Nhằm giúp các em củng cố lại kiến thức môn Toán và làm quen với các dạng bài tập hay ra trong đề thi. TaiLieu.VN mời các em tham khảo Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12, lần cuối năm 2014 môn Toán do Trường Đại Học Vinh thực hiện. Đè thi gồm 2 phần chung và riêng dành cho chương trình chuẩn và nâng cao trong thời gian 180 phút.
www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN CUỐI - NĂM 2014 TRƯỜNG THPT CHUN Mơn: TỐN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) −x −1 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M, biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : y = x − Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x(cos x − 2cos x) = cos x cos x − x + − x ≥ − 3x − x Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ cos3 x + 2cos x dx + 3sin x − cos x Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a 3, BD = 3a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng ( A ' B ' C ' D ') trung điểm A ' C ' Biết cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( ABCD) (CDD ' C ') 21 Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' BC ' D ' Câu (1,0 điểm) Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu a2 b2 thức P = + − ( a + b) 2 (b + c) + 5bc (c + a ) + 5ca II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a phần b) a Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC : x − y + = 0, điểm G (1; 4) trọng tâm tam giác ABC, điểm E (0; − 3) thuộc đường cao kẻ từ D tam giác ACD Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành cho biết diện tích tứ giác AGCD 32 đỉnh A có tung độ dương Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông C, BAC = 300 , x−3 y −4 z +8 AB = 2, đường thẳng AB có phương trình = = , đường thẳng AC nằm mặt phẳng 1 −4 (α ) : x + z − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hồnh độ dương z + i z +1 Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn + = + i z z 5 b Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD // BC, AD = BC , đỉnh B(4; 0), phương trình đường chéo AC x − y − = 0, trung điểm E AD thuộc đường thẳng ∆ : x − y + 10 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang cho biết cot ADC = Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 2; 4) mặt phẳng (α ) : x + y − z − = Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α ) cho MA ⊥ AB d ( A, MB ) = 330 31 4 xy + ( xy − 2)2 xy + xy − = Câu 9.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ R ) log ( x − y ) + log x.log y = www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com Hết -Ghi chú: BTC trả vào ngày 21, 22/6/2014 Để nhận thi, thí sinh phải nộp lại phiếu d thi cho BTC Chúc em học sinh đạt kết cao Kỳ thi tuyển sinh Đại học năm 2014 ! www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com P N ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN CUỐI - NĂM 2014 Mơn: TỐN – Khối A; Thời gian làm bài: 180 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu Câu (2,0 điểm) Đáp án a) (1,0 điểm) 10 Tập xác định: R \{1} 20 Sự biến thiên: * Giới hạn vơ cực: Ta có lim y = −1 lim y = −1 x →−∞ Điểm x →+∞ Giới hạn vô cực: lim+ y = −∞ lim− y = +∞ x →1 x →1 0,5 Suy đồ thị (H) có tiệm cận ngang đường thẳng y = −1, tiệm cận đứng đường thẳng x = * Chiều biến thiên: Ta có y ' = > 0, với x ≠ ( x − 1) Suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; 1) (1; + ∞ ) * Bảng biến thiên: y x −∞ y' +∞ + + +∞ y −1 −1 −1 O −1 −∞ x 0,5 I 30 Đồ thị: Đồ thị cắt Ox ( −1; ) , cắt Oy (0;1) Nhận giao điểm I (1; − 1) hai tiệm cận làm tâm đối xứng b) (1,0 điểm) −x −1 ⇔ Gọi tiếp điểm M x0 ; ∈ (C ) Khi ta có d ( M , ∆ ) = x0 − x +1 ⇔ x0 − + = ⇔ x02 − x0 + = x0 − x0 − x0 − − x0 − −1 x0 − 1 +2 2 = 0,5 x0 = −1 x02 − x0 + = 3( x0 − 1) x02 − x0 + = ⇔ ⇔ ⇔ x0 = x0 − x0 + = −3( x0 − 1) x0 + x0 − = *) Với x0 = −1, ta có M ( −1; 0), suy pt tiếp tuyến y = y '( −1).( x + 1) hay y = 1 x+ 2 1 1 1 , ta có M ; , suy pt tiếp tuyến y = y ' x − + hay y = x − 2 2 2 Phương trình cho tương đương với cos x(sin x − cos x) − sin x + = ⇔ cos x − sin x (sin x − cos x) − (sin x − 1) = 0,5 *) Với x0 = Câu (1,0 điểm) ( ) ⇔ −(cos x + sin x)(sin x − cos x) − (sin x − 1) = 0,5 ⇔ −(cos x + sin x)(1 − sin x) − (sin x − 1) = ⇔ (sin x − 1)(cos x + sin x − 1) = *) sin x − = ⇔ sin x = ⇔ x = www.DeThiThuDaiHoc.com π + k 2π ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z 0,5 Câu (1,0 điểm) www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com π π x = k 2π x + = + k 2π π *) cos x + sin x − = ⇔ sin x + = ⇔ ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z π π x + = + k 2π 4 π π Vậy nghiệm phương trình x = + kπ , x = k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z x ≥ 0 ≤ x ≤ −3 + 41 Điều kiện: 1 − x ≥ (*) ⇔ −3 − 41 −3 + 41 ⇔ ≤ x ≤ ≤x≤ 8 2 − 3x − x ≥ 0,5 Bất phương trình cho tương đương với x + − x + x(1 − x ) ≥ − x − x ⇔ 3( x + x) − (1 − x) + ( x + x )(1 − x) ≥ −5 + 34 x ≥ x +x x +x x +x ⇔3 +2 −1 ≥ ⇔ ≥ ⇔ x + 10 x − ≥ ⇔ 1− x 1− x 1− x −5 − 34 x ≤ −5 + 34 −3 + 41 Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình ≤x≤ 2 π Câu (1,0 điểm) Ta có I = π (4cos x − 1)cos x − 4sin x d x = ∫0 + 3sin x − (1 − 2sin x) ∫0 2sin x + 3sin x + d(sin x) 2 Đặt t = sin x Khi x = t = 0, x = π t = Suy I = − 4t dt + 3t + ∫ 2t 0,5 6t + (4t + 4) + (2t + 1) = ∫ −2 + dt = ∫ −2 + dt (2t + 1)(t + 1) (2t + 1)(t + 1) 0 0 1 1 = ∫ −2 + + d t = − t + 2ln(2 t + 1) + ln( t + 1) = −2 + 2ln + ln = ln18 − ( ) 2t + t + 0 *) Áp dụng định lý côsin cho tam giác A ' B ' D ' suy A D B ' A ' D ' = 120 Do A ' B ' C ', A ' C ' D ' a tam giác cạnh a 3a B C Gọi O = A ' C '∩ B ' D ', ta có BO ⊥ ( A ' B ' C ' D ' ) Câu (1,0 điểm) 0,5 0,5 Kẻ OH ⊥ A ' B ' H, suy A ' B ' ⊥ ( BHO ) Do (( ABCD ) , (CDD 'C ')) = BHO A' 21 ⇒ tan BHO = O C' B' a ⇒ BO = HO.tan BHO = A ' O.sin 600 = a 9a Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' = a 3.a 3.sin 600 = a *) Vì BO = = A ' C ' nên tam giác A ' BC ' vuông B Vì B ' D ' ⊥ ( A ' BC ') nên B ' D ' 2 trục đường tròn ngoại tiếp tam giác A ' BC ' Gọi G tâm tam giác A ' C ' D ' Khi GA ' = GC ' = GD ' GA ' = GB = GC ' nên G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' BC ' D ' Mặt 2 3a = a cầu có bán kính R = GD ' = OD ' = 3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có D' H G www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 Từ cos BHO = 0,5 0,5 Câu (1,0 điểm) www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com a a2 4a b2 4b Tương tự, ta có ≥ ≥ = (c + a ) + 5ca 9(c + a ) (b + c) + 5bc (b + c) + (b + c) 9(b + c) 2 a b2 a2 b2 a b Suy + ≥ + + ≥ (b + c)2 + 5bc (c + a)2 + 5ca (b + c)2 (c + a)2 b + c c + a ( a + b) + c ( a + b) a + b + c(a + b) 2 = ≥ ab + c( a + b) + c (a + b) + c(a + b) + c Vì a + b + c = ⇔ a + b = − c nên 2 2( a + b) + 4c( a + b) = (a + b) + 4c (a + b) + 4c 2 2(1 − c) + 4c(1 − c) 8 P≥ − (1 − c) = 1 − − (1 − c) 2 (1 − c) + 4c(1 − c) + 4c c +1 8 Xét hàm số f (c) = 1 − − (1 − c) với c ∈ (0; 1) c +1 16 c Ta có f '(c) = 1 − − (c − 1); c + (c + 1) 2 f '(c) – + f '(c) = ⇔ (c − 1) 64 − (3c + 3) = ⇔ c = Bảng biến thiên: f (c ) ( ) Dựa vào bảng biến thiên ta có f (c) ≥ − Câu 7.a (1,0 điểm) (1) với c ∈ (0; 1) 0,5 −1 (2) 1 Từ (1) (2) suy P ≥ − , dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1 Vậy giá trị nhỏ P − , đạt a = b = c = Vì DE ⊥ AC nên DE : x + y + = ⇒ D ( t ; − t − 3) B A G E D C 1 Ta có d ( G , AC ) = d ( B, AC ) = d ( D, AC ) 3 D (1; − ) t = 1 2t + ⇔ 2= ⇔ ⇒ t = −5 D ( −5; ) Vì D G nằm khác phía AC nên D (1; − ) 0,5 1 − = −2.( xB − 1) Ta có GD = −2GB ⇔ ⇒ B (1; ) ⇒ BD : x = −4 − = −2 ( yB − ) Vì A ∈ AC : x − y + = ⇒ A ( a; a + 1) 4 1 Ta có S AGCD = S AGC + S ACD = + 1 S ABC = S ABC = S ABD 3 3 Suy S ABD = 24 ⇔ A ( 5; ) ( tm ) a = d ( A, BD ) BD = 24 ⇔ a − 12 = 48 ⇔ ⇒ a = −3 A ( −3; − ) ( ktm ) 0,5 Từ AD = BC ⇒ C ( −3; − ) Vậy A ( 5; ) , B (1; ) , C ( −3; − ) , D (1; − ) Câu 8.a (1,0 điểm) Vì A ∈ AB ⇒ A ( a + 3; a + 4; − 4a − ) Thay tọa độ đỉnh A vào phương trình mặt phẳng (α ) suy A (1; 2; ) Vì B ∈ AB ⇒ B ( b + 3; b + 4; − 4b − ) Ta có www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 Câu 9.a (1,0 điểm) www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com B ( 2; 3; − ) ( tm xB > ) b = −1 2 ⇔ AB = ⇔ ( b + ) + ( b + ) + 16 ( b + ) = 18 ⇔ b = −3 B ( 0; 1; ) ( ktm ) 3 Ta có BC = AB.sin 300 = = BC Từ suy C hình chiếu Mặt khác d ( B, (α ) ) = 2 5 7 vng góc B lên (α ) Ta có C ( + c; 3; − + c ) ∈ (α ) ⇒ c = ⇒ C ; 3; − 2 2 5 7 Vậy A (1; 2; ) , B ( 2; 3; − ) , C ; 3; − 2 2 Đặt z = x + yi ( x, y ∈ R ) Khi ta có z + i z + x + ( y + 1)i ( x + 1) − yi ( x + ( y + 1)i ) ( x + yi ) + ( ( x + 1) − yi ) ( x − yi ) + = + = z z x − yi x + yi x2 + y 2x2 − y2 + x − y x− y i = + 2 x +y x + y2 0,5 0,5 Theo ta có 2x2 − y2 + x − y x2 − y x2 + y ≠ x2 + y ≠ = = 2 2 5 x +y x + y ⇔ ⇔ x2 = y ⇔ x = ±2 y x− y = x− y = 2 2 x + y = 5( x − y ) x + y = 5( x − y ) x + y x + y 5 x = y x = 0, y = (ktm) ⇔ ⇒ z = + i *) x = y, suy 5 y = y x = 2, y = Câu 7.b (1,0 điểm) x = 0, y = (ktm) x = −2 y *) x = −2 y, suy ⇔ ⇒ z = − 3i 5 y = −15 y x = 6, y = −3 Vậy z = + i, z = − 3i Gọi I = AC ∩ BE Vì I ∈ AC ⇒ I ( t ; 2t − 3) Ta thấy I B C trung điểm BE nên E ( 2t − 4; 4t − ) Theo giả thiết E ∈ ∆ ⇒ t = ⇒ I ( 3; 3) , E ( 2; ) Vì AD / / BC , AD = BC nên BCDE hình bình hành ∆ Suy ADC = IBC A D E Từ cot IBC = cot ADC = ⇒ cos IBC = Vì C ∈ AC ⇒ C ( c; 2c − 3) ⇒ BI ( −1; 3) , BC ( c − 4; 2c − 3) Ta có I c = 5c − c > cos IBC = ⇔ = ⇔ ⇔ c = c − 22 c + 35 = 5 10 5c − 20c + 25 7 5 Suy C ( 5; ) C ; ` 3 Với C ( 5; ) , ta thấy I trung điểm AC nên A (1; − 1) , E trung điểm AD nên D ( 3; 13) Câu 8.b (1,0 điểm) 0,5 0,5 0,5 7 5 11 13 23 Với C ; , tương tự ta có A ; , D ; 3 7 3 3 Ta có AB (1; 1; 3) , nα (1; 5; − ) Ta thấy A ∈ (α ) nên đường thẳng MA có VTCP x − y −1 z −1 uMA = AB, nα = ( −17; 5; ) ⇒ MA : = = ⇒ M ( −17 m + 2; 5m + 1; 4m + 1) −17 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng MAB ta có www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 0,5 www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 1 = + ⇒ AM = 330 2 ( d ( A, MB ) ) AM AB Suy (17 m ) + ( 5m ) + ( 4m ) = 330 ⇒ m = ±1 ⇒ M ( −15; 6; ) , M (19; − 4; − 3) Điều kiện: x > y > Đặt t = xy > 0, phương trình thứ hệ trở thành Câu 9.b (1,0 điểm) 2 4t + (t − 2)2t + t − = ⇔ (2t + 1)(2t + t − 3) = ⇔ 2t + t − = 0, 2t + > Vì hàm f (t ) = 2t + t − đồng biến R, mà f (1) = nên 2t + t − = ⇔ t = Khi ta có xy = 1, hay y = x 1 2 x −1 Thế vào pt thứ hai hệ ta log x − + log x.log = ⇔ log = log 22 x x x x x2 − x2 − log = log =x x x2 − = x2 x x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = x2 − 1 x2 − x − = = − log x = log x x x Suy nghiệm hệ x = 2, y = www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 0,5 ... học năm 2014 ! www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN CUỐI - NĂM 2014 Mơn: TỐN – Khối A; Thời gian làm bài: 180 phút TRƯỜNG ĐẠI... '(c) – + f '(c) = ⇔ (c − 1) 64 − (3 c + 3) = ⇔ c = Bảng biến thi? ?n: f (c ) ( ) Dựa vào bảng biến thi? ?n ta có f (c) ≥ − Câu 7.a (1 ,0 điểm) (1 ) với c ∈ (0 ; 1) 0,5 −1 (2 ) 1 Từ (1 ) (2 ) suy P ≥ − , dấu... ⇔ A ( 5; ) ( tm ) a = d ( A, BD ) BD = 24 ⇔ a − 12 = 48 ⇔ ⇒ a = −3 A ( −3; − ) ( ktm ) 0,5 Từ AD = BC ⇒ C ( −3; − ) Vậy A ( 5; ) , B (1 ; ) , C ( −3; − ) , D (1 ; − ) Câu 8.a (1 ,0 điểm)