương pháp đổi biến số: Giải x x Đặt: t = ln x Þ dt = d ln x = (ln x) ' dx = dx Þ dx = dt Đổi cận: x = Þ t = 0; x = e Þ t = 1 1 Khi đó: I = ị (t + 1)dt = ( t + t ) = 0 Nhận xét: Như toán ta có nhiều cách giải khác ta cần linh động lựa chọn cách giải hợp lí, hiệu phù hợp Trên toán phép đổi biến số ta cảm thấy việc giải có phần nhẹ nhàng Đối với đề thi cao đẳng đại học tốn khó không cho dạng tường minh mà ta phải biến đổi dạng tìm lời giải hợp lí, hiệu Ví dụ: e Bài 4: (ĐH Khối B - 2010) I = ò ln x dx x(2 + ln x) Phân tích - Bài tốn có hướng giải: Sử dụng phương pháp đổi biến số đặt t = + ln x t = ln x Sử dụng định nghĩa tích phân - Lời giải trình bày theo phương pháp đổi biến số: Giải x x Đặt: t = + ln x Þ dt = d (2 + ln x) = (2 + ln x) ' dx = dx Þ dx = dt Đổi cận: x = Þ t = 2; x = e Þ t = 3 t-2 2 -1 dt = ( - )dt = (ln t + ) = + ln ò t t t t 2 Khi đó: I = ị x2 + e x + x2e x Bài 5: (ĐH Khối A- 2010) I = ò dx + 2e x Phân tích - Đây toán phức tạp toán vừa nêu, đứng trước toán ta: + Nhận thấy tử phân tích nhân tử chung từ biến đổi hàm số lấy tích dạng quen thuộc + Nhận dạng để tìm cách giải - Lời giải trình bày sau: Giải x + e x + x 2e x e x + x (1 + 2e x ) ex Biến đổi: I = ò dx = dx = x dx + ò0 + 2e x ò0 ò0 + 2e x dx + 2e x 1 1 x3 1 I1 = ò x dx = = 3 Ta có: ex I2 = ị dx + 2e x Đặt: t = + 2e x Þ dt = d (1 + 2e x ) = 2e x dx Þ e x dx = dt Đổi cận: x = Þ t = 3; x = Þ t = + 2e Khi đó: I = 1+ e ò Vậy: + 2e 1 + 2e 1 dt = ln t = ln 2t 2 1 + 2e I = I1 + I = + ln 3 Bài 6: (ĐH Khối A- 2009) I = p /2 ò (cos x - 1)cos xdx Phân tích - Đứng trước tốn ta có hướng giải: Dùng cơng thức hạ bậc để biến đổi tích phân dạng đơn giản Biến đổi tích phân thành tổng tích phân quen thuộc tích phân đổi biến số - Lời giải theo phương pháp đổi biến số: Giải p /2 Ta có: I = ị p /2 cos5 xdx - p /2 Tính: I1 = ị ò cos xdx p /2 0 cos5 xdx = ò cos x.cos xdx = ò (1 - sin x) cos xdx Đặt t = s inx, dt = d (s inx) = (s inx) ' dx = cos xdx Đổi cận: x = Þ t = 0; x = p Þ t =1 2 15 Khi đó: I1 = ị (1 - t ) dt = ò (1 - 2t + t )dt =(t - t + t ) = 2 p /2 Tính: I = p /2 1 ò cos xdx = ò (1 + cos x)dx = ( x + sin x) Vậy: I = I1 - I = p - 15 p /2 =p /4 Nhận xét: Trên dạng toán hay quen thuộc Đứng trước tốn ta có nhiều cách giải, nhiên việc chọn lời giải đẹp, gọn gàng hiệu quan trọng Để làm điều phải thường xuyên tiếp cận, thực hành giải tốn tích phân từ hình thành kỉ nhận dạng chọn lời giải Dưới tập dùng để rèn luyện phần này: 2.1.3 Bài tập rèn luyện Tính tích phân sau: ò x 1- x dx òx x2 + ò x +1 3x + ò dx p ò x3 + 1dx 0 ò cos ò cos x dx + cos x p ò p p p + x2 sin x + sin x p p òx x3 x dx dx sin x - cos x + sin x dx p ò sin x dx ò sin x dx 0 p ò sin x(1 + sin p ò p p 4 tan xdx cos x ò p cos x ò - sin x + sin 0 x x cos x + sin x + sin x p ò dx p sin x dx p (ĐHQG TPHCM Khối A: 1998) I = ò cos3 x sin xdx I= òx + x dx (ĐH KTHN: 1997) I = ò x5 (1 - x3 )6 dx (CĐSP TPHCM 1997) I = p /6 ò x dx ò p (ĐH GTHN: 1996) ò cos x dx dx ò (2 + sin x) dx p ò cos x) dx sin x ò + cos cosx dx - 5sin x + sin x sin x cos x + sin x ln(tgx) dx sin x dx p /2 ò (HV BCVT HN: 1998) I = s inx.cos x dx + cos x (ĐH Khối A- 2003) I= ò dx x x2 + dx x dx + x 1 (ĐH Khối A- 2004) I =ò (ĐH Khối B-2004) I =ò e p /2 ĐH Khối A-2005) I= ò p /2 (ĐH Khối B-2005) I= ò + 3ln x ln x dx x sin x + sin x dx + 3cos x sin x cos x dx + cos x p /2 (ĐH Khối A-2006) I= ò sin x cos x + sin x dx 2.2 Dạng tốn tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng 2.2.1 Phương pháp b Dạng 2: Tính I = ị f ( x)dx a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt x = f (t ) Þ dx = d (f (t )) = f '(t )dt Bước 2: Đổi cận: x =b x =a Þ t =b t =a Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta được: b b I= ò f ( x)dx = aò f [j (t )]j ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) a 2.2.2 Bài tập ứng dụng Tính tích phân sau: Bài 1: a) I = ò 1 - x2 b) I = ò - x dx dx Phân tích - Hai tốn để tính ta nghỉ đến việc đặt hàm số sin cos tức sử dụng phép đổi biến số - Áp dụng phương pháp đổi biến số ta có lời giải: Giải p p 2 a) Đặt x = sin t , với t Ỵ (- ; ) , ta có: dx = cos tdt (ĐHTL HN - 1996) I = p /2 òe x cos xdx p (ĐHAN- 1999) I = ò x sin xdx (ĐH Khối D- 2004) I = ò ln( x - x)dx (ĐH Khối D- 2006) I = ò ( x - 2)e2 x dx e (ĐH Khối D- 2007) I = ò x3 ln xdx ln x dx x3 (ĐH Khối D- 2008) I = ò + ln x dx ( x + 1) (ĐH Khối B- 2009) I = ò e x (ĐH Khối D- 2010) I = ò (2 x - ) ln xdx 2.4 Dạng tốn tích phân đặc biệt 2.4.1 Bài tốn dựa vào tính liên tục tính lẻ hàm số lấy tích phân Bài 1: Cho f ( x) hàm số lẻ liên tục đoạn [ -a; a ] (a > 0) tính: a ị I= f ( x)dx -a Giải Tách tích phân thành tổng sau: a a -a -a ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx Tính: ị f ( x )dx : -a Đặt t =-x suy dt = - dx ỡ x = -a ị t = a ợx = Þ t = Đổi cận: í ò -a a a 0 f ( x)dx = - ò f (-t )dt = ò f (-t )dt = - ò f (t )dt = - ò f ( x)dx a a Vậy: I = a ò -a a a 0 f ( x)dx = - ò f ( x)dx + ò f ( x)dx = Đặt vấn đề: Đây toán đại diện cho lớp nhiều toán, cụ thể trường hợp riêng tốn Ví dụ: Tính tích phân sau: Bài 2: sin x dx +1 ịx -1 Phân tích - Ta thấy f ( x) = sin x hàm số lẻ liên tục đoạn [ -1;1] x2 + - Do ta có kết sin x dx = +1 òx -1 - Lời giải trình bày sau: Giải Tách tích phân sau: sin x s inx s inx ò-1 x2 + 1dx = -ò1 x2 + 1dx + ị0 x + 1dx ì x = -1 Þ t = s inx dx : Đặt x=-t suy dx=-dt v +1 ợx = ị t = 0 Tính: ịx -1 0 1 s inx s in(-t) s int s inx ò-1 x2 + dx = -ò1 (-t )2 + dt = - ò0 t + dt = - ò0 x2 + dx 1 sin x s inx s inx Suy ra: ò dx = ò dx + ò dx = x +1 x +1 x +1 -1 -1 Bài 3: I = ò x 2014 s inxdx -1 Phân tích - Với tốn thường suy nghỉ đến ba hướng: Sử dụng phương pháp tích phân phần thực 2014 lần tích phân phần điều khơng thự tế Sử dụng phương pháp tích phân phần cho cơng thức tổng quát: òx n s inxdx , từ phương pháp truy hồi nhận kết I, nhiên -1 cách giải chưa hẳn hiệu Áp dụng bài1: + Ta thấy f ( x) = x 2014 s inx hàm số lẻ liên tục đoạn [ -1;1] + Do ta có kết I = ị x 2014 s inxdx = -1 + Lời giải trình bày sau: Giải Tách tích phân sau: òx -1 2014 s inxdx = ò x -1 2014 s inxdx + ò x 2014 s inxdx 0 ịx Tính: 2014 -1 ịx ì x = -1 Þ t = s inxdx : Đặt x=-t suy dx=-dt í ỵx = Þ t = 0 2014 -1 s inxdx = - ò (-t ) 2014 s in(-t)dt = - ò t 1 -1 -1 2014 s intdt = - ò x 2014 s inxdx Suy ra: ò x 2014 s inxdx = ò x 2014 s inxdx + ò x 2014 s inxdx = Bài tập rèn luyện Tính tích phân sau: p òp sin - p sin x dx +1 -1 òx xdx x òp - sin - 2 x dx 2.4.2 Bài tốn dựa vào tính liên tục hàm số đoạn [0;1] Bài 1: Cho f(t) hàm số liên tục đoạn [0;1] Chứng minh: p p 0 ò f (sin x)dx = ò f (cos x)dx Giải p Xét ò f (sin x)dx p é êx = Þ t = p Đặt x = - t Þ dx = -dt ê p đó: êx = Þ t = ë p ò p p 2 p f (sin x)dx = - ò f (sin( - t )dt = ò f (cos t )dt = ò f (cos x)dx (Đpcm) p 0 Đặt vấn đề: Trên tốn hay có vai trị quan trọng việc tìm lời giải lớp tốn tích phân có chứa hàm số lượng giác Cụ thể: p sin x dx 6 cos x + sin x Bài 2: I = ị Phân tích Đứng trước tốn ta thường nghỉ đến hai hướng: Biến đổi lượng giác đưa tích phân dạng quen thuộc, nhiên bậc hàm số lượng giác cao nên chưa hiệu Áp dụng toán đại diện: - Ta thấy f ( x) = cos x hàm số liên tục đoạn [0;1] cos x + sin x - Áp dụng tốn gốc ta có: p p cos x sin x dx = ò0 cos6 x + sin x ò0 cos6 x + sin x dx - Lời giải trình bày sau: Giải p é x=0Þt = ê p 2, Đặt x = - t Þ dx = -dt ê p êx = Þ t = ë Khi đó: p sin ( - t ) sin x I =ò dx = - ò dt 6 p c os x + sin x p p cos6 ( - t ) + sin ( - t ) 2 p p p cos t cos6 x =ò dt = ò dx sin t + cos6t sin x + cos6 x 0 p p p p sin x cos x cos x + sin x p dx + ò dx = ò dx = ò dx = 6 cos x + sin x sin x + cos x sin x + cos x 0 0 Þ 2I = ị ÞI = 6 6 p Bài tập rèn luyện Tính tích phân sau: p cos n x ị0 cos n x + sin n x dx p cos x ò0 cos x + sin x dx p cos x ò0 cos x + sin x dx Bài 3: Cho f(t) hàm số liên tục đoạn [0;1] Chứng minh: p pp ò0 xf (sin x)dx = ò0 f (sin x)dx Giải p Tính: ò xf (sin x)dx Đặt: éx = Þ t = p x = p - t Þ dx = -dt ê ëx = p Þ t = Khi đó: p ò xf (sin x)dx = - ò (p - t ) f (sin(p - t )dt p p p p = ò (p - t ) f (sin t )dt = p ò f (sin t )dt - ò tf (sin t )dt 0 p p p pp = p ò f (sin x)dx - ò xf (sin x)dx Þ ò xf (sin x)dx = ò f (sin x)dx (Đpcm) 20 0 Đặt vấn đề: Từ tốn ứng dụng vào tìm tịi lời giải tốn tính tích phân: p Bài 4: I = ò x sin xdx - cos x Phân tích Đứng trước toán ta thường nghỉ đến hai hướng: Sử dụng phương pháp tích phân phần, nhiên việc tính v phức tạp Áp dụng tốn gốc 2: - Ta thấy f (sin x) = sin x sin x = hàm số liên tục đoạn - cos x + sin x [0;1] p p x sin xdx p sin x dx = ò dx - Áp dụng tốn gốc ta có: ị 2 - cos x - cos x - Lời giải trình bày sau: Giải Đặt: x = p - t Þ dx = -dt éx = Þ t = p Đổi cận: ê ëx = p Þ t = Khi đó: p p x sin x sin(p - t ) sin tdt ò0 - cos2 x dx = -pò (p - t ) - cos2 (p - t ) dt = ò0 (p - t ) - cos2 t dt p p p p sin tdt sin t sin xdx x sin x dt - ò t dt = p ò dx - ò dx 2 2 cos t cos t cos x cos x 0 0 =pị p Þ p x sin xdx p sin x ò0 - cos2 x dx = ò0 - cos2 x dx Đặt: v = cos x Þ dv = - sin xdx é x = Þ v =1 Đổi cận: ê ë x = p Þ v = -1 Khi đó: I= = p p sin x p -1 p 1 dx = dv = ( + )dv ò ò ò - cos x (2 - v)(2 + v) -1 (2 - v) + v p 2-v p p ln = ln = - ln + v -1 Bài tập rèn luyện Tính tích phân sau: p p (ĐH TCKT HN - 1999) ò x cos x sin xdx ò x sin xdx 2.4.3 Bài toán dựa vào tính liên tục chẵn hàm số ¡ Bài 1: Cho f(x) hàm số liên tục chẵn ¡ ,thì: a a f ( x) + ò-a a x + 1dx = ò0 f ( x)dx vi a ẻ R v a>0; a Giải a a f ( x) f ( x) f ( x) Ta có: ị x dx = ị x dx + ò x dx -a a + -a a + a +1 Tính: é x = -a Þ t = a f ( x) dx : Đặt t=-x suy dt=-dx hay dx=-dt ê x +1 ë x=0Þt =0 ịa a - a a f ( x) f (-t ) f (t )a t a x f ( x) dx dt = dt = = ò-a a x + òa a -t + ò0 + a t ò0 a x + dx Khi đó: Nên: a a a a a f ( x) a x f ( x) f ( x) (a x + 1) f ( x) dx = dx + dx = ò x ò0 a x + ò0 a x + ò0 a x + dx = ò0 f ( x)dx -a a + (Đpcm) Đặt vấn đề: Bài toán tổng quát trên, cho ta lời giải tương tự toán sau đây: x4 Bài 2: I = ị x dx +1 -1 Phân tích Đối với toán ta áp dụng toán gốc: + Ta thấy f ( x) = x hàm số liên tục đoạn [-1;1] 1 x4 dx = ò x dx x +1 -1 + Áp dụng toán gốc ta có: I = ị + Lời giải trình bày sau: Giải 1 x4 x4 x4 dx = dx + x ò x ò0 2x + 1dx -1 + -1 + Ta có: I = ị Tính: é x = -1 Þ t = x4 ò-1 x + 1dx : Đặt t=-x suy dt=-dx hay dx=-dt êë x = Þ t = Khi đó: x4 (-t )4 t 2t x x ò x dx = -ò1 2-t + 1dt = ò0 2t + 1dt = ò0 x + 1dx -1 + 0 1 Nên: I= 1 x4 x4 x4 x x x4 dx = dx + dx = dx + ò-1 2x + -ò1 2x + ò0 x + ò0 x + ò0 x + 1dx =ò x (2 x + 1) dx = ò x dx = x +1 Bài tập rèn luyện Tính tích phân sau: ị -1 a ị -a p - x dx + 2x x - x ò + x dx -1 sin x ò x dx -p + a2 - x2 dx (với a > ) ax +1 ò -2 - x2 dx 2x + e ò -e e2 - x dx 1+ ex a x a2 - x2 ò- a a x + dx (với a > ) a 2.5 Dạng tốn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Bài tốn: Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f1(x) y = f2(x) đường thẳng x = a, x = b diện tích hình phẳng tính theo cơng thức: b S = ị f1 ( x ) - f ( x ) dx a Đặt vấn đề: Việc tính diện tích hình phẳng tốn ta thấy có phần đơn giản Song thực tế ta gặp nhiều toán khơng phải thế, sau tốn có dạng khác với mức độ khó Ví dụ tính diện tích hình phẳng ( H i ) giới hạn đường sau: ì x2 (C ) ïy = 4ï Bài 1: ( H1 ) í ïy = x (C ') ïỵ Phân tích - Giải phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) tìm cận a, b b x2 x2 4dx 4 - Tính: S( H ) = ò a + Xét dấu: b x2 x2 đoạn [a;b] để mở dấu giá trị tuyệt đối 4 + Tính I1 = ò a x2 dx phương pháp đổi biến số b + Tính tích phân I1 = ò a x2 dx Giải - Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) là: é x = 16 x2 x2 x2 x4 4= Û 4- = Û x - x - 128 = Û ê Û x = ±4 4 32 ë x = -8(VN ) - Bảng xét dấu: x x2 x2 44 -4 + - Khi đó: S( H1 ) = ị -4 x2 x2 x2 x2 4dx = ò ( )dx 4 4 -4 = ò 4- -4 x2 x2 32 dx - ò dx = 4p -4 ìï y = x - x + (C ) Bài 2: ( H ) í (C ') ïỵ y = x + Phân tích - Giải phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) tìm cận a, b b - Tính: S( H ) = ò x - x + - ( x + 3) dx a + Xét dấu: x - x + , x - x + - ( x + 3) [a;b] để mở dấu tuyệt đối + Tính tích phân Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) là: x ³ -3 ì ï x - x + = x + Û í é x - x + = x + Û x = 0; x = ïê x2 - x + = x + ỵë S( H ) = ò x - x + - ( x + 3) dx Lập bảng xét dấu x x - 4x + + x2 - x + - ( x + ) - - + - - Khi đó: S( H ) = ò x - x + - ( x + 3) dx = òx - x + - x - dx + ò -x 1 = ò x - x dx + ò -x + x - - x - dx + ò x - x + - x - dx + 3x - dx + ò x - x dx 3 = ò (- x + x)dx - ò (- x + 3x - 6)dx - ò ( x - x)dx 2 = (- 3 x3 x 109 x3 x x3 3x + ) - (- + - x) - ( ) = 3 2 -3 x - ì ï y = x - (C ) ï Bài 3: ( H ) : í y = (Ox) ïx = ï ỵ Phân tích - Giải phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) (Ox) tìm cận a, b b - Tính: S( H ) = ị a + Xét dấu: -3 x - dx x -1 -3 x - đoạn [a;b] để mở dấu giá trị tuyệt đối x -1 + Tính tích phân Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (Ox) là: -3 x - -1 = Û -3 x - = Û x = x -1 Ta thấy S( H3 ) = ò -1 -3 x - -1 £ 0, "x Ỵ [ ; 0] Nên: x -1 0 -3 x - 3x + 4 dx = ò dx = ò (3 + )dx = (3x + ln x - 1) -1 = - ln x -1 x -1 -1 x - -1 3 ì y = x2 ỵx = - y Bài 4: ( H ) : í Phân tích - Để tính tích phân ta đổi vai trị x hàm số biến số y: ìx£0 ì y = x2 ï (H4 ) : í Û x = - y (C ) í ỵx = - y ï x = - y (C ') ỵ - Giải phương trình tung độ giao điểm đồ thị (C) (C’) để tìm cận a, b - Tính: S( H ) = ò y - y dy + Xét dấu: y - y đoạn [a;b] để mở dấu giá trị tuyệt đối + Tính tích phân Giải ìx£0 ì y = x2 ï (H4 ) : í Û í x = - y (C ) ỵx = - y ï x = - y (C ') ỵ Phương trình tung độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) là: - y2 = - y Û y2 = é y =1 y Û y = y Û y ( y - 1) = Û ê ëy = Khi đó: 1 1 S( H ) = ò y - y dy = ò ( y - y )dy = ( y y - y ) = 3 0 ìy= x (C ) ỵ y = - x (C ') Bài 5: ( H ) : í Phân tích - Giải phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) tìm cận a, b - Xét dấu x - - x đoạn [a;b] để mở dấu giá trị tuyệt đối - Tính tích phân Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (1) (2) là: ì- £ x £ ì - 2£x£ ì - 2£x£ ï ï é x =1 ï x = - x2 Û íé x = - x2 Û íé x2 + x - = Û í é x = 1; x = -2 Ûê ë x = -1 ïê ïê ïê x = 1; x = x = (2 x ) x x = ỵë ỵë ỵë Khi đó: S( H ) = ò -1 x - + x dx = ò - x - + x dx + ò x - + x dx 2 -1 0 = - ò (x - x - 2)dx - ò ( x + x - 2)dx -1 = (- x x x3 x + + x) - ( + - x) = -1 3 ì y2 + x - = Bài 6: ( H ) : í ỵx + y -3 = Phân tích ì y2 + x - = - í ỵx + y - = ì x = - y (C ) Ûí ỵ x = - y (C ') - Giải phương trình tung độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) tìm cận a, b - Xét dấu - y + y + đoạn [a;b] để mở dấu giá trị tuyệt đối - Tính tích phân Giải ì y2 + x - = Ta có: í ỵx + y - = ì x = - y (1) Ûí ỵ x = - y (2) Phương trình tung độ giao điểm hai đồ thị (1) (2) là: - y = - y Û y é y = - y - = Û ê ë y = -1 Khi đó: S( H ) = ò - y - + y dy = -1 ò -y + y + dy -1 = - ò ( y - y - 2)dy = -( -1 ln x ì y = (C ) ï x ï Bài 7: ( H ) : ïí y = (Ox) ï x=e ï ïỵ x = Phân tích 2 y3 y - - y) = -1 - Giải phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (Ox) tìm cận a, b - Xét dấu ln x đoạn [a;b] để mở dấu giá trị tuyệt đối x - Tính tích phân Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C) (C’) là: ln x = Û ln x = Û x = x e S( H ) = ò e S( H ) ln x ln x ln x ln x dx Do 0, "x ẻ [1; e] ị = nên: x x x x ln x =ị dx Đặt x ì u = ln x dx ì ï ïdu = x , ta có: Ûí í ïdv = x dx ïv= x ỵ ỵ e e e S( H ) = x ln x - ò dx = e - x = e - e + = - e 1 x Bài tập rèn luyện Tính diện tích hình phẳng ( H i ) : (H (H (H ì y = x2 - 2x ):í ỵ y = -x + 4x 10 12 ì y = y2 - y + x )í ỵx + y = ì (C ) : y = e ï ) : í (d ) : y = ï d ': x = ỵ x 3 ì x ï y = x + (H 9) : í 2 ï y = x ỵ ì (C ) : y = x ï ( H 11 ) : í ( d ) : y = - x ï (O x ) ỵ III KẾT LUẬN Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Qua thực tế giảng dạy đề tài “ Đi tìm tịi lời giải tập tích phân ứng dụng” học sinh tiếp thu tốt, em vận dụng ngày linh hoạt, sáng tạo để giải lớp tốn tích phân kì thi tốt nghiệp, Đại học Cao đẳng - Giữa lớp 12G, 12I có học chuyên đề đề tài lớp 12B khơng học chun đề học sinh lớp 12G, 12I có hướng giải tập nhanh nhiều em có lời giải tốt lớp 12B cho tập loại Những học kinh nghiệm Qua thời gian nghiên cứu vận dụng đề tài vào giảng dạy rút số ý kiến sau: a Giáo viên: - Thường xuyên học hỏi trau chuyên mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp - Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập - Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập học sinh Qua đề tài thấy từ việc nắm phương pháp đến việc vận dụng cách thành thạo trình Điều cần cần thực vấn đề tới nơi tới chốn đừng bỏ dở chừng dù phải đối mặt với tính tốn phức tạp b Học sinh: Sau học sinh tiếp thu chuyên đề mới, có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm cho ta hướng tiếp cận, khai thác hiệu dạng tốn tích phân chương trình lớp 12 THPT Đề tài góp phần giúp học sinh giải vấn đề nhanh chóng nhằm nâng cao hiệu ôn thi Đại học, cao đẳng Khả ứng dụng, triển khai Áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi tốt nghiệp luyện thi cao đẳng đại học Những kiến nghị đề xuất - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, góp ý hồn thiện đề tài mở rộng phạm vi ứng dụng Tổ chuyên tiếp thu đề tài để triển khai ôn tập, luyện thi cho học sinh - Học sinh cần tăng cường học tập, tiếp thu đề tài nhằm nâng cao chất lượng học tập Do kinh nghiệm thiếu, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong giúp đỡ thầy, cô để tơi hồn thiện đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1996), Các giảng luyện thi mơn tốn - tập 3, Nxb Giáo dục Lê Hồng Đức - Nhóm cự mơn (2008), Giải tốn giải tích 12(tập 2), Nxb Hà Nội Th.s Lê Hồng Đức- Nhóm cự mơn (2011), Bài giải lời giải chi tiết giải tích 12, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc (2012), Phương pháp giải tốn tích phân, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2008), Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 bản, Nxb Giáo Dục Nguyễn Phụ Hy (2001), Giảng dạy tích phân chương trình tốn 12, Nxb Giáo dục Trần Phương (2010), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội Tạp chí tốn học tuổi trẻ(2011- 2012), Nxb Giáo dục ... vấn đề: Từ toán ứng dụng vào tìm tịi lời giải tốn tính tích phân: p Bài 4: I = ị x sin xdx - cos x Phân tích ? ?ứng trước toán ta thường nghỉ đến hai hướng: Sử dụng phương pháp tích phân phần,... thi Đại học Cao đẳng Nhiệm vụ nghiên cứu Đi tìm lời giải tốn tích phân ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Kỹ phân tích, nhận dạng tính tích phân Phương pháp nghiên cứu a) Nghiên cứu... lúng túng việc nhận dạng, biến đổi, phân tích chọn lời giải Để phần khắc phục hạn chế chúng tơi nêu lên đề tài: ? ?ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ” mà trình giảng dạy đúc kết Đề